通过降阶表示和路径外推方法，对高维非线性系统进行高效的热噪声路径积分分析

《Probabilistic Engineering Mechanics》：Efficient Wiener path integral analysis of high-dimensional nonlinear systems via reduced-order representation and path extrapolation

　　**摘要**
本文提出了一种新的计算方法，旨在提高维纳路径积分（WPI）技术在确定高维非线性动态系统随机响应方面的效率。具体而言，在WPI技术中，系统响应的概率密度函数（PDF）被表示为对允许的响应轨迹空间的泛函积分。通常，该泛函积分通过保留与其最可能路径相关的主要贡献来近似计算。这是通过一个等价于求解确定性边值问题（BVP）的泛函最小化问题来确定的。然而，在暴力实现中，评估响应PDF需要对PDF域进行离散化，并且每个网格点都需要求解一个BVP；因此，这种技术对于高维系统来说在计算上是不可行的。为了解决这一计算挑战，开发了一种降阶WPI公式，以便高效地确定所关注的选定响应变量的低维联合PDF，而无需显式求解完整的随机状态空间。具体来说，所开发的方法结合了最可能路径问题的高效Rayleigh-Ritz表示法和混合固定/自由边界条件，从而将原始的泛函最小化问题转化为有限维优化问题。接下来，在降维系数空间中直接引入了一种新的外推策略，通过将路径校正分解为确定性边界诱导的修正和系数空间更新，构建了降维PDF域中相邻点之间的最可能路径。此外，通过对随机作用泛函进行局部线性化，将PDF域中相邻点之间的转换简化为求解一个低维二次优化问题，其控制矩阵可以独立于离散化PDF域的网格预先计算。因此，与之前的公式相比，WPI技术的计算复杂度降低了几个数量级。为了展示所提出框架的能力，考虑了一个代表性的高维非线性多尺度纳米棒系统，该系统涉及跨多个尺度的耦合粗-细动力学和随机激励。与蒙特卡洛模拟数据的比较显示了极好的一致性，同时只需要有限的BVP求解次数，从而验证了所开发方法的准确性和计算效率。

**引言**
自20世纪中叶随机工程动力学作为一个独立领域出现以来，已经开发了几种用于评估结构和机械系统响应及可靠性统计的方法；例如，参见[2]、[3]、[4]、[5]、[6]中的标准参考文献。其中，蒙特卡洛模拟（MCS）仍是解决随机控制方程的最广泛应用方法之一（例如[7]、[8]、[9]、[10]）。然而，其实际应用经常受到所需大量计算工作的限制，特别是在高维系统或估计低概率事件的情况下。因此，人们追求了其他替代技术。例如，统计线性化提供了一种处理非线性系统的有效方法。然而，它对高斯响应假设的依赖通常将分析限制在低阶响应统计上[3]。另一个方向是基于Chapman-Kolmogorov方程的概率密度函数（PDF）传播方案能够解析响应分布的详细特征，包括尾部行为（例如[11]、[12]、[13]）。然而，这些方法通常会随着系统维数的增加而带来迅速增加的计算需求，因为需要重复数值计算多维卷积积分并进行精细的时间离散化。其他概率密度演化技术[6]、Fokker-Planck方程的数值求解策略[14]以及基于多项式混沌的展开[15]也面临类似的限制，这些方法随着系统维数的增加而变得计算负担沉重。

Kougioumtzoglou及其同事近年来开发的维纳路径积分（WPI）技术提供了一种强大的替代方案，减轻了经典方法的许多限制，同时保持了高精度和计算效率[16]、[17]。WPI技术的核心思想是将系统响应转移PDF表示为对允许的响应轨迹集合的泛函积分。这种公式自然地使得应用变分微积分来近似计算该泛函积分成为可能，通常仅保留与其最可能路径相关的主要贡献。更具体地说，最可能路径对应于使泛函表示的被积函数最大化的轨迹。因此，其确定被构建为一个泛函最小化问题，可以通过系统的运动控制方程和在初始及最终状态施加的边界条件重新表述为一个确定性边值问题（BVP）。在这种情况下，求解单个BVP可以得到响应转移PDF中特定点对应的最可能路径。然而，这种方法的直接暴力实现涉及到将联合PDF域离散化为每个维度N个点，并在每个网格点求解BVP，导致计算负担随系统的2n自由度指数级增长，即N^2n。

为了减轻系统维数增加导致的计算成本的指数级增长，在[18]中开发了一种具有混合固定/自由边界条件的变分WPI公式，有效地仅通过Nr个BVP解决方案即可评估r维边缘PDF，而不是暴力实现所需的N^2n个BVP。这种减少在实际应用中特别有利，因为通常只有一部分响应自由度是感兴趣的，通常满足r?2n。在此基础上，后续基于外推的改进[19]、[20]、[21]进一步减轻了计算负担，允许在每个维度上大约M?N个粗网格点上求解有限数量的BVP，并且能够在不解决额外BVP的情况下高效估计相邻PDF值。尽管取得了这些进展，降阶公式仍然需要足够细的离散化（与Nr成比例），而基于外推的方法仍然依赖于完整的系统维数（与M^2n成比例）。因此，尽管最近的发展扩展了WPI技术在高维系统中的应用范围（例如[22]），但要实现显著的效率提升，还需要同时减少计算复杂度的基数和指数。

在本文中，提出了一种新的公式来克服上述限制，并进一步提高WPI技术的计算效率。具体来说，基于外推的方法的成本降低到只需要O(Mr)个BVP解决方案来评估系统响应PDF，其中M?N且r?2n。这是通过将最可能路径确定问题重新表述为有限维Rayleigh-Ritz表示来实现的。这导致将待最小化的泛函表示为与适当选择的试验函数和提升函数相关的一组简化系数。在这种设置中，通过系统地将路径校正分解为确定性边界诱导的成分和系数空间更新，构建了降维PDF域中相邻点之间的最可能路径。此外，通过对这些扰动进行随机作用泛函的局部线性化，将PDF域中相邻点之间的转换简化为求解一个低维二次优化问题，其控制矩阵可以独立于离散化PDF域的网格预先计算。因此，评估额外的PDF点的计算成本几乎可以忽略不计，从而同时减少了计算复杂度的基数和指数。所开发的方法能够高效准确地分析高维非线性系统的随机响应，并显著扩展了WPI技术的实际应用范围。通过一个关于高维非线性多尺度系统的代表性数值示例来展示所开发技术的效率。

**章节摘录**
**维纳路径积分和最可能路径近似**
在本节中，简要回顾了WPI技术用于确定非线性系统随机响应的基本概念和关键元素，以便完整性。有兴趣的读者可以参考最近出版的相关书籍以获取更多详细信息[17]。

**考虑一个具有n个自由度的非线性系统，其运动方程为**
`Mx?+Cx?+Kx+g(x,x?)=w(t)`
其中`x=x1,…,xn`表示系统响应位移向量，变量上的点表示……

**数学公式**
为了克服第2.2节中概述的限制并进一步提高WPI技术的计算效率，基于外推的方法的成本降低到只需要Mr个BVP解决方案来评估系统响应PDF，其中M?N且r?2n。

**示例数值示例：高维非线性多尺度系统**
多尺度系统出现在各种工程应用中，其中物理行为受到跨越不同空间和时间尺度的相互作用的控制。在这种情况下，通常将粗尺度（例如连续体）描述与细尺度（例如原子级）模型结合使用，以捕捉对整个系统响应有关键影响的局部机制。关于多尺度建模的全面处理可以在标准参考文献和综述工作中找到。

**结论**
在本文中，提出了一种新的公式，用于降低与高维非线性系统的随机响应分析相关的WPI技术成本。具体来说，开发了一种高效的Rayleigh-Ritz表示方法，用于最可能路径问题，并结合了混合固定/自由边界条件以及在降维系数空间中直接操作的新颖外推策略。

**作者贡献声明**
Ilias G. Mavromatis：撰写——原始草稿、软件、方法论、形式分析、概念化。
Ketson R.M. dos Santos：软件、方法论、形式分析、概念化。
Ioannis A. Kougioumtzoglou：撰写——审阅与编辑、监督、资金获取、形式分析、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
Ioannis A. Kougioumtzoglou衷心感谢美国国家科学基金会（NASA）的土木、机械和制造创新（CMMI）部门的支持（奖项编号：2433232）。

**Ilias G. Mavromatis | Ketson R.M. dos Santos | Ioannis A. Kougioumtzoglou**