时空反演非局域复三分量mKdV方程的黎曼-希尔伯特问题与RST-PINN方法

《Wave Motion》：Riemann–Hilbert problem and RST-PINN method for the reverse space-time nonlocal complex three-component mKdV equation

　　

## 主要贡献

- 通过Riemann-Hilbert方法求解了反时空非局域三分量mKdV方程。
- 获得了显式精确的N孤子解和典型的非线性波结构。
- 提出了一种基于反时空对称信息的PINN（RST-PINN），用于非局域孤子学习。
- 本工作将可积系统技术与对称性驱动的科学机器学习相结合。

## 引言

非线性偏微分方程在描述和预测复杂自然现象中起着重要作用。与线性方程相比，非线性方程的解通常表现出更丰富的结构特征，如孤子、混沌现象和分形结构。这些非线性结构不仅推动了包括可积系统理论在内的数学理论发展，也为光纤通信[1]、[2]等工程应用提供了重要的理论基础。作为非线性偏微分方程的一个典型类别，孤子方程的特征在于存在局部化波，这些波在传播过程中能够保持其形状不变，即孤子解[3]。这类方程广泛出现在非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚、光纤传输、流体力学等物理系统中[4]、[5]、[6]、[7]。其中，修正Korteweg-de Vries方程（即mKdV方程）是可积系统和非线性波理论中的重要模型。因此，研究其精确解和动力学行为具有重要意义[8]。

众所周知，经典mKdV方程

$$u_t + 6u^2 u_x + u_{xxx} = 0$$

是描述非线性波传播的重要可积模型之一，其解可以展现出孤子和多波图案等丰富的动力学结构[9]、[10]、[11]。该方程反映了非线性效应与色散效应之间的平衡，因此在许多物理领域具有广泛应用。例如，在流体力学中，mKdV方程可用于描述地球物理流体中的非线性Rossby波，并可通过引入变系数形式来表征地形效应和耗散[12]。在等离子体物理中，它可以用于模拟多组分等离子体中的静电结构，并揭示正电子浓度和电子温度对波演化的影响[13]。此外，该方程还常用于研究非线性光学中的光学孤子和凝聚态物理中的磁孤子[10]、[14]。通过可积系统的分析方法，已获得了该方程的各种精确解，包括孤子解、呼吸子解和复杂波解[14]。然而，单组分mKdV方程在描述多组分系统中的耦合波传播和复杂相互作用方面仍有一定局限性，这激发了对耦合mKdV方程及其多组分推广的研究。近年来，关于非线性光纤耦合器、多核光纤阵列及相关耦合系统中孤子态和波传播特性的研究，进一步加深了我们对耦合mKdV型方程动力学行为的理解[15]、[16]、[17]、[18]。因此，研究耦合mKdV方程对于解释多组分非线性系统中的复杂物理现象具有重要意义，相关课题已引起广泛关注[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]。

在文献[25]中，作者研究了以下耦合mKdV方程：

$$u_t + 6(u^2 + v^2)u_x + u_{xxx} = 0,$$
$$v_t + 6(u^2 + v^2)v_x + v_{xxx} = 0.$$

在散射系数具有多对高阶极点的情况下，在无反射条件下获得了显式精确解。这些结果表明，Riemann-Hilbert（RH）方法在处理耦合mKdV型方程的精确解方面具有显著优势。

然而，两分量耦合mKdV方程在描绘更复杂的非线性波相互作用方面存在固有局限，这推动了向三分量耦合mKdV系统的推广。在文献[26]中，作者研究了以下三分量mKdV方程：

$$q_{1,t} - q_{1,xxx} - 24q_{1,x}(|q_1|^2 + |q_0|^2) - 24q_{0,x}(q_0 q_1 + q_2 q_0) = 0,$$
$$q_{2,t} - q_{2,xxx} - 24q_{2,x}(|q_2|^2 + |q_0|^2) - 24q_{0,x}(q_0 q_2 + q_1 q_0) = 0,$$
$$q_{0,t} - q_{0,xxx} - 12q_{0,x}(2|q_0|^2 + |q_1|^2 + |q_2|^2) - 12q_{1,x}(q_0 q_2 + q_1 q_0) - 12q_{2,x}(q_0 q_1 + q_2 q_0) = 0.$$

通过引入不同的极点结构和约化约束，利用Cauchy矩阵方法构造了该系统的显式精确解。

另一方面，由于空间或时间上的反射耦合，非局域可积方程表现出与其局部对应物不同的对称结构和动力学特征。已为若干经典可积模型建立了反时空非局域形式，揭示了新颖的rogue wave动力学，并通过Darboux变换实现了孤子解的系统性构造[27]、[28]。特别地，反时空非局域mKdV方程具有平移宇称和延迟时间反演对称性[29]，其长时间渐近行为和多组分推广也受到了关注[30]、[31]。然而，现有对mKdV方程的大多数研究集中在单组分模型或低维耦合系统上，而反时空NCTC-mKdV方程尚未得到充分探索。因此，进一步研究其可积结构、精确解和动力学行为是极具动机的。

在本文中，我们考虑以下反时空NCTC-mKdV方程：

$$q_{1,t} - q_{1,xxx} - 24q_{1,x}[q_1 q_1^*(-x,-t) + q_0 q_0^*(-x,-t)] - 24q_0[q_0^*(-x,-t)q_1 + q_2^*(-x,-t)q_0] = 0,$$
$$q_{2,t} - q_{2,xxx} - 24q_{2,x}[q_2 q_2^*(-x,-t) + q_0 q_0^*(-x,-t)] - 24q_0[q_0^*(-x,-t)q_2 + q_1^*(-x,-t)q_0] = 0,$$
$$q_{0,t} - q_{0,xxx} - 12q_{0,x}[2q_0 q_0^*(-x,-t) + q_1 q_1^*(-x,-t) + q_2 q_2^*(-x,-t)] - 12q_{1,x}[q_0^*(-x,-t)q_2 + q_1^*(-x,-t)q_0] - 12q_{2,x}[q_0^*(-x,-t)q_1 + q_2^*(-x,-t)q_0] = 0,$$

其中 $*$ 表示复共轭，$q_i = q_i(x,t)$（$i = 0,1,2$）为复值函数，我们考虑方程(1.4)的Cauchy问题，初始数据为 $q_i(x,0) \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^\infty(\mathbb{R})$。在文献[32]、[33]中，已获得了该方程的若干特定解，包括单孤子解、双孤子解、周期解和暗孤子解，并系统地分析了相应的动力学行为。这些结果丰富了非局域多组分mKdV方程的精确解理论。然而，现有研究主要集中于某些特定解的构造和参数分析，而该方程高阶N孤子解的系统性推导仍有待进一步研究。最近的研究还表明，此类高阶多孤子解的解析推导对于理解光学通信、生物物理等领域中的复杂非线性波传播至关重要[34]、[35]。受此启发，我们采用RH方法研究该方程。在无反射条件下，构造了相应的矩阵Riemann-Hilbert问题（RHP），并进一步获得了N孤子解公式。与传统求解方法相比，RH方法能够更系统地处理谱参数约束、离散谱对称性和多孤子解的构造[36]。在此基础上，我们进一步分析了不同谱参数和极化参数对孤子振幅、局域宽度、内部振荡、传播方向和相互作用图案的影响。

随着计算能力的快速提升，深度神经网络逐渐成为求解偏微分方程的有效工具。通过结合通用逼近定理[37]和自动微分技术[38]，Raissi等人提出了物理信息神经网络（PINNs）[39]。PINNs的主要思想是将控制方程、初始条件和边界条件嵌入神经网络的损失函数中，然后通过最小化该损失函数获得近似解。与传统数值方法相比，PINNs在处理稀疏数据、复杂域和参数识别问题方面具有优势。因此，它们已被广泛应用于非线性偏微分方程的数据驱动求解。在可积系统领域，基于PINN的方法已被用于为各种非线性演化方程构造数据驱动的孤子、呼吸子和rogue wave解，如KdV方程、导数非线性Schr?dinger方程、Chen-Lee-Liu方程、Gerdjikov-Ivanov方程以及可积二维非局域Mel'nikov方程[40]、[41]、[42]、[43]、[44]、[45]。

尽管PINN方法已取得显著进展，但在处理复杂非线性系统时仍面临训练效率、收敛稳定性和精度方面的挑战。为提升其性能，已开发出多种增强型PINN框架，包括两阶段PINN[46]、Lax对信息神经网络[47]以及两阶段初值迭代PINN[48]。对于非局域可积系统，将固有对称结构纳入损失函数已被证明是提高学习精度的有效方式[49]、[50]、[51]、[52]、[53]。受这些研究的启发，我们提出了一种反时空对称增强的物理信息神经网络（RST-PINN），用于反时空NCTC-mKdV方程的求解。在该方程中，非局域共轭项 $q_j^*(-x,-t)$（$j = 0,1,2$）将对称时空点 $(x,t)$ 和 $(-x,-t)$ 处的解耦合起来，使得标准PINN框架难以完全保留其固有的非局域对称性。在提出的RST-PINN中，这些非局域共轭项由同一神经网络在反射点 $(-x,-t)$ 处的输出来表示，并在损失函数中引入反时空对称残差。通过这种方式，学习到的解同时受控制方程和固有非局域对称性的约束。对常规周期解、局域振荡单孤子解和双孤子相互作用解的数值实验表明，预测解与精确解之间吻合良好，证实了所提方法的有效性。

本文的主要贡献总结如下。

(i) 通过为反时空非局域复三分量mKdV方程建立矩阵Riemann-Hilbert框架，在无反射条件下推导了显式一般N孤子解。据我们所知，本工作首次为该反时空非局域三分量mKdV系统提供了精确的N孤子解，从而丰富了非局域多组分可积方程的解理论。

(ii) 离散谱的不同对称约化被证明能产生定性不同的非线性波族，包括csch型奇异孤子、局域振荡孤子和多孤子相互作用态。结果揭示了谱结构与波动动力学之间的显式联系，展示了谱参数和极化参数如何共同支配局域化、振荡、传播方向和相互作用行为。

(iii) 提出了一种反时空对称信息的物理信息神经网络（RST-PINN），用于学习所考虑非局域可积系统的解。与常规PINN不同，所提框架通过反射坐标学习和对称性保持约束，显式地纳入了反时空非局域对称性。数值结果表明，学习解与解析解之间吻合良好，实现了非局域孤子动力学的高保真学习，相对误差在 $10^{-3}$ 量级。

本文其余部分组织如下。在第2节中，我们分析Jost解和散射系数的解析性，并为反时空NCTC-mKdV方程构造相应的矩阵RHP。在第3节中，求解无反射RHP，并获得相应的N孤子解。基于离散谱的对称约束，讨论了不同谱参数的约化，导出了csch型奇异解、局域振荡单孤子解和双孤子相互作用解。还分析了谱参数和极化参数对孤子动力学的影响。在第4节中，提出RST-PINN框架以学习所考虑系统的代表性非奇异解。给出数值结果以证明该方法的有效性。主要结论在第5节中给出。

## 反时空NCTC-mKdV方程的Riemann-Hilbert问题

在本节中，我们研究Jost解和散射系数的解析性，然后为反时空NCTC-mKdV方程(1.4)构造相应的RHP。

与方程(1.4)关联的Lax对由下式给出：

$$\Phi_x = U\Phi, \quad \Phi_t = V\Phi.$$

其中

$$U = iz\Lambda + U_0 = iz\begin{bmatrix} -I_{2\times2} & 0 \\ 0 & I_{2\times2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & U_2(x,t) \\ -4U_2^*(-x,-t) & 0 \end{bmatrix},$$

以及

$$V = -4iz^3\Lambda + V_0 = iz^3\begin{bmatrix} 4I_{2\times2} & 0 \\ 0 & -4I_{2\times2} \end{bmatrix} + z^2\begin{bmatrix} 0 & -4U_2(x,t) \\ 16U_2^*(-x,-t) & 0 \end{bmatrix} + iz\begin{bmatrix} -8U_2(x,t)U_2^*(-x,-t) - 2U_{2,x}(x,t) \\ -8U_{2,x}^*(-x,-t) & 8U_2^*(-x,-t)U_2(x,t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4U_{2,x}(x,t)U_2^*(-x,-t) - 4U_2(x,t)U_{2,x}^*(-x,-t) \\ U_{2,xx}(x,t) - 4U_{2,xx}^*(-x,-t) \end{bmatrix},$$

（注：此处原文因格式截断而未完整显示，已根据上下文保留可辨识部分。）

## 反时空NCTC-mKdV方程的N孤子解与动力学分析

在本节中，我们通过求解第2节中构造的无反射RHP，推导反时空NCTC-mKdV方程(1.4)的N孤子解。随后分析所得孤子解在不同对称诱导的离散谱约化下的动力学性质。特别地，通过代表性分量 $q_0(x,t)$ 研究谱参数和极化参数对波结构和相互作用行为的影响。

## RST-PINN框架与数据驱动求解

在本节中，我们开发了一种反时空对称信息的物理信息神经网络（RST-PINN），用于学习反时空非局域三分量mKdV系统的代表性解。与标准PINN框架不同，所提方法显式地将反时空非局域结构 $(x,t) \leftrightarrow (-x,-t)$ 纳入学习过程。

所提出的RST-PINN框架包含以下主要组成部分。首先，反时空非局域项为……

## 结论

在本文中，我们研究了反时空非局域复三分量mKdV方程的N孤子解和数据驱动模拟。基于关联的Lax对，分析了Jost解的解析性质和对称关系，并构造了相应的矩阵Riemann-Hilbert问题。通过考虑无反射情况并利用离散谱的对称约束，获得了该方程的一般N孤子解。

## 作者贡献

两位作者均对论文的撰写和审阅作出了贡献。概念构思、形式分析和软件由张萌完成。监督、编辑和项目管理由张玲玲完成。论文初稿由张萌撰写，两位作者对论文的先前版本进行了评论。两位作者阅读并批准了最终稿。

## 资助

本工作受山西省基础研究计划（202403021221030）资助。

## CRediT作者贡献声明

张萌：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，验证，软件，调查，形式分析。

张玲玲：撰写—审阅与编辑、监督、方法论。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在任何可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

张萌|张玲玲