Adaptive Physics Informed Neural Networks in the Kraenkel–Manna–Merle System （适用于Kraenkel–Manna–Merle系统的自适应物理信息神经网络）

《Wave Motion》：Adaptive Physics Informed Neural Networks in the Kraenkel–Manna–Merle System

　　•针对Kraenkel-Manna-Merle系统的半监督PINNs框架。•将基于残差的自适应细化策略（RAR-G）集成到PINNs中以增强收敛性。•与传统的PINNs相比，能够更高保真地预测多阶孤子和平稳态正电子的相干结构。•与解析广义Darboux变换解高度一致。

引言
近几十年来，随着孤子、正电子、色散管理孤子、呼吸子、流浪波、超连续谱生成以及类似现象等几个重要概念的发展，非线性科学取得了迅速进步[1]，[2]，[3]。非线性可积系统在偏微分方程（PDEs）中占据了一个独特的类别，它们具有丰富的对称性[4]、守恒量以及显式解，这使得它们成为描述物理系统中显著非线性波相互作用的强大模型[5]。要全面理解这些现象，必须建立控制这些复杂模型的解。非线性演化方程在电子学、光纤、流体动力学、生物遗传学、声波、机械和生物系统等多个科学领域受到了广泛关注[6]，[7]，[8]，[9]。许多完全可积的非线性PDEs通过描述孤子——一种单一、尖锐且稳定的脉冲——展示了非线性现象最显著的特性之一[10]，[11]，这种脉冲可以通过电气或光学系统产生。在数学物理学中，孤子常被用来模拟诸如光纤脉冲[12]、等离子体和浅水波等现象。这种局部化结构因其稳定性和独特的相互作用动力学而在理论和实验上都具有吸引力。

非线性局部化波，包括流浪波、孤子、正电子和呼吸子-正电子，由于其在非线性光学系统、固态物理和玻色-爱因斯坦凝聚态中的广泛应用而引起了广泛关注[13]，[14]。在自然现象中，简并孤子[15]代表了在空间-时间域内多个自然实体（如粒子、脉冲或波）重合的场景，尤其是在高强度波环境中。这样的解很有趣，因为它们表明简并孤子的行为并非完全独立的对象；相反，它们表现为具有独特物理和动态特性的统一复合结构。孤子和简并孤子是物理学中的关键解[16]，深入研究它们的相互作用动力学可以为我们提供关于物理系统中非线性波传播和能量传输机制的重要见解。最近，孤子在技术应用中得到了重视，特别是在通过光纤介质快速传输光孤子的背景下[17]。在非线性介质中，光孤子作为电磁波存在，并通过非线性和由色散及衍射引起的线性展宽效应之间的微妙平衡保持局部化状态。

最近在可积系统中的研究集中在探索正电子上，正电子是孤子的远程对应物，它们与其他非线性波完全透明，并在碰撞过程中保持其原始形式，而孤子可能会发生变化。正如Matveev [18] 所发现的，通过应用简并DT方法对Korteweg-de Vries方程进行处理，并假设相应的Lax对方程中有正的特征值，可以得到正电子解。最近提出了一种高精度随机特征方法来求解二阶非线性可积系统的局部化波解，这为基于物理的神经网络和传统数值方法提供了一种有效的替代方案[19]。由于正电子的独特性质和广泛应用[20]，[21]，[22]，[23]，[24]，人们对非线性动力系统中的孤子和正电子的研究产生了浓厚的兴趣。Maisch等人[24]研究了正电子的动态特性和非奇异性，这些特性常被用来模拟河流中的潮汐涌浪现象。例如，Chen-Lee-Liu方程[26]、Hirota方程[27]和广义非线性薛定谔方程[27]等几种非线性演化方程的正电子解已被发现。总体而言，关于非线性动力系统中孤子和正电子的研究不断进展，持续探索其可能的应用，并发展新的数学模型以更好地解释这类解的行为。Wang等人[28]研究了Wadati-Konno-Ichikawa方程中平滑正电子的动力学。Pu等人[29]为可积系统引入了基于Lax对的信息神经网络（LPNN-v1和LPNN-v2），其中将Lax对和零曲率兼容性条件纳入神经网络框架，以高效恢复局部化波解并解决相应的谱问题。Zhang等人[30]讨论了光纤中高阶非线性薛定谔方程的多正电子和呼吸子-正电子解。尽管取得了显著进展，但使用传统的解析或数值方法来预测和模拟具有非均匀动力学的非线性多尺度系统的演化仍面临诸多挑战，导致更高的成本和各种不确定性。

计算方法的出现为非线性动力学研究提供了支持[31]，使研究人员能够更深入地研究复杂的现实世界系统，架起了分析和数据驱动方法之间的桥梁，超越了传统方法的局限。许多自适应技术[32]，[33]，[34]，[35]，[36]已被提出，推动了深度学习在面部识别[37]、手势识别[38]、语言翻译[39]、医学数据分析[40]、交通模式预测[41]、自动驾驶汽车[42]以及油气田产量预测[43]，[44]等领域的应用。Raissi等人[45]引入的PINNs（一种无网格深度学习框架）在优化中发挥了重要作用，其扩展现在被广泛应用于纳米光学[46]、流体力学[63]和流行病学[47]，成为预测如孤子、呼吸子和流浪波等非线性波现象的数据驱动解的强大工具[48]，[49]。与传统的机器学习不同，PINNs不依赖于标记数据；相反，它们使用已知的物理定律（如控制方程和边界条件）作为约束。这种混合方法增强了模型的泛化能力，特别是在数据噪声大或有限的情况下。Panwarden等人[50]将PINNs作为一种元学习方法应用于参数化PDEs。Shuaijun等人[51]提出了不使用标签数据的PINNs（PIResNet）来求解单相渗流方程。Wang等人[52]采用数据驱动方法讨论了五阶Kaup–Kupershmidt方程的参数发现和多孤子解。Saharia等人[53]利用PINNs中的守恒定律得到了Fokas-Lenells方程的多孤子解。Fang等人[54]研究了飞秒光孤子的PINNs以及在更高阶非线性薛定谔方程中的参数识别。Zhu和Chen[55]讨论了考虑多层PINNs方法的非局部化修改Korteweg-de Vries方程的可积性和孤子解。Yin等人[56]通过深度学习算法预测了CQ-NLSE的参数发现、流浪波和孤子解。Thulasidharan等人[57]通过修改后的PINNs预测了非线性薛定谔方程家族的正电子解。Vishnu等人[58]利用PINNs近似了广义五阶非线性薛定谔方程的简并孤子解。这项研究通过偏离传统的基于网格的方法，在铁磁材料的电磁波传播领域应用数据驱动方法，特别关注多阶孤子和平滑正电子的预测，提供了深刻的见解。据我们所知，这是首次在铁磁KMM领域专门使用深度学习的方法，显示出此类动态系统未来预测的潜力。

本文的其余部分组织如下。第2节首先介绍了PINNs框架以及用于预测的方法。第3节讨论了该模型在预测KMM可积系统中的多阶孤子和平稳态正电子解的应用，并通过图形结果详细比较了精确解和预测解之间的差异。最后，第4节总结了研究的主要成果并提出了主要结论。

使用PINNs解决KMM系统的方法
KMM系统描述了磁相互作用，这是一个重要的非线性动力模型，其中磁体中的孤子代表基本的自旋激发。它为饱和铁磁材料中的非线性电磁波行为提供了关键见解，有效地模拟了垂直于外部磁场传播的超短脉冲。Rahman等人[59]讨论了某些饱和铁磁材料中KMM系统的kink型波前。

结果与讨论
本节评估了所提出的自适应半监督PINN框架对KMM系统的预测性能。数值分析考虑了孤子和平稳态正电子的动力学，包括单孤子、双孤子以及二至五阶平稳态正电子解。对于每种情况，将PINN预测的场与通过简并DT得到的相应解析解进行比较。比较通过时空等值线图和逐点MSE进行。

结论
在这项工作中，我们开发了一个基于RAR-G的物理信息神经网络框架，用于重建Kraenkel–Manna–Merle（KMM）系统的孤子和平稳态正电子动力学。该方法利用沿交线??=0和??=0的解迹以及控制方程，准确再现了单孤子和双孤子解以及二至五阶平稳态正电子解。使用相同的配置集大小和训练迭代预算进行控制的比较。

未引用表格1CRedI

作者贡献声明
Yasir Muhammad：撰写——原始草稿、可视化、软件、方法论、概念化。
Daolun Li：撰写——审阅与编辑、项目管理、资金获取、正式分析。
Wenshu Zha：验证、监督、正式分析。
Lei He：正式分析、可视化、验证。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。