基于正交Laguerre多项式神经网络求解可变阶分数导数奇异Lane–Emden方程的Cauchy问题

《Computation》：Application of a Neural-Network Algorithm Based on Orthogonal Laguerre Polynomials to the Solution of the Cauchy Problem for Differential Equations with a Variable-Order Fractional Derivative on the Example of the Fractional Lane–Emden Equation

　　

摘要

本文提出、实现并测试了一种基于正交Laguerre多项式的神经网络方法，用于求解带有可变阶分数导数的奇异非线性Lane–Emden方程的Cauchy问题。此类方程极少存在解析解，而经典有限差分格式在零附近的奇异性和分数导数的非局域特性方面均难以胜任。近似解用经过平移至初始点的修正Laguerre多项式展开，从而精确满足Cauchy初始条件。网络仅含一个可训练线性层，非线性由多项式基函数提供。权重通过最小化损失函数求得，该损失函数包含配点处的方程残差、改善奇点附近精度的权重因子，以及限制权重增长的正则化项。训练采用Adam优化器，配合自适应学习率调度器和早停策略。实现环境为Python 3.13.1与PyTorch 2.7.1。向量化张量版本相比循环版本将计算速度提升了约三十倍。在已知精确解的测试问题上，最大绝对误差约为万分之五；对于数值参考解，约为千分之八；在压力测试中，约为百分之三。该方法在奇异可变阶分数微分方程领域具有良好前景，且可在中央处理器和图形处理器上实现并行计算。