变热导率微极半导体介质的光热响应：基于记忆相关非局部双相滞方法

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：Photothermal response of a micropolar semiconductor medium with variable thermal conductivity: A memory-dependent nonlocal dual-phase-lag approach

　　

摘要

现代微纳尺度半导体器件和微机电系统（MEMS）通常在强烈的热负荷和光负荷下工作。经典传热理论和弹性理论往往无法准确预测其可靠性，因为它们忽略了有限记忆效应、空间非局部性和微观结构旋转。为克服这些局限性，本研究建立了一个统一的分析框架，用于研究微极半导体介质中耦合的热-机械响应和光热响应。该模型纳入了四种相互作用机制：记忆依赖型（MD）非局部热传导、温度依赖型（TD）热物性、光热载流子输运以及微极耦合。热导率被视为演化温度场的真正函数，在耦合项引入线性化之前，先对完整的非线性算子应用基尔霍夫变换。本研究的主要贡献有三点：采用具有多项式核的记忆依赖导数（MDD）来捕捉有限时间窗口效应，同时避免分数阶微积分的计算复杂度；应用基尔霍夫变换处理温度依赖型物性的非线性；通过联合拉普拉斯-傅里叶变换推导闭式解析解。结果表明，负的温度依赖型热导率系数会在受辐照边界附近引起显著的热和应力聚集，增加表面退化的风险。相比之下，空间非局部性会平滑该处的温度梯度，但放大亚表面的应力和位移。记忆参数起时间平均机制的作用，降低峰值温度，同时促进更深的热渗透。这些见解为优化先进微电子和光电子系统的设计、热管理和可靠性评估提供了定量基准。

引言

耦合热弹性理论起源于Biot [1]，其热力学一致框架建立了变形与温度之间的双向耦合关系。虽然该理论在经典热弹性阻尼领域取得 success，但Biot的公式基于傅里叶定律，导出的抛物型热方程预测无限的热传播速度——这对于快速、低温、短时间或高频热扰动在物理上是不允许的[2]。广义理论克服了这一局限性：Lord和Shulman [3]引入单一弛豫时间以获得双曲型热方程；Green和Lindsay [4]采用两个弛豫时间；Green和Naghdi [5]建立了允许非耗散热输运的模型。Tzou的双相滞后（DPL）模型[6]分别赋予热流和温度梯度不同的延迟，从而捕捉微结构效应和非经典传导效应，适用于微尺度热传递。

在微纳尺度上，热流依赖于当地温度梯度的假设不再成立。当声子平均自由程与器件尺寸相当时，某点的热响应取决于有限邻域内的温度梯度场——这一现象称为空间非局部性[7]、[8]。Guyer-Krumhansl模型[9]、[10]将弛豫与高阶空间项相结合，捕捉有限速度输运、载流子相互作用、边界散射和尺寸依赖型传导[11]。Tzou的非局部声子输运理论[12]启发了广义热传导理论的扩展。Yang和Chen [13]提出了用于纳尺度热传递的非局部DPL理论，Ma和Liu [14]通过将非局部效应纳入热方程和热-机械耦合，分析了移动激光脉冲作用下纳片的热弹性行为。

经典Cauchy连续体虽然对许多均质固体有效，但无法表征具有独立旋转自由度的材料。这种行为在颗粒固体、多孔介质、生物材料、复合材料以及某些先进半导体结构中尤为重要，其中微观旋转会影响宏观应力和变形[15]。在这些介质中，偶应力和非对称应力张量自然出现，但传统弹性理论中并不存在。Cosserat兄弟[16]首次将位移矢量和旋转矢量同时赋予材料质点。Eringen和Suhubi [17]发展了微弹性的非线性理论，Eringen [18]建立了线性的微极弹性理论。通过将微旋转、转动惯量和偶应力视为独立量，微极理论为尺寸依赖型变形、局部化动态扰动和高频机械响应提供了基础[19]、[20]、[21]。与热传递的耦合导致了热-微极弹性理论，早期贡献者包括Nowacki [15]和Ie?an [22]，之后由Boschi和Ie?an [23]、Chandrasekharaiah [24]以及Eringen [25]进一步完善。

温度依赖型材料行为是微纳尺度热弹性分析中的另一个关键因素。在半导体、陶瓷和异质固体处于严重热梯度的情况下，热导率、比热和热膨胀系数等物性随温度场变化[26]。此处对于适中的温度变化，用一阶线性形式来近似这些变化。在高温下，声子-声子散射使热导率在德拜温度以上下降[27]，而在较低温度下则边界散射和杂质散射占主导。比热从德拜T3行为演化至Dulong-Petit极限，而热膨胀与格林艾森参数相关，可能非线性地依赖于温度[28]、[29]。在激光加热的半导体、微电子器件和热加载部件中忽略这种变化，可能导致对温度场、热应力和失效阈值的预测不准确[30]。Noda [31]和Van den Berg等人[32]讨论了温度依赖型物性的重要性，相关地球物理和热弹性研究[33]、[34]表明，依赖温度和压力的热导率可以显著影响对流热传输和非线性材料响应。

在半导体材料中，光热相互作用引入了额外的耦合：吸收的光能产生载流子，这些载流子通过热激发、载流子扩散和电子变形与温度和变形相互作用[35]、[36]。这种相互作用是激光加工、光电探测器、光伏及其他光电子系统的核心[37]、[38]。如果半导体还具有微观结构行为，光热响应还会受到微旋转、偶应力和非局部热传导的影响[39]。在涉及强外部磁场或电场的情况下，光生载流子可以产生洛伦兹力，与机械场耦合并改变变形、应力和微旋转分布[33]、[34]。这种磁-光-热耦合很重要，但超出了本研究的范围；此处仅限于光热、热、机械和微极相互作用，电磁耦合留待未来工作研究。

尽管广义热弹性、光热输运、非局部传导和微极理论已有大量发展，但有限时间热记忆、光热扩散、空间非局部性、微极变形和温度依赖型物性的综合影响受到的关注有限。大多数研究分别处理这些机制，或者仅组合其中部分，使得局部记忆、非局部输运、载流子扩散、微旋转和变热导率之间的完整相互作用——在半无限微结构半导体中——仍缺乏充分理解。本研究通过建立微极半导体介质中的非局部光-热弹性模型来弥补这一空白，其中包含一个在有限滑动时间区间上作用、具有多项式核的记忆依赖导数（MDD）。这为局部化历史效应提供了具有物理意义的描述，避免了不受限制的长期记忆积累，同时与广义DPL框架内的有限速度热传播相容。

所提出的公式与早期模型的区别有四点。基于傅里叶定律、物性恒定的热弹性理论无法捕捉有限速度传播、尺寸依赖型输运或微观结构旋转。单相和双相滞后模型增加了时间弛豫，但仍然是空间局部的，假设热导率恒定，且忽略了载流子扩散和微极效应。分数阶模型编码了记忆效应，但其全局核积分了整个过去，增加了计算成本并过度加权了远程状态。首先，本模型用有限滑动窗口上的MDD替代了全局分数阶记忆，产生局部化、高效的热记忆，同时保持有限的热波速度。其次，通过在DPL模型中引入热长度尺度来实现空间非局部性，使得某点的热流取决于有限邻域内的温度梯度场——当声子平均自由程接近器件尺寸时这是必需的。第三，通过基尔霍夫变换处理温度依赖型热导率，消除非线性，从而能够真实预测表面热聚集和深层渗透。第四，将光生载流子输运与微极变形耦合，在一个分析框架内处理载流子扩散、微旋转、偶应力和热应力。拉普拉斯-傅里叶解提供了变换域中的闭式场量，为参数研究奠定了基础，而这些机制分别处理时无法获得。

主要目标是预测微结构半导体在光学激发、温度依赖型传导和非局部输运下的耦合热、机械、电子和旋转响应——这对于半导体器件、MEMS、光电子元件以及恶劣热条件下微极材料的设计和可靠性至关重要。该公式有三个主要贡献：用于有限时间窗口热记忆的多项式核MDD；用于处理温度依赖型热导率非线性的基尔霍夫变换；以及用于耦合方程的联合拉普拉斯-傅里叶方法。偏微分方程在变换域中被简化为常微分方程，在规定的边界条件下代数求解，通过数值反变换恢复物理场。该模型因此为分析强热梯度、光学激发和尺寸依赖型机械效应下微结构半导体提供了理论基础，支持由有限记忆热输运控制的可靠MEMS和光电子器件。

该公式针对的是在耦合热、光和机械载荷下的微纳尺度半导体器件和MEMS。在激光加工和脉冲激光退火中，该模型预测表面温度升高、载流子密度以及法向和剪切热应力随温度依赖型热导率参数、记忆窗口时长、核参数和非局部热长度的变化，帮助选择避免表面熔化或烧蚀同时限制亚表面应力的脉冲时长和强度。对于光热无损检测，通过非局部参数和记忆参数可以量化表面温度梯度和载流子复合信号对亚表面缺陷的敏感性，从而实现缺陷检测和深度剖析。在MEMS和微结构半导体中，微旋转和偶应力控制旋转疲劳、晶界滑移和微裂纹萌生；该模型提供了这些量的解析结果，支持经典弹性理论预测不到偶应力效应的可靠性评估。在热障涂层和分层光电子结构中，该模型量化了非局部输运和温度依赖型热导率引起的界面应力放大，这对于分层和脱粘分析至关重要。

这些发现是必要的，因为经典模型和部分耦合模型无法同时捕捉有限热记忆、空间非局部性、温度依赖型热导率、光热载流子扩散和微极变形。数值结果表明，负的温度依赖型热导率参数使热场和应力场集中在表面附近，更大的非局部长度会平滑表面梯度但增加本体应力，更长的记忆窗口会降低表面峰值同时促进更深渗透。这种耦合趋势无法从傅里叶型或局部DPL模型中恢复，并直接影响器件可靠性、热管理和性能优化。因此，所提出的方法既提供了理论基础，也为下一代半导体和光电子技术提供了定量基准。

各章节内容

非局部光热微极热弹性基本方程

控制公式在广义热弹性框架内，针对均匀各向同性半导体介质的耦合光热-微极热弹性响应进行建立。该模型考虑了热弛豫、非局部热输运、载流子扩散、弹性变形和微旋转运动之间的相互作用。忽略体力与体偶力，因此场方程以位移矢量表示。

问题的建立

在前一节建立的三维控制框架基础上，我们考虑一个均匀、各向同性、微极热弹性半导体半无限体的二维边值问题。该公式包含光热激发、载流子扩散、非局部DPL热传递、记忆依赖型热弛豫以及温度依赖型热导率。问题在笛卡尔坐标系xyz中描述，其中z轴沿……

通过拉普拉斯-傅里叶变换求解控制方程

为求解耦合控制方程，应用联合拉普拉斯-傅里叶变换：对时间t进行拉普拉斯变换，沿水平坐标z进行傅里叶变换。这适用于半无限体几何，其中场量随深度x变化且在z方向无界[54]，并且自然地考虑了因果的热弹性和光热响应。

对于足够规则的f(x,z,t)，t≥0，拉普拉斯变换及其逆变换为[55]：
L{f(x,z,t)} = f?(x,z,s) = ∫?^∞ f(x,z,t)e^(-st)dt
f(x,z,t) = L?1{f?(x,z,s)} = (1/2πi)∫_(δ-i∞)^(δ+i∞) f?(x,z,s)e^(st)ds

其中s = s? + iχ

应用：边界条件

出现在变换解中的未知系数E?（j=1,2,3）和C?（j=1,2），通过在自由表面x=0处施加边界条件来确定。这些边界条件描述了一种物理上相关的情况，涉及混合机械载荷、对流热交换、光生载流子表面复合以及无扭矩微极表面。

此处采用的边界条件被选定以代表一种物理上相关且相互兼容的表面……

通过数值反变换恢复物理场

在从拉普拉斯-傅里叶域中的代数方程组获得常数E?（j=1,2,3）和C?（j=1,2）之后，所有变换域场变量作为拉普拉斯参数s和傅里叶波数ξ的函数被完全确定。相应的物理场通过应用傅里叶逆变换和拉普拉斯逆变换恢复。

因此，对于一般的变换场变量 f?*(x, ξ, s)，可以写成：f(x, z, t) = L?1 F?1 f?*(x, ξ, s)。其中，F?1 表示关于空间变量的逆傅里叶变换。

**数值结果与讨论**

本文考察了受光热作用影响的微极热弹性半导体介质，以评估耦合场变量的数值行为。计算中采用的材料参数取自已发表的数据[40]，汇总于表1。这些参数表征了该介质的弹性、热学、光热及微极特性。

除非特别说明某参数的变化，否则所有计算均以参考值 K? = ?0.05 进行，用于表征 TD（时间延迟）热特性。

**结论**

本研究建立了一个解析模型，用于描述微极热弹性半导体半空间在光热激励下的耦合热力学响应。该模型的建立融合了四种相互作用机制：光热载流子扩散、非局部 DPL 热传导、时间延迟热特性以及微极变形。尽管上述各效应已分别被独立研究，但在具有微观结构旋转的半导体介质中，它们的耦合影响却鲜有关注。

**作者贡献声明**

Ahmed E. Abouelregal：项目统筹、概念构思。
Marin Marin：验证、调查研究。
Mofareh Alhazmi：形式化分析。

**资金支持**

本研究未获得任何公共、商业或非营利性机构的资助。

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何可能对本研究结果产生影响的经济利益关系或个人关系。

Ahmed E. Abouelregal | Marin Marin | Mofareh Alhazmi