任意边界条件下连续多跨梁自由振动特性解析方法及其试验验证

《Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control》：An analytical method for free vibration characterization of continuous multi-span beams with arbitrary boundary conditions and its experimental verification

　　

摘要专业翻译 针对任意边界条件下连续多跨梁的振动特性问题，以Timoshenko梁单元为受力分析对象，推导了任意两支座间梁段的微分振动方程。随后，根据跨间弹性支承力与位移变形的协调条件，以振型系数为传递向量，推导了多跨连续梁的横向振型传递关系。最后，给出了任意边界条件下轴向静载作用下弹性支承多跨连续梁的频率与振型的解析表达式。为验证所提方法在求解任意边界条件下弹性支承多跨连续Timoshenko梁固有频率与振型方面的有效性，研究人员在试验平台上开展了推进轴系振动特性试验。结果表明，采用所提方法计算得到的推进轴系振型与试验结果吻合良好，模态频率与试验测量值匹配良好，最大误差为7.62%。该验证确认了所提方法在求解固有频率与振型方面的有效性，满足工程计算精度要求，尤其适用于推进轴系设计阶段振动特性的快速验证。

论文解读

一、研究背景与问题提出

梁结构是工程中应用最为广泛的构件之一。除梁结构本身外，许多类似的一维结构，如管道、轴系等，也可简化为具有不同边界条件、跨数和支承形式的梁结构。因此，建立通用化的梁模型并分析其振动特性在工程中具有重要意义。

在不考虑剪切效应的情况下，梁的控制方程由Euler-Bernoulli理论给出。已有学者针对Euler-Bernoulli多跨梁开展了大量研究，包括无序条件下的局部振动、多弹簧质量系统支承的均匀多跨梁的精确频率与振型求解、混合梁的固有频率确定、移动载荷下四跨简支梁的动力响应、含裂纹多跨梁的振动特性等。然而，Euler-Bernoulli理论仅适用于低频细长梁的振动分析。为获得更精确的结果，需采用Timoshenko梁理论。已有学者利用Laplace变换、谱方法、数值组装法、传递矩阵法、微分求积法、Chebyshev谱展开法、谱有限元法等多种手段对Timoshenko梁的振动问题进行了研究。

在实际工程应用中，梁的受力与边界条件往往十分复杂。除实际梁结构两端的边界条件外，梁中部往往存在不止一个弹性支承。因此，梁结构的研究不应局限于两端经典边界条件，而应重点考虑中部弹性支承及复杂边界条件对振动特性的影响。本文正是针对任意边界条件下连续多跨梁的振动特性问题展开研究。

二、研究内容与结论

研究人员将Timoshenko多跨梁按跨数进行分解，从相邻梁段的公共边界条件出发推导了梁段间振动系数的传递关系，进而根据任意两支座间梁段的微分振动方程，给出了任意边界条件下连续多跨梁振动频率与振型的解析表达式。随后以推进螺旋桨轴系为例开展试验与仿真，验证了该方法的有效性。

三、关键技术与方法

本文的核心方法包括以下要点：以Timoshenko梁单元为受力分析对象，考虑轴向静载作用，建立微元体的力平衡方程、力矩平衡方程、弯矩方程和剪力方程，联立得到轴向静载下Timoshenko梁的横向振动微分方程。将振动位移分解为时间谐波项与空间振型函数，代入振动方程得到关于波数的特征方程，求解得到两个波数参数λ?和λ?。各跨梁段的振型函数由四个模态常数组合的三角函数与双曲函数表达。利用弹性支承处位移、转角、弯矩的连续性条件以及剪力突变条件（弹性支承力与位移的协调关系），建立相邻跨段间模态系数的传递关系，最终形成整根连续多跨梁的频率方程与振型表达式。试验验证采用推进轴系试验平台，通过振动特性试验获取模态频率与振型并与理论计算结果对比。

四、研究结果

连续多跨梁振动方程的建立。 基于Timoshenko梁微元体受力分析，考虑轴向力作用，推导了包含剪切变形与转动惯量效应的横向振动微分方程，该方程涵盖了Euler-Bernoulli梁理论所忽略的高阶效应。

振型传递关系的推导。 根据弹性支承处位移、转角、弯矩连续及剪力突变条件，以振型系数为传递向量建立了相邻跨段间的振型传递关系，实现了任意跨数连续梁振动特性的解析求解。

频率与振型解析表达式的给出。 通过求解特征方程获得波数参数，给出了任意边界条件下轴向静载作用下弹性支承多跨连续Timoshenko梁固有频率与振型的解析表达式。

试验验证。 在推进轴系试验平台上开展振动特性测试，将理论计算结果与试验数据进行对比。结果表明，采用所提方法计算的推进轴系振型与试验结果吻合良好，模态频率与试验测量值匹配良好，最大误差为7.62%，验证了该方法求解固有频率与振型的有效性，满足工程计算精度要求。

五、讨论与结论

本文所提出的方法能够有效求解任意边界条件下弹性支承多跨连续Timoshenko梁的固有频率与振型。试验验证结果表明该方法具有较高的计算精度，最大频率误差为7.62%，满足工程计算精度要求。该方法尤其适用于推进轴系设计阶段振动特性的快速验证，为工程设计提供了一种便捷高效的分析工具。