基于连续时间马尔可夫链与多类型分支过程的毒品滥用—犯罪随机动态、谱半径临界性及灭绝概率研究

《Scientific African》：Stochastic pathways of narcocriminality: A Continuous-Time Markov Chain and branching process analysis

　　

本研究建立了一个连续时间马尔可夫链（Continuous-Time Markov Chain, CTMC）模型，以分析毒品滥用动态及其与犯罪行为的联系。该模型包含七个舱室：易感者、轻度吸毒者、重度吸毒者、接受康复治疗者、犯罪者、监禁者和康复者。在早期阶段易感人群大致保持不变的假设下，应用多类型分支过程框架推导子代概率生成函数（probability generating functions, PGFs），用于计算均值矩阵的谱半径 ρ(M)；该谱半径可分解为毒品相关分量和犯罪相关分量，类似于流行病学中的基本再生数 R₀。谱半径决定模型的临界性：若 ρ(M)≤1，则毒品—犯罪过程必然消亡；若 ρ(M)>1，则存在非平凡不动点，意味着持续毒品犯罪活动具有正概率。计算了各舱室的灭绝概率，并通过 10 000 次 CTMC 模拟得到 95% 置信区间，显示随机结果与确定性结果高度一致。关键发现表明，即使 ρ(M)>1，将单个感染个体引入任一舱室时，导致灭绝的可能性仍高于暴发。然而，当所有感染舱室同时被播种时，持续流行概率显著增加。

物质滥用被定义为有害或风险性使用精神活性物质，如酒精和非法药物，常导致心理健康恶化。犯罪是违反既定规范和社会标准的偏差行为。已有研究表明全球毒品使用者显著增加，许多个体为维持成瘾而从事入室盗窃、抢劫甚至卖淫等犯罪。许多个体特别是青年因身体、心理社会、教育、政治和道德动机而吸毒，并在毒品影响下实施犯罪行为。犯罪仍是重大全球健康和社会问题。既往研究曾用确定性数学模型考察犯罪与物质滥用之间的相互作用，纳入社会互动、康复过程和复发率，但确定性模型忽略内在随机性和不确定性。随机模型与确定性模型的渐近动态不同：随机模型趋于无毒品犯罪平衡（narcocriminality-free equilibrium, NFE），确定性模型趋于地方性平衡。已有连续时间马尔可夫链（Continuous-Time Markov Chain, CTMC）用于结核、淋巴丝虫病、贫困与毒瘾及疟疾等研究，但有限研究将随机模型用于物质滥用和犯罪。因此，研究人员将已有确定性模型扩展为 CTMC，并采用 Galton–Watson 多类型分支过程分析毒品滥用—犯罪动态的灭绝与持续。

研究人员建立七舱室模型，包括易感者 S、轻度吸毒者 U₁、重度吸毒者 U₂、接受康复治疗者 H、犯罪者 C、监禁者 J 和康复者 R。确定性模型给出毒品滥用犯罪增长数 D₀，其作用类似基本再生数。随机模型基于多类型分支过程，推导子代概率生成函数（PGFs），构建均值矩阵 M，并以谱半径 ρ(M) 作为随机阈值。当 ρ(M)≤1 时毒品—犯罪过程几乎必然灭绝；当 ρ(M)>1 时存在正持续概率。数值计算得到 D₀=1.9721、ρ(M)=1.2812，均为超临界。该研究的结论是，即使阈值大于 1，单个感染个体进入任一舱室时仍更可能灭绝；但多个舱室同时被播种时，持续暴发概率显著增加。其意义在于，随机 CTMC 模型能给出确定性模型无法提供的灭绝概率和暴发风险定量测度，说明人口随机性可改变长期结局，并强调早期干预。

关键技术方法：研究人员在七舱室确定性毒品—犯罪模型上构建 CTMC，假设早期易感人群近似恒定（S(0)≈Λ/μ）；应用 Galton–Watson 多类型分支过程推导子代 PGFs，构建均值矩阵 M，计算谱半径 ρ(M)，并用 MATLAB R2025a 的 fsolve 数值求解不动点以得到 q₀；采用 Gillespie 算法进行 10 000 次 CTMC 模拟，与确定性 ODE 比较，并开展 bootstrap 和 β、γ₁、α 的 ±10% 敏感性分析。研究无真实世界或二次数据，参数来自文献和假设情景，模拟考察 Gauteng Province 动态。

研究结果：
Deterministic model（确定性模型）：研究人员将总人口分为七个舱室并建立微分方程，得到无毒品犯罪平衡 E₀=(Λ/μ,0,0,0,0,0,0)，利用下一代矩阵推导 D₀，并分解为与 U₁、U₂、C 相关的组分。

The Continuous Time Markov Chain model（连续时间马尔可夫链模型）：研究人员把确定性变量视为随机变量，假设时间同质马尔可夫性，事件间隔服从指数分布，区间内至多一个事件发生；给出完整 Kolmogorov 前向方程和无穷小转移概率。模型存在无毒品犯罪吸收态；当 D₀<1 时毒品犯罪流行以概率 1 灭绝。

Multitype branching process（多类型分支过程）：在 NFE 附近，研究人员仅对毒品犯罪相关组分和初始人群应用多类型分支过程，假设易感者近似恒定。推导子代 PGFs，定义非负不可约均值矩阵 M，其元素为单个 p 型个体产生的 w 型子代期望数。谱半径 ρ(M) 决定过程为次临界、临界或超临界，并给出灭绝概率极限性质。

Application of the multitype branching process（多类型分支过程的应用）：研究人员写出 U₁、U₂、H、C、J、R 的 PGFs，构建 6×6 均值矩阵 M，并用 fsolve 数值求解不动点。参数下 ρ(M)=1.2812>1，表明分支过程超临界。ρ(M) 分解显示持续由毒品使用强化机制和犯罪生成反馈共同驱动。固定点为 q₁=0.7373、q₂=0.9446、q₃=0.946、q₄=0.4831、q₅=0.4778、q₆=0.9455。

Continuous time Markov chain model simulations（连续时间马尔可夫链模型模拟）：研究人员按早期暴发情景设置初始条件，并用 10 000 条 CTMC 样本路径估计灭绝概率 q_a。单个轻度吸毒者引入时 q₀=0.7373，暴发概率 26.27%；重度吸毒者为 0.9446，暴发概率 5.54%；康复治疗者为 0.946，暴发概率 5.4%；犯罪者为 0.4831，持续概率 51.69%；监禁者为 0.4778，持续概率 52.22%；康复者为 0.9455，暴发概率 5.45%。当所有初始舱室同时各播种一个个体时，q₀=0.4061，持续暴发概率 59.39%。数值 q_a 与理论 q₀ 接近。

Contour and surface plots of extinction probability（灭绝概率的等高线与曲面图）：研究人员通过等高线和曲面图发现，灭绝概率强烈依赖初始人口规模：初始人口低时更易灭绝，初始人口高时更易持续。CTMC 两条样本路径显示随机波动；与确定性 ODE 比较，尽管 D₀>1，部分随机轨迹仍出现灭绝，说明偶然事件可驱动吸毒者或犯罪者消失。

Sensitivity of q₀ to parameter variations（q₀ 对参数变化的敏感性）：研究人员将 β、γ₁、α 分别上下调整 10%。结果显示这些扰动可明显影响 q₀；β 增加 10% 时毒品灭绝概率很低，预期暴发；β 降低 10% 时灭绝概率也较低并接近基线。γ₁ 和 α 的变化同样改变各初始条件下的 q₀。

Statistical comparison of CTMC and deterministic results（CTMC 与确定性结果的统计比较）：基于 10 000 条 CTMC 路径的 bootstrap 分析显示，基线 ρ(M)=1.2812，其 95% 置信区间为 (0.232,2.981)。在 0 至 200 天，研究人员计算各舱室逐点均值和标准差，形成 X?_i(t)±1.96σ_i(t) 的 95% 置信包络；确定性 ODE 解在所有七个舱室整个模拟期均落入该包络。犯罪者 C 和监禁者 J 的变异系数最高，约 0.68 和 0.71；易感者 S 和康复者 R 的 CV 低于 0.05。置信区间跨越 1，说明长期行为可能因参数组合不同而灭绝或持续；bootstrap 分布正偏，CV 约 68%。

Expected duration of drug-crime extinction（毒品—犯罪灭绝的预期持续时间）：研究人员未用显式解析公式，而用多类型分支过程结合 10 000 条 CTMC 蒙特卡洛路径估计灭绝时间。超临界基线 ρ(M)=1.2812，亚临界 β=0.001 时 ρ(M)≈0.72<1。轻度吸毒者 q₀=0.7373，超临界灭绝时间约 8.29 天，亚临界约 3.1 天；重度吸毒者 q₀=0.9446，约 2.56 天，亚临界约 1.4 天；康复治疗者 q₀=0.9460，约 5.43 天，亚临界约 2.8 天；犯罪者 q₀=0.4831，约 6.37 天，亚临界约 3.3 天；监禁者 q₀=0.4778，约 5.36 天，亚临界约 2.9 天；康复者 q₀=0.9455，约 4.43 天，亚临界约 2.1 天。重度吸毒者最不持续；犯罪和监禁舱室灭绝概率低、持续时间较长，说明循环逮捕和重新犯罪可维持流行；复发和犯罪反馈延迟完全灭绝并可能触发局部暴发。

讨论与结论总结：讨论部分指出，CTMC 模型较既往确定性方法显著改进，因其捕捉内在随机性和不确定性。模型临界性由 ρ(M) 决定：ρ(M)≤1 时灭绝几乎确定，ρ(M)>1 时存在正持续概率；ρ(M) 与 D₀ 均可超过 1，灭绝概率 q₀ 和暴发概率 1?q₀ 强依赖初始播种。10 000 条样本路径显示分支过程灭绝概率与 CTMC 模型一致，说明分析框架稳健。随机系统中即使 D₀>1，也可因人口随机性灭绝；单一感染引入可能高概率灭绝，但多个舱室同时引入显著增加持续暴发可能。与 Nyabadza 和 Kajambeu 的确定性模型相比，本随机 CTMC 模型提供更深入的毒品—犯罪动态不确定性理解，并能计算灭绝概率，为有限人口早期动态提供更现实描述。敏感性分析表明 β、γ₁、α 的 ±10% 扰动可明显影响 q₀。局限包括：假设早期易感人群近似恒定；该假设在较长时间或小封闭人群中有效性降低；纯马尔可夫转移假设可放宽为非马尔可夫过程。敏感性检验显示 S(0) 在 Λ/μ 的 ±20% 范围内变化时 ρ(M) 变化小于 3%，灭绝阈值对中等扰动稳健。未来扩展可纳入公共卫生运动、执法策略、社会经济变量、年龄结构和空间动态。研究结论部分可翻译为：本研究开发了一个 CTMC 模型，以捕捉毒品犯罪模型确定性对应部分中的变异，从而显著改进忽略内在随机性和不确定性的早期确定性方法。通过应用 Galton–Watson 分支过程理论和多类型分支框架，研究人员推导了子代 PGF 系统并评估期望矩阵，从而计算过程的灭绝概率。核心发现确立，模型临界性以及毒品—犯罪过程的持续或灭绝由均值矩阵的主特征值即谱半径 ρ(M) 决定。具体而言，当 ρ(M)≤1 时，流行几乎必然灭绝；当 ρ(M)>1 时，存在正持续概率。结果进一步显示，随机阈值 ρ(M) 和毒品滥用犯罪增长数 D₀ 均可超过 1，灭绝概率 q₀ 和暴发概率 1?q₀ 强烈依赖各舱室的初始播种。使用 10 000 条样本路径的数值模拟表明，由分支过程得到的灭绝概率与由 CTMC 模型计算的灭绝概率高度一致，确认了解析框架的稳健性。确定性与随机轨迹的比较突出一个重要理论区别：在随机系统中，即使 D₀>1，由于人口随机性，毒品—犯罪灭绝仍可发生。此外，分析表明，尽管单一感染引入在 D₀>1 时仍可能以高概率导致灭绝，但多个舱室同时引入会显著增加持续暴发的可能性。与 Nyabadza 和 Kajambeu 的确定性模型相比，本 CTMC 随机模型更深入地理解毒品—犯罪动态中的不确定性。尽管确定性框架预测阈值量超过 1 时持续，随机模型显示随机人口波动仍可驱动系统灭绝。此外，随机公式能计算灭绝概率，从而提供确定性分析不具备的暴发风险定量测度。该扩展为有限人口中物质滥用和毒品相关犯罪早期动态提供了更现实表示。这些发现强调早期干预和针对性策略以防止物质滥用驱动犯罪广泛建立的重要性。对 β、γ₁ 和 α 等参数的敏感性分析表明，中等扰动（±10%）可明显影响 q₀，说明传播和恢复动态在塑造流行结局中的作用。