基于神经网络的多机器人系统游戏分析，考虑通信延迟的影响

《Automatica》：Neural-network-based game analysis for multi-robot systems subject to communication delays

　　摘要
本文研究了一个多机器人系统中分布式纳什均衡（NE）的寻找问题，该系统的动态受到未知干扰的影响，并通过具有时变延迟的切换通信网络相互连接。在许多实际的机器人应用中，如编队控制、资源分配和任务规划，机器人必须在满足操作约束的同时优化其各自的成本函数。与以往通常假设网络是静态或无延迟的研究不同，我们的方法明确考虑了切换网络中的通信延迟。此外，每个机器人的策略被限制在一个紧凑且凸的集合内，这自然地模拟了物理或与任务相关的限制。为了保证收敛到纳什均衡，我们设计了基于投影的伪梯度更新法则，并结合了高斯径向基函数神经网络。这些神经网络用于近似和抵消每个机器人动态中未知有界干扰的影响。利用李雅普诺夫分析建立了半全局性质的解析结果，收敛条件与成本函数的单调性和利普希茨连续性属性有关。提供了一个非合作机器人定位的数值示例，以说明所提出控制方案的有效性。

1. 引言
多机器人系统越来越多地应用于需要分散协调的场景，如环境监测（Bogue, 2023; Dunbabin and Marques, 2012）、仓库自动化（Dhaliwal, 2020; Sodiya et al., 2024）、医疗手术（Huang et al., 2024; Taylor and Stoianovici, 2003）和灾难响应（Chiou et al., 2022; Vignesh et al., 2025）。在这些场景中，机器人通常作为自利益代理，优化局部目标（例如，最小化能耗或任务完成时间），同时竞争共享资源或避免碰撞。这类问题自然符合博弈论的表述，在这种表述中，纳什均衡——即没有代理因单方面偏离而获益的策略组合——是一个理想的操作状态（Frihauf et al., 2011）。现有的研究通常将代理动态简化为单积分器或双积分器（He and Huang, 2024a; He and Huang, 2024b; He and Huang, 2024c; He and Huang, 2024d; Stankovic et al., 2011），从而排除了它们对受复杂非线性动态（如欧拉-拉格朗日系统）控制的机器人的适用性。虽然最近的研究（如Liu and Huang, 2024; Ma et al., 2022; Nian et al., 2023）关注了机器人动态，但它们忽视了干扰和时变通信网络等关键挑战。相比之下，我们最近的工作（He et al., 2025）专注于具有完整欧拉-拉格朗日动态的N机器人系统，在这些系统中，代理在考虑惯性、科里奥利力和重力作用的同时优化其成本函数。这种表述更好地捕捉了现实世界中的机器人交互，例如操作臂协调或移动机器人群集，其中动态耦合和能源效率至关重要。
实际的多机器人系统由于环境障碍或移动性，经常在间歇性连接下运行，这些情况被建模为共同强连接的切换网络（He and Huang, 2023; He and Huang, 2024c; Liu and Huang, 2024）。以前的研究（如Gadjov and Pavel, 2018; Ye and Hu, 2017a）假设网络是静态的或无向的，忽略了现实世界通信的瞬态特性。时变延迟进一步增加了协调的复杂性，因为过时的信息可能会破坏寻求均衡的过程。尽管Liu et al. (2024)和Tan (2024)在切换网络中考虑了延迟，但他们没有处理具有未知干扰的非线性机器人动态。我们的框架通过提出一种对具有未知干扰的非线性动态具有抵抗力的神经补偿协议，扩展了这些结果。通过利用李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数，我们确保了即使在通信是异步和不连续的情况下也能收敛。表1总结了与Liu et al. (2024)和Tan (2024)的比较。

机器人系统本质上容易受到未知干扰的影响，例如传感器噪声、机械磨损或环境扰动。现有的方法（如Liang et al. (2022)）依赖于具有扰动界限先验知识的扰动观测器。其他方法使用鲁棒控制来实现预定义的纳什均衡寻找精度（Liu et al., 2020）。值得注意的是，He and Lin (2026)也研究了结合高增益反馈控制的扰动抑制方法。He and Lin (2026)中提出的算法仅适用于约束形式为线性不等式且通信即时无延迟的情况。这些算法确保以稳态误差收敛到纳什均衡，通过调整设计参数可以使误差任意小。

2. 参考文献
Liu et al. (2024)
Tan (2024)

本文
通信延迟
有界，时变
未考虑
有界，时变
代理动态
单积分器
未考虑
非线性机器人操作臂
不确定性/扰动
未考虑
未考虑
未知干扰
关键技术
基于观测器的
基于投影的
带有神经补偿的基于投影的
约束
未考虑
紧凑集合
紧凑集合

在本文中，我们通过将高斯径向基函数（RBF）神经网络和滑模技术 integrated 到控制设计中，重新探讨了多机器人系统中分布式纳什均衡（NE）的寻找问题，以便在线近似扰动，而无需显式知道界限或显式模型。与Huang et al. (2024), Liu et al. (2020)使用神经网络进行单机器人跟踪不同，我们的方法将自适应学习与博弈论均衡寻找结合起来。RBF网络实时补偿扰动，确保鲁棒性同时保持可行性，这可以通过逼近误差收敛到零来证明。
物理和操作约束，如关节限制或安全区域，需要策略限制在紧凑且凸的集合内（Gadjov and Pavel, 2022; He and Huang, 2024c）。虽然基于投影的方法在受限优化中很常见（Li and Zhang, 2025; Wu et al., 2025），但它们与切换网络下的分布式纳什均衡寻找的结合仍很少被探索。Yu et al. (2024)通过惩罚函数强制约束，但没有对一般凸集合的保证。我们最近的工作（He & Lin, 2026）通过促进KKT条件的应用研究了线性不等式约束。

本文研究了机器人策略应限制在某些紧凑且凸的集合内的情况，这些集合可以视为一组不等式约束。处理这些凸集合更加困难，因为标准工具如一阶梯度、屏障函数和雅可比矩阵不可用，必须依赖投影或分离预言机和切割平面或近端点算法，其复杂性和实现显著更加复杂。我们的解决方案采用基于投影的伪梯度方法，确保所有机器人策略在最终解中都是可行的。通过将NE问题重新表述为变分不等式并利用投影算子的收缩性，我们将来自静态（Gadjov and Pavel, 2022; He and Huang, 2024c）的结果推广到动态网络。我们的方法不仅处理了紧凑集合约束，还适应了时变延迟，超越了之前的工作，如He and Huang, 2023, He and Huang, 2024d, Liu and Huang, 2024，这些工作假设动作空间是无约束的。本文还解决了在具有时变延迟、未知干扰和策略约束的动态通信网络下进行分布式纳什均衡寻找的挑战。现有方法通常假设网络是静态的，忽略了不连续通信，或简化了代理动态，排除了它们对现实世界机器人系统的适用性。为了弥合这一差距，我们提出了一个基于神经网络的控制系统，用于受欧拉-拉格朗日动态控制的N机器人系统，其中通信通过具有时变延迟的共同强连接切换网络进行。关键挑战包括处理不连续的连接性、补偿未知干扰（例如，环境扰动和传感器噪声）以及确保在紧凑且凸的策略集合内满足约束。总之，我们的贡献如下：
- 与He and Huang, 2023, He and Huang, 2024d, He and Lin, 2026, Liu and Huang, 2024 和 Ye (2020)相比，我们为机器人系统开发了一种分布式NE寻找算法，其中每个机器人的策略限制在紧凑且凸的集合内。这种表述自然地模拟了物理和特定于任务的约束。
- 与He and Huang, 2024c, He and Lin, 2026, Liu and Huang, 2024 和 Ye and Hu (2017b)相比，本文提出的控制法则考虑了切换通信网络和时变通信延迟，确保了对网络诱导不确定性的鲁棒性。
- 与He and Huang, 2024a, He and Lin, 2026 和 Liu and Huang (2024)相比，在控制设计中结合了高斯径向基函数神经网络和滑模控制技术，以近似和完全拒绝影响机器人动态的未知干扰。

3. 组织
第2节回顾了图论、高斯神经网络近似和投影技术的一些基础知识。第3节阐述了本文研究的问题。第4节介绍了我们在机器人系统的分布式纳什均衡寻找方面的主要结果。第5节进行了仿真研究，以说明所提出控制律的有效性。第6节总结了本文。

4. 符号说明
我们使用 ‖x‖ 表示向量 x 的2-范数。Rn 是 n 维欧几里得空间。R>0 表示正实数集。Rm×n 是所有 m×n 实矩阵的集合。对于列向量 a1, a2, …, an，col(a1, a2, …, an) = a1T a2T ? anT。对于方阵 A1, A2, …, An，diag(A1, A2, …, An) 是以它们为对角元素的对角矩阵。? 表示克罗内克积。1N 和 0N 分别表示所有元素为 1 和 0 的 N 维列向量。IN 是 N×N 的单位矩阵。表2列出了本文中使用的变量汇总。

2. 前提
在本节中，我们回顾了He and Huang (2023), He and Huang (2024d), Huang et al. (2024)中的图论基础知识，以及Bianchi and Grammatico (2021) 和 Zhu et al. (2021)中的高斯神经网络近似方法和投影技术。
2.1. 图论
时变图表示为 G(t) = (V, E(t))，其中 V={1, 2, …, N} 是节点集，E(t) 是边集。E(t) 的一个子集 {(i1, i2), (i2, i3), …, (ik?1, ik)}，其中 i1, i2, …, ik∈V 是不同的，被称为 G(t) 在时间 t 从节点 i1 到节点 ik 的有向路径，在这种情况下，我们说节点 i1 可以在时间 t 到达节点 ik。如果对于所有 t>0，G(t)=G(0)，则图 G(t) 是静态的。如果任意两个节点之间存在路径，则静态图是强连接的。
我们用 A(t)=[aij(t)] 表示给定时间 t 的图 G(t) 的加权邻接矩阵，其中对于 i, j∈V，如果 (j, i)∈E(t) 且 i≠j，则 aij(t)>0，否则 aij(t)=0。设 D(t)=diag(D1(t), D2(t), …, DN(t))，其中 Di(t)=∑j=1N aij(t)。矩阵 L(t)=D(t)?A(t) 称为 G(t) 的拉普拉斯矩阵。
时间函数 σ:[0,∞)?P={1, 2, …, n0}，其中某个正整数 n0，如果存在一个序列 {tj: j=0,1,2,…} 满足 t0=0 且 tj+1?tj≥τ 对于某个正常数 τ，则 σ(t)=p 对于某些 p∈P，称其为分段常数切换信号。如果图的连通性根据切换信号 σ(t) 改变，则该图是切换图。如果联合图 Gσ([tj, tj+1))=?t∈[tj, tj+1)Gσ(t) 对所有 j=0,1,2, … 都是强连接的，则切换图 Gσ(t) 是共同强连接的。

2.2. 高斯神经网络近似
高斯径向基函数（RBF）神经网络是一种强大的函数近似工具，已广泛应用于具有扰动的复杂系统的控制中（Liu et al., 2020）。函数 f(Z):Γ→R 要被近似，可以表示为以下形式：(1)f(Z)=∑j=1?WjΦj(Z)+?f，其中 Γ 是一个紧集，? 是神经元的数量，Wj 是输出权重，Φj(Z) 是径向基函数，其形式为 (2)Φj(Z)=?(‖Z?cj‖)，中心 cj∈Rn，以及一个非线性激活函数 ?:R→R（通常是一个高斯函数 ?(r)=e?r2/σ2），而 ?f 是有界的近似误差，通过适当选择 ? 和 Wj，可以使该误差任意小。2.3. 投影将点 x∈Rn 投射到一个闭集 S 上，记为 PS(x)∈S，满足对所有 x′∈S 有 ‖x?PS(x)‖≤‖x?x′‖，或者 PS(x)=argminx′∈S‖x?x′‖。S 在点 x∈S 处的法锥定义为 NS(x)={y∈Rn|yT(x′?x)≤0，?x′∈S}。对于一个闭凸集 S?Rn，其内部、边界和闭包分别用 intS、?S 和 S? 表示。引理 2.1 Theorem 1.5.5 Facchinei & Pang, 2003 设 S?Rn 是一个非空、闭且凸的集合。对于任何 x,y∈Rn，我们有 (3)(PS(x)?PS(y))T(x?y)≥‖PS(x)?PS(y)‖2 和 (4)‖PS(x)?PS(y)‖≤‖x?y‖。此外，对于任何 y∈S，我们有 (5)(y?PS(x))T(PS(x)?x)≥0。引理 2.2 Lemma 2.38 Ruszczynski, 2011 设 S 是一个非空、闭且凸的集合，并且 x∈S。那么，(6)NS(x)={v∈Rn:PS(x+v)=x}。根据引理 2.2，我们可以容易地推导出以下推论。推论 2.1 设 S 是一个非空、闭且凸的集合，并且 x∈S。那么，以下两个陈述是等价的：(1)x=PS(x?v)，v∈Rn；(2)0∈v+NS(x)，v∈Rn。3. 问题表述在这项工作中，我们通过研究一个 N 机器人系统来解决分布式纳什均衡问题，该系统受到联合强连通交换网络中的未知干扰影响，并且受到通信延迟的约束。机器人的动态由以下公式控制：(7)Mi(qi)q?i+Ci(qi,q?i)q?i+Gi(qi)=ui+di(t)，其中 qi∈Rni 是联合空间中的位置，ni 是自由度（DOF），Mi(qi)∈Rni×ni 是正定惯性矩阵，Ci(qi,q?i)∈Rni 是科里奥利力和离心力，Gi(qi)∈Rni 是重力，ui∈Rni 是控制输入，di(t) 表示有界干扰。每个机器人必须在其满足某些约束的同时最小化其成本函数。我们将每个机器人 i∈V 视为一个玩家，其输出 qi 作为其策略。然后，非合作游戏表示为 {V,fi,Rn}，其中 V={1,2,…,N} 是 N 个玩家的集合，n=∑i=1Nni，ni 是玩家 i 的策略的维度。对于每个玩家 i∈V，玩家 i 的策略表示为 fi:Rn→R。设 q=col(q1,q2,…,qN)∈Rn，称为策略向量，q?i=(q1,q2,…,qi?1,qi+1,…,qN)。在本文中，我们将通过考虑以下约束来研究分布式纳什均衡问题：qi∈Ωi，其中 Ωi?Rni 是一些紧致且凸的集合。每个玩家 i 的目标是在 q∈Ω 的约束下最小化其成本函数 fi(q)=fi(qi,q?i)，其中 Ω=Ω1×Ω2×?×ΩN，即 (8)minqi∈Ωifi(q)，q∈Ω。定义 3.1 如果对于每个 i∈V，都有 (9)fi(qi?,q?i?)≤fi(qi,q?i?)，(qi,q?i?)∈Ω，则策略向量 q?∈Rn 被称为纳什均衡（NE）。我们将考虑一个交换通信网络，该网络可以表示为一个交换图 Gσ(t)=(V,Eσ(t))，其中 Eσ(t)?V×V 对所有 t≥0。我们首先做出以下假设。假设 3.1 交换网络 Gσ(t) 是联合强连通的。我们还考虑了通信延迟 τij(t)，i,j∈V，当玩家 i 在时间 t 向玩家 j 传输信息时。这样的延迟可以是分段连续的，但满足 0≤τij(t)≤τ，对于任意正实数 τ。我们现在准备制定本文要研究的问题。问题 3.1 考虑具有动态 (7) 的 N 机器人的非合作游戏 (8)，这些机器人通过一个满足假设 3.1 的通信网络连接，并受到时变通信延迟 τij(t) 的影响。对于每个机器人 i∈V，对于任意给定的有界集合 Λi?R2ni，设计一个控制输入 ui，使得对于 Λi 中的任何初始条件，每个机器人 i 的策略 qi 都收敛到纳什均衡 qi?。4. 主要结果在本节中，我们提出了一种基于投影的伪梯度方法来寻找具有部分信息的机器人系统的纳什均衡，其中每个机器人对其他机器人的策略和成本函数的了解有限。我们首先在 4.1 节研究没有通信延迟的情况，然后在 4.2 节考虑时变通信延迟。我们需要对游戏设置做出几个常用的假设。假设 4.1 对于每个 i∈V，成本函数 fi(qi,q?i) 在 qi 上是凸的并且连续可微的。设 F(q)=col(?1f1(q),?2f2(q),…,?NfN(q))，其中 ?ifi(q)=?fi(qi,q?i)?qi 是 fi 的伪梯度。假设 4.2 对于每个 i∈V，F 在 Ω 上是强单调的，即存在一个 μ>0 使得 (q?q′)T(F(q)?F(q′))≥μ‖q?q′‖2，q,q′∈Ω。此外，伪梯度 ?ifi(qi,q?i):Ω→Rni 是利普希茨连续的，即 ‖?ifi(q)??ifi(q′)‖≤θi‖q?q′‖，对于某些常数 θi>0。注 4.1 在假设 4.1 下，根据 Ba?ar 和 Olsder (1998) 的定理 4.3，基于布劳威尔不动点定理存在纳什均衡。在额外的假设 4.2 下，根据 Scutari 等人 (2014) 的定理 3，纳什均衡是唯一的。假设 4.1 和 4.2 在分布式（广义）纳什均衡搜索问题的文献中经常被使用（例如，见 Gadjov 和 Pavel, 2018, He 和 Huang, 2024b），它们可以由分布式控制和机器人技术中常见的几类游戏满足，包括凸势游戏、具有二次或凸耦合成本的聚合游戏以及均衡附近的零和竞争游戏。注 4.2 假设 4.2 对伪梯度 F(q)=col(?1f1,?2f2,…,?NfN) 施加了强单调性和利普希茨连续性，确保了纳什均衡的唯一性和收缩算子的存在，这使得在李雅普诺夫分析中可以实现指数收敛。然而，在实践中，机器人和网络物理系统可能涉及非凸成本或强耦合，这违反了全局单调性。因此，这个假设主要是为了分析上的可行性；在实际应用中，局部单调性或增量被动性通常足以保证在吸引域内的收敛。根据 Facchinei 和 Pang (2003) 的命题 1.4.2，纳什均衡 q?∈Ω 满足以下变分不等式：(10)(q?q?)TF(q?)≥0，q∈Ω。由于 (10) 也可以写成 ?F(q?)T(q?q?)≤0，根据法锥的定义，我们可以很容易地推出 (11)?F(q?)∈NΩ(q?)。4.1. 无通信延迟的分布式纳什均衡寻找在提出控制律之前，我们首先定义以下量：ei=ηi?qi，q?ei=η?i(t)+γiei，si=q?ei(t)?q?i(t)=e?i+γiei，其中 ei 是跟踪误差，ηi 是稍后要设计的虚拟输出，γi 是任何正常数。接下来，我们将介绍在联合强连通网络上具有未知干扰的机器人系统的分布式纳什均衡寻找的主要结果。我们为每个机器人 i∈V 提出以下控制律：(12a)ui=Φi(si)W?i+Kisi+κisgn(si)，(12b)W??i=ψiΦiTsisi，(12c)η?i=δ2PΩi(ηi?δ1?ifi(zi))?δ2ηi，(12d)z?ij=?∑k=1Naik(t)zij?zkj+aij(t)zij?ηj，其中 W?i=col(W?i1,W?i2,…,W?ini)∈Rni? 是权重的估计值，W?ij=col(W?ij1,W?ij2,…,W?ij?)，Φi=diag(Φi1,Φi2,…,Φini)∈Rni×ni? 包含高斯径向基函数，Phi_j=[Phi_j1,Phi_j2,…,Phi_j?]，Ki=diagKi1,Ki2,…,Kini，K_i 是任何正常数，ψ_i 是一些小常数，用于表示修改项，δ_1 和 δ_2 是稍后要确定的正数，κ_i 是某些设计的参数，sgn(si)=col(signsi_1,signsi_2,…,signsi_n) 是一个列向量，如果 s_j>0 则 sgn(s_j)=1，如果 s_j=0 则 sgn(s_j)=0，如果 s_j<0 则 sgn(s_j)=?1，P(?) 是投影算子，z_i 是玩家 i 对 η_j 的估计值，zi=col(zi_1,zi_2,…,zi_N)∈Rn，a_ij(t) 是交换图 Gσ(t) 的加权邻接矩阵的元素。注 4.3 高斯 RBF 网络因其分析简单性和与基于李雅普诺夫的自适应控制的兼容性而被使用。与 Sigmoid 或多层网络不同，其线性参数化结构允许直接、高效地更新权重，无需反向传播，这对于实时机器人技术非常有利。高斯 RBF 还提供了具有显式误差界限的通用逼近，并且具有局部激活，允许准确建模非线性机器人动态，同时简化了李雅普诺夫稳定性分析。注 4.4 我们的工作考虑了物理动态与均衡搜索过程耦合的非线性机器人系统。因此，均衡计算和控制设计不能分离，这激发了本文提出的基于学习的控制框架。控制器在 (12a)–(12d) 中实现了两层方案：上层通过投影伪梯度动态驱动辅助变量 η_i 向 qi?，下层通过物理状态 qi 确保 η_i 的指数跟踪。因此，随着 η_i→qi?，自适应动态强制 qi→η_i，从而实现 qi→qi?，使物理系统达到博弈论均衡。提出的控制算法 (12a)–(12d) 的计算复杂性可以通过检查每个代理 i 在每次控制更新时执行的主要计算组件来分析。首先，在 (12a) 中，主要的计算成本来自神经网络近似项 Φ_i(si)W?i，因此需要 O(n_i^2?) 操作。剩余项 K_i 和 sgn(si) 需要 O(n_i) 计算。接下来，步骤 (12b) 还涉及 Φ_iT(si)∈R_i^?×ni 和 si∈R_n 之间的矩阵-向量乘法，导致计算复杂性 O(n_i^2?)。对于 (12c) 中的辅助动态，主要的计算负担来自计算梯度 ?ifi(zi)。由于 zi∈R_n 包含所有代理的估计值，梯度计算通常需要 O(n) 操作。投影算子 PΩ_i(?) 通常是逐元素实现的，因此需要 O(n_i) 计算。最后，考虑 (12d) 中的共识估计器。注意 zi∈R_nj 且 ∑j=1N_nj=n。因此，每个差异项 (z_j?zk_j) 需要 O(n_j) 操作。对于代理 i，计算其邻居 Ni 上的加权求和需要 O(|Ni|n_j) 操作，其中 |Ni| 表示代理 i 的邻居数量。由于这个计算对所有 j=1,2,…,N 都执行，因此代理 i 的总计算复杂性变为 ∑j=1O(|Ni|n_j)=O(|Ni|n)。因此，每个代理在每次迭代中的计算复杂性为 O(|Ni|n)。在控制律 (12) 下的闭环系统的计算复杂性为：(13a)Miqi(t)q?i(t)+Ciqi(t)，q?i(t)，q?i(t)，Gi(qi)=Φi(si)W?i+Kisi+di(t)，κisi+gn(si)，(13b)W??i=ψiΦiTsisi，(13c)η?i=δ2PΩi(ηi?δ1?ifi(zi))?δ2ηi，(13d)z?ij=?∑k=1Naik(t)zij?zkj+aij(t)zij?ηj。设交换图 Gσ(t) 的拉普拉斯矩阵为 Lσ(t)，Oσ(t)=diag(a_11(t)，…，a_{1N}(t)，a_{21}(t)，…，a_{2N}(t)，…，a_N1(t)，a_{N2}(t)，…，a_NN(t)。然后，子系统 (13c)–(13d) 的紧凑形式为：(14a)η?=δ2PΩ(η?δ1H(z))?δ2η，(14b)z?=?(Lσ(t)?In+Oσ(t))z+Oσ(t)(1N?η)，其中 η=col(η_1,η_2,…,η_N)，z=col(z_1,z_2,…,z_N)，H(z)=col(?1f_1(z_1)，?2f_2(z_2)，…，?if_N(z_N))。现在我们回顾 He 和 Huang (2023) 的一个现有结果：引理 4.1 (He & Huang, 2023 Lemma 4.1) 在假设 3.1 下，系统 (15)z?=?(Lσ(t)?In+Oσ(t))z 的原点是指数稳定的。注 4.5 如 He 和 Huang (2023) 所讨论的，引理 4.1 表明，对于任何正定矩阵 Q∈R^{n×n}，存在一个对称矩阵 R(t)，它在所有 t≥0 时是连续且有界的，使得 (16)c_1IN_n≤R(t)≤c_2IN_n，对于某些正常数 c_1 和 c_2，且对于 t∈[t_j,t_j+1]，j=0,1,2,… (17)R?(t)=R(t)(Lσ(t)?In+Oσ(t))+(Lσ(t)?In+Oσ(t))TR(t)?Q。以下引理将系统 (14) 的均衡状态 η? 与游戏 (8) 的纳什均衡联系起来。引理 4.2 在假设 3.1 下，设 col(η?,z?) 是系统 (14) 的均衡。那么，η? 是游戏 (8) 的纳什均衡。证明根据 col(η?,z?) 的定义，我们有 (18a)0_n=δ2PΩ(η??δ1H(z?))?δ2η?，(18b)0_Nn=?(Lσ(t)?In+Oσ(t))z?+Oσ(t)(1N?η?)。将 (18b) 重写为 (19)0_Nn=?(Lσ(t)?In+Oσ(t))(z??1N?η?)。根据引理 4.1，我们有 (20)z?=1N?η?。注意 H(1N?η)=F(η)，η∈R_n。将 (20) 代入 (18a) 可得 (21)η?=PΩ(η??δ1F(η?))，根据推论 2.1，这表明 η? 是纳什均衡。因此，证明完成。□接下来，我们将陈述在联合强连通交换网络上寻找分布式纳什均衡的主要结果。定理 4.1 在假设 3.1、4.1 和 4.2 下，对于任何给定的有界集合 Λ_i?R^{2n}，i∈V，以及任何初始条件在 Λ_1×Λ_2对(40)求导得到(41)：V?2=∑?=?^n???1W??jW???jT。根据(13b)，我们有W???j=??s?Φ??T(s?)，将其代入(41)得到(42)：V?2=∑?=?^n??s?W??jTΦ??T(s?)=∑?=?^n??s?Φ?(s?)W??j。接下来我们选择李雅普诺夫函数的第二部分为(43)：V?=1/2siTM?(q?)si，并得到(44)：V??=1/2(s??TM?s?+siTM??s??+siTM?s??)。由于M??(q?)?2Ci(q?,q??)是斜对称的（Liu & Huang, 2024），我们有siT(M??(q?)?2Ci(q?,q??))si=0。因此，(44)可以简化为V??=siT(Mis??+Cisi)，根据(39)，进而得到(45)：V??=siTH??Kisi?Φ?(si)W???κisgn(si)。回想一下W??=W???Wi?，我们将(45)重写为(46)：V??=?∑?=?^n??s?Φ?(s?)W?j?+Φ?(s?)W??j+siTH??siTKisi?siTκisgn(si)≤?∑?=?^n??s?Φ?(s?)W?j??∑?=?^n??s?Φ?(s?)W??j+siTH??siTKisi?siTκisgn(xi)。结合V?和V?，我们得到李雅普诺夫函数为V=V?+V?。定义水平集LV(c)为{(W??,si)∈R2??:V(W??,si)≤c}，其中c≥max(W??,si)∈Λ?V(W??,si)，Λ?是给定的任意大的有界集。设?Hi是与(W??,si)∈LV(c)的估计误差相关联的估计误差，按照(1)的形式。设κi≥‖?Hi‖。那么，(46)可以继续为(47)：V??≤siT?Hi?∑?=?^n??s?Φ?(s?)W??j?siTKisi?siTκisgn(xi)≤?∑?=?^n??s?Φ?(s?)W??j?siTKisi。结合(42)和(47)，我们得到(48)：V?≤?siTKisi≤0，(W??,si)∈LV(c)。因此，LV(c)是一个不变集。进一步地，对(48)的两边积分得到(49)：∫?^tT(τ)Kisi(τ)dτ≤?∫?^tV?(τ)dτ=V(0)?V(t)≤V(0)。然后，根据Barbalat的引理（Khalil, 2002），lim?→∞siT(t)Kisi(t) =0，因此，lim?→∞si(t)=0。回想一下e?i+γiei=si且γi>0，我们得到lim?→∞ei(t)=0，因此，lim?→∞(η?(t)?qi(t))=0。这完成了证明。

**注释4.6**：请注意，Liu等人（2020）也研究了使用基于神经网络的滑动模式控制的不确定机器人动力学。我们的工作至少引入了两个关键改进。首先，虽然Liu等人（2020）仅关注单个机器人，但我们的研究将分析扩展到通过切换通信网络互连的多个机器人。为了促进协调，我们提出了分布式估计器（12d），使机器人能够估计彼此的策略。其次，Liu等人（2020）中展示的控制律只能将系统输出驱动到期望位置的足够小邻域内，而我们的控制律能够实现无误差地收敛到期望的平衡状态。

**注释4.7**：He和Huang（2024c）也研究了在紧凑且凸的策略集上，通过共同强连通的通信网络寻求分布式纳什均衡的问题。然而，He和Huang（2024c）中提出的算法的有效性依赖于条件F(q?)=0。在本文中，我们通过引入两个可调参数δ?和δ?来消除这个条件。

**注释4.8**：在机器人动力学中要消除的未知函数是(38)，它通常是非线性的。我们使用基于高斯RBF的逼近器，其基矩阵为Φ?(?)和估计权重W??，使得(50)：Hi=Φ?(si)Wi?+?Hi，其中?Hi是有界近似误差。将Φ?(si)W??包含在控制中可以在线消除主导的未知动态，而自适应律(12b)确保估计值W??跟踪理想的权重Wi?。由于高斯RBF网络的局部近似特性，当系统轨迹穿过状态空间的不同区域时，瞬态跟踪精度可能会降低。在这种情况下，滑动模式项κisgn(si)在补偿残余近似误差和有界干扰方面起着关键作用。它确保了瞬态阶段的鲁棒性，而自适应神经网络提高了稳态精度并减少了控制 effort。

**注释4.8**：如果Ω?=R??，则闭环系统简化为(51a)：M??(t)q??(t)+C??(t)，q??(t)q??(t)+G??(t)=Φ?(si)W??+Kisi+di(t)+κisgn(si)，(51b)：W???=ψiΦ?Tsi?，(51c)：η??=?δ??ifi(zi)，(51d)：z??j=?∑?=?^Naik(t)z?j?zkj+taij(t)z?j?η?j。基于He和Huang（2023）的定理4.1及其证明，我们得到以下结果。

**定理4.2**：在假设3.1、4.1和4.2下，对于任何给定的任意大的有界集合Λ??R2??，i∈V，以及任何在Λ?×Λ?×?×Λ?中的初始条件，存在δ??>0，使得对于任何0< /><δ??，系统(51)的输出q将渐进地收敛到游戏(8)的纳什均衡。

**注释4.9**：为了证明η收敛到纳什均衡，我们为子系统(51c)、(51d)定义了李雅普诺夫函数候选值(52)：v??(η?,z?,t)=1/2η?t(t)η?(t)+z?t(t)r(t)z?(t)。v??(t)的时间导数为(53)：v????=?δ?η?t(t)h(z)=?δ?η?t(t)(h(z)?f(η)+f(η)?f(q?))≤?δ?μ‖η?‖2+δ?θ‖η?‖‖z?∥。与定理4.1证明的第一步中v???的分析相比，这里的v????要简单得多。

**4.2. 具有通信延迟的分布式纳什均衡寻求**：在本小节中，我们将考虑通信网络中存在延迟的情况。在这些延迟存在的情况下，分布式估计器(12d)变为(54)：z??j=?(∑?=?^naik(t)(z?j?zkj(t?τik(t))+aij(t)(z?j?η?(t?τij(t)))，其中τik(t)是玩家i在时间t向玩家k传输信息时发生的延迟。[(54)的紧凑形式如下：(55)：z?=?(diag(lσ(t)?in+oσ(t)))z+oσ(t)ηt?∑?=?^n{i?k[(lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))]}((dk?in)z)，其中dk=diag{dk?,dk?,…,dk?}，dkkz(t)=z(t)且dkjz(t)=z(t?τkj(t))，k≠j，j∈v，ηt=col(η?t,η?t,…,η?t)，ηit=col(η?(t?τ??(t)),η?(t?τ??(t)),…,η?(t?τ??(t)))，i∈v，i?k表示适当维度的行向量，其第k个元素为1，其余元素为0，i?k表示适当维度的方阵，其第k行为i?k，其余行为零行向量。设z?=z?1^n?η且η?t=ηt?1^n?q?。那么，我们有(56)：z??=?(diag(lσ(t)?in+oσ(t)))(z?+1^n?η?)?∑?=?^n{i?k[(lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))]}((dk?in)(z?+1^n?η?))+oσ(t)η?t?1^n?(δ?pω(η?δ?h(z))?δ?η)。在给出存在通信延迟时的控制律之前，我们首先重述liu等人（2024）中的一个引理，该引理是我们稳定性分析的基础。

**引理4.3 (liu等人，2024 lemma 3.1)**：在假设3.1下，切换线性时延系统(57)z?=?diag(lσ(t)?in+oσ(t))z?∑?=?^n(i?k((lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))))((dk?in)z)的原点是指数稳定的。

**注释4.10**：所提出的算法(58)为每个代理或域使用单独的私有特征提取器，而不是一个带有域特定参数的单一共享提取器。这个设计选择是基于代理的局部动态和外部干扰的异质性。共享特征提取器可能强迫所有代理学习一个共同的表示，可能会忽略域特定的动态和感知噪声变化。相比之下，私有提取器使每个代理能够捕获对准确局部近似至关重要的不同非线性特征，而分布式学习律仍然确保了向纳什均衡的协调收敛。这种模块化结构还便于扩展性，因为可以添加新的代理而无需重新训练全局共享模型。

**注释4.11**：为了应对通信不完善，hatanaka等人（2017）研究了具有显式鲁棒性的分层和分布式控制的hvac优化，以应对时间延迟。然而，他们的框架考虑了具有已知动态的凸优化，而本文研究了具有不确定动态和切换通信图的非线性机器人系统的纳什均衡寻求问题。在这方面，我们的工作将延迟鲁棒控制思想推广到了具有自适应神经网络补偿的非合作游戏情境。

**注释4.12**：辅助或虚构信号技术在实现分布式协调中也发挥了关键作用。mallada等人（2017）为智能电网中的频率调节开发了最优负载侧控制，使用辅助信号确保分布式稳定性和最优性。类似地，lu和zhu（2020）为动态耦合的网络提出了一个经济控制框架，使用虚拟状态将物理动态与优化层解耦。相比之下，我们设计中引入的辅助变量作为分布式估计器，用于补偿切换拓扑和有界通信延迟，同时允许每个代理通过自适应rbf神经网络近似未知的非线性。鉴于(56)，子系统(58c)–(58d)的紧凑形式如下：(59a)：η?=δ?pω(η?δ?h(z))?δ?η，(59b)：z??=?(diag(lσ(t)?in+oσ(t)))(z?+1^n?η?)?∑?=?^n{i?k[(lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))]}((dk?in)(z?+1^n?η?))+oσ(t)η?t?1^n?(δ?pω(η?δ?h(z))?δ?η)。在给出存在通信延迟时的控制律之前，我们首先重述了liu等人（2024）中的一个引理，该引理是我们稳定性分析的基础。

**注释4.13**：定义z?=z?1^n?η且η?t=ηt?1^n?q?。那么，我们有(56)：z??=?(diag(lσ(t)?in+oσ(t)))(z?+1^n?η?)?∑?=?^n{i?k[(lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))]}((dk?in)(z?+1^n?η?))+oσ(t)η?t?1^n?(δ?pω(η?δ?h(z))?δ?η)。在给出存在通信延迟时的控制律之前，我们首先重述了liu等人（2024）中的一个引理，该引理是我们稳定性分析的基础。

**注释4.14**：与liu和lin（2026）以及liu和huang（2024）的研究相比，我们的工作有三个主要贡献。首先，liu和huang（2024）将估计的干扰界限嵌入控制器中，而我们使用自适应神经网络来近似未知动态，包括干扰。尽管liu和lin（2026）也使用了神经网络，但他们的方法仅确保收敛到纳什均衡的任意小邻域。通过引入具有自适应rbf神经网络的滑动模式控制，我们的设计完全拒绝了未知的有界干扰，从而实现了对ne的精确收敛。其次，liu和huang（2024）忽略了约束，而我们通过投影处理了紧凑策略集，主要的技术挑战反映在定理4.1和定理4.3的证明的第一步中。第三，与之前的工作不同，我们的方法明确考虑了通信延迟。

**注释4.14**：与数据驱动方法（例如，ding等人，2018年；nortmann等人，2022年）不同，这些方法需要大型数据集、集中训练或离策略探索，并且往往缺乏稳定性保证，我们的算法是完全分布式的且可扩展的，仅使用局部梯度和邻居信息。基于李雅普诺夫的分析进一步提供了明确的收敛条件，形成了一个统一的框架，将自适应学习与现实机器人通信约束下的博弈论均衡寻求结合起来。

**注释4.15**：最近关于分布式均衡寻求的研究主要关注采样数据和异步设置。例如，belgioioso等人（2021）提出了具有干扰鲁棒性的采样数据反馈方案，cenedese等人（2021）开发了用于具有部分和延迟更新的强单调游戏的异步方法。fu等人（2023）第三节中的方法与我们的基于投影的设计在结构上相关，但我们将其适应于具有非线性动态、干扰和紧凑约束的机器人操纵器，引入了可调参数δ?和δ?来调节投影强度和收敛性。此外，我们将投影框架扩展到了具有时变延迟的切换网络，超出了通常考虑的无延迟和静态网络的假设。

**注释4.16**：与he和huang（2024a）相比，后者针对具有已知外部干扰的高阶积分器处理分布式纳什均衡寻求，本文处理了具有一般有界干扰的复杂机器人动态。虽然he和huang（2024a）使用了虚构输出和luenberger观测器，但我们使用rbf神经 **注释4.9**：为了证明η收敛到纳什均衡，我们为子系统(51c)、(51d)定义了李雅普诺夫函数候选值(52)：v??(η?,z?,t)=1/2η?T(t)η?(t)+z?T(t)R(t)z?(t)。V??(t)的时间导数为(53)：V????=?δ?η?T(t)H(z)=?δ?η?T(t)(H(z)?F(η)+F(η)?F(q?))≤?δ?μ‖η?‖2+δ?θ‖η?‖‖z?∥。与定理4.1证明的第一步中V???的分析相比，这里的V????要简单得多。 **4.2. 具有通信延迟的分布式纳什均衡寻求**：在本小节中，我们将考虑通信网络中存在延迟的情况。在这些延迟存在的情况下，分布式估计器(12d)变为(54)：z??j=?(∑?=?^Naik(t)(z?j?zkj(t?τik(t))+aij(t)(z?j?η?(t?τij(t)))，其中τik(t)是玩家i在时间t向玩家k传输信息时发生的延迟。[(54)的紧凑形式如下：(55)：z?=?(diag(Lσ(t)?In+Oσ(t)))z+Oσ(t)ηt?∑?=?^N{I?k[(Lσ(t)?In+Oσ(t))?diag(Lσ(t)?In+Oσ(t))]}((Dk?In)z)，其中Dk=diag{dk?,dk?,…,dk?}，dkkz(t)=z(t)且dkjz(t)=z(t?τkj(t))，k≠j，j∈V，ηt=col(η?t,η?t,…,η?t)，ηit=col(η?(t?τ??(t)),η?(t?τ??(t)),…,η?(t?τ??(t)))，i∈V，I?k表示适当维度的行向量，其第k个元素为1，其余元素为0，I?k表示适当维度的方阵，其第k行为I?k，其余行为零行向量。设z?=z?1^N?η且η?t=ηt?1^N?q?。那么，我们有(56)：z??=?(diag(Lσ(t)?In+Oσ(t)))(z?+1^N?η?)?∑?=?^N{I?k[(Lσ(t)?In+Oσ(t))?diag(Lσ(t)?In+Oσ(t))]}((Dk?In)(z?+1^N?η?))+Oσ(t)η?t?1^N?(δ?PΩ(η?δ?H(z))?δ?η)。在给出存在通信延迟时的控制律之前，我们首先重述Liu等人（2024）中的一个引理，该引理是我们稳定性分析的基础。 **引理4.3 (liu等人，2024 lemma 3.1)**：在假设3.1下，切换线性时延系统(57)z?=?diag(Lσ(t)?In+Oσ(t))z?∑?=?^N(I?k((Lσ(t)?In+Oσ(t))?diag(Lσ(t)?In+Oσ(t))))((Dk?In)z)的原点是指数稳定的。 **注释4.10**：所提出的算法(58)为每个代理或域使用单独的私有特征提取器，而不是一个带有域特定参数的单一共享提取器。这个设计选择是基于代理的局部动态和外部干扰的异质性。共享特征提取器可能强迫所有代理学习一个共同的表示，可能会忽略域特定的动态和感知噪声变化。相比之下，私有提取器使每个代理能够捕获对准确局部近似至关重要的不同非线性特征，而分布式学习律仍然确保了向纳什均衡的协调收敛。这种模块化结构还便于扩展性，因为可以添加新的代理而无需重新训练全局共享模型。 **注释4.11**：为了应对通信不完善，hatanaka等人（2017）研究了具有显式鲁棒性的分层和分布式控制的hvac优化，以应对时间延迟。然而，他们的框架考虑了具有已知动态的凸优化，而本文研究了具有不确定动态和切换通信图的非线性机器人系统的纳什均衡寻求问题。在这方面，我们的工作将延迟鲁棒控制思想推广到了具有自适应神经网络补偿的非合作游戏情境。 **注释4.12**：辅助或虚构信号技术在实现分布式协调中也发挥了关键作用。mallada等人（2017）为智能电网中的频率调节开发了最优负载侧控制，使用辅助信号确保分布式稳定性和最优性。类似地，lu和zhu（2020）为动态耦合的网络提出了一个经济控制框架，使用虚拟状态将物理动态与优化层解耦。相比之下，我们设计中引入的辅助变量作为分布式估计器，用于补偿切换拓扑和有界通信延迟，同时允许每个代理通过自适应rbf神经网络近似未知的非线性。鉴于(56)，子系统(58c)–(58d)的紧凑形式如下：(59a)：η?=δ?PΩ(η?δ?H(z))?δ?η，(59b)：z??=?(diag(Lσ(t)?In+Oσ(t)))(z?+1^N?η?)?∑?=?^N{I?k[(Lσ(t)?In+Oσ(t))?diag(Lσ(t)?In+Oσ(t))]}((Dk?In)(z?+1^N?η?))+Oσ(t)η?t?1^N?(δ?PΩ(η?δ?H(z))?δ?η)。在给出存在通信延迟时的控制律之前，我们首先重述了Liu等人（2024）中的一个引理，该引理是我们稳定性分析的基础。 **注释4.13**：定义z?=z?1^N?η且η?t=ηt?1^N?q?。那么，我们有(56)：z??=?(diag(Lσ(t)?In+Oσ(t)))(z?+1^N?η?)?∑?=?^N{I?k[(Lσ(t)?In+Oσ(t))?diag(Lσ(t)?In+Oσ(t))]}((Dk?In)(z?+1^N?η?))+Oσ(t)η?t?1^N?(δ?PΩ(η?δ?H(z))?δ?η)。在给出存在通信延迟时的控制律之前，我们首先重述了Liu等人（2024）中的一个引理，该引理是我们稳定性分析的基础。 **注释4.14**：与liu和lin（2026）以及liu和huang（2024）的研究相比，我们的工作有三个主要贡献。首先，liu和huang（2024）将估计的干扰界限嵌入控制器中，而我们使用自适应神经网络来近似未知动态，包括干扰。尽管liu和lin（2026）也使用了神经网络，但他们的方法仅确保收敛到纳什均衡的任意小邻域。通过引入具有自适应rbf神经网络的滑动模式控制，我们的设计完全拒绝了未知的有界干扰，从而实现了对ne的精确收敛。其次，liu和huang（2024）忽略了约束，而我们通过投影处理了紧凑策略集，主要的技术挑战反映在定理4.1和定理4.3的证明的第一步中。第三，与之前的工作不同，我们的方法明确考虑了通信延迟。 **注释4.14**：与数据驱动方法（例如，ding等人，2018年；nortmann等人，2022年）不同，这些方法需要大型数据集、集中训练或离策略探索，并且往往缺乏稳定性保证，我们的算法是完全分布式的且可扩展的，仅使用局部梯度和邻居信息。基于李雅普诺夫的分析进一步提供了明确的收敛条件，形成了一个统一的框架，将自适应学习与现实机器人通信约束下的博弈论均衡寻求结合起来。 **注释4.15**：最近关于分布式均衡寻求的研究主要关注采样数据和异步设置。例如，belgioioso等人（2021）提出了具有干扰鲁棒性的采样数据反馈方案，cenedese等人（2021）开发了用于具有部分和延迟更新的强单调游戏的异步方法。fu等人（2023）第三节中的方法与我们的基于投影的设计在结构上相关，但我们将其适应于具有非线性动态、干扰和紧凑约束的机器人操纵器，引入了可调参数δ?和δ?来调节投影强度和收敛性。此外，我们将投影框架扩展到了具有时变延迟的切换网络，超出了通常考虑的无延迟和静态网络的假设。>
**注释4.9**：为了证明η收敛到纳什均衡，我们为子系统(51c)、(51d)定义了李雅普诺夫函数候选值(52)：v??(η?,z?,t)=1/2η?t(t)η?(t)+z?t(t)r(t)z?(t)。v??(t)的时间导数为(53)：v????=?δ?η?t(t)h(z)=?δ?η?t(t)(h(z)?f(η)+f(η)?f(q?))≤?δ?μ‖η?‖2+δ?θ‖η?‖‖z?∥。与定理4.1证明的第一步中v???的分析相比，这里的v????要简单得多。

**4.2. 具有通信延迟的分布式纳什均衡寻求**：在本小节中，我们将考虑通信网络中存在延迟的情况。在这些延迟存在的情况下，分布式估计器(12d)变为(54)：z??j=?(∑?=?^naik(t)(z?j?zkj(t?τik(t))+aij(t)(z?j?η?(t?τij(t)))，其中τik(t)是玩家i在时间t向玩家k传输信息时发生的延迟。[(54)的紧凑形式如下：(55)：z?=?(diag(lσ(t)?in+oσ(t)))z+oσ(t)ηt?∑?=?^n{i?k[(lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))]}((dk?in)z)，其中dk=diag{dk?,dk?,…,dk?}，dkkz(t)=z(t)且dkjz(t)=z(t?τkj(t))，k≠j，j∈v，ηt=col(η?t,η?t,…,η?t)，ηit=col(η?(t?τ??(t)),η?(t?τ??(t)),…,η?(t?τ??(t)))，i∈v，i?k表示适当维度的行向量，其第k个元素为1，其余元素为0，i?k表示适当维度的方阵，其第k行为i?k，其余行为零行向量。设z?=z?1^n?η且η?t=ηt?1^n?q?。那么，我们有(56)：z??=?(diag(lσ(t)?in+oσ(t)))(z?+1^n?η?)?∑?=?^n{i?k[(lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))]}((dk?in)(z?+1^n?η?))+oσ(t)η?t?1^n?(δ?pω(η?δ?h(z))?δ?η)。在给出存在通信延迟时的控制律之前，我们首先重述liu等人（2024）中的一个引理，该引理是我们稳定性分析的基础。

**引理4.3 (liu等人，2024 lemma 3.1)**：在假设3.1下，切换线性时延系统(57)z?=?diag(lσ(t)?in+oσ(t))z?∑?=?^n(i?k((lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))))((dk?in)z)的原点是指数稳定的。

**注释4.10**：所提出的算法(58)为每个代理或域使用单独的私有特征提取器，而不是一个带有域特定参数的单一共享提取器。这个设计选择是基于代理的局部动态和外部干扰的异质性。共享特征提取器可能强迫所有代理学习一个共同的表示，可能会忽略域特定的动态和感知噪声变化。相比之下，私有提取器使每个代理能够捕获对准确局部近似至关重要的不同非线性特征，而分布式学习律仍然确保了向纳什均衡的协调收敛。这种模块化结构还便于扩展性，因为可以添加新的代理而无需重新训练全局共享模型。

**注释4.11**：为了应对通信不完善，hatanaka等人（2017）研究了具有显式鲁棒性的分层和分布式控制的hvac优化，以应对时间延迟。然而，他们的框架考虑了具有已知动态的凸优化，而本文研究了具有不确定动态和切换通信图的非线性机器人系统的纳什均衡寻求问题。在这方面，我们的工作将延迟鲁棒控制思想推广到了具有自适应神经网络补偿的非合作游戏情境。

**注释4.12**：辅助或虚构信号技术在实现分布式协调中也发挥了关键作用。mallada等人（2017）为智能电网中的频率调节开发了最优负载侧控制，使用辅助信号确保分布式稳定性和最优性。类似地，lu和zhu（2020）为动态耦合的网络提出了一个经济控制框架，使用虚拟状态将物理动态与优化层解耦。相比之下，我们设计中引入的辅助变量作为分布式估计器，用于补偿切换拓扑和有界通信延迟，同时允许每个代理通过自适应rbf神经网络近似未知的非线性。鉴于(56)，子系统(58c)–(58d)的紧凑形式如下：(59a)：η?=δ?pω(η?δ?h(z))?δ?η，(59b)：z??=?(diag(lσ(t)?in+oσ(t)))(z?+1^n?η?)?∑?=?^n{i?k[(lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))]}((dk?in)(z?+1^n?η?))+oσ(t)η?t?1^n?(δ?pω(η?δ?h(z))?δ?η)。在给出存在通信延迟时的控制律之前，我们首先重述了liu等人（2024）中的一个引理，该引理是我们稳定性分析的基础。

**注释4.13**：定义z?=z?1^n?η且η?t=ηt?1^n?q?。那么，我们有(56)：z??=?(diag(lσ(t)?in+oσ(t)))(z?+1^n?η?)?∑?=?^n{i?k[(lσ(t)?in+oσ(t))?diag(lσ(t)?in+oσ(t))]}((dk?in)(z?+1^n?η?))+oσ(t)η?t?1^n?(δ?pω(η?δ?h(z))?δ?η)。在给出存在通信延迟时的控制律之前，我们首先重述了liu等人（2024）中的一个引理，该引理是我们稳定性分析的基础。

**注释4.14**：与liu和lin（2026）以及liu和huang（2024）的研究相比，我们的工作有三个主要贡献。首先，liu和huang（2024）将估计的干扰界限嵌入控制器中，而我们使用自适应神经网络来近似未知动态，包括干扰。尽管liu和lin（2026）也使用了神经网络，但他们的方法仅确保收敛到纳什均衡的任意小邻域。通过引入具有自适应rbf神经网络的滑动模式控制，我们的设计完全拒绝了未知的有界干扰，从而实现了对ne的精确收敛。其次，liu和huang（2024）忽略了约束，而我们通过投影处理了紧凑策略集，主要的技术挑战反映在定理4.1和定理4.3的证明的第一步中。第三，与之前的工作不同，我们的方法明确考虑了通信延迟。

**注释4.14**：与数据驱动方法（例如，ding等人，2018年；nortmann等人，2022年）不同，这些方法需要大型数据集、集中训练或离策略探索，并且往往缺乏稳定性保证，我们的算法是完全分布式的且可扩展的，仅使用局部梯度和邻居信息。基于李雅普诺夫的分析进一步提供了明确的收敛条件，形成了一个统一的框架，将自适应学习与现实机器人通信约束下的博弈论均衡寻求结合起来。

**注释4.15**：最近关于分布式均衡寻求的研究主要关注采样数据和异步设置。例如，belgioioso等人（2021）提出了具有干扰鲁棒性的采样数据反馈方案，cenedese等人（2021）开发了用于具有部分和延迟更新的强单调游戏的异步方法。fu等人（2023）第三节中的方法与我们的基于投影的设计在结构上相关，但我们将其适应于具有非线性动态、干扰和紧凑约束的机器人操纵器，引入了可调参数δ?和δ?来调节投影强度和收敛性。此外，我们将投影框架扩展到了具有时变延迟的切换网络，超出了通常考虑的无延迟和静态网络的假设。

**注释4.16**：与he和huang（2024a）相比，后者针对具有已知外部干扰的高阶积分器处理分布式纳什均衡寻求，本文处理了具有一般有界干扰的复杂机器人动态。虽然he和huang（2024a）使用了虚构输出和luenberger观测器，但我们使用rbf神经>另一方面，非线性系统动态的Lipschitz常数较大以及代理人之间的耦合较强，往往会放大依赖于延迟的项，这可能会减少允许的延迟范围。此外，在瞬态阶段较大的神经近似误差也可能降低延迟容忍度。如果Ωi=Rni，则闭环系统简化为：
(68a) Mi qi(t) q?i(t) + C qi(t), q?i(t) q?i(t) + G qi(t) = Φi(si) W?i + Kisi + di(t) + κigan(si),
(68b) W??i = ψiΦiTsisi,
(68c) η?i = ?δ1?ifi(zi),
(68d) z?ij = ?(∑k=1Naik(t)(zij?zkj(t?τik(t)) + aij(t)(zij?ηj(t?τij(t))。
类似于定理4.2，我们有定理4.4：
在假设3.1、4.1和4.2的前提下，对于任意给定的较大的有界集合Λi?R2ni，i∈V，以及Λ1×Λ2×?×ΛN中的任何初始条件，存在δ1min?>0和δ1max?>0，使得对于任何δ1min?< /><δ1max?，系统(68)的输出q会渐近收敛到博弈(8)的纳什均衡。

5. 仿真研究
我们考虑了一个由五个两连杆机器人手臂组成的非合作博弈，这些机器人手臂由(7)描述，其矩阵mi、ci和gi以及干扰di如下所示：
mi(qi) = p1 + p2 + 2p3cosqi2 + p2 + p3cosqi2 + p2 + p3cosqi2,
ci(qi, q?i) = ?p3q?i2sinqi2 ? p3(q?i1 + q?i2)sinqi2,
gi(qi) = p4gcosqi1 + p5gcos(qi1 + qi2),
d1, d2, d3, d4, d5 = 4cos(t)sin(2t) + 2sin(0.5t) + |sin(t)|,
其中qi=col(qi1, qi2)且[p1, p2, p3, p4, p5] = [1.66, 0.42, 0.63, 3.75, 1.25]。
每个机器人的成本函数由fi(qi, q?i) = qitqi + qitri + ∑j∈v‖qi?qj‖2给出，其中v={1,2,3,4,5}且r1=col(2,?2), r2=col(?2,?2), r3=col(?4,2), r4=col(2,?4), r5=col(3,3)。在这个成本函数中，第一个二次项qitqi惩罚过度的关节位移或执行器能量（代表能源效率），线性项qitri编码了个体任务或目标偏好（例如，期望位置或负载分配），而耦合项∑j∈v‖qi?qj‖2促进了相邻机器人之间的协调，同时抑制了较大的位置偏差。
通信网络如图1所示，它由切换信号σ(t)=i if 5k+i?1≤t<5k+i决定，其中k=0,1,2,…, i=1,2,3,4,5，并满足假设3.1。通信延迟τij(t)的界限为0≤τ1j(t)≤0.035s, 0≤τ2j(t)≤0.025s, 0≤τ3j(t)≤0.04s, 0≤τ4j(t)≤0.032s, 0≤τ5j(t)≤0.022s。
很容易验证成本函数满足假设4.1和假设4.2。从?fi(qi, q?i)?qi=0，我们得到唯一的纳什均衡q?=col{?1, 4/5, 1, 2/5, 1/4, 1/2, ?1/4, ?1/3, 0}。
选择设计参数为?=500, ψi=2, ki=25, κi=5, δ1=0.1和δ2=0.5。让策略集为ωi={qi∈r2∣qi1/2 + qi2/2≤2}。基函数的宽度设为σ=0.2，中心cj在[?1,1]中均匀分布，即cj∈{?1, ?0.5, 0, 0.5, 1}。为了避免由sgn(si)引起的滑模控制项引起的抖动，我们采用平滑函数sit(si)=si|si|+0.01来替代它。结果，跟踪误差将收敛到零的一个小邻域内，而不是渐近收敛到零。

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图1. 通信图gσ(t)。
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图2. (58)的仿真结果（从左到右，逐行）：1) 机器人的关节1位置；2) 机器人的关节2位置；3) 关节1的跟踪误差‖η1i?q1i‖；4) 关节2的跟踪误差‖η2i?q2i‖；5) 神经网络权重的范数‖w?i‖；6) 策略空间中机器人的轨迹。

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(a). 机器人的关节1位置。
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(b). 机器人的关节2位置。
图3. ki=5时的仿真结果。

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图4. (58)与没有神经网络的基准实验的仿真结果对比。
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图5. (58)与没有神经网络的基准实验的仿真结果对比：机器人i的轨迹，从□开始并接近°。

5.1. 收敛性能
图2显示了在提出的控制律(58)下的系统响应。图1)和图2)分别描述了所有机器人的第一个和第二个关节的轨迹。观察到两个关节都平滑地收敛到它们对应的纳什均衡分量。图3)和图4)展示了分布式的跟踪误差‖ηi?qi‖，这些误差逐渐收敛到零，证明了状态估计的准确性。图5)展示了神经网络权重的范数‖w?i‖，图6)显示了策略空间中机器人的轨迹，所有轨迹在整个仿真过程中都保持在紧凑且凸的策略集内。
为了展示控制参数的性能敏感性，我们将ki的值从25改为5。仿真结果显示在图3中。可以看出，较小的ki会导致收敛速度变慢，而较大的ki可能会增加超调。

5.2. 与基准控制器的比较
为了突出基于神经网络的补偿的优势，图4和图5将提出的控制方案与不包含神经网络的基准控制器φi(si)w?i进行了比较。
图4展示了所有机器人的位置误差的变化。它表明，在控制律(58)下，位置误差‖q?q?‖单调减少到零，而没有神经网络的基准实验中的位置误差则不会。图5描绘了所有五个机器人在(qi1,qi2)平面上的轨迹。所有机器人在提出的控制律下都平滑地收敛到它们的纳什均衡点，而基准控制器则表现出明显的稳态偏差。这些结果证明了所提出集成框架的有效性。去除神经补偿的消融研究提供了一个粗略但有信息量的评估，说明了它在整体架构中的作用。尽管结果表明每个组件都对性能有所贡献，但当前的分析并不试图隔离细粒度的贡献。仿真结果主要支持了结合控制和学习的整体有效性。

5.3. 通信延迟的影响
为了评估对通信延迟的鲁棒性，图6和图7将提出的控制器与其无延迟版本进行了比较。
图6比较了在无延迟和有延迟通信下机器人位置误差<0.05的演变时间。我们可以看到，玩家3的延迟边界最大，因此收敛时间最长。图7展示了在5.9秒和11.3秒时的空间收敛快照。两种情况都达到了纳什均衡配置，无延迟系统的收敛速度更快。这些结果证实了提出的控制律能够实现稳定且具有延迟抵抗力的收敛。

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图6. (58)与没有通信延迟的基准实验的仿真结果对比。
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(a). t=5.9秒。
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(b). t=11.3秒。
图7. (58)和无延迟情况下的收敛快照。

6. 结论
在本文中，我们研究了在未知干扰和通信延迟影响下机器人系统的纳什均衡寻找问题。我们的研究联合考虑了强连接网络，这些网络包括静态的、连接的和无向的以及强连接的有向图作为特例，并提出了基于神经网络的分布式控制律，使得所有代理都能达到纳什均衡，同时保证满足它们的紧凑且凸的策略集约束。在机器人动力学中考虑了未知的有界干扰和时变通信延迟。控制设计中引入了基于投影的伪梯度方法和具有滑模控制技术的rbf神经网络。对五个两连杆操作器的仿真结果表明，所提出的控制律对外部干扰和通信延迟具有有效性和鲁棒性。尽管消融研究评估了主要子系统的移除，但它们只提供了对各个模块贡献的粗略评估。因此，实证结果应被解释为支持所提出集成框架的整体有效性，而不是单独量化每个组件的精确影响。未来工作的有趣方向将是更详细地分析组件层面。未来的工作还将致力于将提出的框架扩展到更一般的设置中，例如，时变博弈、只能获得输出或噪声测量的情况，这需要基于观察者的或输出反馈的设计，以及随机干扰和概率通信不确定性。 5. 仿真研究 我们考虑了一个由五个两连杆机器人手臂组成的非合作博弈，这些机器人手臂由(7)描述，其矩阵mi、ci和gi以及干扰di如下所示： mi(qi)=P1 + p2 + 2p3cosqi2 + p2 + p3cosqi2 + p2 + p3cosqi2, ci(qi, q?i)=?P3q?i2sinqi2 ? p3(q?i1 + q?i2)sinqi2, gi(qi)=P4gcosqi1 + p5gcos(qi1 + qi2), d1, d2, d3, d4, d5=4cos(t)sin(2t) + 2sin(0.5t) + |sin(t)|, 其中qi=col(qi1, qi2)且[p1, p2, p3, p4, p5]=[1.66, 0.42, 0.63, 3.75, 1.25]。 每个机器人的成本函数由fi(qi, q?i)=qiTqi + qitri + ∑j∈v‖qi?qj‖2给出，其中v={1,2,3,4,5}且r1=col(2,?2), r2=col(?2,?2), r3=col(?4,2), r4=col(2,?4), r5=col(3,3)。在这个成本函数中，第一个二次项qiTqi惩罚过度的关节位移或执行器能量（代表能源效率），线性项qiTri编码了个体任务或目标偏好（例如，期望位置或负载分配），而耦合项∑j∈V‖qi?qj‖2促进了相邻机器人之间的协调，同时抑制了较大的位置偏差。 通信网络如图1所示，它由切换信号σ(t)=i if 5k+i?1≤t<5k+i决定，其中k=0,1,2,…, i=1,2,3,4,5，并满足假设3.1。通信延迟τij(t)的界限为0≤τ1j(t)≤0.035s, 0≤τ2j(t)≤0.025s, 0≤τ3j(t)≤0.04s, 0≤τ4j(t)≤0.032s, 0≤τ5j(t)≤0.022s。 很容易验证成本函数满足假设4.1和假设4.2。从?fi(qi, q?i)?qi=0，我们得到唯一的纳什均衡q?=col{?1, 4 5, 1, 2 5, 1 4, 1 2, ?1 4, ?1 3, 0}。 选择设计参数为?=500, ψi=2, ki=25, κi=5, δ1=0.1和δ2=0.5。让策略集为Ωi={qi∈R2∣qi1/2 + qi2 2≤2}。基函数的宽度设为σ=0.2，中心cj在[?1,1]中均匀分布，即cj∈{?1, ?0.5, 0, 0.5, 1}。为了避免由sgn(si)引起的滑模控制项引起的抖动，我们采用平滑函数sit(si)=si|si|+0.01来替代它。结果，跟踪误差将收敛到零的一个小邻域内，而不是渐近收敛到零。 下载：下载高分辨率图像（104kb） 下载：下载全尺寸图像 图1. 通信图gσ(t)。 下载：下载高分辨率图像（589kb） 下载：下载全尺寸图像 图2. (58)的仿真结果（从左到右，逐行）：1) 机器人的关节1位置；2) 机器人的关节2位置；3) 关节1的跟踪误差‖η1i?q1i‖；4) 关节2的跟踪误差‖η2i?q2i‖；5) 神经网络权重的范数‖w?i‖；6) 策略空间中机器人的轨迹。 下载：下载高分辨率图像（91kb） 下载：下载全尺寸图像 (a). 机器人的关节1位置。 下载：下载高分辨率图像（91kb） 下载：下载全尺寸图像 (b). 机器人的关节2位置。 图3. ki=5时的仿真结果。 下载：下载高分辨率图像（214kb） 下载：下载全尺寸图像 图4. (58)与没有神经网络的基准实验的仿真结果对比。 下载：下载高分辨率图像（142kb） 下载：下载全尺寸图像 图5. (58)与没有神经网络的基准实验的仿真结果对比：机器人i的轨迹，从□开始并接近°。 5.1. 收敛性能 图2显示了在提出的控制律(58)下的系统响应。图1)和图2)分别描述了所有机器人的第一个和第二个关节的轨迹。观察到两个关节都平滑地收敛到它们对应的纳什均衡分量。图3)和图4)展示了分布式的跟踪误差‖ηi?qi‖，这些误差逐渐收敛到零，证明了状态估计的准确性。图5)展示了神经网络权重的范数‖w?i‖，图6)显示了策略空间中机器人的轨迹，所有轨迹在整个仿真过程中都保持在紧凑且凸的策略集内。 为了展示控制参数的性能敏感性，我们将ki的值从25改为5。仿真结果显示在图3中。可以看出，较小的ki会导致收敛速度变慢，而较大的ki可能会增加超调。 5.2. 与基准控制器的比较 为了突出基于神经网络的补偿的优势，图4和图5将提出的控制方案与不包含神经网络的基准控制器φi(si)w?i进行了比较。 图4展示了所有机器人的位置误差的变化。它表明，在控制律(58)下，位置误差‖q?q?‖单调减少到零，而没有神经网络的基准实验中的位置误差则不会。图5描绘了所有五个机器人在(qi1,qi2)平面上的轨迹。所有机器人在提出的控制律下都平滑地收敛到它们的纳什均衡点，而基准控制器则表现出明显的稳态偏差。这些结果证明了所提出集成框架的有效性。去除神经补偿的消融研究提供了一个粗略但有信息量的评估，说明了它在整体架构中的作用。尽管结果表明每个组件都对性能有所贡献，但当前的分析并不试图隔离细粒度的贡献。仿真结果主要支持了结合控制和学习的整体有效性。 5.3. 通信延迟的影响 为了评估对通信延迟的鲁棒性，图6和图7将提出的控制器与其无延迟版本进行了比较。 图6比较了在无延迟和有延迟通信下机器人位置误差<0.05的演变时间。我们可以看到，玩家3的延迟边界最大，因此收敛时间最长。图7展示了在5.9秒和11.3秒时的空间收敛快照。两种情况都达到了纳什均衡配置，无延迟系统的收敛速度更快。这些结果证实了提出的控制律能够实现稳定且具有延迟抵抗力的收敛。 下载：下载高分辨率图像（106kb） 下载：下载全尺寸图像 图6. (58)与没有通信延迟的基准实验的仿真结果对比。 下载：下载高分辨率图像（72kb） 下载：下载全尺寸图像 (a). t=5.9秒。 下载：下载高分辨率图像（71kb） 下载：下载全尺寸图像 (b). t=11.3秒。 图7. (58)和无延迟情况下的收敛快照。 6. 结论>
5. 仿真研究
我们考虑了一个由五个两连杆机器人手臂组成的非合作博弈，这些机器人手臂由(7)描述，其矩阵mi、ci和gi以及干扰di如下所示：
mi(qi) = p1 + p2 + 2p3cosqi2 + p2 + p3cosqi2 + p2 + p3cosqi2,
ci(qi, q?i) = ?p3q?i2sinqi2 ? p3(q?i1 + q?i2)sinqi2,
gi(qi) = p4gcosqi1 + p5gcos(qi1 + qi2),
d1, d2, d3, d4, d5 = 4cos(t)sin(2t) + 2sin(0.5t) + |sin(t)|,
其中qi=col(qi1, qi2)且[p1, p2, p3, p4, p5] = [1.66, 0.42, 0.63, 3.75, 1.25]。
每个机器人的成本函数由fi(qi, q?i) = qitqi + qitri + ∑j∈v‖qi?qj‖2给出，其中v={1,2,3,4,5}且r1=col(2,?2), r2=col(?2,?2), r3=col(?4,2), r4=col(2,?4), r5=col(3,3)。在这个成本函数中，第一个二次项qitqi惩罚过度的关节位移或执行器能量（代表能源效率），线性项qitri编码了个体任务或目标偏好（例如，期望位置或负载分配），而耦合项∑j∈v‖qi?qj‖2促进了相邻机器人之间的协调，同时抑制了较大的位置偏差。
通信网络如图1所示，它由切换信号σ(t)=i if 5k+i?1≤t<5k+i决定，其中k=0,1,2,…, i=1,2,3,4,5，并满足假设3.1。通信延迟τij(t)的界限为0≤τ1j(t)≤0.035s, 0≤τ2j(t)≤0.025s, 0≤τ3j(t)≤0.04s, 0≤τ4j(t)≤0.032s, 0≤τ5j(t)≤0.022s。
很容易验证成本函数满足假设4.1和假设4.2。从?fi(qi, q?i)?qi=0，我们得到唯一的纳什均衡q?=col{?1, 4/5, 1, 2/5, 1/4, 1/2, ?1/4, ?1/3, 0}。
选择设计参数为?=500, ψi=2, ki=25, κi=5, δ1=0.1和δ2=0.5。让策略集为ωi={qi∈r2∣qi1/2 + qi2/2≤2}。基函数的宽度设为σ=0.2，中心cj在[?1,1]中均匀分布，即cj∈{?1, ?0.5, 0, 0.5, 1}。为了避免由sgn(si)引起的滑模控制项引起的抖动，我们采用平滑函数sit(si)=si|si|+0.01来替代它。结果，跟踪误差将收敛到零的一个小邻域内，而不是渐近收敛到零。

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图1. 通信图gσ(t)。
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图2. (58)的仿真结果（从左到右，逐行）：1) 机器人的关节1位置；2) 机器人的关节2位置；3) 关节1的跟踪误差‖η1i?q1i‖；4) 关节2的跟踪误差‖η2i?q2i‖；5) 神经网络权重的范数‖w?i‖；6) 策略空间中机器人的轨迹。

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(a). 机器人的关节1位置。
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(b). 机器人的关节2位置。
图3. ki=5时的仿真结果。

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图4. (58)与没有神经网络的基准实验的仿真结果对比。
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图5. (58)与没有神经网络的基准实验的仿真结果对比：机器人i的轨迹，从□开始并接近°。

5.1. 收敛性能
图2显示了在提出的控制律(58)下的系统响应。图1)和图2)分别描述了所有机器人的第一个和第二个关节的轨迹。观察到两个关节都平滑地收敛到它们对应的纳什均衡分量。图3)和图4)展示了分布式的跟踪误差‖ηi?qi‖，这些误差逐渐收敛到零，证明了状态估计的准确性。图5)展示了神经网络权重的范数‖w?i‖，图6)显示了策略空间中机器人的轨迹，所有轨迹在整个仿真过程中都保持在紧凑且凸的策略集内。
为了展示控制参数的性能敏感性，我们将ki的值从25改为5。仿真结果显示在图3中。可以看出，较小的ki会导致收敛速度变慢，而较大的ki可能会增加超调。

5.2. 与基准控制器的比较
为了突出基于神经网络的补偿的优势，图4和图5将提出的控制方案与不包含神经网络的基准控制器φi(si)w?i进行了比较。
图4展示了所有机器人的位置误差的变化。它表明，在控制律(58)下，位置误差‖q?q?‖单调减少到零，而没有神经网络的基准实验中的位置误差则不会。图5描绘了所有五个机器人在(qi1,qi2)平面上的轨迹。所有机器人在提出的控制律下都平滑地收敛到它们的纳什均衡点，而基准控制器则表现出明显的稳态偏差。这些结果证明了所提出集成框架的有效性。去除神经补偿的消融研究提供了一个粗略但有信息量的评估，说明了它在整体架构中的作用。尽管结果表明每个组件都对性能有所贡献，但当前的分析并不试图隔离细粒度的贡献。仿真结果主要支持了结合控制和学习的整体有效性。

5.3. 通信延迟的影响
为了评估对通信延迟的鲁棒性，图6和图7将提出的控制器与其无延迟版本进行了比较。
图6比较了在无延迟和有延迟通信下机器人位置误差<0.05的演变时间。我们可以看到，玩家3的延迟边界最大，因此收敛时间最长。图7展示了在5.9秒和11.3秒时的空间收敛快照。两种情况都达到了纳什均衡配置，无延迟系统的收敛速度更快。这些结果证实了提出的控制律能够实现稳定且具有延迟抵抗力的收敛。

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图6. (58)与没有通信延迟的基准实验的仿真结果对比。
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(a). t=5.9秒。
下载：下载高分辨率图像（71kb）
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(b). t=11.3秒。
图7. (58)和无延迟情况下的收敛快照。

6. 结论
在本文中，我们研究了在未知干扰和通信延迟影响下机器人系统的纳什均衡寻找问题。我们的研究联合考虑了强连接网络，这些网络包括静态的、连接的和无向的以及强连接的有向图作为特例，并提出了基于神经网络的分布式控制律，使得所有代理都能达到纳什均衡，同时保证满足它们的紧凑且凸的策略集约束。在机器人动力学中考虑了未知的有界干扰和时变通信延迟。控制设计中引入了基于投影的伪梯度方法和具有滑模控制技术的rbf神经网络。对五个两连杆操作器的仿真结果表明，所提出的控制律对外部干扰和通信延迟具有有效性和鲁棒性。尽管消融研究评估了主要子系统的移除，但它们只提供了对各个模块贡献的粗略评估。因此，实证结果应被解释为支持所提出集成框架的整体有效性，而不是单独量化每个组件的精确影响。未来工作的有趣方向将是更详细地分析组件层面。未来的工作还将致力于将提出的框架扩展到更一般的设置中，例如，时变博弈、只能获得输出或噪声测量的情况，这需要基于观察者的或输出反馈的设计，以及随机干扰和概率通信不确定性。>