在全局拉格朗日SPH方法中发展了一种代数四阶相场模型，用于功能渐变材料的动态断裂研究

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Development of an algebraic fourth-order phase-field model in total Lagrangian SPH for dynamic fracture of functionally graded materials

　　•开发了四阶相场积分TLSPH框架，用于功能梯度材料（FGMs）中的动态脆性断裂模拟。
•提出了一种无需迭代的直接代数更新双拉普拉斯算子的方法。
•所开发的模型确保了更高阶的连续性、稳定的裂纹演化以及对复杂裂纹路径的准确预测。
•与传统双曲相场TLSPH相比，该模型速度提高了17%–48%。

**引言**
功能梯度材料（FGMs）（Saleh等人，2020年）是一类先进的复合材料，其组成和材料属性在空间上呈渐进变化。这种连续的梯度消除了传统层状复合材料中常见的尖锐界面，从而减轻了分层和应力集中等问题（Ammendolea等人，2025年）。由此产生的材料属性的平滑过渡提高了机械性能，包括增强的断裂韧性、热阻力和粘合强度（Jin和Batra，1996年）。因此，FGMs在航空航天、国防、生物医学和汽车行业等要求苛刻的应用中具有很高的吸引力（Niino和Maeda，1990年；Pompe等人，2003年）。尽管具有这些优势，FGMs在制造或使用过程中受到高动态载荷时仍容易发生脆性断裂。因此，由于材料的刚度和韧性在空间上变化，对这些材料的断裂进行数值模拟带来了显著的计算挑战（Gu和Asaro，1997b年；Ooi等人，2015年）。由于裂纹常常与材料梯度方向不一致，它们会受到混合模式载荷的影响（Singh等人，2025年），导致裂纹路径复杂且呈曲线状，使用标准计算技术难以预测（Gu和Asaro，1997a年）。历史上，FGMs的断裂分析依赖于离散数值方法，如扩展有限元方法（XFEM）（Natarajan等人，2011年；Comi和Mariani，2007年；Bhattacharya等人，2017年）和凝聚区模型（Jin等人，2003年）。虽然这些方法有效，但通常需要复杂的算法处理来连续跟踪裂纹形态的变化（Kim和Paulino，2004年）。此外，在大变形下，它们还会遇到网格变形和元素缠绕的问题，经常需要重复重建网格以恢复网格质量，这大大增加了计算成本，并使得在三维模拟中的计算要求变得非常复杂。然而，无网格或粒子方法本质上能够处理极端变形。因此，已经广泛研究了多种无网格技术用于裂纹传播，包括物质点方法（MPM）（Pandolfi等人，2013年）、平滑粒子流体动力学（SPH）（Islam和Shaw，2020a年）和无单元伽辽金（EFG）方法（Belytschko和Tabbara，1996年；Zi等人，2007年）。此外，非局部无网格方法，如Peridynamics，通过允许不连续性自然地从积分公式中出现，已成功用于研究脆性动态断裂（Cheng等人，2015年；Cheng等人，2018年；Ozdemir等人，2022年）。其中，平滑粒子流体动力学（SPH）被认为是最早和最成熟的基于粒子的方法之一。SPH最初是为天体物理问题开发的（Gingold和Monaghan，1977年），后来已成功应用于流体和固体力学中的广泛问题（Monaghan，1992年）。该方法的纯拉格朗日特性使其非常适合模拟极端材料变形和动态裂纹传播，而无需重新网格化的算法约束。尽管具有这些固有优势，标准SPH公式传统上面临许多挑战，包括数值精度问题、拉伸不稳定性（Swegle等人，1995年）、缺乏一致性和计算效率低下。多年来，通过各种校正和稳定技术（Belytschko等人，1996年；Randles和Libersky，1996年；Swegle等人，1995年；Bonet和Lok，1999年；Monaghan，2000年）这些问题得到了严格解决，使SPH成为计算力学中一个强大且多用途的框架。

在SPH框架内已成功实现了多种断裂模型，如局部损伤模型（Rabczuk和Eibl，2003年）、裂纹粒子方法（Rabczuk和Belytschko，2004年）、伪弹簧模型（Islam和Peng，2019年；Islam和Shaw，2020b年）、凝聚区模型（Wang等人，2019年）以及基于能量键的模型（Zhao等人，2023年）。虽然这些方法扩展了SPH在断裂研究中的应用范围，但它们通常引入了诸如虚假裂纹模式和对模拟参数高度敏感等限制。近年来，相场方法作为一种强大且多功能的方法，已被用于模拟脆性断裂（Kuhn和Müller，2010年；Borden等人，2012年；Borden等人，2014年；Stephen和Islam，2026年）。相场的变分框架通过用扩散的标量损伤场表示尖锐的断裂表面，消除了显式裂纹跟踪的需要。这种连续的表示使得从完全完整状态到完全损坏状态的拓扑过渡更加平滑。相场方法的一个主要优点是其内在能力，即通过求解耦合的偏微分方程来预测复杂的断裂现象，包括裂纹萌生、传播、分支和聚合，而无需依赖于特定的失效准则。尽管相场断裂建模已在均匀材料中得到了广泛研究，但其应用于FGMs的情况仍然相对有限，且主要限于有限元（FEM）框架内的静态情况。虽然有几项研究使用基于网格的框架研究了FGMs中的相场断裂（Doan等人，2016年；Do等人，2017年；Dinachandra和Alankar，2020年），但这些方法在大变形下受到网格变形的限制。

最近的努力集中在将相场断裂模型与SPH等无网格技术相结合。在现有的相场公式中，二阶理论是最常实施的（Rahimi和Moutsanidis，2022b年；Stephen和Islam，2026年；Bourdin等人，2000年；Miehe等人，2010年；Borden等人，2012年；Greco等人，2026年）。然而，为了准确捕捉断裂过程区，需要精细的空间离散化，这导致了较高的计算成本（Greco等人，2026年）。为了解决这个问题，最近开发了四阶相场模型（Borden等人，2014年；Goswami等人，2020年；Svolos等人，2022年；Singh和Islam，2025年）。这些模型允许更准确和更清晰的裂纹表示，显著降低了空间分辨率要求，并允许更粗的粒子间距（Singh和Islam，2025年）。四阶模型还展示了改进的数值稳定性和收敛性（Greco等人，2026年；Singh和Islam，2025年）。

在解决四阶相场模型的空间离散化要求方面，等几何分析（IGA）最近被证明是一个非常有效的数值框架。由于四阶损伤方程具有双调和算子，它严格要求C1或更高的连续性。IGA通过使用高度连续的非均匀有理B样条（NURBS）本质上满足了这一要求，完全避免了复杂的混合有限元公式。最新文献广泛证明了IGA在四阶相场建模中的准确性，包括适用于延性和均匀断裂的自适应等几何框架（W. Li等人，2023年；Y. Li等人，2023年），以及对动态脆性断裂的严格数值研究（Greco等人，2026年）。尽管IGA提供了无与伦比的平滑性和收敛性，但它仍然受到依赖于背景补丁结构的根本限制。在极端动态冲击载荷下，材料会发生大规模破裂和拓扑分裂成不连续的部分，基于网格和基于补丁的方法会遇到元素缠绕问题，并需要复杂的局部细化或域分解策略。相比之下，本文提出的全拉格朗日平滑粒子流体动力学（TLSPH）公式的主要优势在于其完全无网格的性质。虽然IGA和SPH都可以满足四阶模型的更高阶连续性要求，但TLSPH可以自然地适应极端局部变形、裂纹聚合和完全的结构破裂，而无需任何拓扑约束或重新网格化算法。

除了空间离散化之外，求解潜在的椭圆损伤方程还面临着巨大的计算效率挑战。标准实现，无论是使用整体还是交错算子分割方案，通常依赖于全局迭代求解器（例如牛顿-拉弗森方法）在每个时间步长内使相场变量收敛（Miehe等人，2010年；Gerasimov和Lorenzis，2016年；Borden等人，2012年）。为了绕过这一计算瓶颈，特别是在SPH等显式框架中，已经开发了替代的加速策略。Rahimi和Moutsanidis（2022b年）以及Singh和Islam（2025年）的贡献利用双曲相场松弛实现了完全显式的时间积分。在这些公式中，通过引入人工惯性和数值阻尼项，将原本的椭圆损伤方程转换为双曲形式。尽管这避免了迭代求解器的需要，并允许直接显式耦合，但损伤场中的额外动态项可能会物理上改变预测的裂纹传播速度和耗散的断裂能量的演化（Rahimi和Moutsanidis，2022a）。为了同时解决传统迭代求解器的极端计算成本和双曲松弛的人为阻尼问题，本文提出了一个结合显式全拉格朗日SPH（TLSPH）求解器和四阶相场模型的新框架。该框架的核心是一种直接代数更新策略，用于Cahn-Hilliard双调和算子。通过基于前一个时间步长的非局部邻居项进行线性化，椭圆损伤方程通过单步、非迭代评估得以解决。这种方法与相场方程的物理椭圆性质本质兼容，消除了人工惯性，同时大幅降低了计算成本。此外，与传统的欧拉SPH（ESPH）不同，采用的全拉格朗日公式自然消除了拉伸不稳定性，否则会导致不准确的断裂预测。

**本文的贡献**
本文的两个主要贡献是：首先，我们证明了在TLSPH框架内集成四阶相场模型可以实现对FGMs中动态断裂和破裂的稳健模拟，有效地绕过了基于网格方法的网格变形问题和ESPH的拉伸不稳定性。其次，我们展示了结合显式机械求解器和直接代数相场更新的混合方案在计算速度上显著优于显式双曲相场公式，同时保持了高精度。

**本文的其余部分结构如下**：第2节提出了所提出模型的数学公式，第3节进行了数值实现，第4节讨论了结果，第5节提供了结论性意见。

**数学公式**
在本文中，向量和张量使用粗体符号A、B表示，其分量在指标符号中用 upright font Ak、Bks 表示。

**数值实现**
所提出的混合显式直接代数更新框架按照以下步骤进行数值实现。问题的力学部分使用显式预测-校正方案随时间推进，而相场变量在每个时间步长结束时通过单一的直接代数校正进行更新。并行化是通过基于OpenMP的共享内存并行性实现的。模拟在高性能计算系统上执行。

**数值示例**
本节评估了所提出的四阶相场积分TLSPH公式的准确性、稳健性和计算效率。结果分两个阶段呈现：在第一阶段，考虑了一组各向同性基准问题来评估和验证所提出的四阶直接代数更新方案。将其性能与本工作中开发的四阶双曲TLSPH公式以及先前发表的结果进行了比较。

**结论**
通过结合显式全拉格朗日平滑粒子流体动力学（TLSPH）公式和通过直接代数更新策略求解的四阶相场模型，开发了一种用于动态脆性断裂的计算框架。所提出的方法消除了对迭代求解器、人工惯性和损伤演化的显式积分的需求，同时保持与椭圆变分公式的一致性。

**作者贡献声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

Vishabjeet Singh: 负责撰写初稿、可视化、验证、方法论、研究、形式分析、概念化。
Md Rushdie Ibne Islam: 负责审稿与编辑、撰写初稿、可视化、验证、监督、方法论、研究、资金获取、形式分析、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。