具有双重经济阈值的延迟反应-扩散 Filippov 害虫管理模型的动力学分析

《Mathematical Biosciences》：Dynamics analysis of a delayed reaction-diffusion Filippov pest management model with double economic thresholds

　　

## 摘要

本文提出了一种带有双阈值的延迟反应扩散Filippov害虫-天敌模型，用于描述害虫管理中的切换控制。与相关的Filippov害虫模型相比，本文考虑了双阈值、扩散和延迟的耦合效应，使得空间图形的形成能够与非光滑动力学联系起来。建立了正平衡点存在性和稳定性的充分条件，推导了Turing不稳定性判据和振幅方程，并分析了由繁殖延迟引起的Hopf分岔。确定了吸引滑动区域和伪平衡点，并研究了边界节点和边界焦点分岔。数值模拟表明，降低害虫扩散系数会使空间图形从斑点状变为混合状，再变为条纹状。当害虫阈值趋近平衡密度时，空间异质性减弱，Turing图形通过边界焦点分岔消失。此外，增加繁殖延迟会扩大滑动区域，并导致触接、屈曲和交叉滑动分岔。这些结果揭示了空间扩散、延迟和阈值切换之间的相互作用，为阈值选择和害虫管理提供了有益的见解。

## 引言

害虫管理模型是种群生态学和生物防治中的重要工具。它们主要用于描述自然调节和人工控制措施下害虫的种群动态。在森林和农业生态系统中，害虫暴发往往造成严重的经济损失和生态破坏，而天敌、化学防治等其他管理策略可以在一定程度上抑制害虫种群的增长。因此，建立适当的害虫管理动力学模型有助于揭示害虫暴发、周期振荡、种群灭绝和长期共存等复杂的生态现象。

传统的害虫管理模型通常基于捕食者-猎物系统，纳入了害虫的自然生长、环境容纳量、天敌捕食、化学防治和天敌死亡等因素。为了克服传统农药防治的局限性，综合害虫管理（IPM）已被广泛认为是一种有效的害虫调控策略[1]。作为一种系统导向的方法，IPM以互补的方式整合多种植物保护工具，以实现可持续的害虫防治。在害虫管理中，仅依靠化学农药可能导致环境污染、农药抗性增加和生态平衡的破坏。因此，将天敌释放与适当施用农药相结合的综合防治策略越来越受到关注。特别是，只有当害虫密度超过一定的经济阈值时，才会实施防治措施，这可以在降低管理成本的同时，最大限度地减少对环境的影响。因此，带有经济阈值的害虫管理模型已成为研究害虫防治策略的重要工具。通过引入阈值依赖的切换机制，这些模型可以描述在不同种群密度水平下防治措施的激活和暂停，从而更准确地反映害虫管理的实际过程。

在数学上，为了刻画自然界中的捕食关系，研究人员提出了捕食者-猎物模型

$$\frac{du}{dt} = ru\left(1-\frac{u}{K}\right) - \varphi(u,v)v - \mu_1 u,$$
$$\frac{dv}{dt} = c\varphi(u,v)v - \mu_2 v,$$

其中 $u$ 和 $v$ 分别表示猎物和捕食者的密度。$r, K, c, \mu_1, \mu_2 > 0$ 分别表示猎物的内禀增长率、猎物的环境容纳量、猎物到捕食者的能量转化率以及猎物和捕食者的自然死亡率。$\varphi(u,v)$ 表示捕食者对猎物的功能响应函数。此外，与捕食率相关的功能响应也引起了研究关注。某些功能响应仅依赖于猎物，如Holling-I至Holling-IV型[2, 3]。另一些则考虑了猎物和捕食者之间的相互作用，如Beddington-DeAngelis型和比例依赖型功能响应[4, 5, 6]。这类模型有广泛的应用。许多学者对该模型及其变体进行了研究，获得了若干经典结果。同时，一些学者还考虑了种群空间分布的非均匀性，将反应扩散项引入方程中，通过研究发现了新的动力学现象，如空间非均匀周期解和空间图形[7, 8]。

最近的研究进展进一步表明，Filippov模型可以更准确地描绘植物病害和害虫的控制。具体思路是提出经济阈值，建立植物病害和害虫的Filippov模型，并通过理论分析，将病害和害虫限制在合理范围内。例如，Jiao等人在[9]中探讨了带有经济阈值的Filippov害虫模型中的滑动模态分岔现象，指出时间延迟可能由于滑动切换和交叉分岔的出现而给害虫防治带来挑战。在[10, 11]中，作者将时间延迟纳入害虫防治中，并分析了带有时间延迟的Filippov模型的动力学性质。[12, 13]中的研究人员在分析中纳入了扩散项，进一步研究了扩散如何影响害虫防治。[14, 15]中的研究考察了带有非线性阈值的Filippov模型，从而进一步扩展了对不连续系统的研究。在[16]中，作者将顶级捕食者引入Filippov模型，发展了一个三维Filippov食物链模型，以探讨综合害虫管理策略如何影响滑动动力学、害虫防治效率和食物链生态系统。[17, 18]中的研究人员提出了植物疾病模型，并应用Filippov模型理论探讨了修剪感染枝条和重新种植新植物如何影响火疫病蔓延。Wang等人在[19]中分析了Filippov植物疾病模型中的平衡点、伪平衡点和滑动模态异宿轨道。在[20]中，建立了带有易感种群阈值策略的Filippov模型，以研究此类阈值控制策略的调控机制，以及时间延迟等因素对系统动态行为的影响。Zhang和Zhao在[21]中处理了带有不连续阈值收获的延迟反应扩散捕食者-猎物模型。Zhang等人在[22]中探讨了带有不连续收获的扩散捕食者-猎物模型。

在害虫防治过程中，通常采用两种方法：喷洒农药和释放天敌。大多数先前的研究提出了单一经济阈值，当害虫密度超过该阈值时，同时实施上述两种方法。然而，当天敌数量充足时，无需额外释放。这种方法不仅可以维持生态平衡，还可以降低害虫管理的成本。因此，Li等人在[23, 24]中构建了带有双阈值的Filippov捕食者-猎物模型，分析了其滑动模态动力学，并揭示了阈值选择对害虫防治效果的关键影响。Jiao和Liu在[25]中提出了带有两个阈值策略的延迟Filippov模型，以描述禽流感的传播和控制。

作为处理非光滑动力学模型的有效方法，Filippov框架可以准确地刻画由状态依赖切换引起的动力学行为。现有的Filippov害虫模型主要分别研究了阈值切换、时间延迟或空间扩散的影响。特别是，单阈值模型被广泛用于描述害虫防治措施的激活，而双阈值模型则根据害虫和天敌密度进一步区分不同的控制模式。一些研究纳入了时间延迟以考察延迟引起的振荡和滑动分岔，而另一些则引入了空间扩散以研究空间不稳定性或图形形成。然而，双阈值切换、空间扩散和繁殖延迟之间的相互作用却鲜有关注。在本工作中，这三种机制被纳入统一的害虫-天敌Filippov框架中。双阈值产生多个切换区域并确定激活哪种控制策略，空间扩散可能使空间均匀平衡点失稳并诱发Turing图形，繁殖延迟可产生Hopf分岔并改变切换流形上的滑动动力学。更重要的是，这些机制并非独立处理。我们研究了扩散和延迟的变化如何影响阈值切换产生的动力学，包括空间图形转变、边界平衡点分岔和全局滑动分岔。因此，本模型通过揭示扩散、延迟和切换控制产生的耦合时空和非光滑动力学，扩展了带有单阈值或双阈值的现有Filippov害虫模型。

本文其余部分组织如下。第2节阐述数学模型的构建。第3节研究光滑子系统稳定性和分岔性质。第4节分析滑动区域和滑动动力学。第5节给出数值模拟。第6节研究局部和全局滑动分岔。第7节总结主要结果并讨论未来研究方向。

## 数学模型的构建

我们考虑以下带有双阈值的反应扩散害虫-天敌模型：

$$\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial t} = d_1 \Delta u + ru\left(1 - \dfrac{u}{K}\right) - \dfrac{au^2 v}{1 + bu^2} - \mu_1 u - \varepsilon_1 pu, & x \in \Omega,\, t > 0, \\[10pt]
\dfrac{\partial v}{\partial t} = d_2 \Delta v + \dfrac{cau_{\tau}^2 v_{\tau}}{1 + bu_{\tau}^2} - \mu_2 v + \varepsilon_2 q, & x \in \Omega,\, t > 0, \\[10pt]
\dfrac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} = \dfrac{\partial v}{\partial \mathbf{n}} = 0, & x \in \partial\Omega,\, t > 0, \\[10pt]
u(\theta, x) = u_0(\theta, x) \geq 0,\; v(\theta, x) = v_0(\theta, x) \geq 0, & x \in \Omega,\; \theta \in [-\tau, 0],
\end{cases}$$

其中

$$(\varepsilon_1, \varepsilon_2) = \begin{cases}
(0, 0), & \text{若}\; u < u_T, \\
(1, 1), & \text{若}\; u > u_T \text{ 且}\; v < v_T, \\
(1, 0), & \text{若}\; u > u_T \text{ 且}\; v > v_T,
\end{cases}$$

其中 $u$ 和 $v$ 分别表示害虫和天敌的密度。设 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 为具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界连通区域，$\mathbf{n}$ 表示 $\partial\Omega$ 上的外法向单位向量。

## 延迟Filippov模型的稳定性分析

本节给出一些必要的定义，并研究Filippov模型的稳定性分析。

状态平面 $(u, v)$ 被划分为以下三个区域：

$$\Gamma_1 = \{(u,v) \in \mathbb{R}_+^2 \mid u < u_T\}, \quad \Gamma_2 = \{(u,v) \in \mathbb{R}_+^2 \mid u > u_T, v < v_T\}, \quad \Gamma_3 = \{(u,v) \in \mathbb{R}_+^2 \mid u > u_T, v > v_T\}.$$

同时，定义三个切换流形如下：

$$l_1 = \{(u,v) \in \mathbb{R}_+^2 \mid u = u_T,\; 0 < v < v_T\},$$
$$l_2 = \{(u,v) \in \mathbb{R}_+^2 \mid u = u_T,\; v > v_T\},$$
$$l_3 = \{(u,v) \in \mathbb{R}_+^2 \mid u > u_T,\; v = v_T\}.$$

令 $F_1(u,v) = \left( ru\left(1 - \frac{u}{K}\right) - \frac{au^2 v}{1 + bu^2} - \mu_1 u,\; \frac{cau_\tau^2 v_\tau}{1 + bu_\tau^2} - \mu_2 v \right)^T$，

$F_2(u,v) = \left( ru\left(1 - \frac{u}{K}\right) - \frac{au^2 v}{1 + bu^2} - \mu_1 u - pu,\; \frac{cau_\tau^2 v_\tau}{1 + bu_\tau^2} - \mu_2 v + q \right)^T$。

## 滑动模态及其动力学

本节在状态平面 $(u, v)$ 上定义滑动区域，并在空间域 $\Omega$ 上研究相应的滑动动力学。更具体地说，对于每个空间位置 $x \in \Omega$，局部状态 $(u(x,t), v(x,t))$ 可能位于三个切换区域 $\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3$ 之一或三个切换流形 $l_1, l_2, l_3$ 之一。因此，滑动区域 $\Sigma_i$ 是状态平面的子集，而滑动方程是在 $\Omega$ 上具有齐次Neumann边界条件的反应扩散方程。

## 数值模拟

本节详细阐述扩散项、阈值和时间延迟对模型动力学的影响，以验证前述理论分析。以下模拟用于说明第3节和第4节中获得的理论结果。对于每种情形，在给出数值结果之前均先验证相关的理论条件。

## 滑动分岔分析

本节通过数值模拟（基于[34]）讨论Filippov系统(2.1)在不同参数值下的局部和全局滑动分岔。

## 结论

本文发展了一种带有双阈值的延迟反应扩散Filippov害虫-天敌模型，以描述综合害虫管理。害虫阈值 $u_T$ 决定是否需要启动人工控制，而天敌阈值 $v_T$ 决定是否需要额外释放天敌。空间扩散、繁殖延迟和不连续切换控制被纳入同一框架。这一构建使得……

## CRediT作者贡献声明

张震杰：写作—审阅与编辑，写作—初稿撰写，软件，调查。

杨瑞智：写作—审阅与编辑，监督，方法论。

## 利益冲突声明

作者没有相关的财务或非财务利益需要披露。

张震杰 | 杨瑞智

东北林业大学数学系，哈尔滨，黑龙江，中国，150040