一种基于能量形式物理学原理的神经网络，该网络具有几何自适应的硬约束机制，用于解决二维和三维域内的稳态热传导问题

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：An energy-form physics-informed neural network with geometry-adaptive hard constraints for steady heat conduction across two- and three-dimensional domains

　　• 一种具有硬约束能量的PINN方法可以解决二维和三维的稳态热传导问题。
• 通过四步程序可以精确构建施加狄利克雷边界条件（BCs）的乘子。
• 隐式函数可以将硬约束扩展到弯曲、有孔和三维域。
• 与有限元方法（FEM）相比，相对L2误差通常低于2%，在所有情况下最高为2.77%。
• 运行速度比强形式软惩罚PINN快7到68倍，且不需要惩罚权重。

### 引言
热传导是大多数热管理、材料科学和制造模拟的基础。标准的求解方法是有限元方法（FEM）[1]，其经过验证的收敛性和成熟的网格适应性使其成为一次性正向计算的默认工具。最近关于物理信息神经网络（PINNs）[2]、[3]、[4]、[5]、[6]的工作开发了一种替代范式，在这种范式中，解被表示为一个神经网络，其权重被训练以满足控制偏微分方程（PDE）、边界条件（BCs）和任何可用数据。由此产生的场在域内处处连续且可微分，单一的网络架构和训练流程可以应用于不同的几何形状、边界类型和材料定律，而无需修改求解器。当需要在统一框架内评估许多案例时，这种通用性非常吸引人。

### PINN方法的两条流派
第一条流派起源于Lagaris等人[7]的工作，并由Raissi等人[2]进一步发展，它通过在一组内部配置点最小化强形式微分方程的残差平方来实现，同时增加了对边界数据的惩罚项。第二条流派基于计算力学中常见的变分公式，通过最小化一个能量泛函来实现目标解：深度Ritz方法[8]、深度能量方法[9]、[10]、变分PINN框架[11]及相关工作[12]。这两种流派并不等价：变分形式仅包含二阶PDE的试验场的一阶导数，按点处理导热性，而不是通过其梯度，并将诺伊曼和罗宾边界条件视为积分的自然条件。相比之下，强形式残差涉及试验场的两阶导数，需要对每个边界惩罚项和体积残差分别赋予明确的权重，并且（在空间变化的材料问题中）还需要引入导热场的梯度。权衡在于，变分形式只需要一个全局积分而不是点残差之和，因此对局部误差细化的直接访问较少。

### 边界条件的强制执行
边界条件的强制执行可以通过软惩罚项或硬约束试验场来实现。软强制执行将边界残差的平方加入到损失函数中，并使用可调的权重。由此产生的优化必须权衡体积误差和边界误差，这种平衡很难实现，在实践中往往调整不当[13]、[14]、[15]。硬强制执行则完全从损失函数中去除边界残差，通过构建完全满足边界数据的试验场来实现。对于狄利克雷条件，这些试验场通常是通过将网络输出与在指定边界上消失的距离型函数相乘来构建的[7]、[16]、[17]、[18]、[19]，或者通过函数连接理论等替代的函数插值构造[21]。一旦结构上处理了狄利克雷条件，诺伊曼和罗宾条件就变为变分损失的自然边界项。组合构造（能量形式加上硬约束狄利克雷）不需要边界惩罚权重。

### 两种设计空间
在这种两两组合的设计空间（强形式或变分损失，软或硬狄利克雷）中，强形式残差和软惩罚狄利克雷的组合最为常见：Raissi等人[2]将其引入作为典型的PINN，此后大多数关于热传导PINN的研究都采用了这种方法。例如，Zobeiry和Humfeld[22]研究了先进制造炉过程中的传导-对流耦合，Li[23]研究了瞬态非线性和非均匀热传导，Lei[24]研究了辐射流体力学中的三温度（电子、离子和光子）热传导方程，Guo[25]研究了三维瞬态功能梯度材料分析，Karthik[26]研究了内部热生成的稳态鳍片传热，以及[27]、[28]研究了热源和材料属性的反向识别，这些研究均使用了强形式残差损失和软边界强制执行。变分/能量形式的变体主要应用于固体力学[9]、[10]、[12]，很少用于热传导。硬边界强制执行已通过距离函数和R函数构造得到推广[16]、[19]。

### 本文的重点
本文关注一种系统的、几何自适应的硬约束构造方法，该方法允许单个变分形式PINN框架处理多种域几何形状、边界类型和材料定律下的热传导问题。该构造将基本构建块（凸多边形上的边缘-距离乘积、非凸和多连接域上的R-连接、曲线边界和表面的图函数以及三维中的可分离乘积）组合成一个在每个狄利克雷边界上完全消失的乘子。将这种构造与变分形式相结合带来了三个结构优势：诺伊曼和罗宾条件自然地被能量泛函吸收，空间变化的导热性按点进入损失函数，且无需为任何边界类型调整惩罚权重。据我们所知，这种组合尚未被系统地用于热传导问题并进行量化。

### 本文的贡献
首先，我们提供了一种系统的硬约束乘子ψ的构建方法，以明确的四步程序表示，并在本文中应用于所有几何形状。其次，我们解释并证明了变分形式是硬约束狄利克雷执行的自然选择，特别是对于空间变化的导热性，其中强形式残差还要求导热场的梯度。第三，据我们所知，这是首次在单一框架内跨四个因素（边界类型、几何形状、导热性、维度）验证了PINN对稳态热传导的研究，包括无需架构修改的三维案例：与FEM相比，相对L2误差（RL2）在所有二十个案例中不超过1.96%，平均值为1.20%，最小值为0.46%；在六个具有曲线边界、非圆形孔洞和椭球形空洞的案例中，RL2介于0.88%和2.77%之间。第四，我们将该框架与三种损失和假设组合（强形式残差与软或硬狄利克雷，以及变分损失与软狄利克雷）进行了比较，测试对象包括正方形、L形、环形、穿孔和立方体家族的案例：弱+硬和强+软在每个案例中都达到了RL2≤2%的精度，但弱+硬在不需要逐例调整软惩罚权重的情况下即可实现这一精度，并且运行速度比强+软快7到68倍。

### 文章的其余部分组织结构
第2节给出了无量纲形式的控制方程并推导了变分泛函。第3节发展了硬约束假设、跨域族的乘子构造、损失函数组合和训练流程。第4节在二十个测试案例上验证了该框架与FEM的准确性，并讨论了这种统一准确性的来源，然后将其扩展到具有曲线边界和孔洞的六个案例，并改变了网络规模。第5节报告了对比结果，并分析了准确性和成本差异的结构原因。第6节总结并概述了未来的扩展方向。

### 示例
#### 稳态热传导与狄利克雷、诺伊曼和罗宾边界条件
设Ω?R^d（d∈{2,3}）表示具有利普希茨边界?Ω=Γ_D∪Γ_N∪Γ_R的空间域，该边界被划分为狄利克雷、诺伊曼和罗宾段。稳态热传导问题为：
- ??(k(x)?T(x))=Q(x)，x∈Ω，T=TD，x∈Γ_D，
- -n?(k?T)=q，x∈Γ_N，
- -n?(k?T)=h(T?T∞)，x∈Γ_R，
其中T是温度，k是导热场（标量、对角线或对称正定张量），Q是体积热源，q是规定的通量，h≥0是对流系数，T∞是环境温度，n是向外单位法向量。

#### 乘法硬约束假设
试验场构建为幅度因子、几何自适应乘子和学习得到的标量场的乘积：
T?(x?)=sψ(x?)N(x?;θ)，
其中N(?;θ):Ω?→R是一个前馈神经网络，其权重为θ；ψ:Ω?→R≥0是一个在狄利克雷边界上消失的平滑乘子，通过第3.2节的程序根据几何形状构建；s>0是一个根据情况调整的标量，用于在tanh激活函数的近线性区域内保持网络输出在一个小幅度：
s=T?max/ηψmax，raw，η=0.1。

#### 数值示例
我们在二十个测试案例上验证了该框架与FEM参考解的准确性，这些案例涵盖了四个正交因素：边界条件、域几何形状、导热性和空间维度。所有二十个案例使用相同的网络、采样器和优化器设置（第3.3节和第3.4节），仅改变乘子ψ、其比例s以及源场和材料场。表1列出了每个案例的域、边界条件、乘子和幅度因子。每个案例的结果图从左到右显示了…

#### 与替代PINN格式的比较
第3节中的框架将变分损失(11)与硬约束假设(12)相结合。有三种可能的组合：(i) 经典的强形式PDE-残差损失和软惩罚狄利克雷执行[2]，(ii) 同样的残差损失结合我们的硬约束假设，以及(iii) 带有软惩罚狄利克雷项的变分损失。第一种在文献中应用最广泛，后两种有助于分离变分形式的各个贡献。

#### 结论
我们提出了一种基于物理信息的神经网络框架，用于热传导方程，该框架围绕两个关键组成部分：从能量泛函派生的变分损失和通过几何自适应乘子ψ精确施加基本边界条件的硬约束假设T?=sψN，并通过每个案例的标量s重新缩放网络输出。一些封闭形式的规则（凸多边形上的边缘-距离乘积、非凸或多连接域上的R-连接）被用于构建。

### 作者贡献声明
Zhaoyang Hu：撰写 - 审阅与编辑、撰写 - 原始草稿、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查、形式分析、数据 curating、概念化。
Lin Zhang：撰写 - 审阅与编辑、验证、方法论、资金获取、概念化。

### 利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

### 致谢
本研究得到了山东省自然科学基金一般项目（项目编号ZR2026MS0001）和山东-重庆科技合作项目（项目编号2024LYXZ019）的支持。