《International Journal of Heat and Mass Transfer》：Hot shapes: Nusselt numbers for superellipsoidal particles suspended in Stokes flow
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•超椭球体能够对不同形状的颗粒进行热传递建模。•7875次颗粒分辨模拟量化了超椭球形颗粒的热传递。•对于Pe数? 1的情况，颗粒的方向对努塞尔特数的影响可以忽略不计。•提出了一种新的相关性和物理约束的神经网络（PCNN）努塞尔特数模型，适用于Pe ? 1和长宽比λ? 9的情况。•
•超椭球体能够对不同形状的颗粒进行热传递建模。•7875次颗粒分辨模拟量化了超椭球形颗粒的热传递。•对于Pe数? 1的情况，颗粒的方向对努塞尔特数的影响可以忽略不计。•提出了一种新的相关性和物理约束的神经网络（PCNN）努塞尔特数模型，适用于Pe ? 1和长宽比λ? 9的情况。•PCNN的误差保持在约1%以下，而相关性保持在约2.5%以下。
引言
携带颗粒的流动在自然和工程系统中非常普遍，包括气溶胶传输、环境暴露和能源应用。对于颗粒特征尺寸与未受扰动的载体流场的相关长度尺度相比足够小的稀疏颗粒携带流，拉格朗日点颗粒方法提供了一个计算效率高的建模框架。在这种方法中，单独跟踪颗粒而不对它们的表面或相关的颗粒尺度扰动场进行解析。当考虑热效应时，颗粒与周围流体之间的热对流总体上被包含在努塞尔特数（见方程（16））中，即无量纲热传递系数，该系数通常取决于颗粒的形状、其方向以及流体的热物理性质。它基本上代表了颗粒-流体界面处对流热传递和传导热传递的颗粒表面平均值，通常事先是未知的，必须通过建模来确定。虽然存在努塞尔特数的经验模型，但这些模型最常见于球形颗粒。在斯托克斯流动极限下，球形颗粒的努塞尔特数是常数，即Nu(Rep→0)=2。这里，Rep表示基于颗粒-流体滑移速度、颗粒直径和流体运动粘度的颗粒雷诺数。它衡量了流体惯性和粘性效应在颗粒尺度流动中的相对重要性。对于下面讨论的非球形颗粒，特征直径被取为体积等效直径deq。
对于有限的颗粒雷诺数，Ranz和Marshall [1] 提出了最广泛使用的努塞尔特数经验模型之一。后来，Whitaker [2] 提出了另一个流行的努塞尔特数模型。比较这两种模型时，结果可能相差高达10% [3]。为了提高这些努塞尔特数模型的准确性和适用范围，已经提出了各种改进措施；例如，参见 [4]、[5]。与关于球形颗粒的大量文献相比，使用分析、数值和经验方法研究非球形颗粒的热和质量传递的工作较少。尽管如此，大多数为非球形颗粒提出的努塞尔特数模型通常只在有限的范围内有效 [3]。
Brenner [6] 获得了基础的理论结果，他研究了在小Pe数下任意形状颗粒的强制对流热和质量传递。他的分析建立了低Pe极限下主要对流校正的通用渐近描述。Acrivos [7] 随后研究了在直线剪切流中自由悬浮的任意形状小颗粒的热或质量传递。这些研究表明，可以在渐近传输范围内为任意形状的颗粒推导出通用分析结果。几项数值研究考虑了特定类别的非球形颗粒，并提出了相应的努塞尔特数相关性。Dwyer和Dandy [8] 研究了椭球形颗粒的形状和方向对中等雷诺数（10≤Rep≤66）下的阻力和热传递的影响。Churchill和Bernstein [9] 提出的相关性描述了在横向流中圆形圆柱纤维的努塞尔特数，涵盖了广泛的流态范围（RepPr<0.2，其中Pr表示普朗特数）。然而，其准确性有限，在参考文献 [10] 中报告的偏差约为20%。其他工程模型经常通过平均量或经验形状因子 [11] 来描述非球形性，而为特定应用开发了几种形状依赖的相关性 [12]。Richter和Nikrityuk [13] 研究了在不同倾斜角?、规定的温度比和固定长宽比（即半轴比λ=2）下椭球形和立方形颗粒的热传递。基于他们的数值结果，他们提出了适用于Rep≤200，0°≤?≤90°的颗粒动力学和努塞尔特数的相关性。Kishore和Gu [14] 研究了椭球形颗粒的动量和热传递，进一步展示了颗粒几何形状和方向对传输特性的影响。类似地，Ke等人 [15] 检视了一个固定的加热椭球形颗粒，并分析了颗粒长宽比、倾斜角和雷诺数的影响。基于125次数值模拟，他们推导出了适用于0.25≤λ≤2.5，0°≤?≤90°，10≤Rep≤200的范围的相关性。Ma和Zhao [16] 进行了浸没边界法（IBM）与晶格玻尔兹曼法（LBM）联用的模拟，研究了在均匀流中加热的静止棒状颗粒的强制对流热传递。他们考虑了1≤Rep≤1500，1≤λ1≤5，0°≤?≤90°的范围。他们的结果显示，在低雷诺数下，颗粒长宽比和方向对努塞尔特数的影响较小，而在中等和高雷诺数下，这些影响变得更加明显，并表现出不同的趋势。基于他们的数值数据库，他们提出了一个考虑了Rep、颗粒长宽比λ1和颗粒方向?的努塞尔特数相关性。Kiwitt等人 [3] 对在均匀流中保持恒定温度的固定长椭球体进行了颗粒分辨模拟。他们的参数范围涵盖了1≤Rep≤100，0°≤?≤90°，0.25≤λ≤2.5，并相应地开发了努塞尔特数相关性。最近，Lote等人 [17] 对长椭球体和圆柱形颗粒在2≤λ1≤10，0°≤?≤90°，0.1≤Rep≤300范围内的热传递和流体流动进行了颗粒分辨模拟。基于他们的数值结果，他们提出了考虑颗粒形状和方向的努塞尔特数、阻力系数和俯仰力矩系数的相关性。他们的结果显示，努塞尔特数通常随Rep和入射角增加而增加，而长椭球体和圆柱形颗粒之间的差异随着长宽比的增加而减小。Xu等人 [18] 研究了扁球形颗粒在0.2≤λ1≤1，0°≤?≤90°，0.1≤Rep≤2000范围内的热传递和流体流动。基于颗粒分辨模拟，他们提出了努塞尔特数和空气动力系数的相关性，报告的平均相对误差低于7%。
现有的理论研究因此为任意形状建立了通用渐近结果，而数值相关性为选定的颗粒形状（最常见的是椭球形、椭球形、圆柱形、棒状颗粒）和参数范围提供了定量预测。它们通常改变一个长宽比和一个倾斜角。尽管这些研究是对工程分析有价值的工具，但缺乏更通用非球形颗粒努塞尔特数的准确模型，这对拉格朗日点颗粒模拟中的颗粒携带流动构成了显著的限制。在这种情况下，超椭球体 [19] 特别有用，因为它们能够在单一参数化中紧凑且连续地表示广泛的三维颗粒几何形状。长宽比λ1和λ2控制颗粒的伸长和平坦度，而形状指数s1和s2控制表面曲率的分布，并允许在圆形、块状和尖状几何形状之间进行连续过渡。允许s1≠s2进一步允许表示具有非对称曲率分布的颗粒。这种连续的形状描述特别适合于替代建模，因为它允许将努塞尔特数作为一小组几何参数的连续函数来学习，而不是需要为球体、椭球体、立方体、棒状和平板分别建立相关性。它也与拉格朗日点颗粒公式兼容，因为存储一组紧凑的形状参数比保留完全解析的颗粒表面要实际得多。请注意，Brenner和Acrivos [6]、[7] 的渐近理论为任意形状的颗粒提供了通用的低Pe结果，但它们并没有直接提供一个适用于此处考虑的多维超椭球形形状空间的现成定量模型。特别是，评估主导阶贡献需要形状依赖的纯传导解，而Brenner公式中的高阶项还取决于水动力阻力，因此取决于规定的颗粒运动的阻力。因此，这些形状依赖的量必须分别为所考虑的颗粒几何形状单独知道。此外，在延伸到Pe=O(1)的有限区间内，严格的小Pe展开的准确性并未得到保证，而且对于独立变化的长宽比、形状指数和施加的流动方向的联合依赖性还没有适合直接在点颗粒模型中实施的形式。因此，仍然缺乏一个连续考虑各向异性、块状性、多个长宽比和相对流动方向的统一定量描述。
本研究通过生成一个颗粒分辨的DNS数据库，并为规定的有限参数域开发可以直接评估的努塞尔特数替代模型来填补这一空白。因此，这项贡献不是一种新的通用低Pe渐近理论，而是一种形状分辨且实际适用的扩展，它通过量化热传递对完整超椭球形几何形状和施加的相对流动方向的依赖性来补充Brenner和Acrivos的理论结果。为了填补这一空白，我们进行了颗粒分辨的直接数值模拟，明确解析了颗粒-流体界面附近的velocities和温度场，涉及广泛的超椭球形颗粒形状、施加的相对流动方向和Péclet数。从由此产生的表面分辨的热通量中，我们确定了颗粒表面平均的热传递系数和相应的努塞尔特数。
DNS数据库的分析揭示了三种不同的传输机制。对于Pe≤0.01的情况，努塞尔特数主要由颗粒形状决定。在中等范围0.01
1的情况，颗粒相对于施加流动的方向成为一个额外的相关变量。基于这些观察结果，本工作中开发的替代模型限于Pe≤1的情况，在所研究的形状空间内，方向依赖性可以忽略不计。在颗粒分辨的模拟中，颗粒表面温度是规定的。在预期的拉格朗日点颗粒应用中，得到的努塞尔特数模型提供了在集总电容假设下演化的颗粒温度所需的热传递闭合。对于足够小的颗粒Biot数（见附录A，方程（A.3）），可以忽略内部温度梯度，并且颗粒可以被视为热均匀的，尽管其温度通常随时间变化。这个假设并不意味着与周围流体的瞬时热平衡。相反，颗粒温度根据颗粒能量平衡在有限的热响应时间内演变，这需要一个准确的案例依赖的界面热传递系数。
本研究限于爬行流动范围，Rep?1，这与我们之前的工作中采用的点颗粒框架 [20]、[21] 一致。目前的公式中没有包括与低但有限的颗粒雷诺数相关的校正，这些校正可能会修改颗粒周围的水动力和热传输。在这个范围内，本工作的目标是开发统一的努塞尔特数替代模型，持续考虑非球形颗粒的几何形状和流动条件。为此，我们在多维超椭球形形状空间生成了一个颗粒分辨的DNS数据库，并构建了可以直接评估的努塞尔特数模型，以便在拉格朗日点颗粒模拟中实施。据我们所知，以前没有研究为超椭球形颗粒提供这样的统一描述，该描述独立考虑了多个长宽比、形状指数和施加的相对流动方向。因此，所提出的模型能够高效且形状分辨地预测在所研究的斯托克斯流动和Péclet数范围内的各类非球形颗粒的颗粒-流体对流热传递。
问题设置
这里考虑的热传递问题包括一个微米大小的刚性固体颗粒浸没在周围流体中，如图1中的颗粒分辨示意图所示。
非球形超椭球体颗粒
为了包括各种不同的颗粒形状，我们将非球形颗粒建模为超椭球体。超椭球体形状由参数表面 [28]、[29] 描述，在颗粒参考框架中定义为S(x1,x2,x3)=x1a12/s2+x2a22/s2+s2/s1+x3a32/s1。固定体积为V=π/6，即相当于deq=1的球体的体积（在后续内容中始终假设这一点），我们可以将三个半轴a1、a2、a3表示为a1=λ1a3、a2=λ2a3、a3=π12λ1λ2s1s2B(s1/2,s1+1)B(s2/2,
努塞尔特数的方向依赖性
首先，我们通过研究颗粒相对于周围流动的方向是否影响其对流热传递来研究当Pe=Udeq/αf（对于deq=1）变化时Nu的方向依赖性。为此，考虑了以下代表性的超椭球体颗粒：椭球形（s1=s2=1）、立方形（s1=s2=0.2）和菱形（s1=s2=1.8）形状，具有长椭球或扁球特征，其中λ1=[2.5,5,7.5] 和 λ2=[1,λ1]。
努塞尔特数的形状依赖性
在随后的分析和替代模型开发中，我们将范围限制在Pe≤1。这个范围是经过深思熟虑后选择的，因为在所研究的粒子形状空间内，Nu的取向依赖性可以忽略不计，从而能够构建一个不受取向影响的紧凑闭合模型。这一限制与我们之前在[20]、[21]研究中使用的Stokes区域点粒子框架的应用目的是一致的。模拟是在1125（45x5x5）的条件下进行的。
**替代模型**
本节开发的替代模型仅限于研究的低佩克莱特数（Pe≤1）范围。在之前的研究中我们发现，努塞尔数（Nusselt number）强烈依赖于长宽比λ1、λ2以及形状指数s1、s2。因此，为了表征在流体中流动的超椭球形颗粒的对流传热，我们开发了努塞尔数相关性模型和基于物理规律的神经网络模型，以预测努塞尔数作为粒子形状（λ1,λ2）的函数。
**摘要与结论**
在这项工作中，我们研究了在Stokes流区域内，非球形超椭球形颗粒与周围流体之间的对流传热现象，特别关注了颗粒形状、其取向以及流动条件的影响。超椭球形颗粒提供了一种统一且灵活的几何表示方法，能够涵盖从光滑的椭球形、立方体形、菱形、 elongated 形状到板状等多种颗粒类型，这些颗粒都包含在一个连续的四参数形状空间内。
**补充数据**
训练好的神经网络已存储在Zenodo平台上，并可公开获取[30]。
**作者贡献声明**
Jana Wedel：撰写——原始稿件、可视化、验证、软件开发、方法论、实验研究、形式分析、数据管理、概念构建。
Ivan Dominik Horvat：撰写——审稿与编辑、方法论、实验研究、形式分析、概念构建。
Matja? Hriber?ek：撰写——审稿与编辑、监督工作、资源协调、方法论、实验研究、形式分析、概念构建。
Paul Steinmann：撰写——审稿与编辑、监督工作、资源协调、项目管理工作。
**利益冲突声明**
作者声明没有已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本文的报告内容。
**致谢**
作者感谢德国研究基金会（Deutsche Forschungsgemeinschaft）在项目STE 544/75框架内的财政支持，以及斯洛文尼亚研究与创新局（Slovenian Research and Innovation Agency）提供的研究核心资金（项目编号P2-0196和J7-60118）。
Jana Wedel | Ivan Dominik Horvat | Matja? Hriber?ek | Paul Steinmann | Jure Ravnik
