基于改进 Halanay 技术的具有时变时延奇异系统的事件触发一致最终有界控制

《Systems & Control Letters》：Event-triggered uniform ultimate boundedness control for singular systems with time-varying delays via an improved Halanay technique

　　

摘要 本文研究了具有时变时滞的奇异线性系统的基于事件触发的均匀最终有界控制问题。提出了一种具有指数衰减阈值和正常数绝对阈值的非周期事件触发机制，以减少冗余传输并排除芝诺现象。通过将触发引起的测量误差视为有界扰动，闭环系统被转化为一个奇异时滞系统。分析中引入Halanay型估计技术，推导了保证闭环系统可容许性和均匀最终有界性的充分条件。与传统的Lyapunov-Krasovskii泛函方法相比，所提方法避免了含有多个积分项和众多辅助变量的增广泛函，从而得到了计算高效的基于线性矩阵不等式的设计条件。这些条件为控制器和触发参数的联合设计提供了一种可行的方法，同时刻画了时滞上界、衰减率、阈值和最终界的影响。最后，通过数值算例、电气电路应用以及与现有基于LKF方法的对比算例，验证了理论结果并展示了所提方法的实际应用性和计算优势。

引言 奇异系统，也称为描述符系统或微分-代数系统，是一类将微分方程与代数约束相结合的重要动力学模型。此类系统自然出现在广泛的实际应用中，包括电力网络、电气电路、约束机械系统、化学过程、经济系统以及大型工程工厂[1]，[2]，[3]。由于代数约束的存在和描述符矩阵的奇异性，奇异系统展现出与传统状态空间系统根本不同的结构特征。这一独特特性引发了许多具有挑战性的理论和实际问题，使奇异系统成为系统与控制理论中一个活跃且重要的研究课题[4]，[5]，[6]，[7]，[8]，[9]。

时滞在实际控制系统中不可避免，可能源于信号传输、数据采集、执行器响应、计算和网络通信。对于奇异系统，时变时滞可能降低性能、削弱鲁棒性，甚至导致闭环系统不稳定。此外，时滞动力学与代数约束的共存显著增加了稳定性分析和控制器综合的复杂性。因此，近年来具有时变时滞的奇异系统的控制问题持续受到关注。基于Lyapunov-Krasovskii泛函、积分不等式、自由加权矩阵、互逆凸技术和线性矩阵不等式方法，已针对奇异时滞系统发展了众多时滞相关的稳定性与镇定判据[10]，[11]，[12]，[13]，[14]。这些研究大幅推进了领域前沿，并证明了更加复杂的Lyapunov-Krasovskii泛函和更紧的积分不等式可以有效减少时滞相关条件的保守性。然而，此类改进通常以引入更多辅助变量和更复杂的Lyapunov泛函为代价，导致更大的线性矩阵不等式和显著增加的决定变量数量。因此，尽管所得判据往往保守性较低，但相关的计算复杂度可能显著更高，尤其是对于高阶系统。因此，发展在保持满意性能的同时降低计算复杂度的替代分析与综合框架，仍然是奇异时滞系统的重要研究课题。

近年来，事件触发控制因其作为减少网络控制系统中通信和计算负担的有效方法而备受关注。与传统的定时触发方案不同——后者无论系统状态如何都周期性传输信息——事件触发控制仅当预设的触发条件满足时才更新控制信号。因此，通信资源可以更高效地利用，同时保持满意的控制性能。受这些优势启发，大量研究工作致力于为各类动力学系统开发事件触发控制策略[15]，[16]，[17]，[18]。事件触发机制在奇异系统中的应用也日益受到关注。例如，Ahmadzadeh和Shafiee[19]研究了不确定切换奇异系统的事件触发输出量化H∞控制问题。Liu等人[20]为异步切换下的切换奇异系统提出了事件触发动态输出反馈控制方案。在文献[21]中，为离散时间网络奇异系统设计了一种事件触发故障检测滤波器，而Sau和Thuan[22]为具有时滞的线性正离散时间奇异系统开发了事件触发控制框架。尽管这些研究显著推进了奇异系统事件触发控制的理论，但现有的大多数结果聚焦于无时滞奇异系统或离散时间模型。

与无时滞奇异系统相比，具有时变时滞的连续时间奇异系统的事件触发控制由于代数约束、时滞动力学和触发引起的测量误差的综合影响而具有相当大的挑战性。因此，仅有有限数量的研究处理了该问题。代表性工作包括Kuang等人[13]为具有时变时滞的连续时间奇异系统提出的事件触发预览滑模控制方法，以及Du等人[23]为具有状态时滞的奇异系统开发的事件触发H∞镇定方法。尽管这些工作取得了令人鼓舞的进展，但具有时变时滞的奇异系统的事件触发控制结果仍然相对有限，特别是从超越传统Lyapunov-Krasovskii方法论发展分析和综合框架的角度来看。为解决这些挑战，Halanay型技术最近作为时滞系统分析和控制的诱人替代方案崭露头角[16]，[24]，[25]。通过建立适当的微分不等式和显式时滞相关衰减估计，这些技术提供了一种直接刻画时滞轨迹演化方式，而无需依赖复杂的Lyapunov-Krasovskii泛函。尽管Halanay型估计技术已成功应用于传统状态空间系统，但其在奇异系统中的应用仍然相对有限。这主要是描述符结构引入了额外的可容许性要求并复杂化了合适的时滞相关估计的推导。这些观察促使将Halanay型估计技术纳入具有时变时滞的奇异系统分析中。

此外，在时变时滞、网络引起的误差和非零触发阈值存在的情况下，渐近收敛到原点可能是不必要地严格限制且在许多实际情况下无法达到的。相比之下，均匀最终有界性提供了一种更为现实且实践上更有意义的性能准则，要求系统轨迹在有限时间内进入并保持在指定的有界区域内[16]，[26]，[27]。这种概念特别适合于事件触发控制系统，其中正常数触发阈值的引入不可避免地会产生有界但非消失的测量误差。因此，均匀最终有界性为刻画事件触发奇异系统的闭环性能提供了自然的框架。

基于上述观察，本文旨在为具有时变时滞的事件触发奇异系统发展一种替代的分析与综合框架。所提方法不构建日益复杂的Lyapunov-Krasovskii泛函，而是将描述符兼容的Lyapunov函数与Halanay型估计技术相结合，建立闭环系统的可容许性和均匀最终有界性。在该框架内，触发引起的测量误差自然地被视为有界扰动，使得控制器综合问题可以在不引入增广Lyapunov-Krasovskii泛函的情况下进行形式化。因此，所得到的线性矩阵不等式独立于预设的时滞上界，且涉及的决策变量远少于传统的基于时滞相关LKF的公式化方法，从而为控制器综合提供了一种计算高效的替代方案。

本文的主要贡献总结如下：
• 为具有时变时滞的事件触发奇异系统开发了一种替代的分析与综合框架。通过将描述符兼容的Lyapunov函数与受Halanay启发的证明技术相结合，在无需构建增广Lyapunov-Krasovskii泛函的情况下建立了可容许性和均匀最终有界性。
• 提出了一种具有指数衰减阈值和正常数绝对阈值的非周期事件触发机制。通过将触发引起的测量误差显式地视为有界扰动，自然地为所得闭环奇异系统刻画了均匀最终有界性。
• 推导了显式的基于线性矩阵不等式的控制器综合条件。与具有时滞奇异系统的传统基于Lyapunov-Krasovskii的方法相比，所提公式化方法独立于预设的时滞上界，且涉及的决策变量显著减少，在排除芝诺现象的同时降低了计算复杂度。

记号：本文全文中，Rn表示n维实欧几里得空间，Rn×m表示所有n×m维实矩阵的集合。对于方阵M∈Rn×n，MT和M?1分别表示其转置和逆矩阵（当M?1存在时），且M?T=(M?1)T=(MT)?1。记号M>0（M<0）表示M为对称正定（负定）矩阵，M≥0（M≤0）表示M为对称半正定（半负定）矩阵。符号*表示对称分块矩阵中的对称项。对于实对称矩阵M，λmax(M)和λmin(M)分别表示其最大和最小特征值。矩阵B的谱范数定义为‖B‖=√λmax(BTB)。

问题描述与预备知识

考虑一类描述如下时滞奇异系统：
E?(t)=Ax(t)+Dx(t?τ(t))+Bu(t)，t≥t0，
x(s)=?(s)，s∈[t0?τ,t0]，

其中x(t)∈Rn为状态向量，u(t)∈Rm为控制输入。E∈Rn×n一般为奇异矩阵，秩rankE=r≤n。矩阵A,D∈Rn×n和B∈Rm×m为常值矩阵。时变时滞τ(t)满足0≤τ(t)≤τ，其中τ>0为时变时滞的最大上界。初始函数?(?)假设连续且与系统相容。

主定理

由于E为奇异矩阵且rank(E)=r≤n，存在非奇异矩阵M和N使得MEN=Ir000。

为便于分析，定义M(A+BK)N=A11A12A21A22，MDN=D11D12D21D22。

以下定理为闭环系统(6)的可容许均匀最终有界性提供了充分条件。

定理3.1 给定标量β>0，假设存在标量ρ>ζ>β，正常数b>0，矩阵Q∈Rn×n，Y∈Rm×n以及对称正定矩阵S∈Rm×m，使得Q非奇异且

数值算例

为验证所提方法的有效性和适用性，本节给出三个算例。第一个是数值算例，说明定理3.1中条件的可行性。第二个是电气电路应用，展示所提结果在实际奇异系统中的适用性。第三个是与现有基于LKF方法的对比算例，突出所提方法的计算优势。

算例4.1

结论

本文解决了具有时变时滞的奇异线性系统的事件触发均匀最终有界控制问题。通过将描述符兼容的Lyapunov函数与Halanay型估计技术相结合，建立了可容许性和均匀最终有界性的充分条件。所提的事件触发机制减少了通信使用量并保证了芝诺现象的排除，而所得到的基于线性矩阵不等式的设计条件使得C

作者贡献声明 Duong Thi Hong：论文撰写-审阅与编辑，论文撰写-初稿，方法论，调查研究，概念化。Nguyen Thi Thanh Ha：论文撰写-审阅与编辑，论文撰写-初稿，方法论，调查研究。Do Duc Thuan：论文撰写-审阅与编辑，监督，方法论，调查研究，概念化。

利益冲突声明 作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。

致谢 作者衷心感谢审稿人和编辑提供的有益评论，这些评论促成了论文的改进。本研究得到越南教育与培训部[项目编号B2026-TNA-01]和越南国家科技开发基金会（NAFOSTED）[项目编号NAFOSTED/101/2026/214]的资助。

Duong Thi Hong | Nguyen Thi Thanh Ha | Do Duc Thuan