用于非线性耦合高阶复杂网络的分布式自适应实用固定时间同步控制

《Neurocomputing》：Distributed adaptive practical fixed-time synchronization control for nonlinear coupled higher-order complex networks

　　

摘要

本文研究了一类非线性耦合高阶复杂网络的实际固定时间同步问题，其中节点之间的相互作用不仅是成对的，而且还是聚集的。与现有的依赖于全局参数的固定时间同步控制方案不同，本文设计了一种新颖的分布式自适应协议来实现非线性耦合高阶复杂网络的实际固定时间同步。“实际”意味着节点的状态在一段稳定时间内收敛到一个残差集合，而不是直接收敛到理想状态。此外，同步协议的设计和稳定时间的估计不依赖于任何全局参数，例如节点的总数和拓扑的代数连通性。最后，通过数值模拟验证了理论控制协议的有效性。

引言

复杂网络（CNs）是一种由大量节点以各种方式互连而成的大规模系统，其特征是结构复杂且功能多样[1]、[2]、[3]。目前，对CNs的研究已成为一个前沿的跨学科领域，吸引了来自物理学、数学、计算机科学、社会学等领域的众多学者的关注[4]。与线性耦合的CNs相比，非线性耦合的CNs更能反映许多现实世界的网络。因此，对具有非线性耦合的CNs的研究具有重要意义[5]、[6]。需要注意的是，传统CNs中节点之间的相互作用是成对的了。然而，实际系统经常表现出更复杂的关系和相互依赖性，基于成对相互作用的网络结构对此不够适用[7]、[8]、[9]。在多个领域观察到了高阶相互作用，例如大脑网络[10]、蛋白质相互作用[11]、社会科学[12]和生态学[13]。因此，近年来高阶CNs引起了相当大的兴趣[14]、[15]、[16]、[17]。例如，[16]中的作者证明了高阶相互作用对于使竞争网络模型稳定至关重要。在[17]中研究了超图和单纯复形的结构和动态。需要指出的是，上述结果是基于线性耦合的高阶CNs得出的，而不是非线性耦合的CNs。

作为CNs的一种常见动态行为，同步在过去几十年中引起了广泛关注[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]。例如，在[18]中通过使用间歇性动态事件触发控制策略解决了CNs的指数同步问题。在Gu等人的研究[23]中，通过应用非周期性间歇策略研究了非线性耦合网络的固定同步。在[24]中，通过设计两种类型的自适应固定控制协议研究了有向超图的同步。应该强调的是，[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]中的上述研究需要全局信息来实现同步目标。由于每个节点并不总能访问网络的全局信息，因此在[27]、[28]、[29]、[30]中设计了完全分布式的自适应控制协议，允许每个节点仅使用本地状态信息及其与邻居的相互作用来完成其控制任务。例如，在[28]中提出了一种基于本地信息的分布式自适应方案来调整部分耦合权重以实现CNs的同步。在Su等人的研究[29]中，提出了一种新的去中心化自适应固定控制策略来实现无向CNs的簇同步。在[30]中为有向和无向CNs设计了完全分布式的同步算法。然而，[27]、[28]、[29]、[30]中的这些工作只能实现CNs的渐近同步，即随着时间的推移达到同步。这不能满足某些实际应用的需求。

除了渐近同步之外，还基于收敛速率研究了其他类型的同步，例如指数同步[18]、有限时间（FnT）同步[31]、[33]和固定时间（FxT）同步[34]。由于收敛速率是评估同步算法有效性的关键性能指标[32]，因此广泛研究了FnT同步控制。在[35]中研究了在隐私保护约束下的CNs的FnT同步。在[36]中，通过设计一个间歇性控制器讨论了分数阶CNs的FnT同步问题。在[31]中，通过利用最小跳数正常邻居集合的信息以及故障代理的历史数据研究了多代理系统的容错有限时间共识问题。值得注意的是，FnT同步的稳定时间与初始状态有关，而在实际应用中通常不难获得这些初始状态。因此，提出了FxT同步控制方案作为一个特殊情况，其中稳定时间不受系统初始状态的影响。也就是说，无论系统的初始状态如何，同步都将在FxT时间内完成。因此，关于这一主题出现了大量的相关研究[37]、[38]、[39]、[40]。在[37]中研究了在脉冲效应下的复杂动态网络的FxT同步，并提出了一种统一的基于符号函数的控制器。为了避免抖振现象，[39]中的作者通过提出一种不含符号函数的连续控制器研究了CNs的FxT随机同步。在Xu等人的研究[40]中，基于一个新的FxT稳定性定理，通过提出连续和非连续控制器讨论了CNs的同步。上述[38]、[39]工作中的一个缺点是，它们都依赖于全局参数来估计稳定时间，例如网络节点的数量和拉普拉斯矩阵的最小特征值，这在实际应用中存在显著限制。因此，如何不使用任何全局参数来实现高阶CNs的FxT同步仍然是一个重要且具有挑战性的问题。

根据前面的讨论，显然，实现不依赖于任何全局参数的实际FxT同步是值得追求的。因此，本文旨在为非线性耦合高阶CNs开发一种完全分布式的协议以实现实际FxT同步。主要贡献如下三个方面：

• (1)
  为了更接近真实的复杂系统，建立了一类非线性耦合高阶CNs，这与现有的工作[1]、[2]、[5]、[6]不同，在这些工作中，节点是线性耦合的，或者节点的相互作用仅限于成对的。
• (2)
  与[25]、[26]中关于高阶CNs渐近同步的结果相比，本文提出的方案可以实现实际FxT同步，即系统状态将在一段稳定时间内达到一个残差集合。
• (3)
  与当前在[38]、[39]、[40]中关于FxT同步方案的研究不同，这些研究中的控制协议设计和稳定时间估计依赖于全局参数，而本文提出的FxT同步协议不依赖于任何全局参数，例如节点的总数和拉普拉斯矩阵的最小特征值。

小节摘录

预备知识和问题表述

符号说明：$$表示$$维欧几里得空间；$$表示所有正实数的集合；$$代表一个$$实矩阵；$$是一个所有元素都为一的列向量；$$表示对称矩阵$$的最小非零特征值；$$表示向量或矩阵的2-范数。

主要结果

本节推导了在所设计的控制协议下非线性耦合高阶CN（1）实现FxT同步的一些充分条件。

定理1

假设假设1、假设3成立。在分布式自适应控制协议(8)和自适应律(9)下，高阶非线性耦合CN（1）在估计的$$$$内的稳定时间内实现实际FxT同步其中和是满足的正奇数。也就是说，系统状态收敛到一个残差集合

数值模拟

本节考虑了一个非线性耦合高阶CN来证明前面讨论的理论结果的有效性。相应的通信拓扑如图1所示，它由-超边、-超边和-超边组成。因此，图1表示一个-超图。以下Chua电路用于描述每个节点的个体动态：$$$$其中。相应的参数选为、、和。该

结论

本文研究了非线性耦合高阶CN的实际FxT同步。首先，设计了一种完全分布式的自适应算法，用于迫使系统状态在一段稳定时间内收敛到一个残差集合。特别是，最大稳定时间与任何全局参数无关，例如全局网络中的节点总数和全局耦合拓扑的代数连通性。换句话说，所提出的FxT同步协议可以

CRediT作者贡献声明

Dan Liu：撰写——审稿与编辑、监督、概念化。Bin Zhang：撰写——原始草稿、验证、方法学、概念化。Binrui Wang：验证、监督。Xiaohang Li：验证、监督。Qiang Li：验证、监督。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号62303434）和浙江省省级高校基本科研业务费（项目编号2023YW40）的支持。

Dan Liu于2015年在中国西北民族大学获得应用数学学士学位，2018年在中国矿业大学获得运筹学与控制论硕士学位，2022年在东北大学获得控制理论与工程博士学位。他目前是中国杭州中国吉利江大学的副教授。他目前的研究兴趣包括同步控制、模糊控制等。

Dan Liu|Bin Zhang|Binrui Wang|Xiaohang Li|Qiang Li