考虑远场和近场因素的约束性能优化 T-NES：一种随机多项式混沌展开方法

《Engineering Structures》：Constrained Performance-Based Optimization of T-NES: A Stochastic Polynomial Chaos Expansion approach with Far-Field and Near-Field considerations

　　

- 首个基于SPCE的T-NES性能化设计优化框架，加速比达8倍。
- 基于峰值响应的易损性消除了准平稳假设。
- 约束双危险源优化在成本与安全之间取得平衡。
- NF脉冲下的行程可靠性确保装置存活能力。
- 真实FF/NF地震记录验证确认最大可减小68%的层间位移角。

引言

非线性能量阱（NES）[1]因其宽带能量参与能力和较低的失谐敏感性，已成为经典线性调谐质量阻尼器（TMD）[2]、[3]在地震振动控制中极具吸引力的替代方案。与线性吸收器不同，NES装置依赖于本质非线性恢复力，通常通过非线性弹簧-质量构型实现，从而实现不受窄频带限制的能量传递机制。

近年来，为提升性能、扩展有效工作范围或改善在不同激励条件下的适应性，已提出多种先进的NES构型，包括混合被动-主动吸收器[4]、复合及多模态NES设计[5]、双稳态及声学黑洞增强系统[6]、实验验证的多模态实现方案[7]，以及具有能量采集功能的构型[8]。

在重力驱动构型中，平动式轨道非线性能量阱（T-NES）由沿预设曲线轨道运动的受限质量组成，其几何形状直接诱导幅值相关的恢复力。平动式T-NES首先由Wang等人[9]正式提出，他们采用四次多项式轨道来缓解地震激励下两自由度系统的侧向振动。在后续研究中，同样使用了该四次单一项多项式T-NES。Lu等人[10]对受五组不同频率成分地震波作用的受控五层钢框架进行了实验评估。Wang等人[11]利用谐波平衡法分析了受冲击和简谐激励的受控两自由度主结构响应。Wang等人[12]和Wang等人[13]提出在轨道NES上增加单侧碰撞限位器，并在32层高层建筑模型中测试了该新型装置。Li等人[14]从解析角度研究了T-NES的固有非线性动力学特性，论证了强调制响应如何有助于振动控制。

最近还提出了替代轨道轮廓以增强T-NES恢复力的有效性。Wang等人[15]开发了双弧段非线性能量阱（2PA NES），用于隔震结构的位移控制。两个阶段对应的轨道形状为不同半径的圆弧，调谐至隔震层的屈服前和屈服后状态（后者通过Bouc-Wen模型表征）。该构型赋予双线性软化力-位移特性。Wang等人[16]设计了一个包含负二次项和正四次项的二项多项式，构成了所谓的轨道双稳态NES。Zuo和Zhu [17]研究了相同的双项组合（二次项和四次项），通过统计线性化评估了两种轨道形状；所谓的轨道混合NES包含两个正项，而轨道双稳态NES则采用负二次项和正四次项。Wang和Zheng [18]利用正二次、三次和四次多项式项的组合评估了一种非对称轨道形状。最近，Zuo等人[19]系统研究了三种不同轨道轮廓——纯四次型、正二次-四次型和负二次-四次型——的动力学特性，推导了最优轮廓和阻尼系数的封闭解。

最近的创新通过改进构型扩展了T-NES概念，例如磁增强非线性[20]、电磁能量采集[21]、蜂窝结构[22]以及可移动轨道组件[23]。与此同时，基于滚动机制的非线性吸收器得到发展，形成了所谓的球轨道非线性能量阱（BT-NES）。该装置在文献[24]中被引入，其中重球沿合理定义的曲线轨迹滚动，随后在文献[25]中提出了基于物理的非线性滚动阻力模型。尽管取得了这些进展，大多数研究仍为确定性分析，关注特定地震情景下的响应控制。

将概率和可靠性概念纳入T-NES设计的文献研究相对较新。在基于几何驱动公式的基础上，Fadel Miguel等人[26]和Fadel Miguel与Beck [27]首次将基于可靠性的设计优化（RBDO）引入配备T-NES的建筑结构，针对I类和II类吸收器进行了研究。在这些工作中，轨道几何形状采用由Padé逼近得出的有理函数定义。该概率框架随后被扩展以纳入土-结构相互作用和惯性器效应[28]、[29]，从而更全面地评估影响T-NES性能的不确定性来源。最近，文献[30]提出了首个针对BT-NES装置的性能化概率优化框架。从更广泛的视角来看，这些研究确立了T-NES优化从确定性公式向基于可靠性和性能化框架的演进过程，其中结构性能通过易损性函数和预期全寿命周期后果进行概率评估，而非仅依赖确定性响应指标。在这些概率优化框架中，易损性函数是连接非线性结构响应与可靠性评估及性能化决策的核心组成部分。在所有这些研究中，易损性函数均通过lognormal近似结合首次通过公式构建，主要目的是避免峰值响应蒙特卡洛估计的计算低效。该方法虽然计算快捷，但施加了限制性假设：需要使用准平稳人工地震动（通常为Jennings型包络）来估计响应标准差而非峰值量，并且无法一致地表征NF地震的高度非平稳脉冲状特征。

尽管这些概率发展代表了T-NES装置性能化优化的重要一步，但一个重要的工程问题仍基本未被探索：严重地震激励下吸收器行程的概率评估。过大的行程长期以来被认为是调谐质量阻尼器（TMD）及相关振动吸收器设计的主要实际限制之一，促使了众多将行程约束明确纳入设计过程的优化策略的提出。Wang等人[31]首次提出了一种两阶段优化程序，明确平衡结构响应控制与TMD行程限制。该概念随后由Lin等人[32]扩展至多调谐质量阻尼器，并通过实验证明可以在不明显降低减振性能的情况下有效控制行程。除优化外，Ishikawa等人[33]研究了长行程摆式TMD在大振幅地震运动下的机械可行性，而Cong [34]将明确的行程约束纳入风力涡轮机振动控制主动TMD的控制设计中。最近，Qu等人[35]表明，为物理限制TMD行程而引入的运动限位器会引发分段刚度非线性和失谐，并提出了一种考虑该效应的方法。Jiang等人[36]同样表明，在比较包含惯性器和负刚度装置的新型TMD构型时，减小辅助质量行程仍然是重要的性能准则，而Khatibinia等人[37]将最大行程长度作为显式设计约束纳入基于损伤的多调谐质量阻尼器优化及钢框架建筑布置中。尽管行程在TMD文献中已被充分认识到其重要性，但在现有针对T-NES装置的概率优化研究中，均未将吸收器行程明确纳入可靠性约束。因此，在性能化设计优化框架内对行程可靠性进行概率处理仍是一个开放的研究课题。

对概率行程可靠性关注的不足并非源于工程相关性缺乏，而是源于迄今为止所采用概率框架的计算和方法学局限性。主要挑战在于行程可靠性由峰值吸收器位移控制，而这些峰值必须从真实地震记录下的非线性时程分析中估计。峰值工程需求参数（EDP）为性能化评估提供了具有物理意义的指标，但在嵌入优化循环时，直接在基于蒙特卡洛的易损性构建中使用它们在计算上是不可承受的。因此，大多数现有的T-NES和摆式阻尼器（PTMD）[38]、[39]的概率公式均依赖lognormal假设结合首次通过问题，并经常采用准平稳人工信号以确保与该公式的兼容性。例外是文献[40]，该研究虽然仍采用lognormal易损性假设，但直接通过多重条纹分析获得的峰值EDP构建易损性函数，而非通过首次通过公式。然而，该研究需要六个强度水平，每水平进行40次非线性时程分析，导致每条易损性函数需进行240次分析。由于这一巨大的计算负担，优化被限制在单一使用性极限状态，并作为年失效概率无约束最小化问题进行求解。因此，明确考虑真实FF和NF地震激励下吸收器行程的可靠性约束优化公式在计算和方法学上仍不可行。

代理模型被广泛认为是蒙特卡洛模拟（MCS）的高效替代方案，用于不确定性量化，因为它们可以仅使用有限的试验设计（ED）以极小的计算代价近似昂贵模拟器的响应[41]。经典代理技术——如标准多项式混沌展开（PCE）[42]或Kriging [43]——旨在近似确定性输入-输出映射，对每个输入点返回单个响应值。

然而，这种确定性公式与易损性分析并不直接兼容。在地震工程中，与给定强度指标（IM）相关的结构响应本质上是随机的，因为无限多个地震动可能具有相同的IM，但表现出不同的频率成分、持续时间和时域特征，从而产生显著的记录间变异[44]、[45]。在ED点上每个点仅使用单次实现训练的经典代理模型只能学习响应分布的一个样本而非分布本身。因此，确定性代理模型只能近似条件平均响应（或其一个实现），而易损性分析需要估计工程需求参数（EDP）的完整条件分布。这种不匹配解释了为何传统代理建模未能直接整合到T-NES装置等高度非线性、对记录间变异敏感系统的易损性分析中。

为克服这一局限，Moutoussamy等人[46]是最早正式引入随机模拟器代理模型概念的研究者之一，即那些即使在相同输入点重复评估时输出仍为随机的计算模型，因其公式中存在固有不确定性。与近似确定性响应曲面不同，随机模拟器旨在再现模型输出的整个条件概率分布。这一研究方向在过去十年中快速发展[47]、[48]，产生了多种专为随机模拟器设计的代理方法。

文献中出现了两个代表性的随机模拟器家族：广义lambda模型（GLaM）和随机多项式混沌展开（SPCE）。Zhu和Sudret [49]首次提出了GLaM，其中条件响应分布由广义lambda分布表示，其参数近似为输入变量的函数，无需重复模拟。Zhu和Sudret [50]随后提出了使用广义lambda分布的基于重复的框架，而Zhu和Sudret [48]将该方法扩展至随机模拟器的全局敏感性分析。最近，Giannoukou等人[51]提出了多保真度扩展（MF-GLaM），通过将低保真度模型的信息与高保真度随机模拟器结合，实现了对后者的有效模拟。

与此同时，Zhu和Sudret [52]提出了随机多项式混沌展开（SPCE），通过在经典多项式混沌展开中引入隐变量和加性噪声项，显式再现模拟器的固有需要。与GLaM不同，SPCE不假设条件响应分布为单峰，因此适用于更广泛类别的随机响应。该方法随后由Zhu等人[44]改编应用于地震易损性分析，在估计条件响应分布和易损性函数方面展现了优异的精度。最近，SPCE已成功应用于土木工程领域，包括非同步风荷载下结构的易损性评估[45]，而MF-GLaM已被应用于龙卷风荷载下输电线路结构的易损性评估[53]。

SPCE提供的灵活性对于T-NES优化尤其具有吸引力，因为结构响应的条件分布可能表现出异方差性、偏态甚至多峰特征，具体取决于激励强度和吸收器参数。与基于lognormal假设的传统参数化易损性模型——或假设单峰条件分布的广义lambda方法——不同，SPCE不预设分布形状，在存在急剧非线性响应过渡时仍保持稳健。尽管具有这些优势，SPCE尚未被纳入非线性振动吸收器的完整性能化设计优化框架中。

在上述发展的基础上，本文提出了一种新的性能化设计优化（PBDO）框架，用于T-NES装置，在总期望全寿命周期成本优化问题中整合了基于SPCE的易损性建模。

本文提出的框架并非简单地以另一种替代模型技术取代另一种，而是对T-NES优化所依赖的概率性评估进行了重新表述，使其能够直接基于峰值工程需求参数（EDP）进行计算效率高的可靠性评估，同时克服了现有基于首次穿越的公式化的主要局限性。本文贡献的原创性体现在相较于现有T-NES装置概率优化文献的三个互补性进步：（i）以基于SPCE的峰值结构响应随机模拟取代了基于首次穿越的对数正态脆弱性建模，从而消除了限制性准稳态激励假设，同时大幅降低了脆弱性构建的计算成本；（ii）在优化过程中明确纳入了概率性阻尼器行程可靠性，解决了一个长期以来已被经典TMD装置认可但此前在T-NES装置的概率优化框架中尚未被考虑的重要实际设计需求；（iii）将设计问题重新表述为可靠性约束的双灾害优化问题，在该问题中，期望全生命周期成本在近断层地震需求下最小化，同时通过远场地震明确约束行程可靠性。这些发展代表了相较于T-NES装置以往的概率优化公式化方法在概念和方法上的进步，后者主要受限于峰值响应脆弱性分析的计算负担，因此依赖于对数正态近似与首次穿越公式化的结合。所提出的框架实现了三个关键的互补性贡献：

**1. 基于SPCE的峰值响应脆弱性建模。** 以往关于T-NES及相关装置的基于性能的可靠性优化（PBDO）研究依赖于对数正态脆弱性近似与首次穿越公式化的结合，需要准稳态人工地面运动，并限制了对脉冲型远断层激励的表征。唯一先前直接基于峰值工程需求参数（EDP）的框架每种脆弱性函数需要240次非线性时程分析，从而将优化限制在单一使用性能极限状态。本文提出的框架以基于SPCE的峰值响应脆弱性模型取代了这一计算密集且分布受限的方法，避免了对数正态条件响应分布的假设，同时将脆弱性构建的计算成本降低了约一个数量级。这种计算效率使得在完整的全生命周期成本优化框架内处理多个损伤极限状态成为可能。

**2. 概率性行程可靠性的明确纳入。** 阻尼器行程过大长期以来被认为是TMD及相关振动吸收器的主要实际设计约束之一，促使众多带有明确行程限制的优化方法的提出。然而，尽管其在工程上的重要性显而易见，但现有的T-NES装置概率优化研究中没有将阻尼器行程作为可靠性约束纳入。本文提出的框架通过明确引入概率性行程可靠性到优化问题中来填补这一空白，使得峰值阻尼器位移——尤其是由脉冲型远断层地震引起的那些位移——能够直接影响最优设计。这一扩展通过采用基于SPCE的脆弱性建模在计算上成为可行。

**3. 双灾害可靠性约束优化。** 认识到远场和近断层地震对T-NES装置施加了根本不同的需求，本文提出的框架构建了一个双灾害优化问题，其中目标函数（总期望全生命周期成本）在远场地震需求下进行评估，而概率性行程可靠性约束则通过近断层激励强制执行。行程约束以与服务性能要求一致的年超越率表达，并根据近断层事件在地震危险性中的比例进行加权。为高效求解该约束优化问题，引入了一种鲁棒的饱和惩罚函数，提供稳定的收敛性同时避免了纯二次惩罚公式化中常见的数值困难。

尽管各种随机优化算法——包括遗传算法、粒子群优化、模拟退火、贝叶斯优化和高效全局优化（EGO）——已成功应用于不确定性下的结构优化，但本文的贡献独立于所采用的特定搜索策略。其新颖性在于通过基于SPCE的脆弱性建模实现计算效率高的可靠性约束基于性能的优化的概率公式化。采用EGO的原因是每次目标函数评估仍需要构建随机替代模型和求解非线性动力响应分析，使得优化问题在计算上代价高昂，实际上是一个对替代辅助全局优化特别适用的黑箱优化问题。

本文结构如下。第2节描述了T-NES-建筑集成模型和刚度退化方法。第3节呈现了概率框架，包括用于脆弱性分析的SPCE方法。第4节建立了约束PBDO问题。第5节描述了案例研究建筑、地面运动生成和PBDO优化结果。第6节给出了结论。

**各章节摘录：**

**T-NES与主体结构**

考虑一个使用有限元（FE）方法建模的通用多自由度建筑，并在其顶层安装了Track非线性能量阱（T-NES），如图1所示。该装置由一个沿预定义曲线路径运动的集总质量mp组成，该路径连接到一个选定的水平结构自由度上。

设振子相对于支撑结构节点的相对运动为rp=(xp, yp)，其中xp表示水平方向运动。

**基于SPCE脆弱性建模的非线性T-NES概率全生命周期成本优化**

本节开发了一个概率决策框架，旨在优化T-NES的非线性轨道几何形状，以最小化受保护钢结构建筑的期望地震全生命周期成本。该方法结合了：（i）基于性能的极限状态定义，（ii）通过随机多项式混沌展开（SPCE）替代模型进行脆弱性建模，（iii）地震危险性积分用于估计终生失效概率，以及（iv）替代辅助设计。

**从对数正态首次穿越模型到基于SPCE的可靠性**

现有的T-NES装置RBDO/PBDO研究依赖于对数正态脆弱性近似与首次穿越（Poisson型）公式化的结合。在每次优化函数评估（OFE）中，这些传统方法通过假设准稳态人工地面运动来估计条件失效概率，通常用长持续时间Jennings型包络线表示。这种建模选择并非随意——它是首次穿越的数学必然性。

**案例研究：配备T-NES的钢框架建筑**

案例研究考虑了一个中等高度的平面钢抗弯框架，代表智利城市建筑，假设位于智利康塞普西翁。该结构由三个跨组成，首层为软弱层，首层层高为4.87米，二层为3.35米，上部各层为3.65米（图3）。

数值模型使用双节点平面框架单元构建，每个节点具有六个自由度，共有132个有效自由度。

**结论**

本文提出了一个面向平移型Track非线性能量阱（T-NES）的可靠性约束基于性能的优化（PBDO）框架，将基于SPCE的峰值响应脆弱性建模、双灾害地震激励和全生命周期经济性能统一在一个公式化框架内。与以往依赖对数正态脆弱性假设和首次穿越公式化的PBDO和RBDO研究相比，所提出的方法嵌入了随机多项式混沌展开。

**CRediT作者贡献声明**

Leandro F. Fadel Miguel：写作——审阅与编辑，写作——原始草稿，可视化，验证，软件，资源，项目管理，方法论，调查，形式分析，概念化。Felipe Costa Macedo：写作——审阅与编辑，可视化，验证，软件，资源，方法论，调查，概念化。André T. Beck：写作——审阅与编辑，监督，软件，资源，方法论，概念化。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的可能影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

**致谢**

本研究部分由巴西高级人才培养协调处（Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de Nível Superior）- CAPES - 资助代码001资助。作者还感谢科学和技术发展国家委员会（CNPq，资助号303922/2023-0和305010/2024-7）以及圣保罗研究基金会（FAPESP，资助号2024/23665-2）的财政支持。

Leandro F. Fadel Miguel | Felipe Costa Macedo | André T. Beck