恒加应力加速寿命试验中基于 exponentiated half-logistic（EHL）分布的可靠性推断：十一种频率学派估计方法的比较研究

《Entropy》：Reliability Inference in Constant Stress Accelerated Life Tests Based on the Exponentiated Half-Logistic Model

　　

加速寿命试验（accelerated life testing, ALT）是一种高效方法，与在正常操作条件下进行的试验相比，其通过使试验单元承受不同应力水平，能够在更短时期内获取失效时间数据。在本研究中，研究人员假设恒定应力水平下产品寿命服从 exponentiated half-logistic 分布（exponentiated half-logistic distribution, EHL），并使用十一种不同的频率学派方法估计模型参数、可靠性函数和平均失效时间（mean time to failure, MTTF）函数，即最大似然（maximum likelihood, ML）、最小二乘（least squares, LS）、加权最小二乘（weighted least squares, WLS）、Cramér–von Mises（CM）、Anderson–Darling（AD）、右尾 Anderson–Darling（right-tail Anderson–Darling, RTAD）、左尾 Anderson–Darling（left-tail Anderson–Darling, LTAD）、二阶左尾 Anderson–Darling（second-order left-tail Anderson–Darling, ADLTS）、最大间距乘积（maximum product of spacings, MPS）、最小间距绝对距离（minimum spacing absolute distance, MSAD）和最小间距绝对对数距离（minimum spacing absolute-log distance, MSALD）。通过广泛的 Monte Carlo 模拟研究比较估计量的性能。此外，分析一个真实数据集以评估所提出方法的实际有效性。

在当前全球竞争环境下，确保产品和部件长期可靠性能至关重要，低失效概率产品需求显著增加。正常操作条件下收集失效时间数据通常成本高且耗时，因此实践中采用加速寿命试验（accelerated life testing, ALT），通过使试验单元承受高于正常条件的温度、湿度、压力、电压等应力，在更短时间内获取失效时间数据。ALT 中应力施加方式包括恒加应力加速寿命试验（constant stress accelerated life testing, CSALT）、步进应力、随机应力、渐进应力、正弦循环应力和方波循环应力等；其中 CSALT 因简单、易建模和能提供可靠估计而被广泛采用。已有 CSALT 研究中，多数仅使用最大似然（maximum likelihood, ML）或将其与最小二乘（least squares, LS）、加权最小二乘（weighted least squares, WLS）和概率加权矩等方法结合；对于 exponentiated half-logistic（EHL）分布在 CSALT 框架下，尚缺乏对多种经典估计准则的系统比较。EHL 分布由 Kang and Seo 提出，其形状参数可显著改变密度和危险率行为，能描述更受限寿命分布可能无法充分描述的失效时间模式。因此，本研究的目的是系统比较现有频率学派估计器在 EHL-CSALT 模型中的表现，而非提出新的估计准则。其贡献包括：构建并比较十一种经典估计方法；考察有限样本下模型参数、正常使用形状参数、可靠性函数和平均失效时间（mean time to failure, MTTF）；通过 Monte Carlo 研究样本量和应力-寿命参数设置的影响；并用金属–氧化物–硅（metal–oxide–silicon, MOS）电容器真实加速寿命数据检验方法。

关键技术方法：研究人员建立 EHL-CSALT 模型，假定恒定应力下寿命服从 EHL，形状参数 α_i 与应力 S_i 采用 log-linear 关系，尺度参数跨应力水平 common。采用十一种频率方法：ML、LS、WLS、Cramér–von Mises（CM）、Anderson–Darling（AD）、右尾 AD（RTAD）、左尾 AD（LTAD）、二阶左尾 AD（ADLTS）、最大间距乘积（maximum product of spacings, MPS）、最小间距绝对距离（MSAD）和最小间距绝对对数距离（MSALD）。通过 Monte Carlo 模拟，1000 次重复，在 Matlab R2024b 中用 fminunc 数值优化，最大 5000 次迭代，比较偏差、均方误差（mean square error, MSE）和平均相对估计（mean relative estimate, MRE）。真实数据来自 Elsayed 的 6H-SiC MOS 电容器失效时间数据集，含三个温度应力水平，小时值除以1000缩放；用 1000 次 bootstrap 计算估计标准误（estimated standard error, ESE）和 95% percentile bootstrap 置信区间；拟合优度比较广义 Logistic（GL）、指数化 Rayleigh（ER）、广义逆 Lindley（GIL）和指数化 Lindley（EL）分布，使用 Kolmogorov–Smirnov（KS）、均方根误差（RMSE）、决定系数（R²）、赤池信息准则（AIC）、贝叶斯信息准则（BIC）和 Q–Q 图。

2. 模型假设。研究人员给出 EHL 分布的概率密度函数（probability density function, pdf）、累积分布函数（cumulative distribution function, cdf）、可靠性函数、危险率函数（hazard rate function, hrf）和 MTTF 表达式。形状参数对密度和危险率特性起关键作用：不同取值下分布可呈单调递减或右偏单峰；小形状参数时 pdf 强烈右偏、质量集中于零附近，反映早期失效；形状参数增大后密度变为单峰并右移，反映延迟失效；hrf 在较小形状参数下递减，在较大形状参数下递增，并随时间趋于稳定。CSALT 假设中，N 个相同试验单元分入 k 组，正常应力为 S₀，加速应力 S₁,...,S_k 递增；各应力下失效时间独立同分布（independent and identically distributed, i.i.d.）服从 EHL；形状参数 α_i 与应力 S_i 采用 log-linear 关系，包含未知参数 a 和 b，以保证 α_i 为正；尺度参数跨加速应力水平保持 common。应力效应通过形状参数建模。

3. 未知参数估计。研究人员在 CSALT 框架下系统描述十一种估计方法。ML 最大化对数似然函数；LS 和 WLS 最小化相应最小二乘目标；CM、AD、RTAD、LTAD 和 ADLTS 最小化不同拟合优度统计量；MPS 最大化有序数据点间距的乘积；MSAD 和 MSALD 最小化间距距离。未知参数和正常使用形状参数的估计方程多无闭式解，因此采用数值技术求解。正常使用条件下形状参数和可靠性函数由估计的应力-形状关系外推计算。

4. 模拟研究。研究人员通过 Monte Carlo 模拟比较估计量。主设计中固定尺度参数，选取多种 a、b 组合，考虑两个加速应力水平，并在应力水平间等样本分配；补充分析考虑不等样本分配和三个加速应力水平，结果显示主要比较结论基本不变。模拟计算偏差和 MSE。结果表明，MPS、MSAD 和 MSALD 在所有样本量下一致呈现负偏差，提示略微低估参数；LS 和 WLS 仅在部分情形出现负偏差；偏差随样本量增加而下降。就 MSE 而言，小样本和中样本下 MPS 常给出较低 MSE，归因于其对累积信息结构的更有效利用；大样本下 ML 和 AD 表现明显改善，符合其渐近效率和方差降低。CM、RTAD 和 ADLTS 相对较差，可能因其对数据波动更敏感且方差更大。尺度参数跨应力变化的敏感性分析显示，模型误设会在一定程度上影响估计精度，但主要比较结论基本不变，MPS 和 MSALD 仍较稳定。MRE 随样本量增加趋于 1，MSE 快速下降，表明所有方法渐近无偏且一致。正常使用形状参数估计随样本量增加更稳定，并随 a 和 b 增大而增大；可靠性函数估计随任务时间增加而规律下降，随 a 和 b 增大而增加，且受样本量增加影响不显著。

5. 真实数据分析。研究人员分析 Elsayed 的 6H-SiC MOS 电容器失效时间数据集，该数据包含三个温度应力水平下的失效时间。拟合优度比较显示 EHL 分布对数据提供满意且稳定的拟合。参数估计与 bootstrap ESE 表明，对 a、b 和 β，MSAD 和 LTAD 给出相对较小的 ESE；对形状参数，RTAD、LS 和 LTAD 相对较好；MPS 一致产生较低 ESE。MTTF 估计中，ML 和 WLS 通常具有最低 ESE。正常使用应力下，可靠性函数估计随任务时间增加而下降；较小任务时间下 ML 和 MSAD 的 ESE 最小，较大任务时间下 MPS 和 ML 的 ESE 较低；形状参数估计中 MSALD 和 AD 的 ESE 最低。置信区间长度比较显示，MPS 和 MSALD 对多数参数和可靠性测度给出较短区间，WLS 和 ADLTS 在若干参数上区间较宽；MTTF 中 MPS 和 WLS 区间较短，ADLTS 区间最宽。

6. 结论。研究人员总结，十一种方法在 EHL-CSALT 模型中的性能存在明显差异。MPS 在 MSE 方面整体表现强，尤其小样本和中样本；MSALD 在许多情形也具有竞争力；ML 随样本量增加改善明显，大样本时在所有参数设置下取得总体第二；AD 在小样本和中样本也具有竞争性。相对性能受样本量影响比受模型参数取值影响更明显。CM、RTAD 和 ADLTS 在本文模拟设置下通常产生较大 MSE，应谨慎使用。真实数据分析总体支持模拟结果，说明 EHL-CSALT 模型具有实际适用性；MPS 给出较低 ESE 和最短 bootstrap 置信区间，且所有方法下估计 MTTF 均随应力水平增加而下降。

讨论与结论部分翻译：本研究考虑十一种估计方法，即 ML、LS、WLS、CM、AD、RTAD、LTAD、ADLTS、MPS、MSAD 和 MSALD，用于估计基于 EHL 的 CSALT 模型的参数、可靠性函数和 MTTF。研究人员通过广泛的 Monte Carlo 模拟研究在不同样本量和参数设置下考察其性能，并使用真实加速寿命试验数据集进一步检验。模拟结果揭示了估计方法之间的明显差异。特别地，MPS 在 MSE 方面提供较强的整体性能，尤其是在小样本和中样本情形下。MSALD 在许多情况下也具有竞争性。ML 的性能随样本量增加而显著改善；其小样本表现较为中等，但在大样本时对所有参数设置取得总体第二。AD 也提供竞争性结果，尤其在小样本和中样本。这些发现表明，估计方法的相对性能受样本量影响比受所考虑模型参数取值影响更明显。然而，CM、RTAD 和 ADLTS 在本研究考虑的模拟设置下通常产生相对较大的 MSE，因此应谨慎使用。这些建议仅针对此处研究的条件，不应被解释为对估计方法的一般排名。真实数据分析总体支持模拟发现，并证明基于 EHL 的 CSALT 模型的实际适用性。MPS 产生相对较低的 ESE，并在竞争方法中产生最短的 bootstrap 置信区间。分析还表明，对所有估计方法，估计 MTTF 均随应力水平增加而下降。总体而言，结果表明替代估计方法，特别是 MPS，可为加速试验条件下的可靠性和寿命估计提供除传统 ML 方法之外的有用选择。本研究的一个局限是分析仅限于完整失效数据。由于实际 ALT 研究中经常遇到删失，未来研究可通过考虑不同删失方案扩展所提模型。贝叶斯估计方法也可作为本研究所考虑经典估计方法的替代方案进行研究。另一个有趣方向是在不同 ALT 模型下考察 EHL 分布的性能，例如步进应力加速寿命试验（step-stress accelerated life testing, SSALT）、恒加应力部分加速寿命试验（constant-stress partially accelerated life testing, CSPALT）和步进应力部分加速寿命试验（step-stress partially accelerated life testing, SSPALT）。此外，系统研究不同置信区间程序的覆盖概率和区间宽度，可能是对本研究以点估计为重点的模拟研究的有用扩展。