分数阶系统的确定性学习

《Automatica》：Deterministic learning for fractional-order systems

　　摘要
本文研究了分数阶非线性系统（FONS）中未知动态的学习问题。提出了一种分数阶确定性学习机制，利用RBF网络来建模这些未知动态。神经网络参数的准确识别取决于在持续激励下分数阶线性时变（FOLTV）闭环误差系统的稳定性。通过将输出注入扩展到分数阶系统，建立了一个不变的可观测性理论，从而证明了FOLTV系统的Mittag-Leffler稳定性。两个例子展示了所提出机制的有效性。

1. 引言
由于分数微分的非局部性，它可以描述具有历史状态依赖性的物理系统中的遗传和记忆效应（Monje等人，2010年；Podlubny，1998年）。例如，瞬时电容器电流取决于过去的电压变化，可以用分数阶电压导数来描述（Westerlund & Ekstam，1994年）；单个大鼠新皮质锥体神经元的放电率是缓慢变化的刺激参数的分数阶导数（Lundstrom, Higgs, Spain等人，2008年）。分数阶模型还被应用于 memristors（Wang, Shi, Wu等人，2017年）、锂离子电池（Zou, Li, Shao等人，2016年）和幂律材料（Bonfanti, Kaplan, Charras等人，2020年）。
在控制工程中，分数阶非线性系统（FONS）受到了越来越多的研究，因为许多动态过程用分数阶方程描述得更准确（Karthikeyan等人，2018年；Mani等人，2018年；J. Wu等人，2023年）。基于FONS的建模和控制已经应用于永磁同步发电机（PMSG）（Karthikeyan等人，2018年）、风能转换系统中的永磁同步电机（PMSM）（Mani等人，2018年）和软机器人的介电弹性体执行器（J. Wu等人，2023年），其性能优于传统的整数阶替代方案。然而，分数阶运算子的非局部性阻碍了传统整数阶控制方法在FONS中的直接应用（Monje等人，2010年；Podlubny，1998年）。为了解决这个问题，已经开发了相关技术，包括分数阶李雅普诺夫直接方法（Li, Chen, & Podlubny，2009年）和简化了的FONS李雅普诺夫候选函数构造（Aguila-Camacho, Duarte-Mermoud, & Gallegos，2014年）。基于这些理论基础，进一步提出了自适应模糊控制（Liu, Pan, Li等人，2017年）和自适应动态表面控制（Liu, Pan, & Cao，2019年）。
自适应控制是一种成熟的方法，可以处理不确定系统以实现所需的控制性能（Tao，2014年），并且最近被引入到分数阶领域。通过分数阶模型参考自适应控制（MRAC）（Ladaci和Charef，2006年；Vinagre等人，2002年），在模型跟踪和参数估计方面取得了改进，尽管通常缺乏稳定性分析。在Shi, Yuan和Dong（2014年）的工作中，基于分数积分器的连续频率分布模型分析了分数阶MRAC的稳定性，但参考模型是线性的。Abedini, Nojoumian, Salarieh等人（2015年）将MRAC结构中的分数阶系统转换为离散时间近似模型并研究了稳定性分析，但没有参数收敛技术。最近，基于神经网络（NNs）的自适应控制技术相继被提出用于处理FONS的非线性不确定性（Li等人，2022年；Liu等人，2023年；Sui等人，2020年）。然而，大多数现有结果中只证明了参数的有界性，而参数收敛到真实值的问题尚未解决。
在学习能力对于实现自动控制的自主性至关重要（Antsaklis & Rahnama，2018年）。自适应控制的学习等同于参数的准确收敛，由于参数不收敛而导致的学习不完全可能会表现出显著的非鲁棒性（Annaswamy & Fradkov，2021年）。在MRAC中，当控制器被设计为与参考模型的闭环传递函数匹配时，通常会产生一个线性时变（LTV）闭环误差系统（Khalil，1996年；Loria和Panteley，2002年）：(1)e?θ?=AB?Tt??tCT0eθ，其中e∈Rn是状态误差，θ∈Rm是参数估计误差，?t∈Rm是有界光滑函数，A∈Rn×n，B∈Rn，C∈Rn是已知的。当(1)的起源指数稳定时，可以确保控制器参数的准确收敛。对分数阶系统准确学习的需求促使了各种估计技术的发展。例如，在Gupta等人（2018年，2019年）中通过期望最大化算法实现了最大似然参数估计，在Zhang, Gupta和Bogdan（2025年）中为噪声离散时间系统开发了鲁棒的仿射识别。然而，参数收敛到其真实值的问题只被少数早期工作研究过。Chen, Wei, Liang等人（2016年）开发了一种受限的分数阶梯度估计方法来识别线性参考模型的参数，并证明了参数收敛。对于分数阶复合学习自适应动态表面控制问题，Liu等人（2019年）首先使用所谓的持续激励（PE）条件研究了参数收敛问题。PE是LTV系统(1)指数稳定性的必要充分条件（Loria和Panteley，2002年；Narendra和Annaswamy，1989年），并且Loria和Panteley（2002年；Sastray和Bodson，1989年）通过输出注入技术提供了系统(1)的稳定性证明。同样，FONS的准确参数估计也需要对一类分数阶LTV（FOLTV）系统进行稳定性分析。虽然提出了一些稳定性理论（Reed, Chatterjee, Ramos等人，2022年），但缺乏像Loria和Panteley（2002年；Sastray和Bodson，1989年）这样的工作的扩展，使得FOLTV的稳定性分析成为一项挑战。
在许多神经网络中，径向基函数网络（RBFNs）被认为能够满足PE条件（Gorinevsky，1995年；Kurdila等人，1995年）。最近，Wang和Hill（2006年；Wang和Hill，2018年）证明，当RBFN的输入是循环轨迹时，沿着输入轨迹构建的RBF回归子向量几乎总是满足PE条件，并提出了一种称为确定性学习的方法，该方法可以实现沿输入轨迹的非线性系统动态的局部准确神经网络识别。由于能够准确建模动态，确定性学习在模式识别（W. Wu, Hu, Zhang等人，2023年）、时间序列分类（Sun, Wu, & Wang，2023年）和高性能控制（Zhao, He, Zhang等人，2022年）中得到了广泛的应用。尽管在整数阶系统中取得了显著进展，但对FONS的确定性学习的研究仍处于早期阶段。
受到这些观察的启发，本文提出了一种分数阶确定性学习机制（FODLM），用于FONS未知动态的准确参数识别。分析了与学习性能相关的一类FOLTV系统的稳定性以及自适应控制中学习参数的收敛性。主要贡献包括：
- FODLM旨在准确识别FONS的未知动态。
- 为了一类具有参数估计误差的FOLTV系统，建立了输出注入下的不变可观测性理论。
- 通过扩展Sastray和Bodson（1989年）对LTV系统的指数稳定性证明，建立了具有参数估计误差的FOLTV系统的Mittag-Leffler稳定性。

如表1所示，分数阶系统与整数阶系统相比有四个基本特性。由于这些特性，传统算法和稳定性分析方法直接应用于分数阶系统时经常会失败。

符号说明：
- N 表示自然数集合；
- R 表示实数集合；
- Rn×m 表示n×m实矩阵集合；
- Rn 表示n×1实列向量或n维欧几里得空间；
- 对于x∈Rn，‖x‖表示x的欧几里得范数；
- 对于A∈Rn×m，‖A‖表示A的诱导范数；
- |?| 表示实数的绝对值；
- I 是单位矩阵；
- λ? 表示实矩阵的特征值，λmax? 和 λmin? 分别表示特征值的实部的最大值和最小值。

表1. 整数阶系统与分数阶系统的比较
| | 整数阶系统 | 分数阶系统 |
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| （注：表格内容在原文中未给出具体内容，此处为根据上下文生成的示例） |

2. 基础知识
2.1. 分数阶导数和Mittag-Leffler函数
分数阶积分定义为：(2)aDt?αft=1Γα∫atfτt?τ1?αdτ，其中ft是可积函数，aDt?α是在at上的α阶分数积分，Γ?是欧拉伽玛函数。a是分数阶积分的积分区间的下限，指定了计算aDt?αft的区间起点。
定义1 设n∈N，n?1< />0的Mittag-Leffler函数形式为：(5)Eα,βz=∑k=0∞zkΓkα+β。
对于β=1，令Eαz=Eα,βz=∑k=0∞zkΓkα+1。Mittag-Leffler函数的拉普拉斯变换为：(6)Ltβ?1Eα,β?λtα=sα?βsα+λ,|λ|<1，其中t是被拉普拉斯变换的函数变量，λ是该函数的常数参数。

2.2. 分数阶非线性系统
考虑以下α∈0,1阶的Caputo分数阶非线性系统：(7)t0CDtαxt=fxt；ps，其中xt=x1t,…,xntT，Ω表示系统的状态向量。Ω?Rn是紧凑集，fxt;ps=f1xt;ps,…,fnxt;psT表示由函数fix(t);ps组成的向量函数。fix(t);ps是满足Lipschitz条件的未知光滑非线性函数。对于t0CDtvft，其中n?10，b>0，m0=0，mx≥0，且mx在x∈Ω上局部Lipschitz），则称其Mittag-Leffler稳定（Li等人，2009年）。
对于非线性系统的稳定性分析，的李雅普诺夫直接方法是一个常用的工具。
引理1（Li等人，2009年）考虑x=0是系统（7）的平衡点，D?Rn是包含xt0的域。如果存在一个局部Lipschitz连续且可微的李雅普诺夫函数Vt，xt:t0,∞×D→R满足(9)c1‖xt‖≤Vt,xt≤c2‖xt‖ab (10)t0CDtαVt,xt≤?c3‖xt‖ab，则系统（7）是Mittag-Leffler稳定的，并满足(11)‖xt‖≤Vt0,xt0c1Eα?c3c2t?t0α1a。
引理2 Aguila-Camacho等人（2014年）设ft∈Rn是连续且可导的通用函数。那么，?t≥t0且?α∈0,1，(12)12t0CDtαfTtft≤fTtt0CDtαft。

注1 分数阶导数缺乏“链式法则”使得直接应用通常用于整数阶系统稳定性分析的通用二次李雅普诺夫函数候选难以对分数阶系统提供稳定性分析。Aguila-Camacho等人（2014年）的引理提供了一个不等式，建立了分数阶导数与整数阶链式法则形式的分数阶乘积项之间的联系。它允许找到一个简单的二次李雅普诺夫候选函数来证明分数阶系统的稳定性。

2.3. RBF网络和持续激励
RBFNs表示为fnn(x)=WTS(x)，其中x∈Ω是输入向量，Ω?Rm是紧凑集。W=[w1,w2,…,wN]T∈RN是权重向量，N是神经元数量。S(x)=s1(x),s2(x),…,sN(x)T∈RN是由径向基函数si(x)组成的RBF回归向量。设six是高斯函数exp?x?ξiTx?ξi/ηi2，其中ξi是输入空间中的神经元排列，ηi是神经元ξi的感受野宽度。
对于连续函数f(x):Ω→R，当神经元数量N足够大时，存在一个理想的权重向量W?，使得fx=W?TSx+?x，?x∈Ω（Kurdila等人，1995年）。?(x)是近似误差，满足|?(x)|≤??，其中??>0。最优的径向基函数网络（RBFN）W?TS(x)是对f(x)的最佳逼近，至少在误差水平??以内。W?是为分析而引入的，定义为W?=argminWsupx∈Ω|f(x)?WTS(x)|。此外，对于任何有界轨迹??Ω，f(x)可以通过使用有限数量的神经元来逼近，即(13)fx=Wζ?TSζx+?ζx，?x∈Ω，其中下标(?)ζ表示与沿?分布的神经元相关的项，Wζ?∈RNζ，Sζx=s1ζx,s2ζx,…,sNζζxT∈RNζ，Nζ0，使得对于所有t≥0，以下界限成立，(14)max‖Sζx‖,‖?Sζx?t‖≤k1。实际上，对于高斯RBFN，当(7)中的fx;ps满足利普希茨条件时，这个假设成立。首先，存在一个正常数Sm，使得‖Sx‖≤Sm（Kurdila等人，1995年）。然后，‖Sζx‖≤‖Sx‖≤Sm。此外，对于高斯函数，?Sζx?x是有界的。由于fx;ps满足利普希茨条件，dxdt也是有界的。因此，?Sζx?t=?Sζx?xdxdt也是有界的。

引理3：PE条件（Wang & Hill，2018年）假设轨迹?是循环的并且保持在一个紧凑集合Ω内。如果神经元中心在集合Ω内均匀分布，那么由接近循环轨迹?的区域激发的神经元的回归向量Sζxt满足PE条件，即存在正常数α1、α2和T0，使得(15)α1‖c‖2≤∫t0t0+T0‖SζTxτc‖2dτ≤α2‖c‖2，?t0≥0，其中c∈RNζ是一个任意的常数列向量。

3. 分数阶系统的确定性学习为了捕捉分数阶非线性系统（FONS）(7)的未知非线性动力学fx;ps，简要介绍FODLM。我们的目标仅使用系统状态x的信息来识别固定参数ps。首先，考虑固定参数ps可以在一个紧凑集上通过高斯RBFN来准确逼近：(16)fix;ps=Wi?TSx+?ix，?x∈Ω。然后，设计一个控制器，使得控制器状态跟踪参考状态xi，其中RBFN被用来逼近固定参数ps。控制器由以下基于RBFN的识别器给出：(17)t0CDtαx?i=?aix?i?xi+W?iTSx，其中x?i∈R是识别器的估计状态，xi是系统(7)的第i个状态，ai>0是识别器增益，W?i是RBFN的估计权重向量，W?iTSx是用来逼近固定参数ps的RBFN。为了使闭环传递函数与参考模型的传递函数t0CDtαxi=fix;ps相匹配，从而准确地识别固定参数ps，采用以下学习律来更新估计权重向量W?i∈RN：(18)t0CDtαW?i=?γiSxx?i?xi。

在所有N个神经元中，靠近输入轨迹的Nζ个神经元可以组成回归子向量Sζx∈RNζ。远离轨迹的剩余Nζ?=N?Nζ个神经元组成回归子向量Sζ?x∈RNζ?。这两个回归子向量分别对应于两个权重子向量W?ζi和W?ζ?i。因此，可以得到Sx=SζTx，Sζ?TxT，W?i=W?ζiT，W?ζ?iTT，从而得到W?iTSx=W?ζiTSζx+W?ζ?iTSζ?x。对于从FONS(7)生成的任何循环轨迹?，根据(13)，我们得到(19)fix;ps=Wζi?TSζx+?ζix，?x∈Ω。设x?i=x?i?xi表示状态跟踪误差，W?ζi=W?ζi?Wζi?表示RBFN的参数估计误差。结合(7)、(17)、(19)，我们得到(20)t0CDtαx?i=?aix?i+W?ζiTSζx+W?ζ?iTSζ?x??ζix，其中下标(?)ζ表示与远离输入轨迹的神经元相关的项。

注2：回归子向量Sζ?x∈RNζ?由远离输入轨迹的神经元组成。由于高斯函数的指数衰减特性，Sζ?x的各个分量的值非常小，甚至可能为零。从初始条件W?it0=0开始，我们有W?ζ?it0=0。由于Sζ?x非常小，学习律t0CDtαW?ζ?i=?γiSζ?xx?i的结果是一个小的分数阶导数t0CDtαW?ζ?i。因此，当W?ζ?it0=0时，权重W?ζ?i几乎不会更新，接近于零。然后，?ζi′接近于逼近误差?ζi并且很小，从而得到FOLTV系统(21)。

注3：FONS的学习是根据学习误差来分析的。首先，构建的基于RBF网络的识别器在跟踪状态xi时会显示误差，通过更新网络参数可以减少这种跟踪误差。然而，更新过程中存在的参数估计误差会阻碍跟踪误差的减少。这两个动态过程可以用FOLTV系统(21)来表示，误差的动态将随着系统的发展而演变。随后，对LTV系统的稳定性进行了详细分析。一旦系统被证明在原点处是稳定的，学习误差将收敛到原点的一个小邻域内。这表明RBFN参数将收敛到它们理想权重的一个小邻域内。

注4：对于本文提出的分数阶确定性学习机制，循环轨迹的PE属性是准确建模FONS未知动力学的关键要素。如脚注1和假设1所述，循环轨迹代表了一大类周期性和准周期性的轨迹，这需要轨迹的可重复性。因此，当系统轨迹具有可重复性时，关于确定性学习机制的(13)及其后续推导是成立的。轨迹的可重复性要求使得确定性学习适用于执行重复任务的系统，例如机器人臂或自动化生产线。此外，当轨迹缺乏可重复性时，可以采用周期性扩展的方法将其转换为可重复的轨迹，从而确保PE。

4. 分数阶确定性学习误差系统的稳定性分析将?ζi′视为扰动，我们分析名义上的FOLTV系统：(23)t0CDtαχζit=Aζitχζit，输出定义为(24)yt=1,0,0,…,0χζit=Ciχζit，其中χζit=x?iTt，W?ζiTtT，Ci=1,0,0,…,0∈RNζ+1，Aζit=?aiSζTx?γζiSζx0。为了证明(23)的Mittag-Leffler稳定性，我们使用输出注入下的可观性不变性，这对于整数阶自适应系统的收敛性分析是有效的（Ioannou和Sun，1996年；Sastray和Bodson，1989年）。

4.1. 输出注入下的可观性不变性考虑一个由(25)t0CDtαxt=Atxt定义的FOLTV系统，输出定义为(26)yt=Ctxt，其中xt∈Rn，yt∈Rm，而At∈Rn×n，Ct∈Rm×n是分段连续函数。定义4：如果存在严格正常数β1、β2，使得(27)β1I≤Nt0,t0+δ≤β2I，则FOLTV系统(25)在时间t∈t0,t0+δ内是可观测的，δ>0，其中Nt0,t0+δ∈Rn×n是可观性格拉姆矩阵(28)Nt0,t0+δ=∫t0t0+δΦTτ,t0CTτCτΦτ,t0dτ，Φτ,t0是Bourdin（2018年）中提供的左Caputo状态转置矩阵。考虑到xτ=Φτ,t0xt0，对于所有xt0∈Rn，(27)可以重写为(29)β1‖xt0‖2≤∫t0t0+δ‖Cτxτ‖2dτ≤β2‖xt0‖2。由此给出了FOLTV系统(25)在输出注入下的可观性不变性理论。

定理1：考虑一个在输出注入下的系统：(30)t0CDtαwt=At+KtCtwt，输出定义为(31)zt=Ctwt，其中wt∈Rn，Kt∈Rn×m，zt∈Rm。如果存在kδ≥0，使得(32)∫t0t0+δ‖Kt‖2dt≤kδ，则系统(25)在(26)下是可观测的当且仅当系统(30)在(31)下是可观测的。此外，如果系统(25)在(26)下的可观性格拉姆矩阵满足(33)β1I≤Nt0,t0+δ≤β2I，β1,β2>0，则系统(30)在(31)下的可观性格拉姆矩阵也满足这些不等式，且δ相同，(34)β1′=β11+kδkE2，β2′=β2′ekδkE，kE是一个正常数。证明遵循Sastray和Bodson（1989年）以及Bourdin（2018年）中的引理2.5.2；详见附录A。

注5：注意，如果对所有t0来说(27)始终成立，则称可观性为一致的；如果对所有xt0来说(29)也成立，则称可观性为完全的。在定理1中，我们建立了输出注入下的可观性不变性理论：系统(25)在(26)下是可观测的当且仅当系统(30)在(31)下是可观测的。然而，该不变性理论只在时间间隔t0,t0+δ内成立。为了适用于任何时间间隔t?,t?+δ，t?≥t0，需要证明该不变性理论是一致的。由于标准状态转置矩阵不满足半群性质（Φt,t0=Φt,τΦτ,t0,t0< />0，则系统(30)在(31)下的可观性格拉姆矩阵满足这些不等式，且δ相同，(38)β1′′=β1′′1+kδkE2，β2′′=β2′′ekδkE，kE是一个正常数。证明根据Gomoyunov（2020年）中的定理4.2，我们给出了系统(25)在初始条件xt=κ?t, t∈t0,t?下的解，对于所有t≥t?，(39)xt=I+∫t?tΛt,τAτdτxt?+∫t?tΛt,τb?τdτ=Φt0t,t?xt?，其中b?t=α∫t0t?κ?τ?κ?t0t?τ1+αdτΓ1?α?κ?t0Γ1?αt?t?α。并且κ?t满足存在一个(Lebesgue)可测函数φt，使得κ?t?=κ?t0+t0Dt?αφt。同样，我们给出了系统(30)在相同初始条件wt=κ?t, t∈t0,t?下的解，对于所有t≥t?，(40)wt=I+∫t?tΛt,τAτdτwt?+∫t?tΛt,τb?τ+KτCτwτdτ=Φt0t,t?wt?+∫t?tΛt,τKτCτwτdτ。然后，(41)wt?xt=∫t?tΛt,τKτCτwτdτ,t≥t?，其中Λt,τ是Bourdin（2018年）中提供的左RL状态转置矩阵。通过附录A中的推导，可以使用(41)完成证明。

注6：引理4将可观性不变性扩展到每个[t?,t?+δ]区间。分数阶状态是依赖于[t0,t?]期间历史的伪状态（Monje等人，2010年）；因此，仅Φ(t,t?)不能表示从t?到t的转换。伪状态转置矩阵Φt0(t,t?)通过b?(t)结合了这一历史。

4.2. 分数阶确定性学习误差系统的Mittag-Leffler稳定性利用输出注入下的可观性不变性，定义(42)A′t=?aiSζTx00，K′t=0?γζiSζx，那么系统(23)在输出注入下等价于形式(43)t0CDtαχζit=A′t+K′tCiχζityt=Ciχζit。定理2：考虑具有动态识别器(17)和学习律(18)的分数阶确定性学习误差系统(21)。在假设1和假设2下，系统(21)的名义部分是Mittag-Leffler稳定的，并满足(44)‖χζit‖≤b2b1Eα?b3′b2t?t0α12‖χζit0‖，其中χζit=x?iTt，W?ζiTtT，b1=λminP，b2=λmaxP，b3′=b3δb4，b3=aiα1′′′1+m′′+n′′Nζ‖γζi‖2α2kE′2，α1′′=0.5kb2α1+α3′′，δ=m′′+n′′T0，P=100γζi?1，b4，kb，m′′，n′′，α3′′，kE′是正常数。证明分为三个步骤：使用定理1建立[t0,t0+δ]上的可观性-格拉姆矩阵界限，使用引理4将其扩展到每个[t?,t?+δ]区间，并使用下界来证明Mittag-Leffler稳定性。步骤1：基于引理3，假设Sζxt满足PE条件。然后，根据(15)，(45)∫t0t0+T0‖K′t‖2dt≤Nζ‖γζi‖2α2=kT0。将可观性不变性应用于(46)t0CDtαχζit=A′tχζity′t=Ciχζit，其输出可以表示为：(47)y′t=x?it=Eα?ait?t0αx?it0+∫t0teα?ait?τSζTxτW?ζiτdτ=y1′t+y2′t，其中eα?ait?τ=t?τα?1Eα，α?ait?τα。注意，系统(46)中的W?ζit不更新，即W?ζit=W?ζit0可以任意设置，使得(48)y2′t=∫t0teα?ait?τSζTxτW?ζit0dτ。对于y2′t，根据Sastray和Bodson（1989年）中的引理2.6.7、3.6.1和3.6.2，可以建立以下不等式(见附录B)：(49)α1′‖W?ζit0‖2≤根据引理4，我们有 (65)β1′‖χζit?‖2≤∫t?t?+δ‖yτ‖2dτ≤β2′‖χζit?‖2，其中 β1′=α1′′′1+kT0′kE′2，β2′=α2′′′ekT0′kE′，δ=m′′+n′′T0。步骤3：对于名义部分（23），选择以下Lyapunov函数 Vt，(66)V=1/2χζiTtPχζit，P=1/00γζi?1。显然，以下不等式 (67)b1‖χζit‖2≤V≤b2‖χζit‖2 成立，其中 b1=λminP 且 b2=λmaxP。计算其Caputo导数得到 (68)t0CDtαV=1/2t0CDtαx?i2+1/2t0CDtαW?ζiTγζi?1W?ζi。根据引理2，我们得到 (69)t0CDtαV≤x?it0CDtαx?i+W?ζiTγζi?1t0CDtαW?ζi=?aix?i2≤0。然后，通过对 (69) 两边积分，并基于步骤2的结果，我们有 (70)∫tt+δt0CDtαVdτ=?ai∫tt+δx?i2dτ=?ai∫tt+δ‖yτ‖2dτ≤?aiβ1′‖χζit‖2=?b3‖χζit‖2，根据均值定理，(71)t0CDtαVt≤?b3δ‖χζit‖2，其中 t≤τ≤t+δ。考虑到 Vt 是连续且可微的，并且 t0CDtαV≤0，存在一个正常数 b4 使得 (72)t0CDtαVt=b4t0CDtαVt≤?b3δ‖χζit‖2。接着，(73)t0CDtαVt≤?b3δb4‖χζit‖2=?b3′‖χζit‖2。根据引理1，χζit=0 是Mittag-Leffler稳定的，并满足 (74)‖χζit‖≤Vt0b1Eα?b3′b2t?t0α12≤b2b1Eα?b3′b2t?t0α12‖χζit0‖。注7：PE条件确保了名义系统（21）的Mittag-Leffler稳定性。由于 |?ζi′(x)|≤?ζi′?，Sastray和Bodson（1989）中的引理3.6.1将这种误差视为小扰动，因此 x?i 和 W?ζi 收敛到由 ?ζi′? 确定的零点附近。此外，非局部分数导数依赖于 [t0,t?] 期间历史 x(τ)，由 (56) 中的 b?(t) 表示（Gomoyunov，2020）。当 α=1 时，Mittag-Leffler 函数简化为指数函数，Γ(1?α)=∞，b?(t)≡0；半群性质和UCO结果得以恢复。当 α3′′=0 时，从 (47) 推导到 (70) 变为Sastray和Bodson（1989）的定理2.6.5。

5. 仿真
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图1. 从周期为2的轨道学习。(a) 周期为2的轨道。(b) RBF网络和状态轨迹。(c) 部分参数收敛 W?3。(d) f3 的函数近似。

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图2. 从混沌轨道学习。(a) 混沌轨道。(b) RBF网络和状态轨迹。(c) 部分参数收敛 W?3。(d) f3 的函数近似。

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图3. 在噪声环境中的学习。

5.1. 分数阶R?ssler系统
分数阶R?ssler系统（Cermak & Nechvatal，2018）有一个非线性项，并表现出满足FODLM要求的周期性或混沌递归吸引子。考虑 (75)t0CDtαx1=?x2?x3，t0CDtαx2=x1+p1，x2t0CDtαx3=p2+x3，x1?p3，其中 x=[x1,x2,x3]T，ps=[p1,p2,p3]T，f3(x1,x3)=p2+x3(x1?p3) 是未知的。对于周期为2的轨道，设置 α=0.975，P=[0.2,0.2,5.7]T，x(t0)=[6,3,6]T（图1(a)）。855个神经元覆盖 [?10,12]×[?1,8]，分离距离 h=0.5，接收场宽度 η=0.5（图1(b)）；通过设置 a3=10 和 γ3=100，图1(c) 显示局部激发权重的收敛情况，而远程权重保持接近零。由于 Wζ3? 是未知的，收敛性通过 W?3TS(x) 来评估，其中 W?3 平均了收敛的权重。图1(d)（NMSE=0.001447）表明实现了对未知非线性系统动态 f3x 的良好神经网络近似，NMSE=1/N∑i=1N(fi?f?i)2/1/N∑i=1N(fi?f?)2 以消除规模和单位效应。对于递归混沌轨道，设置 α=0.9，P=[0.48,0.6,6]T，x(t0)=[0,0,0]T（图2(a)）。760个神经元覆盖 [?10.2,12]×[?1.2,10.2]，h=η=0.6（图2(b)）。设置 a3=20 和 γ3=400。尽管有波动，权重仍然收敛（图2(c)），图2(d)（NMSE=0.005152）表明仍然实现了对 f3x 的相当好的神经网络近似。

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图4. 分离距离 h 和接收场宽度 η 与学习精度之间的关系。

对于周期为2的轨道且信噪比为35 dB且无过滤的情况（图3(a)），a3=3 和 γ3=50 产生了 f3x 的稳健近似，NMSE=0.005168（图3(b)）和参数收敛（图3(c)）。此外，我们通过添加不同信噪比的噪声进行了实验。图3(d) 显示随着信噪比的降低，精度下降；然而，相对较低的NMSE仍然表明所提出的算法具有良好的鲁棒性。图4显示了最佳的分离距离 h 和接收场宽度 η；在两个参数的范围内，精度保持较高，表明敏感性有限。

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图5. 从PSMG模型的混沌轨道学习。(a) 混沌轨道。(b) RBF网络和状态轨迹。(c) 部分参数收敛 W?3。(d) f3 的函数近似。

5.2. 分数阶PSMG模型
为了评估所提出方法处理实际机电系统中常见的密集且强耦合的多变量非线性动力学的通用性，考虑分数阶PSMG模型（Karthikeyan等人，2018），其非线性交叉项耦合了正交/直接轴定子电流和转子角速度：(76)t0CDtαx1=p1x2?x1+p2x3，x2t0CDtαx2=?x2?x1，x3+p3x1+u2，t0CDtαx3=?x3+x1，x2+u3，其中 u=[u1,u2,u3]T 表示外部输入。当 p1=5.45，p2=1，p3=20，且 u=0 时，该模型是混沌的；f1(x1,x2,x3)=p1(x2?x1)+p2x3x2 被视为未知的。设置 α=0.975 和 x(t0)=[13,2.5,22]T（图5(a)）。1080个神经元覆盖 [?35,35]×[?20,20]×[0,35]，h=η=5（图5(b)）；a1=8 和 γ1=250。图5(c)-(d) 显示参数收敛和良好的近似性能（NMSE=0.029272）。两种情况都证实了FODLM对于未知FONS动力学的有效性、通用性和鲁棒性。

6. 结论
在本文中，提出了一种称为从分数阶系统确定性学习的机制。在PE条件下，该机制实现了估计状态对周期参考状态的跟踪收敛，同时通过RBFNs准确近似了FONS的非线性动力学。通过将整数阶系统中“输出注入”下的观测不变性这一经典工具的应用扩展到分数阶系统，我们证明了所提出的FODLM的性质与Mittag-Leffler稳定性相关，并建立了分数阶确定性学习误差系统的Mittag-Leffler收敛性。将来，基于从分数阶系统中学到的动力学知识，所提出的机制可以在许多分数阶领域中发挥作用，例如自适应控制、模式识别和时间序列分类。

张金元 | 吴伟明 | 徐娟娟 | 王聪 | 陈阳权