一种用于三维多裂纹问题混合模式应力强度因子评估的局部到全局本征 COD 边界积分方法

《Theoretical and Applied Fracture Mechanics》：A local-to-global Eigen COD boundary integral method for mixed-mode stress intensity factor evaluation in three-dimensional multiple crack problems

　　

- 提出了一种针对三维多平面裂纹的局部至全域特征裂纹张开位移（COD）边界积分方法。
- 通过耦合的近邻系统求解强烈的局部裂纹相互作用。
- 远场牵引力更新保留了远处裂纹的累积影响。
- 对于100–500个裂纹，按模态划分的差异与密集边界积分方程（BIE）解相比均低于1.60%。
- 由10,000个裂纹和750,000个COD未知量组成的系统在16次迭代内收敛。

引言
裂纹与微裂纹广泛存在于混凝土、岩石、陶瓷、金属合金、生物材料和复合材料等各类工程及天然材料中。即便裂纹很小，其存在也可能降低有效刚度、扰动局部应力场，并成为损伤萌生及后续断裂的位置[1]–[13]。然而在大多数实际材料中，裂纹并非孤立存在，而是形成尺寸、取向和空间位置各不相同的群体，这使得裂纹相互作用成为力学响应的重要组成部分。根据具体构型，这些相互作用可能屏蔽或放大局部裂纹驱动力，从而影响刚度、强度、断裂抗力、损伤演化及最终破坏[1]–[4]、[12]–[15]。

在线弹性断裂力学（LEFM）中，应力强度因子（SIF）刻画了裂纹尖端前缘的领先奇异场，被广泛用于断裂评估与裂纹扩展预测[16]–[18]。在二维情形中，它们被计算于孤立的裂纹尖端处。相比之下，三维裂纹由一条空间前缘包围，三个分量KI、KII和KIII通常沿该前缘逐点变化[19]–[21]。当多个裂纹相互作用时，情形更为复杂：间距较小的裂纹可能相互屏蔽或增强，倾斜或非共面裂纹可在断裂模态之间传递载荷，众多远处裂纹的共同作用也可能对施加于某一给定裂纹的牵引力产生不可忽略的改变。因此，可靠的三维分析必须同时解析近邻裂纹的局部相互作用以及远处裂纹的累积贡献。

断裂问题已被多类数值方法所处理。边界积分及相关的积分方程形式尤其适用于裂纹问题，因为不连续性可直接在裂纹表面上表示[22]、[23]。配分一法、扩展及广义有限元方法（FEM）放松了对与裂纹几何相配的网格要求，减少了反复重新划分网格的需求[24]–[31]。变分方法与相场方法则能够描述裂纹萌生、分叉及复杂扩展路径[32]–[40]，而数值格林函数技术为在边界元计算中引入裂纹效应提供了另一种途径[41]、[42]。当外部几何、材料非均匀性或本构响应较为复杂时，基于域的形式仍然具有吸引力。然而，将其用于三维断裂分析时，通常需要在裂纹前缘附近进行局部网格细化、奇异性或富集近似以及精心构造的提取区域。特征张量法、相互作用积分以及最近扩展有限元方法（XFEM）的实现提高了三维SIF的评估水平[43]–[46]，但体离散与裂纹前缘细节解析的代价仍在需要同时考虑大量裂纹时迅速增长。

边界元方法（BEM）与裂纹面积分方法适用于线弹性断裂问题，因为离散化可以限制在外部边界和裂纹面上。经典的直接形式为三维弹性静力学及断裂分析奠定了基础[47]–[49]，后续研究则阐明并拓展了边界元与位移不连续方法之间在三维多裂纹问题中的关系[50]–[52]。此后提出了大量形式，包括对称伽辽金边界元方法（SGBEM）、弱奇异与超奇异形式、耦合SGBEM–FEM方案，以及在各向同性和各向异性固体中表示位移不连续并提取裂纹前缘参数的相关裂纹面方法[53]–[66]。其主要局限在大量裂纹群体中显现：一旦每一离散的裂纹表面都与所有其他表面耦合，所得代数系统即为密集矩阵，存储与分解代价随裂纹数量及表面离散精度迅速上升。

近期发展拓展了三维裂纹面分析的范围，例用于评估SIF和T应力的更高阶光滑边界元和边界积分过程、周期裂纹阵列的公式化、以及用于裂纹扩展、夹杂—裂纹相互作用和三维LEFM的等几何BEM[67]–[71]。这些方法提供了精确的裂纹前缘表示和相当大的几何灵活性。然而在大规模多裂纹问题中的主要障碍依然存在：邻近裂纹之间的相互作用往往强耦合且近奇异，而远处裂纹各自较弱的贡献在累积于整个裂纹群体后可能变得重要。因此，可扩展的求解策略必须同时保留这两种效应。

快速多极方法、层次矩阵技术及其他加速边界元方案已降低了大型弹性静力学与断裂问题中长程相互作用求值的代价[61]、[72]–[77]。三维多裂纹分析和裂纹扩展也已发展出并行快速直接等几何边界元求解器以及快速多极双边界元过程[78]、[79]。这些方法在压缩或加速全局相互作用场方面卓有成效，但未能消除与近距离裂纹相关的主要困难。近奇异积分与强烈局部耦合仍需要精确、且往往更为昂贵的处理，无法仅由远场近似替代。另一要求是稳定地将KI、KII和KIII恢复为沿每一条三维裂纹前缘的连续函数。

裂纹张开位移（COD，亦称位移不连续性）为裂纹面上未知场提供了紧凑表示，并保留了SIF提取所需的前缘渐近行为。在特征COD公式中，裂纹上产生的COD通过一个超奇异边界积分算子与其表面所受的有效牵引力相关联。已有研究利用这一思想构建了两维多裂纹问题的迭代相互作用方案与快速多极加速[80]–[84]。此处采用的术语中，"特征COD"描述的是裂纹表面对有效牵引力的位移不连续响应，不应与特征值问题或经典Eshelby问题[85]中所涉及的特征应变与夹杂场相混淆。

由二维多裂纹问题扩展到三维平面裂纹并非仅是空间维度的简单改变。在二维中，COD沿裂纹线定义，相关断裂参数在离散裂纹尖端处评估。而在三维中，必须在每个裂纹面上表示三个位移不连续分量，同时用于SIF提取的局部基沿裂纹前缘连续变化。裂纹间的相对取向还会在I、II、III模态之间引入耦合。相互作用场带来了额外的数值困难：近邻裂纹可能需要强耦合处理，而远处裂纹各自较弱的作用却可能在大量群体中累积。完全耦合的密集系统可保留两种贡献，但随着裂纹数量增加其代价高昂；纯局部截断则可能忽略远程应力重分布。

因此，核心问题在于构建一种裂纹面公式，使其能够精确处理近邻裂纹组内强烈相互作用、保留远处裂纹的累积影响，并避免组装与分解完整的密集相互作用矩阵。其方法学贡献并不在于不动点迭代本身，因为针对二维多裂纹问题的迭代特征COD方案已被引入[80]–[84]。相较那些公式，本研究在同一框架内整合了四个三维组分：(i)分布于每个平面裂纹表面的三个COD分量；(ii)用于强近场相互作用的重叠、隐式耦合局部裂纹簇系统；(iii)保留累积长程作用的迭代远场牵引力修正；(iv)连续变化的裂纹前缘标架及基于物理距离的KI、KII、KIII恢复。下文报道的大规模群体计算用以作为可扩展性已验证的证据，而非方法学新颖性的来源。

本文提出了一种针对均匀、各向同性线弹性固体中非相交平面裂纹的局部至全域特征COD边界积分公式。三分量COD场定义于每个裂纹表面，通过超奇异牵引力边界积分方程（BIE）与其有效裂纹面牵引力关联。对于给定裂纹，处于预定相互作用半径内的近邻裂纹被划分为一个耦合局部问题，从而隐式处理强近场相互作用，包括非共面裂纹之间的相互作用。局部组之外裂纹的贡献则通过迭代更新的远场牵引力修正予以保留。解收敛后，将COD表示为局部裂纹前缘基，并按距前缘的物理距离进行拟合，以获得KI、KII、KIII的空间分布。

本文组织如下：第2节发展三维特征COD边界积分公式；第3节给出局部裂纹相互作用算子及相应的局部至全域迭代方案；第4节介绍沿空间裂纹前缘恢复混合模态SIF的程序；第5节报告数值验证与多裂纹应用；第6节讨论方法的计算性能、适用范围与局限性，并总结主要结论。

章节片段
三维多裂纹问题的特征COD边界积分公式
本节介绍连续特征COD边界积分模型及其离散对应。该公式针对嵌入均匀、各向同性线弹性固体中的非相交内部平面裂纹。为每个裂纹指定固定法向，并在位移不连续、裂纹面牵引力以及恢复的应力强度因子定义中一致使用。该约定消除了不同位置裂纹之间的符号歧义。

局部裂纹相互作用算子与迭代局部至全域求解过程
局部至全域方案由第2节介绍的特征COD边界积分系统发展而来。在式(35)的完全耦合公式中，每个裂纹与自身及系统中所有其他裂纹相互作用。这种表示保留了完整的力学耦合，但所得矩阵为密集矩阵，其存储与分解代价随裂纹群体数量以及每个裂纹分配的未知量数量迅速增长。对于每个裂纹，其

基于COD的混合模态SIF恢复
局部至全域迭代收敛后，每个裂纹表面上的COD场均可获得。由该场获取的量是沿空间裂纹前缘的I、II、III模态应力强度因子。一般情况下，无法直接从第2节定义的固定裂纹面基下表示的COD获得这些分量。沿曲线前缘，局部张开、滑移和撕裂方向随位置变化，而滑移和撕裂

数值算例
本节评估局部至全域特征COD边界积分方法的精度、收敛性、计算代价与已验证的可扩展性。证据分层组织：孤立裂纹基准验证自影响算子及基于COD的SIF恢复；受控共面与非共面裂纹对隔离张开、滑移与撕裂模态的相互作用；周期阵列评估有序群体中的集体相互作用；随机分布

讨论
数值研究表明，局部至全域特征COD公式在降低三维多裂纹分析计算负担的同时保持了裂纹前缘精度。将每个裂纹表示为其三个COD分量，使未知场保留在内部裂纹表面上，并允许在统一框架内恢复张开、滑移与撕裂响应。孤立 penny 型裂纹算例建立了超奇异自相互作用

CRediT作者贡献声明
Zhao Guo：写作—审阅与编辑，写作—初稿撰写，监督，方法学，形式化分析，概念构思。
Xiaodan Ren：写作—审阅与编辑，验证，软件，方法学，形式化分析。
Juan Zhang：调查研究，数据管理。
Donghong He：验证，数据管理。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文所报告工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到国家自然科学基金（项目编号12162015和12362018）以及中央财政引导地方科技发展资金（项目编号25ZYJM002）的支持。通讯作者感谢Prof.

感谢上海大学的马航和南方科技大学的刘易俊教授就本征 COD 边界积分格式和快速多极边界元方法提供的有益讨论和建议，来自郭昭 | 任晓丹 | 张娟 | 何冬红