基于科尔莫戈罗夫 - 阿诺德网络的可泛化有监督算子学习框架，用于带有边界控制的结构化网格生成

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：A generalizable supervised operator learning framework based on Kolmogorov–Arnold networks for structured grid generation with boundary control

　　

摘要

网格质量对于数值模拟的准确性至关重要。在工程领域，结构化网格因其优异的离散化能力而备受青睐，然而其生成过程在质量与效率之间存在固有的权衡。基于物理信息神经网络的方法能够快速生成高质量网格，但它们受到泛化能力有限的制约，针对不同几何输入需要重新训练。本文提出了一种名为MKoNet的模型，这是一个具有边界控制的结构化网格生成可泛化监督算子学习框架。该模型利用算子学习直接捕捉控制偏微分方程（PDEs）的内在物理规律，从而能够在无需重新训练的情况下，针对不同的几何边界生成高质量网格。具体而言，我们的损失函数引入了专用的边界控制项，从而缓解了现有方法中边界附近严重的单元畸变问题，并提升了网格质量。此外，我们用Kolmogorov-Arnold网络（KANs）替换了传统的多层感知机（MLPs），在大幅减少参数量的同时实现了模型性能的增强。在多种几何构型上的实验结果表明，MKoNet能够生成具有有效边界控制和强鲁棒性的高质量结构化网格。所提方法在大多数评估指标上均达到了具有竞争力或更优的性能，尤其是在具有复杂边界的挑战性几何体上。

引言

偏微分方程（PDEs）在复杂工程现象的数学建模中无处不在，其应用涵盖空气动力学（Hsu等人，2016年）、传热（Duchaine等人，2014年）、推进系统（Gro?mann等人，2012年）以及几何建模（Bloor和Wilson，1996年；Dedè和Quarteroni，2015年）。这些方程数值解的准确性和稳定性与空间离散化的质量密切相关（Slotnick等人，2014年）。在各种网格划分策略中，结构化网格生成仍然是高保真模拟的首选方案，尤其是在采用有限差分法（FDM）或有限体积法（FVM）时（Wang等人，2013年）。与非结构化网格不同，结构化网格具有固有的有序拓扑结构（$i,j$），能够将物理域直接映射到逻辑计算空间。这种正则性不仅便于高效的内存访问和并行化，对于高阶离散化方案的实现也至关重要（Visbal和Gaitonde，2002年）。

现有的结构化网格生成策略在成本-质量谱系上大致属于两个对立的范式。在一端，像Transfinite插值（TFI）（Smith，1982年）等代数技术通过显式插值公式实现快速网格生成，但常常存在偏斜单元和缺乏内部控制的问题。在另一端，基于优化的PDE方法（如求解Poisson方程）（Steger和Sorenson，1979年）为网格正交性和平滑性提供了稳健的控制，确保了高质量的离散化。然而，这些求解器的迭代特性使其计算成本高昂且耗时。为了应对这一权衡，基于神经网络的方法近年来作为一种有前途的途径应运而生，旨在在保持代数方法推理速度的同时复现PDE优化器的高保真度。

机器学习领域的最新进展表明，在广泛的工程应用中，它具有学习复杂非线性映射的强能力，包括刀具磨损评估（Yan等人，2026b年）、轴承故障诊断（Yan等人，2026a年）、剩余使用寿命预测（Y. Wang等人，2025年）、物理数据驱动的磨损建模（S. Wang等人，2026年；Wang等人，2026年；S. Wang等人，2025年）、几何偏差建模（Zhao等人，2022年）、制造系统建模与调度（Li等人，2026年；Zhou等人，2025年）以及机械诊断的迁移学习（Deng等人，2021年；Deng等人，2023年）。与此同时，基于物理信息的学习在求解复杂PDE方面展现了巨大潜力（Guo等人，2025年），而近期的研究进一步强调了边界条件强制的重要性（Sisodia和Padhy，2026年）。神经网络算子方法通过学习函数空间之间的映射扩展了这一能力，并已成功应用于复杂几何上的参数化边值问题（Deng等人，2025年）以及基于物理信息DeepONet的PDE建模（Sarthak和Srinivasacharya，2026年）。

虽然物理信息神经网络（PINNs）（Raissi等人，2019年）为结构化网格生成提供了一种解决方案，但其无法在不同几何体之间泛化的缺陷限制了其实际应用。算子学习方法通过直接学习解算子来克服这一局限性，但也并非没有缺陷。现有方法根据其学习范式面临不同的挑战。无监督学习方法通常存在训练时间长和收敛性差的问题。相反，监督学习方法往往无法充分处理边界区域，导致局部网格质量差以及单元反转或网格失效的情况，严重破坏了整体网格的完整性。

本文提出了MKoNet，一种基于KAN的具有边界控制的结构化网格生成可泛化监督算子学习框架。具体而言，我们的方法采用DeepONet架构，利用算子学习直接捕捉结构化网格生成中固有的映射规则。Kolmogorov-Arnold网络的集成使该框架能够提升整体网格质量，同时所需的模型参数量显著减少。此外，损失函数对内部点采用均方误差策略，并在边界附近引入物理信息项。实验结果表明，我们的方法显著改善了边界处的网格质量，从而确保了全局高保真网格的生成。

章节摘要

传统方法

结构化网格由于其计算精度和求解效率方面的优势，广泛应用于流体力学等领域（Murayama和Yamamoto，2008年）。Transfinite插值（Smith，1982年）是一种通过边界插值生成结构化网格的技术，特别适用于几何相对规则的区域，能够高效地构建内部网格点。TFI方法的优势在于其较高的计算效率，但

预备知识

基于PDE的结构化网格生成方法通常通过非线性椭圆网格生成方程来表述，如公式(1)所示。这些方程是从计算域与物理域之间的变换下的Laplace方程推导而来的，从而建立了从计算域到物理域的映射。图1说明了这种映射关系。与线性Laplace方程不同，这些方程中的系数取决于

实验设置

所有基于神经网络的实验均在单块NVIDIA GeForce RTX 3090 GPU上运行。为了严格评估所提方法的性能，我们建立了两类基线：最先进的（SOTA）深度学习框架和传统数值方法。

对于深度学习基线，我们将我们的模型与近期的算子学习方法进行了比较，包括Meshonet（Xiao等人，2025b年）和PI-Meshonet（Xiao等人，2025a年），基于它们的公开可用

结论

本文提出了MKoNet，一种用于结构化网格生成的算子学习框架。通过将KAN与物理信息损失函数相结合，MKoNet改善了对非线性几何到网格映射的表示能力，同时在近边界网格结构上引入了额外的约束。在八种代表性几何构型上的实验展示了强大且具有竞争力的网格生成性能，尤其是在具有复杂

作者贡献声明

刘伟廷：撰写–初稿、可视化、验证、监督、软件、项目管理、方法论、调查、形式化分析、数据整理、概念化。周建鹏：可视化、软件、调查。王以夫：撰写–审阅与编辑。叶红飞：撰写–审阅与编辑。陈建军：资源获取、经费筹集。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文所报告的工作。

刘伟廷|周建鹏|王以夫|叶红飞|陈建军