利用物理信息神经网络优化配送路线的可持续数据驱动能源管理

《TRANSPORTATION RESEARCH PART D-TRANSPORT AND ENVIRONMENT》：Sustainable data-driven energy management with physics-informed neural networks for optimizing delivery routes

　　

摘要

无人机（UAV）飞行过程中的能耗是决定航程、任务可行性和航空物流经济效率的关键因素。我们开发了一种物理信息神经网络（PI-NN）用于瞬时功率预测。通过将已建立的气动学和运动学原理直接嵌入神经网络架构中，PI-NN将功率表示为非负升力、阻力和推进力分量的精确之和。在无人机飞行数据上，PI-NN实现了R2=0.9383、MAE=30.03 W和MAPE=9.31%。录制级测试显示，其MAE显著低于最强的黑盒基准模型。SHAP方法识别了非电飞行变量对单次预测的贡献。预测功率被转换为弧段级能耗，并纳入能耗感知混合整数线性规划模型。在包含4架无人机、22项任务的基础实例中，所提出的优化模型产生了可行的209.10-Wh路由方案，并满足规定的1%最优性间隙容差。基准对比、校准能耗分位数和敏感性分析进一步评估了路由性能、预测不确定性和计算可扩展性。

1. 引言

无人机（UAVs）目前已广泛应用于多种领域（Ashour等，2023；Dong和Huang，2026），包括空中侦察、搜救任务、货物运输和精准农业等（Kapoor等，2024）。无人机应用面临的关键挑战之一是其有限的续航时间，通常仅为数十分钟，主要受限于高功率需求和有限的电池存储容量（Abdulrahman和Qasem，2024）。因此，准确预测飞行时间和航程对于确保任务可靠性及优化能耗感知路径规划至关重要（Huang等，2025）。实现这一目标需要一个精确的无人机能耗模型，以便评估多种影响因素——如风况、负载、巡航速度和飞行高度——在多样化运行环境下对无人机功率消耗的影响（Conte等，2022；Zhang等，2021）。

现有的能耗预测方法大致可分为两类。第一类基于空气动力学和推进力学的理论驱动公式（Kong等，2024）。这些模型提供了飞行参数与能耗之间清晰的方程关系，展现了主导物理过程的透明度。然而，其对简化假设和静态系数的依赖往往限制了其面对现实操作中动态变化和多变性时的准确性。第二类采用数据驱动的机器学习技术，直接从历史运行数据中学习消耗模式（Muli等，2022）。尽管这些方法通常通过捕捉复杂的非线性交互关系而获得更高的预测精度，但它们作为不透明系统运作。这种缺乏可解释性阻碍了其实际应用，因为操作人员和规划者不仅需要预测值，还需要可理解的理由来验证计划并确保运行安全。

这种透明但简化的模型与准确但不透明的模型之间的持续割裂，严重阻碍了先进无人机操作的进展（El-Latif和El-dosuky，2025）。任何后续决策支持系统的性能——从优化配送路线到确保安全返航协议——都关键依赖于其底层能耗预测的质量与可信度。一个准确但不可解释的模型可能产生令人生疑的预测，限制其实际应用。另一方面，一个可解释但不准确的模型可能会产生运行效率低下甚至不可行的方案。因此，这两种模型属性之间的固有妥协直接决定了整个运营规划框架的可信度和有效性。

为解决这一挑战，本研究开发了一种物理信息神经网络（PI-NN）框架用于预测无人机能耗。所提出的方法将已建立的物理原理直接纳入神经网络架构中。这种集成引导学习过程趋向于与领域知识一致的解决方案，从而在保留数据驱动方法灵活性的同时，提高了预测的物理合理性和可解释性。通过解决可解释性与预测精度之间的权衡问题，所提出的框架为能耗感知的任务规划和路径优化提供了更可靠的基础。

2. 文献综述

我们的研究与两个文献领域相关：无人机能耗预测和能耗感知的无人机配送调度。我们回顾了每个领域的主要发现，并解释我们的研究如何区别于以往工作。

2.1. 无人机能耗预测

早期研究使用解析模型通过空气动力学、机械或电气关系来描述无人机能耗。在系统层面，Figliozzi（2017）和Stolaroff等（2018）从生命周期能耗和排放角度比较了无人机配送与地面运输。Kirschstein（2020）进一步表明，风况、悬停、配送密度和行驶距离影响无人机是否比柴油或电动卡车消耗更少能源。聚焦于能耗模型，Zhang等（2021）在统一符号下比较了广泛使用的配送无人机模型，报告了不同飞机设计、运行条件和建模假设之间的显著差异。这些文献阐明了影响无人机能耗的机制和系统条件。然而，系统级比较和预设方程并不能直接从实际飞行记录中提供功率估计值。

为获得航段级估计值，研究人员将物理变量与实验测量相结合。Gong等（2023）推导了前飞、垂直上升和垂直下降的功率模型，并使用DJI M210验证了这些模型。Hong等（2020）从三轴速度和加速度、高度、风和负载特性估计功率消耗。该模型准确率达到90%以上，并用于识别最低能耗飞行路径。Prasetia等（2019）将六旋翼任务分为不同运动类型，使用弹性网络回归预测任务能耗，报告两种测试模式下平均准确率为98.773%。Seewald等（2020）分离了固定翼无人机的机械能和计算能耗，而Sujito等（2023）从组件电流和电机信号估计电池使用量。这些模型保留了具有明确物理或运行含义的变量，使能耗更贴近实际观察到的飞行。然而，其测试通常基于特定飞机、任务模式或运行环境。此外，负载、速度、高度和风之间的关系可能难以预先指定。

这些交互关系指定之难推动了机器学习的使用。Rodrigues等（2021）开发的数据集包含DJI Matrice 100在209次不同速度、负载、高度和天气条件下的自主飞行记录，为模型开发提供了经验基础。基于分段飞行路径，Conte等（2022）训练了自适应深度学习模型来预测飞行时间和电池电流积分，进而估计完整路线上的荷电状态下降。Muli等（2022）使用配送无人机数据将五个解析能耗模型与LSTM模型进行比较。LSTM为所研究数据集产生了更低的预测误差，并通过敏感性分析解释输入变量的效应。Dai等（2024）使用三种四旋翼类型的记录，将随机森林和XGBoost基学习器与线性元学习器结合，表明堆叠方法能以较少训练数据实现准确的航段级预测。然而，模型复杂度并不总能带来更好的性能。Selje等（2024）使用有风飞行测试数据发现，线性回归在报告的错误指标上优于决策树、随机森林、循环神经网络和前馈神经网络。El-Latif和El-dosuky（2025）进一步将解析模型比较与随机森林验证及优化程序相结合。

所回顾研究的主要特征，包括所考虑的飞行和环境因素以及物理建模、模型解释与运行决策之间的联系，总结于表1中。

表1. 无人机能耗预测研究对比

| 研究 | 风 | 速度 | 高度 | 负载 | 神经网络中的物理 | 输入效应 | 决策应用 | 主要方法 |
|------|---|------|------|------|----------------|----------|----------|----------|
| Figliozzi (2017) | ? | ? | | | | | | 生命周期模型 |
| Zhang等 (2021) | ? | ? | ? | ? | | | | 模型比较 |
| Prasetia等 (2019) | | | ? | ? | | | | 弹性网络回归 |
| Hong等 (2020) | ? | ? | ? | ? | | ? | ? | 经验功率模型+路径规划 |
| Conte等 (2022) | ? | ? | ? | ? | | | | 深度学习 |
| Muli等 (2022) | ? | ? | ? | ? | | ? | | LSTM+敏感性分析 |
| Dai等 (2024) | | | ? | ? | | | | 堆叠集成 |
| El-Latif和El-dosuky (2025) | ? | ? | ? | ? | | ? | | 数学模型+随机森林 |
| 本研究 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 物理信息神经网络+SHAP+MILP |

注：勾号表示该因素或环节被明确纳入研究的核心部分。空白单元格意味着该项目不是主要焦点或未被明确建模；这并不意味着该项目在所有分析中都被排除。"高度"指飞行高度。"神经网络中的物理"指物理功率关系被嵌入可训练的神经网络中，而不仅仅是与数据驱动模型进行单独比较。"输入效应"指除了总体预测精度外，还检查了单个输入变量的效应。"决策应用"指估计的能耗被直接用于运行决策模型。NN表示神经网络，SHAP表示SHapley可加性解释，MILP表示混合整数线性规划。

表1突出了本研究与所回顾文献之间的三个主要差异。首先，所提出的PI-NN并非将解析公式和数据驱动模型视为相互独立的方法，而是将升力、阻力和推进力相关的关系直接嵌入学习架构中。这种设计使模型能够从飞行记录中学习非线性关系，同时保留物理可解释的功率分量。其次，PI-NN提供的结构化解释辅以SHAP分析，解释了各个运行变量如何贡献于模型的预测。第三，预测的能耗及其校准后的不确定性被直接纳入车队级路由模型。因此，所提出的框架在统一的分析中连接了具有物理结构的预测、特征级解释和能耗感知的运行决策。

2.2. 能耗预测下的无人机配送调度

能耗感知的无人机调度研究通常将能耗关系纳入路由模型中。Mourelo Ferrandez等（2016）研究了卡车-无人机串联配送网络，使用K-means确定发射位置，遗传算法构建卡车路线。结果表明，使用卡车搭配多架无人机可减少配送时间和能耗。Dorling等（2016）推导并实验验证了关于负载和电池质量近似线性的能耗关系，并将其纳入多趟次车辆路径模型中。Tseng等（2017）研究了电池供电无人机的飞行巡回规划和充电决策，而Torabbeigi等（2020）将负载与电池消耗速率之间的近线性关系纳入配送调度，以剔除不可行路线并确定车队规模需求。这些研究确立了负载和电池限制对路线可行性的重要性。然而，其能耗关系是在求解路由问题之前预先指定的。

当能耗随天气条件和飞行阶段变化时，这一假设变得具有限制性。为表示这种变化，Sorbelli等（2020）使用时变代价图，比较了风况变化下静态和自适应路由规则。Mahmoudi和Eshghi（2022）考虑了多架无人机多访问旅行商问题中所有飞行阶段的能耗，并包含非客户会面点。一旦能耗以更大运行细节建模，决策范围也扩展到路线可行性之外。Bruni等（2023）在非线性、负载依赖的能耗条件下联合确定共享履约中心、车队规模和配送路线，而Meskar和Ahmadi-Javid（2024）在现实能耗约束下连接共享基地选址与路由决策。这些研究展示了风况、负载、飞行阶段和基础设施决策如何改变最优配送方案。然而，能耗函数仍然是预先确定的。

近期研究进一步整合了速度、路由和车队决策。Kumar等（2025）整合了多趟次路由、非线性能耗、行驶时间和车队规模，并为大型配送网络提出了基于聚类的求解方法。Meskar和Ahmadi-Javid（2026）联合优化巡航速度和多访问、多趟次路线，同时建模起飞、巡航、悬停和着陆过程中的能耗。协调配送系统中同样存在这一关切。Sorbelli等（2023）规划卡车-无人机轨迹以利用尾风减少能耗，而Liu等（2024）将时间窗口和多访问无人机纳入协调卡车-无人机路由。这些模型拓宽了决策范围，但预测和优化阶段仍然是分离的。

总体而言，调度文献已经发展出越来越现实的能耗感知路由模型。剩余的差距在于这些模型所使用的能耗估计的来源和解释。大多数研究假设一个解析函数或校准系数，然后在该假设下优化路线。因此，这些公式无法以保留其物理意义的方式从飞行记录中学习能耗关系。它们也有限地提供了关于驱动预测的变量如何影响任务分配、路由和车队部署的信息。

本研究表明针对这一缺口，通过将物理信息预测模型的估计值纳入机队级优化模型。

2.3 研究缺口与贡献

前述综述揭示了一个在UAV能量预测与能量感知调度之间普遍存在的缺口：目前鲜有研究从飞行数据中学习出具有物理可解释性的能量关系，并直接将所得估计值及其不确定性用于运营决策。本研究从以下三个方面弥补了这一缺口。第一，本研究开发了一种PI-NN（物理信息神经网络），将升力、阻力和推进力关系嵌入学习架构中，从而将非线性预测与具有物理意义的组件结构相结合。第二，本研究在点预测的基础上，增加了经过验证校准的能量分位数，并将由此得到的弧段能量估计值纳入任务分配、路径选择和机队部署的鲁棒混合整数线性规划（MILP）中。第三，本研究将物理组件分解与基于SHAP的特征解释相结合，并通过反事实预测和路径可行性分析评估所建议的运营变更。综合而言，这些贡献在一个统一框架内将具有物理结构的预测、模型解释、不确定性校准和能量感知路由连接了起来。

3 方法论

3.1 UAV能耗预测

UAV的传统能耗预测通常采用从飞行参数到功耗的黑箱映射方式。设??(??)表示时间t时的输入特征向量：

(1) ??(??) = [????(??), ????(??)]

其中????(??)指时间t时与环境因素相关的特征，包括风速、空气密度、海拔和温度；????(??)指与UAV相关的特征，通常由载荷质量和飞行速度组成（Hong et al., 2020, Tseng et al., 2017）。

基于所选特征，传统神经网络通常建立直接映射：

(2) ???(??) = ??????(??(??); Θ)

其中Θ表示所有可训练参数，??(??)表示输入特征，???(??)为时间t时的预测瞬时功率。基于预测功率???(??)，可以推导出总能耗???：

(3) ??? = ∫?^??op ???(??) ????

其中??op表示UAV的运行时间。

考虑到直接神经网络映射并未显式表示旋翼飞行器动力学中的主要关系，我们将预测功率按三种物理机制进行表述：升力、气动阻力和平动推进力：

(4) ??total ∝ ??lift + ??drag + ??propulsion

这里，??lift与重量支撑相关，??drag与气动阻力相关，??propulsion与平动运动和加速度相关。所得到的量作为神经网络架构的分析锚点，不应被解读为组件级功率的精确测量值。三个分析锚点定义如下。

升力功率公式。旋翼飞行器动量理论将悬停功率分为诱导分量和叶片剖面分量（Leishman, 2006）。诱导分量代表产生推力所需的功率：

(5) ??induced = (1+κ)(??tot)^{3/2} / √(2????ρ??)

其中??tot表示包括载荷在内的飞行器总质量，????为旋翼数量，ρ为空气密度，??为旋翼盘面积，κ为非理想来流校正系数。

叶片剖面功率捕捉旋转叶片上的气动阻力：

(6) ??blade = δσ?? / 8 · √(????ρ??) · (??tot/????)^{3/2}

其中δ为叶片剖面阻力系数，σ??为旋翼实度，????为推力系数：

(7) ???? = ???? / (ρ??(Ω??)^2)

其中????为旋翼推力，Ω为叶片角速度，??为旋翼半径。在悬停状态下，总推力与飞行器重量平衡。将两种机制合并得到升力功率锚点（Gong et al., 2023）：

(8) ??lift = δσ?? / 8 · √(????ρ??) · (??tot/????)^{3/2} + (1+κ)(??tot)^{3/2} / √(2????ρ??)

气动阻力功率公式：克服气动阻力所需的功率源于流体力学原理：

(9) ??drag = ? ρ ??3air ??frontal ????

其中??air表示相对于风况的气速，??frontal为迎面参考面积，????为阻力系数（Mair and Birdsall, 1996）。

推进功率公式：推进力锚点结合了势能和平动动能的变化率：

(10) ??propulsion = ??tot????vertical + ??tot(??horizontal ??horizontal + ??vertical ??vertical)

其中??vertical和??horizontal分别为垂直和水平速度，??vertical和??horizontal为对应的加速度（Walker et al., 2008）。第一项是势能的变化率。其余各项来源于平动动能对时间的导数：

(11) d??kin/dt = d/dt[? ??tot(??2horizontal + ??2vertical)] = ? ??tot · d/dt(??2horizontal + ??2vertical) = ? ??tot(2??horizontal d??horizontal/dt + 2??vertical d??vertical/dt) = ??tot(??horizontal ??horizontal + ??vertical ??vertical)

因此，两个加速度项分别代表水平和垂直方向的动能变化率。

3.1.1 目标构建与基于物理的特征工程

原始飞行变量在进入PI-NN之前被转换为预测目标和具有物理意义的输入。在此呈现这些变换可以将观测到的传感器信号与上述的升力、阻力和推进力关系直接联系起来。观测t时刻的实测瞬时电功率定义为：

(12) ???? = ????|????|

其中????和????分别为记录的电池电压和电流；使用绝对电流值是因为放电以负号记录（Rodrigues et al., 2021）。

与风相关的特征在飞行器行进方向上构建。首先从记录的欧拉角恢复偏航角：

(13) ??rad?? = arctan2(2(???????? + ????????), 1 - 2(??2?? + ??2??))

将??rad??转换为度数后，测量的风速和风向被解析为地面坐标系分量：

(14) ????,?? = ????????_???????????? · cos(????????_????????????)

(15) ????,?? = ????????_???????????? · sin(????????_????????????)

相对风速为：

(16) ??rel,?? = √((????,?? - ????,??)2 + (????,?? - ????,??)2)

方向差及其纵向和横向分量计算如下：

(17) Δ???? = ????????_???????????? - ????

(18) ??head,?? = ????????_???????????? · cos(Δ????·π/180)

(19) ??cross,?? = ????????_???????????? · sin(Δ????·π/180)

正的??head,??表示顶风，负值表示顺风。图1和图2展示了相对风速和分量定义。

运动学特征汇总了平动和旋转运动的幅度：

(20) ??horiz,?? = √(??2??,?? + ??2??,??)

(21) ??horiz,?? = √(??2??,?? + ??2??,??)

(22) speed_total?? = √(??2??,?? + ??2??,?? + ??2??,??)

(23) accel_total?? = √(??2??,?? + ??2??,?? + ??2??,??)

(24) ??angular,?? = √(??2??,?? + ??2??,?? + ??2??,??)

其中(????,??, ????,??, ????,??)和(????,??, ????,??, ????,??)分别表示记录的速度和线加速度分量。向量(????,??, ????,??, ????,??)包含记录的角速度分量。俯仰角和滚转角也通过记录的欧拉角获得，而偏航角遵循公式(13)：

(25) pitch_angle?? = arcsin(2(???????? - ????????))

(26) roll_angle?? = arctan2(2(???????? + ????????), 1 - 2(??2?? + ??2??))

表2按主要物理含义列出了工程变量。垂直速度、垂直加速度、海拔和载荷表征升力需求；风速和相对风速变量表征气动阻力；水平运动表征推进力需求；姿态和综合运动变量为共享变量，因为它们影响不止一种机制。

表2. PI-NN预测变量的主要物理含义

| 特征 | 升力 | 阻力 | 推进 | 共享 |
|---|---|---|---|---|
| speed_vertical | ? | | | |
| accel_vertical | ? | | | |
| altitude | ? | | | |
| payload | ? | | | |
| wind_speed | | ? | | |
| headwind | | ? | | |
| crosswind | | ? | | |
| relative_wind_angle | | ? | | |
| speed_horizontal | | | ? | |
| accel_horizontal | | | ? | |
| orientation_x | | | | ? |
| orientation_y | | | | ? |
| orientation_z | | | | ? |
| orientation_w | | | | ? |
| angular_speed | | | | ? |
| pitch_angle | | | | ? |
| roll_angle | | | | ? |
| yaw_angle | | | | ? |
| speed_total | | | | ? |
| accel_total | | | | ? |
| elapsed_motion_s | | | | ? |

注：各列指示了构建和评估分析代理变量时使用的主要物理含义。它们并不定义排他性的神经网络输入。所有21个非电学预测变量均进入共享状态编码器，每个操作状态专家网络接收所得到的状态表示和全部三个物理代理变量。

因此，物理关系引导特征构建和代理变量计算，而完整的非电学预测变量向量由共享状态编码器处理。

3.1.2 物理信息神经网络架构

PI-NN模型的架构如图3所示。输入层将预测变量分为三组：运动与姿态变量??mot、风与环境变量??env、载荷及其他操作变量??op。三组变量合并为一个预测变量向量，不由独立的神经网络分支分别处理。

设????表示观测t时刻的完整非电学预测变量向量。为描述当前飞行状态及其近期变化，当前观测由前馈编码器处理，而同一不间断采样段中的当前和前一观测由因果门控循环单元处理。两个编码器的输出被合并以获得共享状态表示???。因果序列仅包含预测变量，不对预测目标进行平均。电压、电流、测量或滞后功率、未来观测、飞行标识符和其他模型的预测均被排除。序列长度和网络维度在第5.1节中报告。基于共享状态???，门控层生成操作状态权重如下：

(27) ???? = softmax(??(???))

????中的权重为非负且总和为一，使模型能够根据不同飞行条件为操作状态子网络分配不同的重要性。

公式(8)–(10)中的物理关系生成代理向量??proxy??，其中包含升力、阻力和推进力锚点。设??为操作状态子网络的集合，由c索引，c?标识激活飞行子网络。每个子网络接收共享状态???和完整的代理向量。其三个分量输出计算如下：

(28) ????,?? = softplus(????[???, log(1+??proxy??)] + ??{??=c★} γ⊙??proxy??)

在公式(28)中，????(·)表示子网络c的神经网络映射，γ为正系数向量，??{??=c★}为激活飞行子网络提供额外锚点。Softplus函数确保预测的升力、阻力和推进力分量为非负。子网络输出随后使用操作状态权重进行组合：

(29) ????? = Σ_{c∈??} ????,?? · ????,??

加权组合使学习到的关系能够随操作状态变化，同时保持升力-阻力-推进力分解。由此得到的三个分量直接相加得到记录级瞬时功率：

(30) ???total = ????? + ????? + ?????

公式(30)是固定的输出操作，不是可训练层。因此，预测的总功率等于三个非负分量之和。基于瞬时功率预测，累积能量通过以下离散积分计算：

(31) ?????+1 = ????? + Δ???? · ???total,??

其中Δ????表示连续观测之间的时间间隔，初始预测能量设为零。此处用于能量更新的预测功率并非由?? = ??·??vehicle定义，因为在悬停期间平动速度为零，而多旋翼飞行器仍然需要诱导功率和叶片剖面功率。旋翼飞行器动量理论将诱导功率与通过旋翼盘的气流联系起来（Leishman, 2006）。因此，模型纳入了公式(8)–(10)中的升力、阻力和平动工关系，执行固定的分量求和，并通过上述离散积分计算能量。

由于分量可加性和非负性由网络架构强制施加，因此不需要在损失函数中加入额外的惩罚项。模型通过组合总功率预测损失、分支特定预测损失和门控分类损失进行训练：

(32) ? = ?pred + ?branch + λ?? ?gate

其中?pred衡量最终总功率预测的误差，?branch监督每个训练状态关联的子网络，?gate为操作状态权重的交叉熵损失。操作状态标签从训练目标推导得出，仅用于模型估计期间监督门控层。损失权重、状态阈值和优化设置见表A.1。

能量不确定性的分位数预测

点估计PI-NN保留用于所有精度比较。为衡量预测不确定性，一个独立的全位数层接收拟合后的PI-NN表示和点预测?????。在分位数层训练期间，PI-NN的参数保持固定，使用分位数损失对有序集合?? = {α? < ? < α|??|}进行训练。设????,α??表示观测q在分位水平α??下的分位数层输出。在基于验证的校正之前，分位数估计值计算如下：

(33) ???(α??)?? = {????? + ????,α?, l=1; ???(α??-1)?? + softplus(????,α??), l=2,…,|??|}

由于Softplus输出为非负，公式(33)保持估计分位数按升序排列。训练完成后，对每个水平分别使用验证残差计算加性校正，并在测试评估前固定。该校正旨在改善记录数据的整体覆盖率，但不保证对每种飞行状态或数据之外的新操作条件具有相同的覆盖率。对于代表有向弧段(i,j)（其中i为起始节点，j为目标节点）的飞行剖面，水平α下的能量估计为：

(34) ??(α)???? = (1/3600) Σ_{q∈??????} Δ???? · ???(α)??

点估计??????由同一表达式通过将???(α)??替换为?????得到。其中??????表示用于代表弧段(i,j)的时间步，系数1/3600将瓦秒转换为瓦时。点估计和分位数能量矩阵在优化前计算完成，作为固定系数进入目标函数和电池约束条件。这保持了路由模型的线性特性。实验中使用的分位数水平在第5.1节中报告。

3.2 UAV配送优化

我们考虑UAV集合??和配送任务集合?，UAV由k索引，任务由m索引。机队将包括疫苗、药物和血液样本在内的关键医疗物资运输到山区偏远村庄，该地区的地面交通受到中断或不便。所有UAV从并返回中央仓库，由节点0表示。UAV ??∈??具有电池容量????和最大载荷容量??max??。任务??∈?代表一个配送请求，具有包裹重量????和时间窗[??min??, ??max??]（Escudero-Santana et al., 2026）。因此，????描述与任务m的配送需求相关的重量，而??max??是UAV k的容量特征。基数|??|和|?|分别表示机队规模和任务数量。

符号说明见表3：

表3.

符号汇总。集合 $\mathcal{K}$ 无人机集合，以 $k$ 索引；$|\mathcal{K}|$ 为机队规模；$\mathcal{M}$ 配送任务集合，以 $m$ 索引；$|\mathcal{M}|$ 为任务数量；$\mathcal{N}$ 节点集合，以 $i$ 和 $j$ 索引，节点 0 表示仓库。参数 $B_k$ 无人机 $k$ 的电池容量；$L_k^{\max}$ 无人机 $k$ 的最大载重能力；$l_m$ 任务 $m$ 的配送需求（包裹）重量；$t_{ij}$ 从 $i$ 到 $j$ 的旅行时间；$\tau_i$ 在节点 $i$ 的服务时间（仓库处 $\tau_0=0$）；$e_{ij}$ 从 $i$ 到 $j$ 的能量消耗点估计；$e_{ij}^{(\alpha)}$ 弧 $(i,j)$ 的条件上分位数能量；$\alpha$ 鲁棒路径规划中使用的能量覆盖水平；$t_m^{\min}$ 任务 $m$ 的最早允许到达时间；$t_m^{\max}$ 任务 $m$ 的最晚允许到达时间；$H$ 用于时间约束的足够大的常数。决策变量 $x_{ijk}$ 二元决策变量，=1 表示无人机 $k$ 从 $i$ 到 $j$；$s_{ik}$ 连续决策变量，无人机 $k$ 到达节点 $i$ 的到达时间；$y_{mk}$ 二元决策变量，=1 表示任务 $m$ 分配给无人机 $k$；$z_k$ 二元决策变量，=1 表示无人机 $k$ 被部署。MILP 模型如下：(35) $\min \sum_{k \in \mathcal{K}} \sum_{i \in \mathcal{N}} \sum_{j \in \mathcal{N}} e_{ij} x_{ijk}$ s.t. (36) $\sum_{k \in \mathcal{K}} y_{mk} = 1, \forall m \in \mathcal{M}$ (37) $\sum_{i \in \mathcal{N}, i \neq m} x_{imk} = y_{mk}, \forall m \in \mathcal{M}, \forall k \in \mathcal{K}$ (38) $\sum_{j \in \mathcal{N}} x_{0jk} \leq 1, \forall k \in \mathcal{K}$ (39) $\sum_{i \in \mathcal{N}} x_{i0k} \leq 1, \forall k \in \mathcal{K}$ (40) $\sum_{i \in \mathcal{N}} x_{imk} = \sum_{j \in \mathcal{N}} x_{mjk}, \forall m \in \mathcal{M}, \forall k \in \mathcal{K}$ (41) $s_{jk} \geq s_{ik} + \tau_i + t_{ij} - H(1 - x_{ijk}), \forall i,j \in \mathcal{N}, \forall k \in \mathcal{K}$ (42) $t_m^{\min} y_{mk} \leq s_{mk} \leq t_m^{\max} y_{mk} + H(1 - y_{mk}), \forall m \in \mathcal{M}, \forall k \in \mathcal{K}$ (43) $\sum_{m \in \mathcal{M}} l_m y_{mk} \leq L_k^{\max}, \forall k \in \mathcal{K}$ (44) $\sum_{i \in \mathcal{N}} \sum_{j \in \mathcal{N}} e_{ij} x_{ijk} \leq B_k, \forall k \in \mathcal{K}$ (45) $\sum_{m \in \mathcal{M}} y_{mk} \leq |\mathcal{M}| z_k, \forall k \in \mathcal{K}$ (46) $\sum_{m \in \mathcal{M}} x_{0mk} = z_k, \forall k \in \mathcal{K}$ (47) $x_{ijk} \in \{0,1\}, \forall i,j \in \mathcal{N}, i \neq j, \forall k \in \mathcal{K}$ (48) $y_{mk} \in \{0,1\}, \forall m \in \mathcal{M}, \forall k \in \mathcal{K}$ (49) $z_k \in \{0,1\}, \forall k \in \mathcal{K}$ (50) $s_{0k} = 0, \forall k \in \mathcal{K}$ (51) $s_{ik} \geq 0, \forall i \in \mathcal{N}, \forall k \in \mathcal{K}$ 其中优化模型最小化多无人机配送操作的总能量消耗，同时确保所有任务在其指定的时间窗口内完成。约束条件 (36) 和 (37) 分别确保每个任务被恰好分配给一架无人机且被访问一次。约束条件 (38) 到 (40) 限制每架无人机在给定时间段内起飞或返回仓库的次数不超过一次。约束条件 (41) 维持时间连续性，要求当使用弧 $(i,j)$ 时，到达节点 $j$ 的时间不早于到达节点 $i$ 的时间加上在 $i$ 的服务时间和从 $i$ 到 $j$ 的旅行时间。因此，$s_{ik} + \tau_i$ 表示从节点 $i$ 的出发时间。约束条件 (42) 将时间窗口应用于每个任务的到达时间，或等价地应用于服务的开始时间。约束条件 (43) 确保分配给无人机 $k$ 的配送需求总重量不超过其最大载重能力 $L_k^{\max}$。此外，约束条件 (44) 限制每架无人机飞行期间的能量消耗。约束条件 (45) 到 (46) 指定无人机部署与任务分配之间的逻辑关系。此外，约束条件 (47) 到 (51) 定义决策变量的取值域。3.2.1. 基于分位数的预测不确定性鲁棒路径规划 点估计公式假设 $e_{ij}$ 精确已知。为考虑预测误差，我们引入风险水平 $\alpha$，并使用公式 (34) 中的条件能量分位数 $e_{ij}^{(\alpha)}$。电池可靠性要求为 (52) $\Pr\left(\sum_{i \in \mathcal{N}} \sum_{j \in \mathcal{N}} E_{ij} x_{ijk} \leq B_k\right) \geq \alpha, \forall k \in \mathcal{K}$ 其中 $E_{ij}$ 为弧 $(i,j)$ 上不确定的实际能量。我们实现以下基于分位数的鲁棒对偶：(53) $\min \sum_{k \in \mathcal{K}} \sum_{i \in \mathcal{N}} \sum_{j \in \mathcal{N}} e_{ij}^{(\alpha)} x_{ijk}$, (54) s.t. $\sum_{i \in \mathcal{N}} \sum_{j \in \mathcal{N}} e_{ij}^{(\alpha)} x_{ijk} \leq B_k, \forall k \in \mathcal{K}$ 约束条件 (54) 替换了点估计电池约束 (44)；所有其他分配、路径、时间窗口、载重、部署和取值域约束保持不变。由于分位数是预先计算的弧参数，鲁棒对偶仍为 MILP。较高的 $\alpha$ 赋予不利预测误差更大权重，可能改变任务分配、路径序列或部署的无人机数量。该公式在 $\alpha \in \{0.80, 0.90, 0.95\}$ 处进行评估，并与原始点估计模型进行比较。预测误差可能在连续飞行段之间相关。因此，累加弧级能量分位数并不能保证所选分位水平在整个路径上实现。我们通过从测试数据中的记录级相对能量误差构建残差情景，并计算每条路径保持在电池容量内的比例来评估路径级电池可靠性。分位水平和基于验证的修正在此评估之前已固定，测试结果不用于重新校准。对于每个选定的 $\alpha$ 值，观察到的电池可行率与相应的名义水平进行比较。任何不足均明确报告，名义分位水平不被解释为路径级可靠性的正式保证。4. 数据 本研究使用的全部飞行记录均获取自卡内基梅隆大学 KiltHub 仓库托管的公开数据集"Data Collected with Package Delivery Quadcopter Drone"，并由 Rodrigues et al. (2021) 记录。我们未开展原始飞行实验，也未收集任何额外的无人机传感器测量数据。公开数据集包含使用 DJI Matrice 100 平台获取的 209 条飞行和地面条件记录。原始数据创建者通过机器人操作系统（ROS）记录机载传感器流，并以约 5 Hz 的频率进行同步。元数据汇总见表 4。表 4. 无人机飞行和能耗数据集元数据汇总。方面：测量(s)——大气风速、大气风向、电池电流、电池电压、3D 位置、3D 朝向、3D 速度、3D 角速度、3D 线加速度。技术类型(s)——超声风速仪、电流/电压传感器、GNSS/INS 导航系统、惯性测量单元（IMU）。因素类型(s)——巡航期间编程水平速度、巡航期间编程高度、载重质量、预定义飞行路径。采样频率——约 5 Hz（同步）。平台——DJI Matrice 100（四旋翼）。表 5 描述了本研究中与功耗预测最相关的变量。表 5. 用于无人机功耗预测的关键变量描述。变量——描述：time——已流逝飞行时间（s），主要时间索引；wind_speed, wind_angle——相对于正北方向测量的真实风速（m/s）和磁方向（度）；battery_voltage——系统电池电压（V）；battery_current——系统电池电流（A）；velocity_x, velocity_y, velocity_z——无人机地面速度向量的分量（m/s）；linear_acceleration_x, linear_acceleration_y, linear_acceleration_z——机身坐标系中无人机线加速度的分量（m/s2）；position_x——飞机的经度（度）；position_y——飞机的纬度（度）；position_z——海平面以上高度（m）；speed——巡航期间编程水平地面速度（m/s）；payload——附加载荷质量（g）；altitude——预定义巡航高度（m）；route——预定义飞行路径标识符（R1-R7：巡航飞行；A1-A3：地面测试；H：悬停）。4.1. 公开数据来源与原始实验方案 根据 Rodrigues et al. (2021)，原始实验于 2019 年 4 月至 10 月在美国宾夕法尼亚州 Penn Hills 的开阔场地进行。试验累计覆盖约 65 公里和 10 小时 45 分钟的操作时间。一架 DJI Matrice 100 自主完成起飞、预定义三角路径和降落，同时原始团队改变了三个受控因素：巡航速度（4、6、8、10 和 12 m/s）、巡航高度（25、50、75 和 100 m）和载重质量（0、250 和 500 g）。每种组合至少重复三次，产生 195 次路径飞行；另有 14 条悬停和怠速记录，总计 209 条。原始平台使用 DJI 3510 电机、E SERIES 620D 电子调速器、DJI 1345s 螺旋桨和 4500 mAh 电池。其传感器负载起飞质量报告为无附加载荷时 3680 g、附加 250 g 载荷时 3930 g、附加 500 g 载荷时 4180 g。传感器套件包括：• 风测量：FT Technologies FT205 超声风速仪，精度 ±0.1 m/s，10 Hz 刷新率；• 位置、运动和朝向：MicroStrain 3DM-GX5-45 GNSS/INS 单元，融合 GPS 和 IMU 测量，以 10 Hz 产生数据；• 电气测量：Mauch Electronics PL-200 电流和电压传感器，模拟读数通过 17 位模数转换器转换。原始团队在运行 ROS 的 Raspberry Pi Zero W 上记录传感器流，并使用 ApproximateTime 消息过滤策略以约 5 Hz 同步流，未施加插值。仓库提供原始飞行级记录、处理后的 CSV 文件和描述指令速度、高度、载荷、路径和飞行时间的参数文件。本研究从这些公开发布的记录开始：样本选择和划分在第 4.2 节描述，目标构建和基于物理的特征工程在第 3.1.1 节与能量模型一同呈现。然后我们估计和评估预测模型，并将其输出用于路径分析。优化实验中使用的配送实例是构造的数值场景而非额外野外收集的观测数据；未使用人体实验数据。4.2. 样本构建与数据集划分 公开数据集有来自 209 条飞行和地面条件记录的 257,896 个带时间戳的观测值。我们保留路径飞行记录（R1–R7）和悬停记录（H），排除辅助地面测试（A1–A3），并移除目标或任何必需输入缺失或非有限的观测值。孤立的电流中断在数据划分之前通过与其相邻值的断点来识别。由于电压和电流定义目标，测量瞬时功率低于 1.5 W 的记录被视为目标传感器故障。这一统一的数据质量规则在模型估计之前固定，并应用于训练、验证、测试和每个报告的指标。图 4 报告了模型估计之前的测量功率分布。图 4. 测量瞬时功率的频率分布。我们将观测值按 70%、10% 和 20% 的比例划分为训练集、验证集和测试集，同时保持三个集之间相似的功率分布。瞬时功率低于 1.5 W 的观测值从所有三个集合中排除。所得训练集、验证集和测试集分别包含 152,217、21,722 和 43,456 个观测值。我们使用训练集估计模型和预处理尺度，使用验证集选择模型设置，使用测试集评估预测性能。5. 实验 本节报告主要预测和路径规划结果。为保持实证讨论的聚焦，详细实现设置、统计检验、消融结果、分位数校准、局部 SHAP 解释和补充路径实验在附录中报告。所有实验均在配备 Apple M3 处理器和 16 GB RAM 的 MacBook Pro 上进行。预测模型使用 Python 3.9、PyTorch 2.5.1、scikit-learn 1.5.2 和 XGBoost 1.7.6 进行估计。路径模型使用 Python 实现，并通过 SciPy 调用 HiGHS 1.11 求解。5.1. 实验设置 预测实验使用第 4.2 节描述的通用样本构建和数据划分。PI-NN 和所有比较模型均在相同的 43,456 个测试观测值上评估，1.5-W 传感器质量规则在模型估计之前以及每个报告的指标上应用。预测器包含 21 个非电学运行状态变量；电压、电流、测量或滞后功率、未来状态、飞行标识符和其他模型的预测被排除。最终网络和估计设置在附录 A 中报告。基础路径实例包含 4 架无人机和 22 个配送任务。每架无人机有 99.9-Wh 电池和 1,245 g 最大载重能力。巡航速度为 12 m/s，配送需求重量从 U[150, 245] g 生成，规划时域为 7,200 s，服务时间设为零。仓库位于 (0,0)，22 个需求点以固定种子 42 在 1.8 公里服务半径内生成。图 5 显示了所得空间配置。每个 MILP 使用 3,600 秒时间限制和 1% 相对间隙目标。详细基准构建和鲁棒性方案在附录 A.1 中提供。图 5. 固定种子基础实例中仓库和 22 个需求点的位置。坐标为合成生成，非实际配送地点。5.2. 能量预测与基于 SHAP 的解释 表 6 比较了 PI-NN 与原始黑箱基准在共同测试总体上的表现。报告绝对和相对指标，因为没有任何单一指标能完全刻画观测功率范围内的性能。每个指标使用所有保留的测试观测值，不采用指标特定阈值或删除。表 6. 共同测试总体上的比较预测性能。模型 / R2 / MAE (W) / RMSE (W) / MAPE (%) / SMAPE (%) / MdAPE (%) / WMAPE (%) / MASE：PI-NN / 0.9383 / 30.03 / 44.71 / 9.31 / 9.27 / 5.23 / 6.44 / 0.904；FCNN / 0.9336 / 31.02 / 46.39 / 13.55 / 10.80 / 5.38 / 6.65 / 0.933；XGBoost / 0.9254 / 32.89 / 49.19 / 31.29 / 17.25 / 5.66 / 7.05 / 0.989；Random Forest / 0.9100 / 36.22 / 54.02 / 32.05 / 14.94 / 6.21 / 7.76 / 1.090；MLP Regressor / 0.8647 / 46.26 / 66.24 / 181.98 / 25.54 / 7.35 / 9.91 / 1.392；Ridge Regression / 0.4679 / 101.96 / 131.35 / 956.24 / 35.62 / 15.40 / 21.85 / 3.067 注：每个条目使用相同的 $N=43,456$ 个测试观测值。MAPE 在统一应用 1.5-W 传感器质量规则后对完整共同测试总体计算。PI-NN 在所述模型中提供最佳综合精度，$R^2=0.9383$，MAE = 30.03 W，RMSE = 44.71 W，MAPE = 9.31%。FCNN 是最强的黑箱比较器，$R^2=0.9336$，MAE = 31.02 W。记录级配对检验确认 PI-NN 的误差优势并非由少量长记录驱动。附录表 B.2 中的结构审计还显示，当移除时间上下文、运行状态条件或物理代理变量时预测精度下降。完整统计、消融和分位数校准结果在附录 B 中报告。PI-NN 产生非负的升力、阻力和推进力分量，其总和等于总预测功率。平均预测贡献分别为 270.21、81.90 和 110.80 W。图 6 报告了完整拟合预测器的平均绝对 SHAP 值。角速度、总速度、垂直速度和载荷具有最大的平均贡献，其次是垂直加速度、风速、已流逝运动时间、总加速度和水平速度。这些值描述拟合的预测函数，不解释为因果效应。个体特征效应图、四个确定性局部解释和运营案例设计在附录 C 中提供。图 6.

基于PI-NN拟合结果的全局特征重要性（依据平均绝对SHAP值）。

5.3 节能感知路线优化结果

第5.3节重点探讨两个问题：在目标函数中引入PI-NN能量估计是否会改变路线规划结果，以及机群规模、任务数量、电池容量和空间分布的变化如何影响路线能量效率。附录D中补充报告了稳健路线规划实验和基于解释的策略实验。

图7展示了基准算例的解。PI-NN节能感知MILP模型将全部22个任务分配给4架无人机，返回209.10 Wh的当前最优解。HiGHS求解器在532.26秒后终止，得到207.01 Wh的下界，最终间隙为1.00%，因此3600秒的时间限制并非约束条件。总行驶距离为18.34 km，最大电池使用率为57.74%，在零服务时间假设下所有任务均满足时间窗口要求。

下载高分辨率图像（490 KB） 下载全尺寸图像 图7 基准算例的可行当前最优路线

核心基准对比 表7将本文提出的模型与两种基准方法进行比较。基于距离的MILP模型使用相同的任务、时间窗口、载荷限制和机群规模，但以最小化总距离为目标，且未在目标函数中使用PI-NN能量估计。该路线仅在优化完成后才使用PI-NN能量矩阵进行评估，以确保能量结果具有可比性。带定向2-opt的扫描启发式作为最强可行构造基准予以保留。全部六种基准方法的结果在附录D.1中报告。

表7 所提路线模型与基准方法的核心对比

| 方法 | 路线准则 | 能量（Wh） | 距离（km） | 任务数 | 运行时间（秒） | 求解器下界（原始单位） | 间隙（%） |
|------|---------|-----------|-----------|--------|--------------|-------------------|---------|
| PI-NN节能感知MILP | PI-NN弧段能量 | 209.10 | 18.34 | 22 | 532.26 | 207.01 Wh | 1.00 |
| 基于距离的MILP | 仅距离 | 210.40 | 18.34 | 22 | 1223.19 | 18.16 km | 1.00 |
| 扫描+定向2-opt | 构造式路线改进 | 214.26 | 18.76 | 22 | <0.001 | N/A | N/A |

注：所有可行路线均使用共同的能量（Wh）和距离（km）指标进行评估。求解器下界是对应MILP原始目标函数的最佳有效界；其单位为能量感知模型的Wh或基于距离模型的km。这两个下界是特定于各方法的证明证书，彼此之间不进行直接比较。相对间隙将每个MILP的当前最优解与其自身下界进行比较。启发式方法不产生求解器下界或最优性间隙。

基于距离的MILP模型产生了与本文所提解相同的总距离，但消耗了更多能量。构造式基准方法也产生了更高能耗的路线。这些结果表明，当考虑方向性和运行条件效应时，距离相近的路线在能耗方面可能存在差异。因此，本文所提模型的效益来源于将学习到的弧段能量差异纳入任务分配和路线排序，而非单纯减少距离。

敏感性分析 表8总结了机群规模、任务数量、电池容量和空间需求分布模式如何影响路线能量效率和可行性。在每个因素组内，其他算例特征保持不变。包括求解器下界、计算时间和最终间隙在内的完整数值结果在附录表D.5中报告。

表8 敏感性分析的主要发现与政策启示

| 因素 | 测试水平 | 主要发现 | 政策启示 |
|------|---------|---------|---------|
| 机群规模 | K∈{3,4,5,6} | 3架无人机不足够，而超过4架的额外可用量不会改变部署方案或路线能耗 | 在机群容量不再构成约束后，扩充机群提供的节能效益有限 |
| 任务数量 | M∈{10,22,30,40,50} | 总能耗随需求增加，而单位任务能耗下降；较大规模算例在时间限制内更难认证 | 需求整合可提高单位任务效率，但更大网络需要更强的求解方法 |
| 电池容量 | B∈[79.92, 129.96] Wh | 所选路线及其能耗保持不变，而容量增加时电池利用率下降 | 当电池约束非约束性时，更大电池主要提供运行储备 |
| 空间分布模式 | 均匀、集聚、分散 | 集聚型需求的路线能耗最低，分散型需求最高 | 需求整合、服务区设计和仓库选址可显著提升路线能量效率 |

注：由于实验使用构造的固定随机种子算例，结果在每个因素组内解释。详细的数值结果和求解器证明证书在附录表D.5中报告。

敏感性分析区分了放松现有约束的因素与改变路线结构的因素。在对应约束不再起作用后，增加无人机数量和电池容量提供的节能效益有限，尽管它们增加了运行灵活性和储备。任务规模产生整合效应，但也增加了计算难度。空间集中度直接缩短需求点之间的连接距离，对路线能耗的影响最为明确。对于本文构造的算例，结果表明需求整合和服务区设计可能比单纯扩充容量更为有效的能量管理工具。

数值实验假设零服务时间，因此代表即时包裹交接。正服务时间将减少时间窗口余量，可能改变路线顺序、任务分配或机群部署。若无人机在服务期间保持悬停，则还必须计入悬停能量。因此，报告的路线应理解为可忽略现场服务时间条件下的基准。

5.4 管理洞察

基准对比表明，最小化距离并不一定意味着最小化能耗。尽管本文所提模型和基于距离的模型产生了相同的总距离，但基于距离的路线在使用共同的PI-NN能量矩阵评估时消耗了更多能量。因此，当方向性运动、风力或任务特征使得相似长度的路线产生不同能耗时，管理者应使用条件依赖的能量估计。

敏感性结果识别了运营变更最有效的方向。在4架无人机之后，额外增加无人机可用性不会带来节能效益，因为最优部署方案保持不变。更大电池增加了运行储备，但在测试算例中并未减少能耗。相比之下，空间需求集中度显著降低了总能耗和单位任务能耗。这些结果表明，在现有路线已具备充足容量的情况下，服务区设计、需求整合和仓库选址可能比增加机群规模或电池容量带来更大的节能效益。

模型解释应用于识别候选行动，而非作为直接操作规则。SHAP为速度、加速度、载荷和风赋予较高重要性，但补充的反事实结果表明，在重新计算行驶时间和完整运动轨迹后，局部看似合理的变更可能增加任务能耗。在实施基于解释的策略之前，管理者应重新计算路线能量并验证载荷、电池和时间窗口可行性。

6 结论

本研究得出三个主要发现。第一，PI-NN将精确的功率预测与精确的非负升力—阻力—推进分解相结合，在共同测试人群上优于所列对比模型，统计分析和消融分析进一步提供了关于拟合模型稳定性和结构相关性的证据。

第二，将PI-NN能量估计纳入路线规划将目标从距离最小化转变为条件依赖的能量最小化。即使在总行驶距离相同时，本文所提模型产生的路线能耗低于基于距离的模型。这一发现表明，仅凭距离无法捕捉无人机路线之间所有与能耗相关的差异。

第三，敏感性分析表明，一旦容量约束不再起作用，任务规模和空间需求分布对路线能量效率的影响强于增加机群或电池容量。因此，在应用节能感知无人机路线规划时，需求整合和服务区设计值得明确考虑。

本研究的局限性指明了四个更广泛的研究方向。第一，由于预测证据来自单一无人机平台，未来研究应考察跨平台泛化能力，并利用来自不同机型、环境和任务剖面的数据开发可迁移的能量模型。第二，构造的路线算例和静态预调度设定催生了集成随机和动态框架的需求，该框架应联合处理预测不确定性、天气变化、新任务到达、服务运营和车辆可用性。第三，较大算例中观察到的最优性间隙增大凸显了可扩展优化方法的必要性，这些方法应在保留学习到的能量估计与机群级决策之间的联系的同时实现规模化。第四，由于SHAP值描述的是拟合模型中的关联而非因果或决策效应，未来研究应通过受控飞行实验和与无人机操作员决策相关的研究来评估基于解释的策略。

CRediT作者贡献声明

Yuan Liu：原稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、概念化。Haoqing Wang：原稿撰写、验证、方法论、概念化。Shuaian Wang：审稿与编辑、验证、监督、方法论、概念化。

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