一种基于移动Kriging的无单元Galerkin-有限元混合方法用于求解带固液相变的非线性对流-导热问题

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：A hybrid moving Kriging-based element-free Galerkin-finite element method for the solution of non-linear advection–conduction heat transfer problems with solid–liquid phase change

　　

摘要

本文提出了一种新颖的混合方法，将有限元法（FEM）与基于移动克里金（MK）插值的无单元Galerkin（EFG）方法相结合，用于求解具有固液相变的非线性对流–传导传热问题。在该框架中，有限元法用于热梯度较为平缓的区域，而EFG方法则被战略性地应用于强化相变区域附近的近似精度。鉴于MK近似固有的Kronecker delta性质，FEM与EFG域之间的耦合通过共享节点边界得以无缝实现。由相变过程中潜热释放/吸收引起的强非线性问题以延迟方式处理，即作为热载荷向量纳入Picard迭代方案中。通过若干基准问题和应用问题的验证，证明了所提方法的可靠性和适用性，同时也展示了其在连续铸造和直接冷却铸造等工业冶金过程热建模中的有效性。结果表明，该技术能够有效克服严重相变非线性带来的挑战，在极其简洁的实现方式下提供精确且稳定的解。

引言

对流–扩散传热问题的数值解是现代工业制造准确建模与优化的基础，包括连续铸造[1], [2], [3], [4]、直接冷却铸造[5], [6], [7], [8]、焊接[9], [10]以及增材制造[10], [11]。在标准空间离散化技术的背景下，此类问题中可能出现一些众所周知的数值病态现象。在对流主导的输运条件下出现虚假空间振荡或人为数值扩散是最常见的情况[12], [13], [14]，而在涉及固液相变的传热系统中，这些计算挑战将显著加剧[7], [8], [10]。潜热在推进的凝固前沿处的吸收或释放会引入严重的非线性，导致尖锐且高度局部化的相变区域出现陡峭的热梯度[15], [16]。因此，固定域方法——由于其复杂几何中的简洁实现而被广泛青睐——往往难以分辨固有的热流不连续性。基于有限元法（FEM）的传统框架通常限于C?连续的分段近似，需要超精细空间网格才能在相界面处捕捉尖锐的梯度变化而又不引发数值不稳定性[11]。相应地，大量研究工作致力于实现对对流–扩散热场中热流不连续性更为准确和稳定的表征[1], [2]。一种高度精确方法的突出例子是由Fachinotti等人[17]首创的不连续空间积分法，随后由Nigro等人[1]进一步改进以支持数值积分。尽管这些基于FEM的先进方法确保了释放潜热的精确积分以及Newton–Raphson过程的精确切矩阵，但它们引入了严重的算法和几何复杂性。正如Fachinotti等人[18]在三维连续铸造过程建模中所展示的那样，追踪移动的相界面需要对大量拓扑构型进行繁琐的分类，以映射固相、液相和糊状区与单元边界的相交方式。这需要对多面体子区域进行动态重构——例如将五面体或六面体糊状子域分割为子四面体——以计算用于解析积分的局部体积和质心。在其他基于网格的离散化方法方面，Moraga等人[19]开发了一种基于有限体积法（FVM）的多重网格框架，旨在高效求解耦合的对流–扩散传热问题。此外，Wu等人[20]开发了一种全面的基于焓的求解器，旨在将潜热释放平滑处理为围绕固液边界的一定体积区域内的分布效应。

尽管有上述多方面的进展，基于网格的技术在相变边界处尖锐的热不连续和热流不连续性未与单元或胞格边缘精确重合时，往往会出现局限性。这种几何错位通常会在移动界面附近引入数值扰动，损害稳定性和精度[8], [9], [16], [21], [22]。为克服这些拓扑约束，无网格方法越来越多地被应用于求解相变问题[7], [11]。此类技术提供了一种有前景的替代方案，通过消除预定义节点连接性的要求来规避拓扑约束。这一特性允许更灵活地调整节点分布，从而更适当地捕捉显著的温度梯度和局部化相变现象[7], [11], [23]。特别是，无单元Galerkin（EFG）方法已成为应用最广泛的无网格技术之一[11]。这种广泛采用主要归功于其简洁的实现以及与FEM的概念相似性，主要区别在于形函数的构造和代数系统组装过程[24]。在这一更广泛的背景下，近期的数值公式化工作集中在建立替代离散化策略（如晶格–弹簧模型）与传统连续介质框架之间的一致性联系[25]，以及推进复杂断裂力学问题的局部富集技术[26]。同时，综合评述文章也强调了计算力学领域数值方法的持续发展[27]。然而，为通过FEM求解相变问题而开发的不连续积分技术与EFG技术本质上不兼容[7]。这种不兼容性源于不连续积分严重依赖于FEM形函数构造中固有的逐单元几何参数化，而EFG技术中的近似在全局弱形式中运作，缺乏这种依赖[28], [29]。相反，EFG方法直接利用其形函数固有的光滑性、正则性和可微性。近期的研究表明，这些特征可以有效地被利用来解决相变非线性问题。显著的例子包括álvarez-Hostos等人[3]对连续铸造过程中一次冷却区对流–传导分析的首次实现，以及在此基础上构建的后续热–力学分析[4], [6]。此外，还开发了拟瞬态公式来求解连续铸造过程中坯料沿整个冶金长度的热演化[15]。另外，还开发了一种顺序节点平面添加方案，以适应移动边界问题中每个时间步的域扩展，涉及直接冷却铸造[5], [23]和连续铸造[16]过程的启动阶段。一项值得注意的贡献是álvarez-Hostos等人[16]在EFG框架内提出的热源项策略，用于直接引入固相分数函数，从而绕过标准有效比热策略中引入固相分数温度导数所带来的固有不稳定性，同时保持Newton–Raphson迭代中的二次收敛性。该程序最近通过将有显热和潜热贡献纳入单一焓向量中得到进一步改进，形成了一种混合焓–温度方案，保持了实现二次收敛所需的鲁棒性和一致性[23]。最后，álvarez-Hostos等人[7]通过一个新颖的迭代方案开发了对流–传导情况，将潜热和温度依赖特性的非线性整合到热载荷向量中。该程序通过将问题公式化中的固相分数温度导数排除在外，通过改进的移动最小二乘（IMLS）全局重建方式延迟计算所需的梯度，计算温度依赖的固相分数，从而避免了有效比热的计算，确保了求解相变非线性时的精度、收敛性和稳定性。

尽管上述概述展示了EFG方法在应对相变传热问题固有挑战方面的潜力和最新进展，但将该技术全局应用于整个数值域会与传统的基于网格的技术（如FEM）相比显著增加计算成本。因此，科学界专门致力于通过将有限元文献中最初确立的策略进行改编，来增强EFG方法的鲁棒性和计算性能。提高数值稳定性的方法主要集中在引入变分多尺度框架[30], [31], [32]、维度分裂[33], [34], [35], [36], [37]以及流线迎风稳定化技术[8], [14], [28]。同时，在计算效率方面也取得了显著进展，研究人员探索了缩减积分方案[28], [29], [38]、基于POD的模型降阶[32], [39]以及并行化策略[40], [41]。此外，EFG的适用范围通过创新的形函数构造[11], [41]和改进的数值求积规则[11]得以拓展。尽管有这些进展，局部精度与全局成本之间的运行权衡促使了EFG-FEM混合策略的发展，以利用两种方法之间的概念相似性并结合各自的优点。此类混合方法将高度规则的无网格近似仅限于表现出显著梯度或高度局部化现象的区域，而在需要较低精度的区域中保留了FEM的计算效率。这些混合框架的先锋实现需要界面单元或混合函数来确保无网格和基于网格近似之间的无缝过渡[42]。随后，进一步的开发实现了EFG和FEM区域之间的直接耦合，无需额外的过渡单元。显著的例子包括使用具有弱Kronecker delta性质的最大熵形函数[41]、使用移动克里金（MK）插值形函数[43]以及在耦合界面处涉及可变支持域大小的技术[44]。最近，叠加策略的发展为解决构型随时间变化的问题提供了一个有趣的替代方案。一个突出的例子是由álvarez-Hostos等人[9]开发的叠加改进无单元Galerkin（Ov-IEFG）公式，用于处理具有高度集中的移动热源的非稳态热传导问题，后来扩展为混合Ov-IEFG-FEM框架[7]。后一种方法利用粗糙的有限元网格来表示全局几何，而在无需自适应重新网格化的情况下，策略性地放置精细的无网格重叠补丁以捕捉强烈的梯度。尽管这些叠加技术在通过每个时间步重叠域之间的迭代信息传递来追踪具有显著梯度的移动区域方面非常有效，但它们在非线性稳态问题中的应用可能会引入不必要的计算开销。因此，对于具有空间受限相变前沿的对流–扩散问题，直接耦合方法更为优越。

因此，本工作介绍了一种新颖的EFG-FEM混合程序，其中无网格区域的形函数通过MK构建，以在EFG-FEM界面处直接满足Kronecker delta性质。该策略利用MK插值在相变区域中卓越的光滑性和近似能力，实现了与周围FEM域的直接无缝耦合。该公式消除了对界面单元和域重叠迭代的需要，将计算努力仅限制在相变过程的物理非线性上。同时，在热梯度保持平缓的区域中保留了轻量级的FEM计算，以确保局部精度与全局效率之间的最佳平衡。

章节片段

控制方程

内部能量平衡被建模为稳态对流–传导传热过程。问题将表现出高度非线性的行为，这主要与相变过程中的潜热释放有关。

给定域Ω及其边界Γ上的对流–扩散传热问题将通过混合MK-based EFG-FEM方法求解，如图1所示。所提方案涉及定义子域Ω_EFG和Ω_FEM，使得Ω=Ω_EFG∪Ω_FEM，其中——

数值算例与结果

数值算例将针对两个基准问题和一个三维应用案例进行验证。第一个基准问题是一个具有相变的一维对流–传导问题，其解析解已在先前的文献中推导[53]。

第二个基准问题涉及具有圆形障碍物的方形腔体中带有相变的非等温旋转流场。应用案例涉及AA1050铝合金的直接冷却铸造。全部——

讨论

至此报告的数值结果表明，所提的EFG-FEM混合公式化具有可行性、鲁棒性和数值稳定性。在Ω_EFG中使用的MK近似建立在移动局部支持域之上，随着逼近相变区域逐步捕捉潜热释放，从而对这些显著非线性进行连续积分。基于MK的EFG方法被专门限制在发生相变的区域中，以利用——

结论

一种新颖的基于移动克里金无单元Galerkin与有限元的混合公式化已成功建立，用于求解具有固液相变的非线性对流–传导传热问题。移动克里金形函数固有的Kronecker delta性质使得能够在共享节点处实现直接域耦合，而无需过渡单元或迭代重叠方案。

这种直接接口消除了结构耦合开销

CRediT作者贡献声明
Juan C. álvarez-Hostos：撰写——原稿撰写，验证，软件，方法学，调查，资金获取，形式分析，数据整理，概念构思。
Ramiro A. Dittler：撰写——审阅与编辑，可视化，验证，调查，数据整理。
Benjamín A. Tourn：撰写——审阅与编辑，可视化，验证，软件，项目管理，数据整理。
Javier A. Zambrano-Carrillo：撰写——审阅与编辑，可视化，调查，数据整理。

利益冲突声明
作者声明他们没有任何已知的竞争财务利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文报告的工作。

致谢
作者感谢阿拉瓜伊省科学技术与创新局(ASaCTeI)在IO-2025-428项下的支持。

Juan C. álvarez-Hostos | Ramiro A. Dittler | Benjamín A. Tourn | Javier A. Zambrano-Carrillo | Alfonso D. Bencomo