断裂的逆变形方法中不可逆性条件与平衡稳定性

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：Irreversibility condition and stability of equilibria in the inverse-deformation approach to fracture

　　

摘要

我们利用热力学第二定律，在逆变形方法中推导了断裂的不可逆条件。我们考虑了一维、均匀、弹性杆在准静态运动下的脆性失效问题。尽管存在非零的界面/表面能，逆变形的三阶导数在裂纹面处是不连续的。这是由于允许断裂同时确保物质取向保持不变的约束不等式所致。我们证明，开放裂纹在其参考构型中位置的任何变化都会导致负的熵产。根据热力学第二定律，我们禁止这些变化，从而将裂纹在其参考域中的位置固定。约束不等式和不可逆条件限制了容许变分的空间。我们证明了包含这些限制的局部稳定性二阶条件。其数值实现表明，在硬加载下弹性杆的所有破裂平衡态都是局部稳定的。

引言

我们利用热力学第二定律，在逆变形方法（Rosakis et al., 2021）中推导了断裂的不可逆条件。我们考虑了一根发生准静态运动的一维、均匀、弹性杆。逆变形将杆的变形构型映射回参考域。尽管存在非零的界面/表面能，逆变形的三阶导数在裂纹面处仍是不连续的。这是由于确保逆应变非负且物质取向保持不变的约束不等式所致。我们证明，开放裂纹在其参考构型中位置的任何变化都会导致负的熵产。根据热力学第二定律，我们禁止这些变化，从而将裂纹在其参考域中的位置固定。

一维弹性杆的逆变形断裂方法由Rosakis et al.（2021）提出。在该工作中，即使存在裂纹，逆变形也被扩展为连续的分段光滑函数。Rosakis et al.（2021）中采用了一个局部的、非凸的本构模型，并使用逆应变的梯度对其进行正则化。这赋予了该模型一种表面能，该表面能在某种Γ极限下也体现了Griffith的常能量（Healey et al., 2024）。Rosakis et al.（2021）中的全局分岔分析确定了硬加载下弹性杆的所有平衡态。杆均匀变形，直到在临界载荷下因跳跃不稳定性而断裂。Rosakis et al.（2021）预测了尖锐裂纹的自发成核，而无需使用任何损伤/相变量或预存缺陷。在破裂解中，裂纹面是尖锐的，应力恰好为零，且实际变形是不连续的。本工作是对Rosakis et al.（2021）的后续研究，旨在确立该方法中热力学第二定律的非平凡性。

Rosakis et al.（2021）中的分析预测，裂纹的成核发生在杆的两端之一。他们报告称，所有其他具有内部裂纹或多个裂纹的破裂平衡态都是不稳定的，并且在现实中无法观测到。我们在本文中探讨这一问题。我们将在此推导出的不可逆条件纳入破裂平衡态的稳定性分析中。我们证明了禁止改变裂纹位置的局部稳定性二阶条件。其数值实现表明，硬加载下弹性杆的所有破裂平衡态都是局部稳定的。弹性杆可能锁定在这些解中的任何一个，导致失效时出现内部裂纹或多个裂纹。

不可逆性作为Griffith理论中的一个额外公设被引入（Griffith, 1921, Griffith, 1924）。用现代术语定义如下：如果在时刻t，Γ(t)是裂纹面上所有材料点的集合，则

Γ(s) ? Γ(t)，对所有s ≤ t成立。

在没有此条件的情况下，各种不同载荷下的平衡裂纹是不稳定的；在Griffith理论中，若不假定一种不可逆机制，裂纹将无法存在。在线性弹性断裂力学（LEFM）中，通过假定从未缩短的预存裂纹来引入不可逆性。

同样的公设被扩展到具有预存裂纹的有限变形、非线性弹性问题中（Le, 1989; Stumpf and Le, 1990）。在这些工作中，通过限制容许空间来假定不可逆性。若新的不连续面包含或重合于所有先前状态的不连续面，则该破裂构型是容许的。类似的不可逆条件也在Gurtin（2000）；Gurtin and Podio-Guidugli, 1996, Gurtin and Podio-Guidugli, 1998中被假定。

在相场方法中，不可逆性以演化定律的形式被假定（Bourdin et al., 2000; Francfort and Marigo, 1998）。在Bourdin et al.（2008）中，假定若裂纹集合Γ(t)减小，则"类Griffith"势能为无穷大。在da Silva et al.（2013）中，相变量的变化被先验地约束为单向。

相比之下，我们利用热力学第二定律在逆变形方法中证明了不可逆条件。无需任何额外假设。我们研究了逆变形三阶导数中不连续性的运动引起的系统熵变。这些运动包含了裂纹面在参考构型中位置的假定变化。

在相变背景下，Abeyaratne and Knowles, 1988, Abeyaratne and Knowles, 2006研究了由于不连续性和界面运动引起的熵产。在没有界面能的情况下，多相解在应变上具有不连续性。我们在这里对逆变形表述中的断裂进行了类似的热力学分析。

我们在第2.1节中总结了Rosakis et al.（2021）中关于断裂的逆变形方法。遵循同一工作，我们在模型中纳入了一种与逆应变梯度二次成正比的表面能。在相变模型中，通过应变梯度引入界面能能够正则化应变不连续性，并得到经典的平衡解。但对于这里的破裂解并非如此：我们在第2.2节中证明逆变形公式的三阶导数是不连续的。

在第2.3节中，我们推导了外部力对杆的某部分所做的功的表达式。我们在第3.1节中计算熵产时使用了该表达式。我们考虑了一根发生准静态运动的弹性杆。此处未包含惯性效应，时间的概念起到历史参数的作用（Knowles, 1979）。裂纹面附近的熵产与裂纹面在参考域中的速度乘以三阶导数的跳跃成正比。三阶导数的跳跃与强制约束不等式的正的Lagrange乘子场相关，其符号容易确定。在第3.2节和3.3节中，我们证明为了满足热力学第二定律，裂纹面在参考域中的速度必然为零。我们在第3.4节中使用该结果给出不可逆条件。

这里推导出的不可逆条件并不排除愈合。第3节中的熵计算要求裂纹面在变形构型中不接触，即裂纹是开放的。对于闭合裂纹，逆应变在孤立点处为零，而三阶导数的不连续性难以处理。Lu et al.（2010）；Obreimoff（1930）的实验中观察到，当原子级洁净的裂纹表面相互接触时，断裂具有可逆性。这里推导出的不可逆条件仅适用于裂纹开放的情况，从而在逆变形断裂方法中容纳了此类观察的可能性。

在没有不可逆性的情况下，稳定性问题首次由Rosakis et al.（2021, 命题4.7）进行研究。作者当时并不知晓不可逆条件。在该条件缺失的情况下，他们证明仅具有杆一端裂纹的解才是唯一局部稳定的破裂解。利用Carr et al.（1984, 第8节）中的方法，他们构造了逆变形的特定变分，使得对于所有其他破裂平衡态，总能量的二阶变分均为负值。在Carr et al.（1984）研究的相变问题中，在平衡态处，能量对于所有容许变分的一阶变分为零。由于存在约束不等式，在Rosakis et al.（2021）研究的断裂问题中这一结论并不成立。对于具有两端裂纹的解，Rosakis et al.（2021, 命题4.7）中构造的变分所对应的能量一阶变分为正。这使得在这些方向上的二阶计算对于这些平衡态的稳定性来说无足轻重。

我们将没有不可逆性时的稳定性准则称为准则1。我们在第4.2节中证明了受此准则约束的局部稳定性二阶条件。该条件纳入了在破裂平衡态处能量一阶变分为正的可能性。我们利用该条件修正了（Rosakis et al., 2021, 命题4.7）为命题4.1，并证明任何具有内部裂纹的破裂解都是不稳定的。在杆一端或两端都有裂纹的解得以保留。这些解在有或没有不可逆性时稳定性相同。在第5.3节中，我们发现这些具有一端或两端裂纹的解在没有不可逆条件的情况下都是局部稳定的。

尽管如此，第4节和第5节的主要目的是确定在存在不可逆条件的情况下解的稳定性。我们将该准则称为准则2，并在第4.3节中对其进行研究。我们证明，如果对于所有在空区域处为零的容许变分，总能量二阶变分均为正值，则平衡态是局部稳定的。这些空区域是由于裂纹张开而在变形构型中产生的空间。这意味着，就稳定性而言，弹性杆的每个连通、未断裂部分是解耦的。如果这些未断裂部分各自独立稳定，则完整的破裂解是局部稳定的。一个未断裂部分独立稳定的条件是，对于所有仅在该部分内非零的容许变分，能量局部增加。

两端都有裂纹面的未断裂部分也可以自由地在空区域内平移。在给定的伸长率下，这些平移会产生一个具有相同总能量的单参数平衡族。如果对于不含此类平移的变分，能量二阶变分严格为正，则该未断裂部分是稳定的。

第4.2节中构造的、在没有不可逆性的情况下使得具有内部裂纹的解变得不稳定的变分，会改变这些裂纹的位置。这些变分在准则2中是不可容许的。此外，利用准则2的稳定性分析符合热力学第二定律并建模了现实世界的问题。我们在第5节中使用Gupta and Healey（2024）的有限元离散化实现了准则2的稳定性条件。我们发现弹性杆的所有破裂解都是局部稳定的。全局极小值出现在第一个分岔分支上，具有一端裂纹且能量上优先。Healey et al.（2024）中表征表面能的小参数趋于零的Γ极限也证明了这一点。其余具有内部裂纹或多个裂纹的破裂解出现在高阶模式中，且为局部极小点。

分节片段

逆变形表述

考虑在参考构型中占据区域Ω := [0, 1]的一根杆。我们将杆的一端固定，并用硬加载装置将另一端拉伸至长度λ。变形f: Ω → ?满足边界条件

f(0) = 0, f(1) = λ。

脆性材料的储存能密度函数W: (0, ∞) → [0, ∞)是如图1(a)所示的Lennard-Jones型势函数。当实际应变趋于无穷大时，它渐近于常数γ。假定与Rosakis et al.（2021）一样，W ∈ C2(0, ∞)。

耗散与容许性

考虑一族准静态、随时间变化的平衡解h(y, t): Ω*(t) × [0, T] → Ω，其中

Ω*(t) := [0, λ(t)]，

h(0, t) = 0, h(λ(t), t) = 1。

函数λ(t)给出时刻t的伸长值。此处不考虑惯性效应。

设D* := [Δ?, Δ?] ? Ω*(t)为如图3所示的控制体。设(′)表示对y的偏导数。

点 yc(t)∈D* 是一条裂纹面，使得对所有 t∈[0, T]，h′>0 对于 y∈[Δ?, yc(t)) 成立，且 h′=0 对于 y∈[yc(t), Δ?] 成立。该弹性棒的弹性能为

**稳定性分析初步**

方程 (11) 的解 h∈K 是局部稳定的，如果它是局部极小值点，即存在 h 的一个开邻域 U，使得对所有 g∈U 都有 E_ε*[λ,g]≥E_ε*[λ,h]。在本节中，我们证明准静态平衡态稳定性的二阶条件。在给定 λ 值下，总能量 E_ε*:H→R（式 (6)）具有二阶 Fréchet 可微性，使得

δ2E_ε*[λ,h;η,η]=∫?^λ {ε2(η″)2+M*(h′)(η′)2}dy，

其中 η∈H2(0,λ)∩H?1(0,λ)。

根据 Fréchet 可微性的定义（参见 Vainberg, 1964），可得

E_ε*[λ,h+αη]?E_ε*

**数值实现**

我们采用 Gupta 和 Healey (2024) 中所使用的拉伸参数 λ 的数值延拓方法求解方程 (11)。由于定义域 Ω* 依赖于 λ，我们通过变量替换在固定定义域上进行求解。我们定义 Ω?∶=[0,1]，引入变量 s∈Ω?，s=y/λ。此外，我们定义 u∈H2(0,1)∩H?1(0,1)，u′≥?1，使得 u(s)∶=h(λs)?s。Euler-Lagrange 方程 (11) 给出

∫?1 {ε2u″?″+λ3S*(1+u′/λ)?′}ds=λ?∫_Bu {μ?′+ζ(u′+1)}ds

对所有 ?∈H2(0,1)∩H?1(0,1) 成立，其中假设 μ∈L^∞(0,1)，ζ∈L^∞(0,1)。

**结论**

我们基于热力学第二定律，推导了一维均质弹性棒失效的不可逆条件。我们在该条件存在的条件下，研究了弹性棒断裂平衡态的稳定性。变分满足熵不等式，稳定性分析对实际问题的建模是有效的。我们证明了弹性棒的所有断裂平衡态（包括具有内部裂纹或多条裂纹的情形）都是局部稳定的。

**不可逆性**

**利益冲突声明**

作者声明，不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

Arnav Gupta