结合不确定性量化的半监督贝叶斯学习用于有限标注数据下锂离子电池的可靠健康状态估计

《Computers & Chemical Engineering》：Semi-supervised Bayesian learning with uncertainty quantification for reliable state of health estimation of lithium-ion battery under limited labeled data

　　

•提出了一种半监督贝叶斯方法用于锂离子电池SOH（健康状态）估计。•量化了随机不确定性和认知不确定性，以实现可靠的SOH估计。•通过利用未标记数据的方差正则化减少认知不确定性。•进行了四个实验案例来验证所提方法。

**1. 引言**

锂离子电池因其高能量密度、长循环寿命、低自放电率以及无记忆效应等特性，在储能领域得到广泛应用，已被用于消费电子、电动汽车、航空航天和医疗设备等领域（Kong等，2026；Demirci等，2024；Karimzadeh等，2023；Zubi等，2018）。然而，在长期运行过程中，由于热应力、电化学副反应和机械损伤，锂离子电池的性能会逐渐退化，导致可用容量降低、使用寿命缩短，并带来潜在的安全风险（Dai等，2021；Palacín和de Guibert，2016；Zhu等，2023）。电池老化通常通过健康状态（SOH）来表征，其定义为可用容量与额定容量的比值（Hu等，2020）。电池管理系统（BMS）作为监控和控制电池运行的核心单元，准确的SOH估计至关重要。在实际应用中，BMS中的SOH估计精度直接与能量利用效率、安全设计和退役决策相关（Alsuwian等，2024）。此外，精确的SOH评估有助于可靠预测剩余使用寿命，并改善充放电管理，从而延长系统寿命（Waseem等，2023）。因此，开发准确且鲁棒的SOH估计模型对推进电池生命周期管理具有重要意义。

现有的锂离子电池SOH估计方法可以分为两大类，即基于模型的方法和基于数据驱动的方法（Roman等，2021；Seaman等，2014）。基于模型的方法通常依赖电池的物理或电化学特性来建立理论框架，如电化学模型和等效电路模型（Jiang等，2022；Yang等，2021；Zhu等，2020；Zhu等，2023）。这些方法具有强理论可解释性的优势，能够将SOH估计与电池底层的物理化学过程直接关联（Chen等，2024）。相比之下，基于数据驱动的方法从可观测的电池信号（如电压、电流、温度和循环次数）推断SOH，而非依赖先验物理化学知识（Chen等，2023；Wu等，2023）。利用机器学习开发的多种数据驱动方法极大地推进了SOH估计的发展。Zheng和Luo（2024）将恒压充放电时间作为输入，利用SVM模型估计SOH，取得了较为合理的精度。Xu等（2023）构建了具有残差结构的混合模型，以缓解网络退化并提高SOH估计的可靠性。Sun等（2024）将多特征深度融合与极端梯度提升相结合，增强了SOH估计的精度和稳定性。这些典型的监督学习方法通过直接将标记数据映射到输入特征取得了显著成果。然而，在实际应用中一个关键局限是依赖大规模高质量标记数据集。

半监督学习方法已被引入以解决SOH估计中标记数据有限的问题（Sahoo等，2022）。通过利用有限的标记数据和丰富的未标记数据，这些方法降低了对标记样本的依赖性并增强了整体估计性能。代表性研究包括通过相似度匹配生成伪标签（Bertinelli Salucci等，2023）、在一致性约束下利用Levenberg-Marquardt算法生成伪标签（Ye等，2024），以及使用修正伪标签结合长短期记忆（LSTM）模型的自训练方法（Che等，2023）。Lin等（2023）进一步在协同训练框架中集成了k近邻和支持向量回归，在迭代伪标记后实现了RMSE（均方根误差）降低47%。总体而言，在数据稀缺条件下，半监督学习仍然是SOH估计的一个有前景的方向。尽管监督学习和半监督学习取得了进展，但仍面临关键挑战。标记数据通常被视为均匀可靠的，忽略了标签质量的差异。此外，传统半监督学习依赖伪标记，错误会在迭代过程中累积，限制了未标记信息的有效利用。

本文设计了一种不确定性量化方法来解决上述局限。通过为高置信度样本赋予更高权重，动态调整标记数据的贡献，从而提高训练的灵活性和可靠性。一般而言，可以建模两大类不确定性，即随机不确定性和认知不确定性（Kiureghian和Ditlevsen，2009）。随机不确定性源于数据中的固有噪声、传感器误差或环境干扰等不可控因素。值得注意的是，它通常表现为异方差性，即观测噪声随输入X变化（Nix和Weigend，1994）。相比之下，认知不确定性由模型参数不确定性所表征，在数据充足时可以被降低（Gal，2016）。Kim等提出了一种变分LSTM，并使用蒙特卡洛（MC）dropout来捕捉电池SOH估计中的认知不确定性（Kim等，2021）。虽然估计过程中量化了认知不确定性，但模型参数仍被视为确定性点估计，不确定性信息未被明确用于训练过程中优化模型参数。相比之下，贝叶斯神经网络（BNN）将模型权重视为概率分布，如由高斯分布的均值和方差表征。为了使推断可行，通常使用变分推断或马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）等方法近似这些分布的后验。由于这种分布参数化，认知不确定性可以更高效地捕捉，模型表现出更大的鲁棒性（Kendall和Gal，2017）。进一步引入Kullback-Leibler（KL）散度来正则化参数分布，增强了模型鲁棒性。Kendall和Gal（2017）提出了一种用于计算机视觉的贝叶斯深度学习方法，将异方差性纳入损失函数，使模型能够通过参数分布捕捉随机不确定性和认知不确定性，并自适应调整损失以提高鲁棒性。基于BNN的方法也已应用于能源系统规划与优化中，利用后验分布生成概率场景以支持不确定性感知的决策（Iseri等，2025）。然而，采用传统前馈网络的BNN无法明确捕捉锂离子电池SOH估计所需的时序依赖性。同时，门控循环单元（GRU）通过采用门控机制有效地捕捉电池退化过程中的长期依赖关系，从时间序列数据中提取有用信息，从而克服了这一局限。通过将不确定性量化与时序特征提取器相结合，提出了一种半监督贝叶斯学习方法用于锂离子电池SOH估计。本研究的主要贡献总结如下：

（1）开发了一种用于SOH估计的半监督贝叶斯学习方法，并包含不确定性量化。所提方法由混合贝叶斯模型（HBM）和半监督训练策略组成。不同于依赖确定性点估计，HBM在估计过程中引入了贝叶斯参数化，模型参数通过变分推断作为概率分布来学习。这种概率化表述使SOH估计和不确定性量化在统一框架内得以实现，其中预测方差用于表征随机不确定性，重复随机推断用于捕捉认知不确定性。通过将HBM与不同的时序特征提取器（包括循环神经网络RNN、GRU和LSTM）相结合，进一步验证了全连接层中贝叶斯参数化的有效性，展示了其与不同特征提取器的兼容性。

（2）提出了一种针对标记数据和未标记数据的半监督训练策略，包含后验方差正则化。同时，采用变分推断通过最大化证据下界（ELBO）来优化贝叶斯参数分布。对标记数据采用基于随机不确定性的自适应加权损失项，而对未标记数据则最小化其反映随机不确定性的后验方差，以利用未标记数据的隐含信息，从而降低HBM的认知不确定性。这一设计避免了基于伪标记的半监督方法的固有缺陷，即迭代训练过程中错误累积的问题。此外，实验结果表明，所提策略通过利用未标记数据改进贝叶斯参数分布的学习，降低了认知不确定性，从而增强了SOH估计的可靠性。

（3）通过不同充放电速率和环境温度条件下的锂离子电池循环实验验证了所提方法。由于温度和循环条件是影响SOH退化的关键因素，实验突出了该方法的准确性和鲁棒性。此外，所有实验均使用不同的参数初始化条件重复进行，以评估所提方法的训练稳定性。

本文其余部分组织如下：第2节介绍理论背景，包括GRU和BNN的基本原理。第3节详细阐述HBM和半监督训练策略。第4节描述数据集和实验设计。第5节讨论实验验证及相应结果。最后，第6节对本文进行总结。

**2. 理论背景**

**2.1 GRU原理**

基于GRU的架构经常被用于电池SOH估计，因为门控机制使其能够沿充放电序列过滤和传播有用信息。通过这些门控选择性地保留和更新信息，有助于维持长期依赖关系。如图1所示，一个GRU单元维护隐状态h_t和候选状态h?_t，后者提供要混合到隐状态中的新信息。这种混合由重置门r_t和更新门z_t控制。短期依赖主要通过重置门建模，该门在构建候选隐状态时调整前一隐状态的贡献。相比之下，长期依赖由更新门捕捉，更新门决定从前一隐状态中携带多少信息到新的隐状态中。符号⊙和⊕分别表示逐元素乘法和加法，σ和tanh分别代表sigmoid函数和双曲正切函数。数学上，带有重置门和更新门的GRU前向传播可以由公式(1)–(4)表示，其中U_r、V_r、U_c、V_c、U_z和V_z表示权重，b_r、b_h和b_z表示相应的偏置项。

$$r_t = \sigma(U_r x_t + V_r h_{t-1} + b_r) \quad (1)$$

$$\tilde{h}_t = \tanh(U_c x_t + V_c(r_t \odot h_{t-1}) + b_h) \quad (2)$$

$$z_t = \sigma(U_z x_t + V_z h_{t-1} + b_z) \quad (3)$$

$$h_t = z_t \odot h_{t-1} + (1 - z_t) \odot \tilde{h}_t \quad (4)$$

图1 GRU单元结构。

**2.2 BNN基础**

BNN将贝叶斯概率理论与深度学习相结合（Yang，2025；Yang等，2024）。BNN的权重参数W和偏置项b被建模为概率分布而非确定性值，这允许从贝叶斯视角显式量化模型不确定性。BNN的主要目标是表征给定训练数据D的参数后验分布p(W, b|D)，而非寻求单一最优解。在训练过程中近似参数的最优概率分布。由贝叶斯定理，后验分布表示如下。

$$p(W, b | D) = \frac{p(D | W, b) \cdot p(W, b)}{p(D)} \quad (5)$$

其中p(D|W, b)是似然函数，表示在给定模型参数W和b的条件下观测到数据D的概率，其主要作用是量化模型对数据的拟合程度。p(W, b)表示先验分布，通常假设为标准正态分布。p(D)是边际似然，表示在不指定参数W和b的情况下观测到D的总概率。它通过对所有可能的参数值进行积分获得，数学上表示如下。

$$p(D) = \int p(D | W, b) \cdot p(W, b) \, dW \, db \quad (6)$$

BNN参数的后验分布从观测数据中推断。然而，推断过程具有挑战性，因为边际似然需要对高维参数空间进行积分，使计算变得不可行。因此，在下一节中引入并讨论近似推断方法来解决这一问题。

**3. 所提方法**

**3.1 总体框架**

电池SOH估计框架如图2所示，包含四个步骤。

**步骤1 数据准备。** 标记和未标记数据基于Wang等（2024）中报告的从电流和电压测量中提取的16个统计特征构建，这些特征的详细定义在第4.2节中给出。对于每个循环t，提取的健康特征向量定义如下：

$$\mathbf{x}_t = [f_{1t}, f_{2t}, \ldots, f_{16t}]^T \in \mathbb{R}^{16} \quad (7)$$

其中t为循环索引，f_{mt}表示从循环t中提取的第m个健康特征。

基于连续周期的特征向量，输入序列构建如下。(8)X_t=[x_t, x_{t+1}, …, x_{t+9}]∈?^{16×10}。因此，每个输入序列包含十个连续周期，每个周期由16个健康特征表示。

**步骤2：模型构建。** 构建了集成GRU和BNN的HBM，以捕捉时序依赖关系并量化不确定性。由公式(8)定义的输入序列被输入到HBM中，HBM使用GRU层提取时序依赖关系，并使用贝叶斯全连接层输出估计分布的均值和方差。HBM的详细架构如图3所示。

图2. 电池SOH估计框架。

**步骤3：模型训练。** 模型训练采用一种半监督策略，旨在同时利用有标签数据和无标签数据。在该策略中，采用变分推断来近似难以求解的后验分布，并通过最小化高斯分布的负对数似然，确保估计分布与有标签数据中的实际SOH值一致。此外，对无标签数据施加基于方差的正则化项，使模型能够利用有标签数据之外的有用信息。该方法的详细训练策略和推理机制如图4所示。

**步骤4：模型测试。** 训练好的模型应用于使用测试数据进行SOH估计。得益于半监督贝叶斯学习策略，所提出的方法可以同时利用有标签数据和无标签数据，在标注稀缺条件下提高SOH估计的准确性。同时，该方法在输出估计SOH的同时提供不确定性信息。

### 3.2 HBM的架构

HBM的构建旨在捕捉序列数据中的时序依赖关系并量化估计不确定性。如图3所示，该模型由GRU网络和贝叶斯全连接层组成，包括均值输出头和方差输出头。时序依赖关系的表示从GRU的隐藏状态获取，然后通过贝叶斯层映射为高斯概率分布的估计均值和估计方差。在推理过程中，通过MC采样进行多次随机前向传播，并将所得的重复估计进一步聚合，以获得最终的均值、认知不确定性和偶然不确定性。详细的推理和估计机制如图4所示。

在BNN中，权重W和偏置b被建模为概率分布，而非确定性值，从而实现对模型不确定性的显式量化。然而，由于边缘似然涉及对高维参数空间的积分（如公式(6)所示），推断计算非常困难。为解决这一问题，采用变分推断来降低后验推断的计算复杂度。因此，构建了一个参数化的变分分布q_θ(W, b)来近似真实后验p(W, b|D)。在本方法中，变分分布被假设为具有可学习参数μ和σ的高斯形式。同时，应用重参数化技巧将随机采样过程转化为可微分过程，从而避免了对参数分布的直接积分并实现梯度反向传播。采样过程表示如下：

(9) W = μ_W + σ_W ⊙ ε_W

(10) b = μ_b + σ_b ⊙ ε_b

其中W和b表示采样的权重和偏置，μ_W和μ_b是变分分布的均值，σ_W和σ_b是标准差，ε_W和ε_b～N(0,1)表示从重参数化过程中标准高斯分布中抽取的随机噪声项。

图3. HBM的架构。

通过采样参数，贝叶斯全连接层同时产生估计均值和方差。映射公式如下：

(11) μ = W_μ h_t + b_μ

(12) σ2 = W_σ h_t + b_σ

其中h_t是GRU最后时间步的隐藏状态。估计均值μ对应SOH估计值，由均值输出头产生，由W_μ和b_μ参数化。方差σ2代表偶然不确定性，由方差输出头产生，由W_σ和b_σ参数化。此外，方差不是固定的，而是从输入特征中自适应估计的。该方差建模策略基于异方差回归的原理，即方差随输入数据变化，反映测量噪声和退化轨迹的差异。

图4. 所提方法的推理机制和半监督训练策略。

此外，在推理过程中采用MC采样，通过多次随机前向传播，从变分分布中抽取不同的参数样本。对于测试输入x，这些前向传播产生一组估计均值和估计方差。最终估计均值通过对所有MC前向传播的估计均值取平均获得，而认知不确定性和偶然不确定性分别由估计均值的方差和估计方差的平均值来量化，如下所示：

(13) μ?(x) = (1/M) Σ_{m=1}^{M} μ^(m)(x)

(14) Var_epistemic(x) = (1/M) Σ_{m=1}^{M} (μ^(m)(x) - μ?(x))2

(15) Var_aleatoric(x) = (1/M) Σ_{m=1}^{M} σ2^(m)(x)

其中μ^(m)(x)表示第m次前向传播获得的估计均值，σ2^(m)(x)表示对应的估计方差，μ?(x)是M次传播的平均估计均值，M是MC采样的总次数。

基于估计的不确定性，95%的认知不确定性和偶然不确定性区间计算如下：

(16) I_epi(x) = [μ?(x) - 1.96√Var_epistemic(x), μ?(x) + 1.96√Var_epistemic(x)]

(17) I_ale(x) = [μ?(x) - 1.96√Var_aleatoric(x), μ?(x) + 1.96√Var_aleatoric(x)]

其中I_epi(x)和I_ale(x)分别表示由认知不确定性和偶然不确定性构建的不确定性区间。

### 3.3 半监督训练策略

如图4所示，提出了一种基于后验方差正则化的半监督训练策略，以同时利用有标签数据和无标签数据。该正则化基于HBM提供的估计均值和方差，其中方差对应偶然不确定性。在该训练策略中，方差正则化同时应用于有标签数据和无标签数据，使HBM能够以自适应加权的方式拟合有标签数据，同时有效利用无标签数据中的信息。此外，该策略旨在避免半监督方法中使用伪标签时的固有缺陷——误差累积，从而在标注稀缺条件下提高模型的可靠性。

为了准确估计锂离子电池的SOH，通过变分分布近似参数上的真实后验分布来训练HBM。直接最小化两者之间的散度是困难的，因为后验分布依赖于边缘似然，而边缘似然需要对参数进行积分。为克服这一挑战，引入ELBO作为可计算的目标函数，以缩小变分分布与真实后验分布之间的差距。

(18) L(θ) = E_{q_θ(W,b)}[log p(D|W,b)] - KL(q_θ(W,b) || p(W,b))

其中本方法采用的变分分布定义为q_θ(W,b) = N(μ_{(W,b)}, σ_{(W,b)})，θ = {μ_W, ρ_W, μ_b, ρ_b}表示该变分分布的可学习参数。E_{q_θ(W,b)}[log p(D|W,b)]表示变分分布下的期望对数似然，反映模型的估计能力，而KL(q_θ(W,b) || p(W,b))是KL散度，将变分分布的参数约束朝向先验分布，以防止过拟合。

然而，ELBO只能用于有标签数据，因为似然项需要观测目标。由于无标签数据无法以这种方式直接处理，提出了一种由估计方差构建的正则化项来直接利用无标签数据。因此，总体训练损失被构建为三个组成部分的组合，包括有标签损失、无标签损失和KL正则化项，如下所示：

(19) L_loss = L_labeled + L_unlabeled + L_KL

因此，ELBO为训练目标提供了理论基础，在本策略中，其似然项实现为有标签数据的高斯分布负对数似然。本方法使用的训练损失函数如下所示：

(20) L_loss = (1/N_label) Σ_{i=1}^{N_label} [?((y_i - μ_i)2/σ2_i + log σ2_i)] + α(1/N_unlabel) Σ_{j=1}^{N_unlabel} σ2_j + β·(1/2) Σ_{k=1}^{d} (μ_k2 + σ2_k - 1 - log(σ2_k))

其中N_label和N_unlabel分别表示有标签数据和无标签数据的数量。真实值用y_i表示，μ_i和σ2_i是有标签数据i的估计均值和方差。无标签数据j的估计方差用σ2_j表示。在KL项中，μ_k和σ2_k表示参数k的变分分布的均值和方差，d是参数的数量，α和β是平衡三个组成部分贡献的超参数。

这三个组成部分的功能总结如下。首先，有标签损失被定义为高斯分布的负对数似然。同时，估计方差随输入变化，并从损失函数中隐式学习。因此，方差较大的数据对总体损失的贡献较小，使模型能够自适应地调整不同数据的权重，同时引入对数惩罚项以防止方差被任意膨胀。其次，无标签损失被构建为由估计方差构成的正则化项，该设计促进特征空间中相似样本获得更一致的估计。这有助于减少认知不确定性并提高估计精度。最后，施加KL散度以将变分分布约束朝向先验分布，假设先验分布遵循标准高斯分布，从而稳定训练过程并增强泛化能力。

总之，公式(20)中的损失函数被构建为公式(18)中ELBO的扩展，使有标签数据和无标签数据都能得到有效利用。在提出的训练策略中，ELBO用于利用有标签数据优化模型，而应用于无标签数据的后验方差正则化旨在增强对无标签信息的利用，从而在标注有限的条件下提高SOH估计的准确性。

## 4. 实验

### 4.1 数据集描述

为了评估所提出的方法，HBM在三个数据集上进行训练和测试，汇总于表1中。这些数据集包括Wang等人(2024)报道的XJTU数据集、Zhu等人(2022)描述的电天TJU数据集，以及Severson等人(2019)提供的MIT数据集，共包含305块电池。这些数据集涵盖了不同化学体系和运行条件的电池，近年来被广泛用作基准公开数据集。

本研究采用XJTU数据集中的六批次数据，标记为XJTU1至XJTU6，共包含50块镍钴锰酸锂(NCM)电池。每个批次对应特定的充放电策略，所有电池额定容量为2000 mAh。充电截止电压为4.2 V，放电截止电压为2.5 V。测试的运行模式包括固定充放电条件、不同周期下固定电流设置下的随机放电、随机游走条件，以及基于地球同步轨道卫星运行轮廓的充放电协议。

TJU数据集由三批次不同电池化学体系的数据组成，标记为TJU1至TJU3。TJU1包含额定容量为3500 mAh的镍钴铝酸锂(NCA)电池，TJU2包含3500 mAh的NCM电池，TJU3由额定容量为2500 mAh的NCM+NCA电池组成。这些电池在各种运行条件下进行了测试，包括25°C、35°C和45°C的不同环境温度，以及不同的充放电倍率。本研究中应用的C倍率范围为0.25C至4C。在TJU1中，电池以不同充电倍率但相同放电倍率进行循环测试，并在不同温度条件下进行。在TJU2中，电池以相同充放电倍率但不同温度进行测试。在TJU3中，温度和充电倍率固定，放电倍率变化。

MIT数据集共包含125块磷酸铁锂/石墨电池。这些电池为商用A123 Systems APR18650M1A电池，额定容量为1100 mAh，工作电压窗口设置为2.0 V至3.6 V。测试在30°C受控条件下进行。电池在相同温度和放电倍率下测试，采用不同充电倍率以模拟各种快充策略。在本研究中，周期t时的SOH基于测量容量计算如下：

(21) SOH_t = Q_t / Q_nominal

其中Q_t表示周期t时的测量容量，Q_nominal是电池的额定容量。所得的连续SOH值用作每个周期的回归标签。

**表1. 三个数据集中电池化学体系和测试条件**

| 数据集 | 批次 | 额定容量(mAh) | 截止电压(V) | 实验温度(°C) | 电池数量 |
|---|---|---|---|---|---|
| XJTU | 1,2,3,4,5,6 | 2000 | 2.5–4.2 | 室温 | 50 |
| TJU | 1 | 3500 | 2.65–4.2 | 25, 35, 45 | 66 |
| TJU | 2 | 3500 | 2.5–4.2 | 25, 35, 45 | 55 |
| TJU | 3 | 2500 | 2.5–4.2 | 25 | 9 |
| MIT | – | 1100 | 2.0–3.6 | 30 | 125 |

**表2. 选取的统计健康特征及其数学表达式**

| 统计特征 | 数学表达式 |
|---|---|
| 均值 | mean = (1/n) Σ_{i=1}^{n} x(i) |
| 曲线熵 | curve entropy = -Σ_{i=1}^{n} p_i log(p_i) |
| 峰度 | kurtosis = Σ_{i=1}^{n} [x(i) - x?]? / ((n-1)σ?) |
| 充电时间 | charging time = t_end - t_start |
| 偏度 | skewness = Σ_{i=1}^{n} [x(i) - x?]3 / ((n-1)σ3) |
| 累积电荷 | accumulated charge = ∫_{t_start}^{t_end} I dt |
| 曲线斜率 | curve slope = (x_end - x_start) / (t_end - t_start) |
| 标准差 | standard deviation = √((1/(n-1)) Σ_{i=1}^{n} [x(i) - x?]2) |

注：x(i)表示索引i处的数据点；x?为样本均值；σ为标准差；t_start和t_end表示所选充电段落的起始时间和结束时间；I为充电电流；Q为累积电荷；p_i为第i个数据点对应的归一化概率。

特征选择

实验基于三个公开电池数据集（XJTU、TJU和MIT）展开。为提高训练效率并聚焦模型的估计性能，本研究沿用并归一化了王等人（2024）提出的16个统计特征，这些特征源自电压和电流曲线的短充电片段。具体而言，充电截止电压记为??end，电压曲线取值范围为[??end?0.2, ??end]。电流曲线特征在恒压充电阶段提取，此时电流从0.5 A降至0.1 A。这一设计源于用户使用习惯，因为充电过程通常比放电过程更具一致性和结构性。因此，从充电片段提取特征更加鲁棒可靠。此外，几乎所有数据集都采用恒流/恒压充电协议。而且，无论电池是否完全放电，每个循环结束时通常都会完全充电。因此，所提取的特征在不同数据集之间具有通用性，为不同电池化学体系和循环协议提供了一种广泛适用的解决方案。

统计特征包括四个分布相关描述符，即均值、标准差、偏度和峰度，以及充电时间、累积电荷、曲线斜率和曲线熵。这些特征的数学表达式汇总于表2。共考虑16个统计特征，其中电压曲线贡献8个，电流曲线贡献8个。如图5所示，所选特征随SOH的变化趋势一致，表明其适合作为SOH估计模型的输入。

4.3 实验设计

实验分为四个阶段进行，包括贝叶斯学习评估、半监督训练中未标注数据利用评估、超参数敏感性研究和对比研究。贝叶斯学习评估旨在考察全连接层中的贝叶斯参数化对电池SOH估计的影响，基于所提出的半监督训练策略。此外，在同一半监督训练设置下，研究了贝叶斯学习与不同时间特征提取器的兼容性。未标注数据利用评估旨在验证未标注数据能否通过后验方差正则化得到有效利用。超参数敏感性研究进一步评估损失权重和GRU层数对SOH估计性能的影响。对比研究则与现有先进方法进行对比实验。为获得可靠结果并评估模型训练的稳定性，所有实验均独立重复五次。采用两个广泛使用的标准指标——平均绝对百分比误差（MAPE）和均方根误差（RMSE）来评估SOH估计精度。

贝叶斯学习评估通过修改贝叶斯全连接层及相应的KL正则化来建立基线，且保持相同的半监督训练设置。首先，将贝叶斯全连接层替换为标准全连接层，同时保持其余架构不变。这作为与所提出方法对比的基线，旨在研究全连接层中贝叶斯参数化与确定性参数化如何影响SOH估计精度。此外，引入了另一个随机基线进行比较，称为MC-GRU。它在基线网络的全连接层上应用MC Dropout，丢弃率为0.5，即每次前向传播中随机丢弃一半神经元。该随机过程可解释为变分推断的一种近似形式。为进一步研究贝叶斯学习与不同时间特征提取器的兼容性，构建了额外的模型，将RNN、LSTM和GRU分别与贝叶斯全连接层或标准全连接层结合。通过比较这些模型，实验旨在评估贝叶斯学习在半监督训练设置下用于SOH估计的有效性和兼容性。表3列出了XJTU、TJU和MIT的数据集划分。在XJTU数据集中，每批通常包含编号从1到8的八节电池。此外，XJTU第2批包含两节额外电池，专用于训练过程分析和超参数验证。电池1和电池2作为标注数据用于训练，电池4和电池8保留用于测试。每批中剩余的四个电池作为未标注数据纳入训练集。表3还提供了TJU和MIT数据集的详细划分。

未标注数据利用评估旨在验证未标注数据能否通过后验方差正则化得到有效利用。实验使用不同数量的未标注数据进行。初始训练仅使用标注数据，然后逐步引入不同数量的未标注数据进行比较。共包括五组实验，对应的未标注数据分配汇总于表4。表中数字表示未标注数据的数量，值为零表示未包含未标注数据的后验方差正则化。这五种情况分别标记为Case a至Case e。

超参数敏感性研究进一步评估损失权重和GRU层数对SOH估计性能的影响。分析聚焦于两个关键系数??和??，它们平衡所提出训练策略中三个分量的贡献。为确保评估的公平性和稳定性，敏感性研究使用上述相同的数据集进行。具体而言，使用XJTU2的训练集和专用验证集，基于验证性能检验并选择??和??。在预定义范围内变化??和??，同时保持其他设置不变，检验不同权重组合对SOH估计性能的影响。本研究为在整体训练策略中平衡标注损失、未标注后验方差正则化项和KL正则化项提供了经验指导。此外，GRU层数在保持其他设置不变的情况下从一层变化到五层。该实验用于研究网络深度的影响并确定HBM的合适GRU层数。

对比研究针对现有模型进行，包括两种半监督方法，即基于金豺优化的nu支持向量回归（GJO-SNuSVR）（Liu等人，2025）和k近邻-支持向量回归模型（KNN-SVR）（Lin等人，2023），以及物理信息神经网络（PINN）、卷积神经网络（CNN）和多层感知机（MLP）。GJO-SNuSVR和KNN-SVR均采用伪标注策略，即为未标注数据生成伪标签，然后在迭代训练过程中将其复用为标注数据。在KNN-SVR中，伪标签在每次迭代中直接纳入，无需对其质量进行显式评估；而在GJO-SNuSVR中，伪标签的可靠性在加入训练集之前会进行评估，这有助于缓解错误传播和累积。PINN在训练期间将物理原理（如控制偏微分方程和守恒关系）集成到损失函数中，从而增强了在数据有限或噪声条件下鲁棒性。由于PINN专为数据稀缺和有标签样本有限的类似条件设计，因此被视为合适的对比基线。此外，CNN和MLP作为广泛使用的数据驱动模型也纳入对比。所有对比模型均在与所提出方法相同的数据集上评估。对于监督模型，使用相同数量的标注数据进行训练；对于半监督模型，采用与所提出方法相同的标注和未标注数据划分，以确保性能评估的公平性。

5. 结果与讨论

5.1 半监督训练下贝叶斯学习的有效性

图6(a)展示了三个数据集上估计SOH与实际SOH的散点图。大多数测试电池实现了准确的SOH估计，仅与实际值存在微小偏差，除XJTU4数据集中有一节电池显示相对较大的误差。该偏差被认为是由XJTU4更复杂的充放电条件以及训练电池数量有限所导致。为进一步评估所提出方法在更大且更多样化数据集上的SOH估计能力，还在TJU和MIT数据集上进行了实验。结果表明，尽管TJU1、TJU2和MIT中的电池表现出多样且复杂的循环条件，所提出方法能够有效区分这些模式并提供可靠的SOH估计。

为进一步验证所提出半监督训练策略下贝叶斯学习的有效性，将所提出方法与使用标准全连接层和贝叶斯全连接层的模型进行了比较。这些模型在各数据集上的MAPE和RMSE结果如图6(b)和表5所示。与使用标准全连接层的模型相比，使用贝叶斯全连接层的模型在GRU、RNN和LSTM特征提取器上通常实现了更低的估计误差。具体而言，平均MAPE从GRU的0.0152降至0.0119，从RNN的0.0175降至0.0154，从LSTM的0.0185降至0.0162。RMSE也观察到类似的改进。这些结果表明，全连接层中的贝叶斯参数化在半监督训练策略下是有效的，并且可以与不同的时间特征提取器结合使用。此外，引入了基于MC Dropout的随机基线MC-GRU。虽然MC-GRU在某些情况下改进了使用标准全连接层的GRU模型，但所提出方法在所有对比模型中实现了最低的平均MAPE和RMSE。这进一步确认了贝叶斯学习在所提出半监督训练策略下的有效性。与LSTM-BNN相比，所提出的HBM实现了更低的平均MAPE和RMSE值0.0119和0.0162，分别降低了26.54%和19.00%。此外，图6(b)中的误差线由五次独立实验（不同参数初始化）获得，显示HBM通常表现出更小的性能变化和更好的可重复性。该优势在包含更多训练和测试电池的TJU1、TJU2和MIT上更为明显。这一行为可能与GRU相对紧凑的门控结构有关，该结构使用重置门和更新门，可能在有限标注数据下降低对参数初始化的敏感性，同时保留足够的时间表示能力。这些结果表明，基于GRU的HBM在所考虑的有限标注数据设置下提供了比LSTM-BNN更可靠的SOH估计，如更高的估计精度和更好的训练稳定性所反映。

图6(c)中的训练过程在XJTU2验证集上评估。所有实验使用不同的随机种子重复五次，以考虑参数初始化的差异。所提出方法和带标准全连接层的GRU使用相同的主要设置进行训练，包括学习率、批次大小、优化器、数据划分和半监督训练策略。曲线显示，所提出方法在训练早期和中期阶段MAPE下降更快，并比带标准全连接层的GRU更早达到稳定的低误差水平。具体而言，所提出方法在约180个epoch后达到稳定的MAPE水平，而带标准全连接层的GRU需要约220个epoch。

在同一训练阶段，所提出的方法在大多数随机种子下也保持了更低的MAPE值。这表明，在所提出的半监督训练策略下，贝叶斯学习可以改善训练轮次中的收敛行为。因此，图6(b)和6(c)中的结果共同表明，贝叶斯学习在所提出的半监督SOH估计框架中是有效的，并且与不同的时序特征提取器兼容。

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图7. 半监督训练中未标记数据利用对SOH估计的影响。(a) 不同数量未标记数据下的MAPE和RMSE。(b)、(c) Case a下XJTU批次2测试电池4和8的SOH估计结果。(d)、(e) Case e下XJTU批次2测试电池4和8的SOH估计结果。(f)、(g) 相同测试电池在监督学习和半监督训练下随机前向传播获得的估计SOH样本。

5.2 半监督训练中未标记数据利用的有效性

通过改变训练所用未标记数据的数量来评估未标记数据利用的有效性。图7(a)显示，随着更多未标记数据用于训练，测试数据集上的SOH估计有所改善，这表明所提出的策略能够利用未标记数据中包含的有用信息。因此，MAPE和RMSE均呈现总体下降趋势。表6总结了图7(a)中的结果，表明Case e相对于Case a，MAPE和RMSE的平均降幅分别为30.00%和23.94%。这些发现表明，通过后验方差正则化利用未标记数据具有重要的实用价值。

XJTU数据集批次2中电池4和电池8在两种实验设置下的SOH估计结果如图7(b–e)所示，其中Case a仅使用有标记数据，而Case e则通过后验方差正则化引入未标记数据。黄色阴影区域代表由全连接层输出方差构建的95%偶然不确定性区间，红色阴影区域代表从模型参数的10次MC采样估计的95%认知不确定性区间。如图7(b)和7(c)所示，在Case a下，HBM仅使用有标记数据进行训练，由于有标记数据量有限，导致认知不确定性较高，SOH估计的可靠性较低。相比之下，Case e通过后验方差正则化引入未标记数据。图7(d)和7(e)的结果表明，这种设计显著降低了认知不确定性，并提高了模型在SOH估计中的可靠性和稳定性。

表6. 不同未标记电池数量下MAPE和RMSE的数值评估。

| 数据集 | Case-a MAPE | Case-a RMSE | Case-b MAPE | Case-b RMSE | Case-c MAPE | Case-c RMSE | Case-d MAPE | Case-d RMSE | Case-e MAPE | Case-e RMSE |
|--------|-------------|-------------|-------------|-------------|-------------|-------------|-------------|-------------|-------------|-------------|
| XJTU1 | 0.0162 | 0.0216 | 0.0148 | 0.0194 | 0.0140 | 0.0174 | 0.0139 | 0.0162 | 0.0137 | 0.0149 |
| XJTU2 | 0.0073 | 0.0098 | 0.0049 | 0.0077 | 0.0045 | 0.0065 | 0.0043 | 0.0064 | 0.0043 | 0.0063 |
| XJTU3 | 0.0142 | 0.0184 | 0.0102 | 0.0134 | 0.0095 | 0.0121 | 0.0092 | 0.0116 | 0.0088 | 0.0113 |
| XJTU4 | 0.0289 | 0.0368 | 0.0223 | 0.0270 | 0.0191 | 0.0227 | 0.0188 | 0.0229 | 0.0179 | 0.0220 |
| XJTU5 | 0.0195 | 0.0268 | 0.0190 | 0.0265 | 0.0174 | 0.0262 | 0.0171 | 0.0258 | 0.0156 | 0.0233 |
| XJTU6 | 0.0082 | 0.0122 | 0.0083 | 0.0121 | 0.0079 | 0.0114 | 0.0075 | 0.0113 | 0.0072 | 0.0111 |
| TJU1 | 0.0301 | 0.0352 | 0.0195 | 0.0286 | 0.0182 | 0.0274 | 0.0161 | 0.0278 | 0.0157 | 0.0277 |
| TJU2 | 0.0159 | 0.0204 | 0.0156 | 0.0199 | 0.0152 | 0.0198 | 0.0148 | 0.0192 | 0.0147 | 0.0192 |
| TJU3 | 0.0195 | 0.0150 | 0.0168 | 0.0130 | 0.0163 | 0.0127 | 0.0145 | 0.0114 | 0.0135 | 0.0108 |
| MIT | 0.0104 | 0.0173 | 0.0082 | 0.0160 | 0.0076 | 0.0156 | 0.0072 | 0.0152 | 0.0071 | 0.0153 |
| 平均 | 0.0170 | 0.0213 | 0.0139 | 0.0184 | 0.0130 | 0.0172 | 0.0123 | 0.0168 | 0.0119 | 0.0162 |

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图8. SOH估计性能的敏感性分析。(a) 损失权重α和β的影响。(b) GRU层数的影响。

图7(f)和7(g)进一步比较了通过多次随机前向传播获得（在取平均之前）的XJTU批次2测试电池4和8的估计SOH样本。在监督训练下，仅使用有限的有标记数据来学习HBM的参数分布。因此，不同的参数采样导致相同测试样本的SOH估计相对分散，表明模型仍存在较高的认知不确定性。引入半监督训练后，未标记数据通过后验方差正则化参与模型优化。由于有标记样本和未标记样本共享相同的模型参数，这种正则化进一步约束了学到的参数分布，减少了随机推理期间的过度分散。因此，图7(g)中的估计SOH样本比图7(f)中的更加集中，且更接近实际SOH值。这一结果表明，通过后验方差正则化利用未标记数据改善了有限有标记数据下HBM的参数学习，并增强了多次随机前向传播中SOH估计的一致性。

值得注意的是，虽然损失函数对偶然不确定性施加惩罚，但在优化过程中其值并未收敛至零。这表明未标记数据的后验方差正则化并未破坏有标记损失的自适应加权机制，模型仍能够平衡有标记数据和未标记数据的贡献。此外，方差正则化项可以在训练过程中间接促进估计的平滑性。因此，Case e下获得的估计SOH曲线明显比Case a下的更加平滑，进一步证实了半监督训练中未标记数据利用的有效性。总体而言，实验结果表明，通过后验方差正则化引入未标记数据不仅显著降低了认知不确定性，还提高了估计的稳定性和平滑性，从而增强了锂离子电池SOH估计的可靠性。

5.3 超参数敏感性分析

为了考察所提出训练策略中损失权重α和β的影响，进行了超参数敏感性分析，通过对其预定义值进行网格搜索。该研究在XJTU2训练和验证数据集上进行，每种权重组合训练和评估五次以确保统计稳健性。结果如图8(a)所示。在该研究中，α从0.5变化到0.005，β从0.001变化到0.1。在此测试范围内，在每个固定的α设置下评估β的影响。当β从0.001增加到0.1时，在每个α设置下观察到更高的MAPE值，表明过大的β可能会过度强调KL正则化，从而削弱训练策略的有效性。相比之下，当β保持在较小权重时，α的影响显得更加温和。当α设为0.5且β设为0.001时，获得了最低的MAPE和RMSE，平均MAPE为0.0183，RMSE为0.0204。该设置在三个损失分量之间提供了合理的平衡，并在本研究中全程使用。

图8(b)进一步研究了GRU层数的影响，将网络深度从一层变化到五层。两层GRU获得了最低的平均MAPE和RMSE，分别为0.0183和0.0204。当仅使用一层GRU时，有限的表示深度导致对复杂时序退化模式的建模不足，从而产生较高的估计误差。进一步增加GRU层数不仅未能改善估计性能，反而增加了误差，尤其是RMSE。一个合理的解释是，更深的递归特征传播在贝叶斯全连接层之前产生了更复杂的中间表示，这增加了概率参数优化和随机推理的难度。因此，两层GRU为所考虑的SOH估计任务提供了更合适的时序特征提取，并被HBM所采用。

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图9. GJO-SNuSVR、KNN-SVR、PINN、MLP、CNN和所提出方法在三个数据集上的MAPE和RMSE比较，误差线表示标准差。

表7. 三个数据集上六个模型的MAPE和RMSE定量比较。

| 数据集 | 本文方法 MAPE | 本文方法 RMSE | GJO-SNuSVR MAPE | GJO-SNuSVR RMSE | KNN-SVR MAPE | KNN-SVR RMSE | PINN MAPE | PINN RMSE | MLP MAPE | MLP RMSE | CNN MAPE | CNN RMSE |
|--------|---------------|---------------|-----------------|-----------------|--------------|--------------|-----------|-----------|----------|----------|----------|----------|
| XJTU1 | 0.0137 | 0.0149 | 0.0139 | 0.0183 | 0.0151 | 0.0192 | 0.0167 | 0.0247 | 0.0303 | 0.0329 | 0.0453 | 0.0542 |
| XJTU2 | 0.0043 | 0.0063 | 0.0124 | 0.0169 | 0.0222 | 0.0278 | 0.0232 | 0.0263 | 0.0223 | 0.0258 | 0.0479 | 0.0643 |
| XJTU3 | 0.0088 | 0.0113 | 0.0129 | 0.0195 | 0.0150 | 0.0211 | 0.0133 | 0.0156 | 0.0224 | 0.0265 | 0.0348 | 0.0436 |
| XJTU4 | 0.0179 | 0.0220 | 0.0320 | 0.0389 | 0.0243 | 0.0291 | 0.0142 | 0.0177 | 0.0209 | 0.0207 | 0.0368 | 0.0468 |
| XJTU5 | 0.0156 | 0.0233 | 0.0202 | 0.0315 | 0.0275 | 0.0335 | 0.0279 | 0.0365 | 0.0275 | 0.0320 | 0.0603 | 0.0873 |
| XJTU6 | 0.0072 | 0.0111 | 0.0102 | 0.0149 | 0.0185 | 0.0257 | 0.0132 | 0.0170 | 0.0188 | 0.0221 | 0.0368 | 0.0479 |
| TJU1 | 0.0157 | 0.0277 | 0.0230 | 0.0216 | 0.0181 | 0.0233 | 0.0248 | 0.0265 | 0.0303 | 0.0296 | 0.0528 | 0.0602 |
| TJU2 | 0.0147 | 0.0192 | 0.0239 | 0.0219 | 0.0240 | 0.0239 | 0.0278 | 0.0275 | 0.0286 | 0.0292 | 0.0349 | 0.0410 |
| TJU3 | 0.0135 | 0.0108 | 0.0253 | 0.0215 | 0.0224 | 0.0217 | 0.0202 | 0.0201 | 0.0230 | 0.0235 | 0.0276 | 0.0276 |
| MIT | 0.0071 | 0.0153 | 0.0120 | 0.0138 | 0.0103 | 0.0130 | 0.0099 | 0.0135 | 0.0155 | 0.0213 | 0.0150 | 0.0209 |
| 平均 | 0.0119 | 0.0162 | 0.0186 | 0.0219 | 0.0197 | 0.0238 | 0.0191 | 0.0225 | 0.0240 | 0.0264 | 0.0392 | 0.0494 |

5.4 对比研究

为了验证所提出方法的有效性，在表3中列出的三个数据集上与五个现有模型进行了对比实验，包括两种半监督方法GJO-SNuSVR和KNN-SVR，以及PINN、CNN和MLP。如图9所示，所提出方法在三个数据集上的性能均优于其他模型。表7进一步显示，与MLP相比，所提出方法在XJTU、TJU和MIT数据集上的MAPE分别降低了52.59%、46.40%和54.19%。在对比模型中，CNN由于捕获时序退化模式的能力有限，估计精度最低。对于两种半监督方法，GJO-SNuSVR优于KNN-SVR，因为它在将伪标签纳入训练之前会评估其质量。然而，所提出方法优于两种半监督方法，在三个数据集上的平均MAPE分别比GJO-SNuSVR低36.02%，比KNN-SVR低39.59%。这一改进归因于所提出方法能够通过后验方差正则化利用未标记数据，其中未标记样本的方差被直接最小化而不生成伪标签，从而避免了迭代伪标签方案中相关的误差累积。所提出方法也优于PINN，在XJTU、TJU和MIT数据集上的MAPE分别降低了37.79%、39.70%和28.28%。总体而言，所提出方法实现了更高的SOH估计精度，而PINN在少数指标上表现略好的情况是由于其在某些小样本场景中的优势。总体而言，所提出方法不仅实现了更低的估计误差，而且在重复实验中通常表现出更小的性能波动。这表明所提出方法对参数初始化不太敏感，与其他模型相比能够产生更稳定可靠的模型。此外，Case a下的结果表明，即使不包含未标记数据，架构的监督学习部分相比PINN、MLP和CNN仍具有显著优势。这进一步证实了所提出方法的有效性。

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图10. TJU1数据集上不同不确定性水平下的分组MAPE。(a) 随着认知不确定性增加的MAPE。(b) 随着偶然不确定性增加的MAPE。

5.5 不确定性估计的可靠性分析

为了评估估计不确定性的误差区分能力，在TJU1数据集上进行了分组分析。测试样本根据估计的不确定性进行排序并分为五组。第1至5组对应从低到高的不确定性水平，每组包含20%的测试样本。

图10显示了认知不确定性和偶然不确定性下不同不确定性组的MAPE。如图10(a)所示，随着认知不确定性水平的增加，MAPE在第1至5组中呈上升趋势。这一结果表明，估计误差较大的样本被赋予了更高的认知不确定性，确认了贝叶斯组件能够为SOH估计提供可靠性信息。图10(b)展示了偶然不确定性的结果。虽然在低不确定性组中出现轻微波动，但估计误差较大的样本仍主要出现在第5组。这表明偶然不确定性并未被所提出的训练策略无差别地抑制，估计风险较大的样本仍可以通过较高的不确定性来反映。

这一观察也与所提出方法的设计一致。后验方差正则化施加在未标记数据上，以抑制由有限有标记数据引起的过度不确定性，尤其是在相对稳定的电池充电场景中。由于模型参数由有标记数据和未标记数据共享，这种正则化还降低了整体预测不确定性，并在训练期间增加了有标记数据的有效贡献。尽管如此，不确定性估计并未丧失区分不可靠估计的能力。误差较大的样本仍可以通过更高的不确定性来识别，这确认了所提出的策略在提高SOH估计精度的同时，保留了不确定性估计指示预测可靠性的能力。

表8. 不同电池寿命阶段的估计误差和不确定性。

| 区域 | 样本数 | MAPE | 认知不确定性 | 偶然不确定性 | 预测不确定性 |
|------|--------|------|--------------|--------------|--------------|
| 早期寿命 | 1535 | 0.0182 | 0.00136 | 0.01283 | 0.01290 |
| 中期寿命 | 1528 | 0.0116 | 0.00132 | 0.01232 | 0.01240 |
| 晚期寿命 | 1538 | 0.0170 | 0.00134 | 0.01426 | 0.01433 |

注：结果取自TJU1测试数据集，包含13个电池和4601个循环样本。每个电池被划分为早期、中期和晚期寿命阶段，分别对应其老化轨迹的前三分之一、中间部分和后三分之一。不确定性值以标准差形式报告。

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图11. 预测不确定性校准的可靠性图。

为了进一步检查不同老化阶段下的不确定性行为，根据每个电池的相对老化进度，将TJU1测试轨迹分为早期、中期和晚期寿命阶段。相应的估计误差和不确定性如表8所示。预测不确定性通过结合认知和偶然分量获得，预测方差计算为各自方差的总和。从早期寿命阶段到中期寿命阶段，估计误差和预测不确定性均下降。在晚期寿命阶段，退化行为变得更加复杂，预测难度增加。相应地，MAPE从中期寿命阶段的0.0116增加到晚期寿命阶段的0.0170，偶然不确定性从0.0123增加到0.0143，预测不确定性从0.0124增加到0.0143。

认识不确定性在三个生命周期阶段之间保持在相似的整体水平，这可能是因为所有样本均取自同一TJU1测试数据集，且操作条件处于可比的范围内。这种相对较低且稳定的认识不确定性与所提出的半监督训练策略所实现的不确定性降低也是一致的。尽管如此，三个生命周期阶段之间仍可观察到认识不确定性存在细微差异，其中早期阶段的认识不确定性略高。在该阶段还观察到相对较高的估计误差。总体而言，从中期到晚期阶段，偶然不确定性的增加导致预测不确定性相应增加，这表明在电池老化后期数据变异性更大。更重要的是，随着晚期区域估计任务的难度增加，预测不确定性也随之增加，这表明所提出的不确定性估计能够适当反映退化后期条件下的预测风险增加。最后，通过可靠性分析在TJU1测试集上对预测不确定性的校准进行了评估。图11中的可靠性图将名义覆盖水平与相应的经验覆盖概率进行了比较。经验覆盖使用预测区间覆盖概率（PICP）进行计算，其中越接近对角线的值表明预期覆盖与观察覆盖之间的一致性越好。如图11所示，经验覆盖在不同名义覆盖水平下总体上遵循理想校准线。特别地，95%的预测区间实现了0.9491的PICP，接近0.95的名义覆盖。相应的预测区间归一化平均宽度为0.1974，表明所实现的覆盖是在中等区间宽度下获得的。这些结果表明，预测不确定性得到了合理的校准，除了点估计精度外，还可以提供可靠的区间估计。

6. 结论

本研究开发了一种新型半监督贝叶斯学习方法，包含HBM和半监督训练策略，用于锂离子电池SOH的可靠估计。作为该方法的核心，HBM为序列估计和不确定性量化提供了一种概率建模方案。具体来说，贝叶斯全连接层预测SOH分布的均值和方差，其中均值作为SOH估计值，方差通过异方差回归来表征偶然不确定性。认识不确定性则通过基于变分参数分布的重复随机前向传播进一步量化。此外，通过不同的时间特征提取器对贝叶斯参数化的有效性进行了验证，展示了其超越特定网络架构的兼容性。进一步地，提出了一种带有后验方差正则化的半监督训练策略，在利用无标签数据的同时缓解了伪标签方法中常见的误差传播缺陷。HBM在三个公开数据集上进行了验证，涵盖了多种电池化学体系和操作条件。从短期充电段中提取的十六个统计特征被用作模型输入，确保了计算效率和广泛适用性。在训练期间，仅有6.8%至33.3%的训练电池被标记，但HBM在所有数据集上始终实现了高估计精度，MAPE低于1.8%。此外，不同数量无标签数据的实验表明，纳入无标签数据可以降低认识不确定性并提高SOH估计的可靠性。总体而言，结果表明，所提出的带有不确定性量化的半监督贝叶斯学习方法为SOH估计提供了准确且可靠的解决方案。

尽管所提出的方法在涉及不同电池化学体系、温度和循环条件的数据集的独立评估中实现了准确的SOH估计，但当前研究专注于数据驱动学习，未显式地纳入机理知识。在显著超出训练分布的操作条件下，维持物理一致性和可靠的SOH估计仍是一个潜在挑战，特别是在标记数据有限的情况下。因此，未来工作将考虑更具挑战性的分布外场景，并探索将机理知识或物理信息约束集成到贝叶斯学习框架中，以增强物理一致性并进一步提高未见操作条件下的估计可靠性。

CRediT作者贡献声明

于恒杜：写作–审阅与编辑，写作–原创草稿，验证，方法论，调查，概念构思。

姜星星：写作–审阅与编辑，监督，资源，项目管理，方法论，获取资金，概念构思。

曹典：验证，软件，方法论，概念构思。

赵如意：写作–审阅与编辑，方法论，调查，概念构思。

周子杰：写作–审阅与编辑，方法论，概念构思。

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