一种用于直接FE2方法的模型降阶技术：基于径向基函数代理模型的等效二次代表性体积元

《Finite Elements in Analysis and Design》：A model reduction technique for the direct FE2 method using equivalent quadratic-RVEs with a radial basis function (RBF) surrogate model

　　

•提出了一种直接采用等效二次代表性体积元（EQ-RVEs）的FE2框架，可显著降低多尺度模拟的计算成本。•EQ-RVEs能够正确表征代表性体积元在较大变形条件下的力学行为。•基于径向基函数的代理模型可提供内力和刚度矩阵的显式表达。•EQ-RVEs通过多点约束（MPCs）在Abaqus中实现为用户单元，以连接两个尺度。•在保持模拟精度的同时，计算成本降低了最高99%。

引言

在现代工程应用中，复合材料、合金和超弹性聚合物等非均匀材料的使用日益增多。然而，传统非均匀材料的本构模型往往无法表征微观尺度上的局部变形和相互作用。多尺度框架通过自下而上的视角描述非均匀材料的力学行为，并以一致的方式将微观物理与宏观力学联系起来，从而克服了这一局限性。这些方法对于捕捉材料复杂行为至关重要，在这些材料中，宏观响应受到微观相互作用的强烈影响[[1],[2],[3],[4],[5]]。

多尺度方法通常分为两大类：平均场方法和全场方法[1,4]。平均场方法包括Mori-Tanaka方案和自洽方案等经典方案，它们对于线性或中等非线性材料具有很高的效率，因为它们基于相平均应力和应变来估计整体响应[6]。然而，它们无法捕捉严重依赖于实际微观几何形状的局部非线性。相比之下，全场方法通过耦合宏观和微观问题，直接在微观结构内部求解变形场和应力场。因此，它们能够为具有强非均匀性或非线性的多尺度材料的力学行为提供更准确、物理上更一致的预测[7,8]。然而，这些方法计算成本高昂，特别是对于涉及高精度微观离散化的大型模拟。

在全场多尺度技术中，FE2方法是最通用且最强大的异质材料多尺度分析框架之一[[9],[10],[11],[12]]。在FE2方法中，宏观结构被划分为标准连续体有限元，宏观网格中的每个积分点与一个微观代表性体积元（RVE）相关联。RVE代表非均匀材料的局部微观结构，也由有限元离散化来描述微观相的实际几何形状和材料属性[[9],[10],[11],13]。下缩放关系将宏观变形传递到RVE边界，上缩放关系通过对微观场取平均来计算宏观应力和切线模量。宏观本构响应通过将宏观变形施加于RVE边界、求解微观平衡方程并对所得应力场取平均来获得；这一过程称为计算均质化。这种双尺度耦合使FE2方法能够高精度地捕捉微观非均匀性与宏观变形之间的相互作用[[14],[15],[16]]。在过去二十年中，基于FE2的模型已广泛应用于复合材料的许多问题[16,17]、多晶金属[18]、热-力耦合[19]以及热-电耦合[20]等方面。然而，传统的FE2程序在求解非线性问题时会产生高昂的计算成本，因为在交错求解方案中，微观Newton-Raphson循环嵌套在宏观Newton-Raphson过程中。特别是，为宏观Newton-Raphson迭代计算一致的微观切线算子的需求，进一步增加了非线性问题的计算负担。此外，FE2方法通常需要进行专门实现才能用于实际工程应用。

直接FE2方法[21]已被提出，用于通过多点约束将宏观有限元与微观有限元链接为单一统一有限元模型，并采用单体求解方案。直接FE2方法通过消除传统FE2方法中的迭代交错循环和数据传递来降低计算成本。此外，直接FE2方法可通过商用有限元软件中的多点约束方便地实现。然而，微观有限元模型仍然需要大量自由度来正确表征RVEs的力学行为。

已提出多种策略来降低多尺度模拟的计算成本。基于本征正交分解（POD）或主成分分析（PCA）的降阶方法从快照数据构建低维基函数，并将微观问题投影到这些降阶空间上，在保留全解大部分能量内容的同时实现了显著加速[[22],[23],[24],[25],[26]]。然而，这些方法通常需要大量训练数据集和对新载荷路径的反复投影步骤，且当微观结构的实际演化偏离采样的变形历史时，其精度可能下降。与基于POD的方法从解快照统计推导基函数不同，RVE中变形或应变的降基近似方法[27,28]选择少量物理驱动的模态来表征局部运动学。这些方法具有吸引力，因为它们保留了问题的变分结构，但为非线性材料构建鲁棒的降阶基函数仍然具有挑战性，且往往具有问题特异性。

超缩减技术已发展用于在降阶空间中评估非线性问题的内力，包括离散经验插值法（DEIM）、经验立方方法（ECM）和能量守恒采样与加权（ECSW）方法[[29],[30],[31]]。然而，它们需要对内力进行侵入式计算，当工况与超缩减校准时使用的条件不同，可能导致鲁棒性丧失。

与这些降阶方法并行发展，神经网络和数据驱动的代理模型在加速多尺度分析方面引起了广泛关注。这些方法的共同目标是利用一组离线模拟结果学习RVE的均质化响应，然后在线复用，从而避免重复求解微观问题。第一类此类模型使用前馈神经网络将宏观变形梯度映射到超弹性复合材料的均质化应力[32]。这类模型简单且预测速度极快，但当变形偏离采样范围时，其精度会下降。已发展了一类基于物理的网络，将客观性、材料对称性和热力学一致性强制施加到网络中[[33],[34],[35]]。这些约束提高了代理模型的精度和泛化能力，并减少了训练数据量，尽管模型仍然仅在宏观层面表征响应，而无法获取微观场。一些代理模型直接在网络的隐状态中使用各相的本构定律，因此仅需少量训练样本即可保持物理意义[36,37]。近期综述对这些方向及其优势和未解决问题进行了全面概述[38]。连同早期的数据驱动均质化框架[26,[39],[40],[41],[42]]，这些代理模型可以为多尺度有限元分析提供微观结构的本构响应。大多数此类模型的共同特征是将宏观应变映射到均质化应力，而在在线计算中微观场仅以平均意义表征。相比之下，降阶RVE模型可以直接获取RVE的局部场，这在直接FE2方法中保持了宏观结构与微观结构之间的紧密联系，同时仍保持计算效率。

本文提出了一种用于直接FE2方法的降阶技术，其中使用等效二次（EQ）单元来表征RVEs，并构建径向基函数（RBF）代理模型来近似其力学响应。图1示意性地比较了传统FE2方法与具有所提EQ-RVE的直接FE2方法。EQ-RVE仅由二次单元的边界节点组成，形成微观结构域的简化降阶表征。EQ-RVEs保留了本质性的微观力学特性，同时显著减少了自由度数量并降低了计算成本。在离线训练阶段，在一组训练载荷下执行完整RVE模拟以收集边界位移和反力数据，由此为EQ-RVEs构建RBF代理模型。该代理模型建立了EQ-RVEs边界位移与反力之间的连续可微关系。EQ-RVEs的RBF代理模型可直接计算在非线性多尺度问题的直接FE2分析中Newton-Raphson迭代[43,44]所需的内力向量和切线刚度矩阵。所提框架通过用户单元（UEL）接口与商用有限元软件Abaqus集成[15,17,45]。该集成使所提方法可应用于具有复杂几何形状和载荷条件的非线性多尺度问题。

EQ-RVE直接FE2方法

本节回顾直接FE2方法，然后描述EQ-RVE直接FE2方法。在离线阶段，基于完整RVE模拟数据集，通过RBF代理模型表征EQ-RVEs的力学行为。EQ-RVEs是集成到直接FE2公式中的降阶微观模型。在直接FE2框架内，EQ-RVEs使用多点约束连接到宏观网格，以单体方式求解单一统一的有限元系统。

Abaqus用户单元

EQ-RVE直接FE2方法可在商用有限元软件Abaqus/Standard中使用单一统一有限元模型和单体求解方案来求解多尺度问题。本文中，EQ-RVEs的公式(17)中的力向量和公式(24)中的切线刚度矩阵在Abaqus用户单元（UEL）子程序中实现。算法1展示了EQ-RVEs的UEL子程序流程。

对于每个EQ-RVE，位移向量$u_{eq}$可以分解为平动、转动和...

数值算例

本文所提出的EQ-RVE直接FE2方法通过两个超弹性材料的基准问题进行性能评估。在线和离线计算均在配备24核Intel i9-13900K 3.20 GHz CPU和64 GB RAM的个人计算机上完成。EQ-RVE直接FE2分析使用单核运行，而当串行计算不切实际时，更为耗时的参考模型使用并行计算。所有计算时间均为墙钟时间，且...

结论

本文提出了一种高效的EQ-RVE直接FE2方法，该方法将EQ-RVEs的降阶代表性单元与径向基函数（RBF）代理模型相结合，以加速非线性超弹性材料的直接FE2模拟。我们的框架在物理RVE层面使用代理模型，通过完整RVE的有限元模拟进行训练。它将完整RVE替换为具有较少自由度但保持物理解释性的EQ-RVE。一个关键...

CRediT作者贡献声明

Lam Vu-Tuong Nguyen：撰写——初稿，可视化，验证，软件，资源，形式分析，数据管理。Hyun-Gyu Kim：撰写——审阅与编辑，监督，项目管理，方法论，调查研究，资金获取，概念化。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

致谢

本研究得到韩国国家研究基金会（NRF）资助（韩国政府MSIT）（编号：2022R1A4A2000791）。

Lam Vu-Tuong Nguyen | Hyun-Gyu Kim