求解强刚性辐射扩散问题的二阶精度非线性正则中点分裂无网格方法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：Nonlinear canonical midpoint splitting meshfree method with second-order accuracy for strongly stiff radiation diffusion problem

　　

摘要 辐射扩散问题通常是刚性问题，源于不同物理量之间的尺度差异或瞬态快速变化的存在。本文构建了一种二阶精度的非线性正则中点分裂无网格（NCMSM）方法。结合径向基函数（RBFs）配置技术，对于刚性（强刚性）子问题和非刚性（弱刚性）子问题，时间离散化分别采用隐式中点法和广义显式中点法求解。隐式离散化方程通过简化的Newton迭代法直接求解。提供了稳定性和收敛性分析。新方法能够灵活适应不规则区域，并对2D、3D强刚性辐射扩散问题产生高精度有效性。所提方法的实验结果与基于有限差分法的CES方法（Li, 2016）、CMS方法（Li et al., 2025）和NCESM方法（Feng et al., 2026）进行了比较。比较验证了NCMSM方法的可行性和高精度。引言 许多实际工程问题和基础科学研究与强刚性辐射扩散效应密切相关，这些问题频繁出现在惯性约束聚变[1]、燃烧系统[2]、生物传热分析和天体物理模拟[4]中。强刚性问题涉及具有截然不同的时间尺度的快速和慢速变化过程。有关强刚性的详细定义参见文献[5]、[6]。本质上，这些问题表征了辐射能量在参与介质中的输运、扩散和物质-辐射耦合，在决定多种工程和自然系统的演化行为和能量平衡中起着关键作用[7]。在现实场景中，例如大气扩散中化学反应与辐射传输的相互作用[8]。这些特征不可避免地给辐射扩散方程带来严重的刚性，从而形成限制数值精度和计算效率的根本性瓶颈。因此，针对刚性辐射扩散问题定制的辐射扩散方程模型具有重要的研究意义。已提出多种方法来解决辐射扩散问题，包括谱方法[9]、[10]、[11]，有限元方法[12]、[13]、[14]，有限差分方法[5]、[15]、[16]、[17]，和有限体积方法[7]、[18]、[19]、[20]、[21]。Krogstad [11]开发了广义积分因子方法和一种增强的四阶方案，其中多步插值多项式优化与无交换子李群方法相结合，以实现强刚性项的精确处理和时间离散化中的有效误差控制。为了减轻2D非线性扩散方程数值解中由于扩散系数平均而产生的非物理解或不稳定性，G?siorowski [14]利用维数分裂技术将2D问题简化为顺序1D子问题，并结合改进的有限元方法进行空间离散化。Hadjinicolaou等人[16]将计算奇异摄动方法推广到刚性偏微分方程，实现了对快慢时间尺度的自动检测和时空自适应基向量的构建。针对扭曲网格上的非平衡辐射扩散方程，Sheng等人[19]设计了一种具有五点模板空间离散化和后向Euler时间积分的单调有限体积格式，该格式保持了解的正性，与九点格式相比表现出更高的效率。Djennadi等人进行了理论研究，包括分数阶Tikhonov正则化重建和时间依赖扩散系数反问题的适定性分析[22]、[23]。虽然传统方法可以利用成熟完善的格式和可靠的理论有效地求解规则区域上的辐射扩散问题，但它们对强刚性和多尺度问题的适应能力不足，对不规则区域的处理也很复杂。同样，时间离散化格式也存在多种方案。人们已对强刚性辐射扩散问题的经典时间积分器投入了相当大的关注，包括Euler方法[20]和Crank–Nicolson格式[24]。然而，专门针对此类问题中多物理场耦合和不同时间尺度特征的方 法值得进一步研究。Fattahi等人[25]引入了一种针对刚性非线性微分方程组的修正矩阵指数方法，其中时间推进依赖于零阶保持离散化并辅以一阶和二阶Jacobian导数以增强精度。Montanelli等人[26]设计了一种适用于球面几何上刚性偏微分方程的四阶时间步进格式，利用系数空间中的双Fourier球方法消除极点奇异性。Shampine等人[27]制定了IMEX Runge–Kutta–Chebyshev方法，其中扩散项采用显式处理，而反应项采用隐式求解，从而消除了网格点间的耦合。为了适应线性、非线性和高维问题类，Geiser [28]推进了高阶迭代算子分裂技术，将隐式Runge–Kutta和BDF方法与迭代算子分裂相结合进行时间演化。Hopkins [29]开发了一种无网格有限体积/有限质量Godunov方法，通过算子分裂显式时间积分和非线性通量限制确保张量通量的稳定性。Haghi等人[30]推进了RBF-FD技术，在空间上实现基于贪婪算法的对角占优模板选择和双曲型径向基函数逼近，同时在时间上采用二阶加权移位Grünwald差分进行分数阶导数离散化。Liu等人[15]提出了一种中点分裂技术，在实现计算经济性的同时增强了稳定性。时间分裂和IMEX格式可以有效解耦快慢尺度，增强刚性问题的计算效率和稳定性。然而，分裂误差难以控制，本文提出了一种基于传统分裂方法的改进策略。为了实现对不规则区域上更简单灵活的求解，无网格方法近年来得到了长足发展，并在类似问题中获得了广泛应用。Wang等人[31]提出了一种稳定化Lagrange插值配置方法，在空间中以Lagrange插值函数作为形状函数。为解决刚性问题，Li [32]开发了耦合有限积分法和径向基函数方案，采用双曲型径向基函数进行空间离散化，通过积分变换平滑奇异性并降低矩阵的病态程度。Nikiforov [33]提出了一种无网格广义多尺度有限元方法，采用质心Voronoi镶嵌优化节点分布，并通过局部谱问题构建多尺度基函数，无需复杂的粗网格生成。Abdoh [34]引入了平均径向粒子方法，通过邻域粒子平均构建代表性粒子，并通过二次多项式近似导数，不受边界效应影响且计算效率高。Boztosun等人[35]开发了一种基于薄板样条径向基函数的无网格配置方法，在空间上采用散点离散化，直接将微分算子作用于基函数。Mirzaee等人[36]提出了一种半离散方案，将有限差分与广义逆双曲型径向基函数相结合，通过无网格配置近似空间导数，能够在节点上直接模拟随机噪声，具有无条件稳定性和显式收敛阶。Xu等人[37]开发了一种3D无网格迭代方法，结合Richtmyer、因式分解和Newton线性化技术求解强非线性辐射平衡扩散问题。Liu等人[38]提出了一种基于层级径向基函数的无网格配置方法，用于处理具有界面和不连续系数的2D辐射平衡扩散方程，采用完全隐式时间离散化结合Richtmyer线性化。上述方法在解决强刚性辐射扩散问题方面已取得了一定的有效性。Li [5]提出了解决非线性刚性问题的CES方法。分裂子问题使用广义显式/隐式Euler方法计算。为了提高刚性微分方程的求解精度，Li等人[6]提出了正则中点分裂方法，这与经典分裂方法不同。该方法将刚性问题分解为两个子问题，分别由广义显式中点法和隐式中点法求解。该方法的求解精度高于广义显式/隐式Euler方法所得的精度。受上述方法的启发，我们最近提出了新的NCESM方法[39]，即CES方法与无网格技术的结合。为实现强刚性辐射扩散在不规则区域上的灵活计算，我们提供了修正中心分裂方法与无网格方法的集成，从而利用无网格方法学在解决此类问题方面的优势。基于文献[6]、[39]中提出的分裂离散化方法，本研究采用基于径向基函数的无网格方法进行空间离散化，有效解决了强刚性非线性辐射扩散问题。本文其余部分组织如下。第2节介绍2D非线性正则中点分裂无网格（2D-NCMSM）方法。第3节介绍3D非线性正则中点分裂无网格（3D-NCMSM）方法。第4节提供正则中点分裂法应用于辐射扩散方程的稳定性和收敛性分析。第5节展示全面的数值实验和对比分析，以验证所提方法的有效性。第6节对本文进行总结并给出最终结论。第2节 2D-NCMSM方法解决强刚性辐射扩散问题 本节提出了一种非线性正则中点分裂方法（2D-NCMS），该方法在求解具有强刚性的辐射扩散问题时表现优异。与文献[6]不同，我们将该方法与无网格方法相结合，从而能够更加灵活简单地求解不规则区域上的问题。因此，进一步获得了2D非线性正则中点分裂无网格方法（2D-NCMSM）。3D-NCMS方法 本文考虑的强刚性3D辐射扩散方程如下：?u/?t = ?/?x(F(u)?u/?x) + ?/?y(F(u)?u/?y) + ?/?z(F(u)?u/?z) + S?(u,x,y,z,t), (x,y,z)∈Ω, t>0, u(x,y,z,0) = u0(x,y,z,0), (x,y,z)∈Ω, u(x,y,z,t) = ubdy(x,y,z,t), (x,y,z)∈?Ω, t>0. 其中F(u)表示扩散系数，u0为初始条件，ubdy为边界条件，Ω为求解区域，?Ω为求解区域的对应边界。方程(19)可重写为?u/?t = F'(u)?u/?x?u/?x + F(u)?2u/?x2 + ...（以下公式略）稳定性与收敛性分析 我们给出NCMSM方法的稳定性和收敛性证明，该证明基于文献[5]、[6]。本理论致力于对稳定性和收敛性进行定量分析。此处"定量"强调稳定性和收敛性估计中出现的常数不随离散化参数增长，而仅依赖于问题类的固有参数。设Rm为配备m维欧几里得空间的...（以下数学推导略）数值实验 本节给出四个数值算例以展示所提方法的可行性和有效性。其中，NCESM方法[39]也根据空间维度分别记为2D-NCESM和3D-NCESM。所有后续数值算例中采用的径向基函数均为Wendland C6紧支撑径向基函数。所有数值模拟均在一台配备2.8 GHz Intel Core i7处理器的笔记本电脑上使用MATLAB软件实现。结论 本文针对强刚性辐射扩散问题构建了一种二阶精度的NCMSM方法。所提方法能够便捷高效地处理各种不规则区域，并在强刚性辐射扩散问题的数值模拟中展现出卓越的性能。为全面验证所提NCMSM方法的计算精度，与CES [5]、CMS [6]和NCESM [39]方法进行了全面的对比测试。比较... CRediT作者贡献声明 Zhaopeng Feng：撰写—初稿，软件。Qiuyan Xu：撰写—审阅与编辑，方法论。Zhiyong Liu：形式分析，数据管理。Jiye Yang：软件，数据管理。利益冲突声明 作者声明不存在可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。Zhaopeng Feng | Qiuyan Xu | Zhiyong Liu | Jiye Yang