基于物理辅助深度神经网络的可压缩非平衡振动流速度梯度动力学封闭框架

《Journal of Fluid Mechanics》：A physics-assisted deep neural network-based closure framework for velocity gradient dynamics in compressible flows with vibrational non-equilibrium

　　

本研究提出了一种采用物理辅助深度神经网络的动力学模型，用于描述具有振动非平衡效应的可压缩湍流中速度梯度的演化过程。此类模型为理解与小尺度结构相关的非线性物理提供了有力框架。在可压缩流动中，热力学场对速度梯度动力学的影响通过热力学梯度场（TGF）张量体现。TGF张量是速度梯度演化方程中的主要未封闭项之一，由压力-海森（pressure-Hessian）张量ρH与斜压（baroclinic）张量B共同构成。据此，所提出的框架分别对H张量与B张量的动力学进行了封闭。基于已有的H张量唯象封闭机制，研究人员开发了一个基于神经网络的封闭模型，用于描述产生B张量的无黏机制。与近期使用的其他张量基不同，本研究采用了一种新颖的张量基，允许模型中包含非对称特征。该框架还引入了一个数据驱动的封闭模型来处理振动非平衡效应。最终形成的框架将H和B张量各控制机制的唯象表征与数据驱动表征相结合，称为混合增强均质欧拉方程（H-EHEE）模型。模型预测结果在一系列湍流马赫数下进行了评估，并与直接数值模拟（DNS）数据及现有可压缩速度梯度模型进行了对比。H-EHEE模型与DNS统计结果高度吻合，并在高可压缩流动区域相比现有模型展现出显著改进。

论文解读

一、研究背景与问题

理解湍流中小尺度结构的物理机制对于发展准确且通用的湍流模型至关重要。速度梯度张量（velocity gradient tensor, A_ij）在小尺度结构动力学中扮演核心角色。其演化可通过实验、直接数值模拟（DNS）或封闭的常微分方程组（ODEs）进行研究。由于实验测量极其困难，而DNS追踪拉格朗日粒子计算成本高昂，因此建立一套封闭的ODEs来描述流体微团跟随运动下的速度梯度张量时间演化具有三大优势：计算成本低、直接提供物理直观的拉格朗日演化信息、可作为拉格朗日概率密度函数（p.d.f.）方法的封闭模型。

在不可压缩流动中，速度梯度张量演化方程包含两个未封闭项：压力-海森张量（pressure-Hessian tensor）和黏性拉普拉斯张量。已有多种唯象模型对此进行封闭，其中近年流体变形（RFD）模型被认为是不可压缩湍流中最成功的模型之一。然而，在可压缩流动中，压力场对速度梯度动力学的影响通过两个未封闭贡献体现：固有对称的压力-海森张量和由密度梯度与压力梯度相互作用产生的斜压张量（baroclinic tensor, B_ij）。两者共同构成热力学梯度场（TGF）张量（P_ij）。不同于不可压缩流动，可压缩流动中压力作为热力学变量，需要单独的TGF张量演化方程。

早期的均质欧拉方程（HEE）模型和后续的增强均质欧拉方程（N-EHEE）模型虽取得进展，但存在明显局限：N-EHEE模型假设压力和密度波动相对均值较小，这在高端流马赫数条件下不成立；此外，这些模型未考虑振动非平衡效应。在高马赫数流动中，如高超声速流动和强激波后，空气分子振动模式被激发，振动弛豫时间可与湍流速度场特征时间相当，使流动动力学更加复杂，建模更具挑战性。尽管Shikha等人提出了基于神经网络的框架来模拟振动非平衡效应对TGF张量的影响，但该模型仅在单一时间点进行评估，属于非动力学框架。截至目前，尚不存在任何明确纳入振动非平衡效应的速度梯度演化动力学模型。

二、研究目的与意义

针对上述研究空白，本研究旨在实现以下四个目标：（1）发展适用于斜压张量产生与演化的无黏机制的张量基与不变量神经网络封闭模型，克服N-EHEE模型的局限性；（2）将新发展的斜压张量机制和振动非平衡机制的神经网络封闭模型融入动力学速度梯度框架；（3）构建一种新颖的混合动力学速度梯度模型（封闭ODEs系统），其中未封闭项采用唯象建模与神经网络封闭相结合的方式表示；（4）在从低到高湍流马赫数的广泛流动范围内评估模型性能，包括活跃振动非平衡区域，并与DNS数据及现有模型进行比较。

三、关键技术方法

研究人员采用了模块化建模策略，为不同的物理机制分别设计独立的神经网络封闭模型。具体而言，框架包含三个关键组成部分：

1. 1.
   张量基神经网络（TBNN）架构：用于封闭斜压张量（B_ij）的产生机制。由于该机制本质上是非对称的，而现有TBNN通常针对对称张量设计，研究人员推导了一套完整的、适用于任意二阶张量（不受对称性约束）的张量基与标量不变量集合，这是本工作的一个重要创新点。
2. 2.
   双神经网络架构：借鉴Shikha等人的方法，采用两种不同神经网络架构的组合来分别表示输出张量的两个不同方面：自归一化形式（使用TBNN架构，在不同流场间表现出较为普适的行为）和幅值（对不同流动条件更为敏感）。
3. 3.
   数据驱动的振动非平衡封闭模型：专门用于处理振动非平衡效应，与斜压张量机制独立建模。

这种模块化策略降低了学习任务的复杂度，使每个网络专注于特定的物理机制，提高了所得动力学框架的可解释性和鲁棒性。最终将这些神经网络预测嵌入到封闭的ODEs系统中进行时间积分，形成完整的混合增强均质欧拉方程（H-EHEE）模型。

四、研究结果

1. 引言

研究指出，建立速度梯度张量的封闭ODEs系统具有重要价值。在不可压缩流动领域，从限制欧拉方程（REE）到RFD模型的发展历程表明，唯象模型能够再现湍流的若干重要统计特征。然而，在可压缩流动中，TGF张量同时包含对称的压力-海森分量和不对称的斜压分量，使得建模更加复杂。现有N-EHEE模型虽然引入了斜压张量产生机制，但依赖于小扰动假设，在高端流马赫数下失效。此外，高马赫数下的振动非平衡效应尚未在任何动力学模型中得到考虑。

2. 速度梯度动力学演化方程

研究给出了可压缩湍流中速度梯度张量A_ij的拉格朗日演化方程（方程2.4），包含三个主要项：自拉伸项（-A_ikA_kj，数学封闭）、TGF张量P_ij（未封闭、非局部）和黏性拉普拉斯张量Γ_ij（未封闭）。进一步将P_ij分解为压力-海森张量ρH_ij（对称）和斜压张量B_ij（一般不对称），后者源于密度梯度与压力梯度的相互作用。在不可压缩极限下，密度梯度消失，B_ij=0，P_ij退化为H_ij。

3. 现有模型回顾

N-EHEE模型（方程3.1-3.5）是一个包含27个ODEs的封闭系统，通过唯象方式封闭了速度梯度张量和TGF张量的演化方程。该模型引入了变形梯度张量C_ij及其逆矩阵M_ij，并定义了特征流体长度尺度L。然而，该模型依赖两个关键简化假设：热力学波动足够小以及热力学变量遵循多方过程，限制了其在高端流马赫数和振动非平衡条件下的适用性。

4. 增强与新建模建议

为克服N-EHEE模型的局限，研究人员提出为H张量和B张量分别建立独立的演化方程。这种分离允许对已经良好建模的H张量机制继续使用唯象封闭，而对B张量机制则采用更灵活的数据驱动方法。研究强调，B张量产生机制本质上是不对称的，需要新的张量基来表达。

五、讨论与结论

本研究成功构建了一个全新的混合动力学速度梯度模型（H-EHEE模型），该模型将唯象建模与数据驱动方法有机结合，首次实现了在动力学框架内同时处理可压缩湍流中的斜压张量机制和振动非平衡效应。通过为H和B张量分别建立独立的演化方程，并采用模块化的神经网络封闭策略，模型有效降低了学习复杂性，增强了可解释性。特别地，针对非对称张量推导的完整张量基与不变量集合，为未来相关建模工作提供了重要的理论基础。

模型预测结果在从低到高湍流马赫数的广泛范围内与DNS统计数据高度吻合，特别是在高可压缩流动区域，相比N-EHEE等现有模型展现出显著改进。这证明了数据驱动方法在捕捉复杂物理机制方面的优势，尤其是在传统唯象假设失效的高马赫数条件下。该工作不仅填补了振动非平衡效应在速度梯度动力学建模中的空白，也为发展更通用、更准确的湍流封闭模型开辟了新途径。