三维扩展有限元法中基于构型力的最小总能量裂纹扩展：弯折角迭代方法

《Theoretical and Applied Fracture Mechanics》：Minimum-total-energy crack propagation in 3D XFEM: a configurational-force-based kink-angle iteration method

　　

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  将最小总能量分析扩展至三维XFEM，利用重构有限增长裂纹构型重新平衡后的总能量状态进行评估。
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  基于构型力的迭代将耦合裂纹前沿弯折角场修正为方向性驻定值降低的方向。
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  刚体转动/畸变层虚拟切片方案提供局部旋转驱动力信息，而缩减模态表示则对耦合的前端修正进行正则化。
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  数值算例表明，在I和II型主导的裂纹中，能量驱动弯折角修正稳定；在存在不可忽略的III型载荷时仍保持收敛性。

引言

断裂是工程材料和结构中的主要失效机制之一，通常涉及裂纹萌生、扩展、偏转和汇合等复杂过程。仅依靠经验或局部断裂准则难以准确预测这些过程，尤其是在多裂纹在复杂载荷和几何约束下相互作用的条件下。可靠的计算预测因此需要能够同时捕捉局部力学场和裂纹几何演化特征的模型。这一挑战在三维情况下尤为突出，因为在三维中，裂纹是由运动前沿所界定的空间曲面，而非线不连续体。基于能量的热力学视角为这类问题提供了自然的框架，因为它直接将裂纹增长与断裂能耗散和弹性能量的全局重新分配联系起来[1], [2]。

相场断裂模型和扩展有限元法（XFEM）是模拟复杂裂纹演化的两种代表性框架。相场方法基于Griffith断裂的变分正则化，通过最小化正则化总能量泛函来描述裂纹演化，裂纹由弥散相场表示[3], [4], [5]。这种变分结构避免了显式裂纹追踪，并能自然地适应裂纹萌生、分支和汇合[6]。相场方法通过弥散正则化裂纹区域来描述断裂，通常在该区域需要足够精细的空间分辨率，这可能导致大规模三维模拟中产生可观的计算成本[7]。相比之下，XFEM将裂纹表示为固定背景网格上的尖锐不连续体，并在扩展过程中避免了重新划分网格[8], [9], [10]。这种显式尖锐裂纹表示可以减少工程尺度裂纹扩展分析中的空间离散化负担。然而，需要显式更新不断演化的裂纹几何，使得构建全局能量驱动的扩展方案变得相当困难，尤其在三维情况下[11], [12], [13], [14]。

在传统XFEM公式中，裂纹推进通常由沿裂纹前沿评估的局部断裂量来确定。典型选择包括基于应力强度因子的准则，如最大切向应力准则[15]和最大能量释放率准则[16]；混合模式应力强度因子通常通过相互作用积分计算[17], [18]。这些指标已支持广泛的裂纹扩展模拟。在三维实现中，首先利用力学场在各前沿节点处确定扩展向量，然后再进行传播。新的裂纹面随后由这些节点扫过的轨迹重建[19], [20]。因此，裂纹面更新是依据局部确定的节点向量构建的，而非根据曲面级能量准则进行选择。相邻前沿节点共同决定扫描曲面的几何形状和面积，因此也共同决定了断裂能耗贡献，从而决定裂纹增量的总能量变化。然而，这种几何-能量耦合在曲面重建期间仅被间接反映。当确定节点扩展向量时，并未对此耦合进行显式评估。因此，局部前沿节点准则在确定裂纹增量时未能充分考虑这种耦合。

为克服局部扩展准则的热力学局限性，在XFEM框架内已发展出基于能量的裂纹扩展公式。构型力方法通过热力学驱动力来表述裂纹前沿演化，并将扩展方向与能量释放率联系起来[21], [22], [23], [24]。基于这一能量视角，最小总能量XFEM公式引入了明确的局部选择准则：可允许的裂纹增量是使断裂体总能量最小化的一种增量。这使该方法特别适用于裂纹相互作用和竞争问题[25], [26], [27], [28]。先前的二维研究表明，一个裂纹增量的推进可以释放弹性能量并改变其他增量的驱动力，这构成了裂纹竞争的能量基础[26], [27], [28], [29]。然而，将该概念扩展至三维XFEM并非易事。在二维中，可允许的裂纹增量可以由裂纹尖端分支参数化。在三维中，它成为一个由离散化裂纹前沿界定的空间曲面，并通过前沿节点的扩展长度和弯折角进行参数化。因此，能量一致的三维XFEM公式必须将生成的裂纹面作为整体进行评估，而非仅比较独立的局部扩展方向。

为应对这些挑战，本研究在三维最小总能量XFEM框架内开发了一种缩减方向处理方法。通过评估每个可允许的后扩展裂纹构型所对应的总能量，该框架以统一的方式考虑了新产生的裂纹面和伴随的弹性能量重新分配。在该框架内，发展了一种基于构型力的迭代来修正沿裂纹前沿的耦合弯折角场。为提供迭代所需的基于能量的局部方向信息，引入了一种刚体转动/畸变层虚拟切片方案，从而避免了对富集刚度矩阵进行显式几何微分。该能量框架可容纳多个裂纹和扩展区域，而本研究聚焦于三维裂纹前沿上的耦合弯折角修正。该公式已在开源MATLAB代码中实现，介绍见附录A。支撑性的XFEM公式、缩减迭代的数值保障以及虚拟切片方案的实现细节见附录B–D。

分节摘要

XFEM中三维裂纹竞争的最小总能量框架

遵循Griffith断裂变分理论，Sutula等人[26]将裂纹扩展重新表述为最小总能量问题，其中可允许的裂纹延伸根据断裂体总能量的最大降低量进行选择。这种全局能量公式非常适合裂纹竞争问题，因为它自然地考虑了弹性能量的重新分配以及多个潜在裂纹延伸之间的相互作用。Wang等人[29], [30]

由虚拟切片旋转能量释放率驱动的裂纹前沿弯折角迭代

在方向修正过程中，方程(18)中的完整三维驻定条件被近似为第2.5节中引入的缩减局部方向条件。对于每个推进的前沿节点，虚拟切片方案评估局部旋转能量释放率$G_{\mathrm{h},j}^{\mathrm{VS}}$，弯折角场被修正趋向于$G_{\mathrm{h},j}^{\mathrm{VS}}=0$。与第2.4节定义的可允许方向空间一致，仅弯折角发生变化，而面外扭转角保持固定。

数值算例

所有数值算例中，面外扭转角均规定为${\zeta }_j=0$。因此，方向迭代仅修正弯折角场。

结论

本研究将最小总能量框架扩展至三维XFEM中的有限裂纹面扩展，通过在全局重新平衡后评估重构的后扩展裂纹构型来实现。发展了一种基于构型力的方向迭代来修正沿裂纹前沿的耦合弯折角场，其中局部虚拟切片旋转趋势通过缩减模态表示被纳入考虑。所提出的公式引入了一种基于能量的

CRediT作者贡献声明

王涛：撰写—原稿、形式化分析、概念化。杨猛刚：撰写—审阅与编辑、监督。孟东亮：撰写—审阅与编辑、项目管理。彭文强：可视化、调查研究。王哲宇：软件。刘斌：验证、资源。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的竞争经济利益或个人关系，这些利益关系或个人关系可能影响本论文所报告工作的客观性。

致谢

作者衷心感谢国家自然科学基金委员会（编号：52278232和52308224）、中国国家博士后创新人才计划（编号：BX20230429）以及湖南省自然科学基金（编号：2025JJ60274）的经费支持。

王涛|杨猛刚|孟东亮|彭文强|王哲宇|刘斌