基于角度的无领导编队机动及全局收敛性

《Automatica》：Angle-based leaderless formation maneuvering with global convergence

　　摘要
现有的关于编队机动控制的研究大多基于领导者-追随者框架，其中一个或多个领导者跟踪期望的轨迹或速度，其余的则根据领导者进行调整。然而，如果领导者失效，所需的机动通常会受到影响。另一种方法是，在无领导者框架下引入人为设计的不一致性，但这些不一致性必须离线确定，并且大多数此类方法只能实现局部收敛到期望的机动。为了解决这些问题，本文研究了在无领导者多智能体系统中同时进行缩放、旋转和平移的角度刚性编队机动控制问题。本文提出了一种编队机动控制律，无需为预定的机动离线设计不一致性，而是根据期望三角形内的角度约束生成虚拟速度信号。结合分布式估计算法，所提出的方法确保闭环多智能体系统能够全局实现期望的角度刚性编队机动。此外，为了能够在智能体的本地坐标框架中实施，还开发了一种有限时间定向对齐算法。通过三个仿真示例验证了所提出的控制策略的有效性。

1. 引言
在多智能体系统研究领域，编队控制因其在实际场景中的应用而受到广泛关注，例如无人地面车辆、无人驾驶飞行器（Doostmohammadian等人，2021年；Wu等人，2024年）、卫星（Liu等人，2020年；Massioni等人，2010年）和机器人（Hu等人，2022年；Zhao等人，2023年）。在这些应用中，编队控制目标通常要求编队处于运动状态，这就需要设计相应的控制算法以确保智能体在保持协调的同时仍具有机动性。根据用于描述编队的约束，编队机动控制方法可以大致分为以下几类：基于绝对位置约束的机动控制（Fax和Murray，2002年；Vásárhelyi等人，2014年）、基于相对位置约束的机动控制（Garcia de Marina，2020年；Lin等人，2005年；Ren，2007年）、基于距离约束的机动控制（Garcia de Marina等人，2016年；Sun等人，2017年）、基于方位角约束的机动控制（Cheng和Huang，2024年；Su等人，2023年；Zhao和Zelazo，2015年）以及基于角度约束的机动控制（Chen等人，2021年；Chen等人，2022年；Jing和Wang，2019年）。
在Fax和Murray（2002年）的研究中，研究了基于绝对位置约束的智能体编队机动控制。Garcia de Marina（2020年）提出了一种基于相对位置约束的机动控制策略，实现了平移编队机动。Garcia de Marina等人（2016年）通过在距离刚性编队中引入不一致性，使得编队能够实现平移和旋转机动。Zhao和Zelazo（2015年）提出了一种基于方位角约束的编队控制算法，实现了平移和缩放编队机动。对于基于角度约束的多智能体系统，Chen等人（2021年）通过引入人为设计的不一致角度，实现了编队的平移、缩放和旋转机动。在这些机动控制方法中，基于角度约束的方法可以在达到期望的角度编队时同时实现编队的缩放、平移和旋转（Chen等人，2020年；Jing和Wang，2019年；Jing等人，2019年；Peng和Huang，2025年）。
基于角度约束的编队机动控制研究主要分为两类：领导者-追随者角度刚性编队机动（Chen等人，2022年）和无领导者角度刚性编队机动（Chen等人，2021年）。在领导者-追随者策略中，一旦领导者失效，整个编队的机动控制就会崩溃；然而，相关的机动信息只需要由领导者存储，这简化了信息管理。另一方面，无领导者编队机动通常需要在编队算法中引入人为设计的离线不一致性，这些方法通常只能实现局部收敛。尽管如此，这种策略也可以被视为更脆弱的，因为单个智能体的失败会破坏整个机动。尽管如此，它有可能允许重新配置所有智能体以减轻失去特定智能体的影响。在本文中，我们旨在研究是否可以在无领导者框架下开发一种方法，该方法可以全局同时实现三种类型的编队机动（缩放、旋转和平移），而无需离线设计不一致性，而是通过在线生成这些不一致性。此外，所设计的算法还扩展到了智能体的本地坐标框架中的机动控制。本文的贡献总结如下：
(1) 与现有的基于角度刚性编队机动的研究（Chen等人，2021年）不同，该方法主要基于离线设计的一致性，并且只能实现局部收敛，本文提出的方法引入了与期望角度约束相关的在线虚拟速度，从而确保了期望编队机动目标的全局收敛。
(2) 与现有的基于角度刚性编队机动的研究（Chen等人，2022年）不同，该方法需要领导者沿着期望轨迹移动并测量相邻智能体之间的相对位置和相对速度，而本文的方法不需要领导者的存在（智能体之间的相互作用结果）或测量相邻智能体之间的相对速度。
(3) 为了确保所提出的机动控制算法在智能体坐标框架不一致时仍然有效，设计了一种分布式有限时间定向对齐算法，使得智能体的本地坐标框架中的期望角度刚性编队机动能够以分布式方式实现。

本文的其余部分组织如下。第2部分提供了必要的准备工作。第3部分通过设计和分析三种特定算法来研究无领导者多智能体系统的角度刚性编队机动。第4部分通过仿真来验证所提出的控制策略的有效性。

2. 准备工作
2.1. 符号说明
我们考虑一个由n≥3个智能体组成的多智能体系统，这些智能体在二维平面上操作。将这n个智能体视为节点，我们用V={1,2,…,n}表示节点集。用R(θ)?cos(θ)?sin(θ)sin(θ)cos(θ)表示二维旋转矩阵，其中θ∈R是旋转角度。用?表示克罗内克积。用In和1n表示n×n的单位矩阵和所有元素均为1的n×1列向量。对于矩阵B，用[B]i?表示B的第i行，用[B](∨2i)?表示B的(2i?1)～2i行组成的子矩阵。用∑g表示全局坐标框架，用∑i表示智能体i的本地坐标框架，并用Rig表示从∑i到∑g的旋转矩阵。用∑b表示位于期望角度刚性编队质心的机体坐标框架，该框架与期望角度刚性编队一起平移和旋转。

2.2. 三角形角度刚性编队
我们简要概述了与基于角度的编队相关的符号。更详细的说明参见Chen等人（2020年）。角度约束∠ijm由一个有序三元组(i,j,m)表示。角度集A定义为A?V×V×V={(i,j,m)，i,j,m∈V,i≠j≠m}。V、A和位置向量p=[p1T,p2T,…,pnT]T∈R2n的组合被称为角度性，用A(V,A,p)表示。A(V,A,p)中的三角形数量用mA?∈N+表示。
对于任意三个不同的智能体i,j,m∈V，这三个智能体形成的定向内角αmij∈[0,2π)由(Chen等人，2020年)定义为(1)αmij?arccos(bijTbim)，bijTbim⊥≥0,2π?arccos(bijTbim)，否则，其中角度αmij表示从射线im?到射线ij?的逆时针旋转角度。从i到j的方位角方向由单位向量bij?(pj?pi)/‖pj?pi‖给出，并且bij⊥=R(π2)bij=0?110bij。如Chen等人（2020年）所定义的，如果配置p中的所有节点之间的内角在受到小扰动时保持不变，则A(V,A,p)是角度刚性的。
所有3mA?期望角度的堆叠向量表示为(2)fA(α?)?[…αmij?…]T∈R3mA?，(m,i,j)∈A，其中αmij?∈[0,2π)，A是相应的三角形角度集。假设多智能体系统的期望三角形编队由公式(2)中的角度约束指定，其对应的A(V,A,p?)是角度刚性的，且p?=[p1?T,p2?T,…,pn?T]T∈R2n是满足公式(2)中的角度约束的配置之一。在本文中，我们假设配置p?是通用的（Chen等人，2020年）。即使在实践中有一部分智能体是共线的，通过适当选择期望的角度约束，仍然可以保证配置p?是通用的。

2.3. 三角形中的角度诱导线性约束
由于角度约束(1)对智能体位置的强非线性，实现编队任务(2)的全局稳定是具有挑战性的。因此，我们推导了三角形编队下这个约束的等效线性方程以简化控制设计。根据Chen和Sun（2022年），在△ijm中的角度诱导线性约束可以表示为(3)fi?ijm(α(p),p)=Ai?ijm(α)pi+Aj?ijm(α)pj+Am?ijm(α)pm=sinαjmi(pi?pm)?sinαijmRT(αmij)(pi?pj)=0，其中α表示△ijm中的相关内角，Ai?ijm(α)=(sinαjmiI2?sinαijmRT(αmij))∈R2×2，Aj?ijm(α)=sinαijmRT(αmij)∈R2×2，Am?ijm(α)=?sinαjmiI2∈R2×2。所有相应的角度诱导线性约束(3)被整理成紧凑形式(Chen & Sun，2022年)(4)RA(α)p=0，其中RA(α)的所有非零元素∈R2mA?×2n与A(V,A,p)中对应的期望三角形相关。
定义一个正半定矩阵L(α?)?RAT(α?)?RA(α?)。在后续分析中，需要以下引理。
引理1 Chen & Sun, 2022
对于三角形角度刚性的角度性A(V,A,p)，闭环多智能体系统(5)p?(t)=?L(α?)p(t)具有以下性质：p(t)→pA??ρ1p?+ρ2(In?R(π2))p?+ρ31n?[10]T+ρ41n?[01]T，t→∞，其中ρi∈R，i=1,2,3,4是与所有智能体的初始位置p(0)相关的参数。
注1 在引理1中，p(t)→pA?表明最终的编队收敛仅取决于p(0)的选择。

引理2 Hardy等人，1952
对于任何ci≥0，i=1,…,n，和μ∈(0,1]，不等式∑i=1nciμ≤∑i=1nciμ成立。

3. 多智能体的角度刚性编队机动
在本节中，我们基于角度刚性理论研究多智能体的编队机动。考虑由单积分器动态描述的智能体，表示为(6)p?i(t)=ui(t)，i∈V，其中pi(t)是第i个智能体在时间t的位置，ui(t)∈R2表示控制输入。
本文的机动控制目标是设计ui(t)，使得系统(6)实现：
(1) 期望的角度刚性编队：(7)limt→∞αmij(t)?αmij?=0，?(m,i,j)∈A，这等价于(8)p(t)→S?{p|α(p(t))=α?}，t→∞。
(2) 期望的同时机动：编队在期望的速度v?下同时进行平移、旋转和缩放机动，即(9)limt→∞(p?(t)?v?)=limt→∞(p?(t)?vs?r??vt?)=0，其中vs?r??σ?(In?R(θ?))pb?∈R2n表示具有缩放机动参数σ?∈R和相对于∑g的期望旋转角度θ?的速度分量，pb?∈S，vt??1n?[δ3?δ4?]T∈R2n表示具有平移机动参数δ3?∈R和δ4?∈R的速度分量。

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图1. 在∑g和∑b下的期望角度刚性编队，以及其平移、缩放和旋转。
注2 期望的速度v?确保了流形S的不变性。如Chen等人（2022年）所述，实际场景中的编队机动更多关注于期望编队按指定角度θ?旋转，这激发了本文的机动控制目标(9)。
为了帮助理解控制目标(8)和(9)，以四个智能体为例，图1显示了在∑g和∑b下的期望角度刚性编队及其平移、缩放和旋转。图1中的彩色箭头表示机动速度的方向。

3.1. 机动控制器设计和闭环稳定性分析
设计的编队机动控制律以紧凑形式表示为(10)u(t)=?L(α?)p(t)+v?(t)，v??(t)=?L(α?)v?(t)，其中u(t)=[u1T(t)…unT(t)]T∈R2n，v?(t)=[v?1(t)…v?nT(t)]T∈R2n，v?i(t)∈R2被视为智能体i的虚拟速度。
控制律(10)的分量形式为(11)ui(t)=?[Fi?ij1m1(α?,p(t))+Fi?m2ij2(α?,p(t))+Fi?j3m3i(α?,p(t))]+v?i(t)，v??i(t)=?[Fi?ij1m1(α?,v?(t))+Fi?m2ij2(α?,v?(t))+Fi?j3m3i(α?,v?(t))，其中Fi?ij1m1(α?,p(t))=∑(i,j1,m1)∈A?(Ai?ij1m1(α?))T?fi?ij1m1(α?,p(t))，fi?ij1m1(α?,p(t))=sinαj1m1i??(pi(t)?pm1(t))?sinαij1m1?RT(αm1ij1?)(pi(t)?pj1(t))，|A?|=mA?，类似地对于Fi?m2ij2(α?,p(t))，Fi?j3m3i(α?,p(t))，Fi?ij1m1(α?,v?(t))，Fi?m2ij2(α?,v?(t))和Fi?j3m3i(α?,v?(t))，如果(i,j,m)∈A?，则(j,i,m)?A?，(j,m,i)?A?。在(11)中，每个智能体i感知其相对于邻居的相对位置，并通过通信与其邻居交换虚拟速度v?i(t)。
n个节点之间的通信拓扑对应于无向图GA(V,EA)，其中边集EA可以表示为EA={(i,j)|i,j,m∈V,(i,j,m)∈A}。节点i的邻居集Ni={j|(j,i)∈EA}。

注3 根据Chen等人（2024年），无向图GA(V,EA)和三角形角度性A?(V,A,p?)之间存在对应关系：如果A?(V,A,p?)是三角形角度刚性的，则GA(V,EA)是连通的，反之亦然。
现在，我们提出以下结果。
定理1 如果期望的三角形角度性A?(V,A,p?)是角度刚性的，则在控制算法(11)的控制下，多智能体系统(6)将全局实现期望的控制目标(8)、(9)。
证明
将控制器(11)代入系统(6)得到(12)p?(t)=?L(α?)p(t)。
闭环系统(12)的解包括其齐次部分的解pI(t)和特定解pII(t)。
系统(12)的齐次方程为p?(t)=?L(α?)p(t)。显然，其解pI(t)是pI(t)=e?L(α?)tp(0)。根据引理1，可以得出pI(t)→pA?∈S，t→∞。
系统(12)的一个特定解pII(t)是pII(t)=v?(t)?t。我们现在验证pII(t)是(12)的一个特定解。将其代入(12)得到(13)v??(t)?t+v?(t)=?L(α?)v?(t)?t+v?(t)。根据(10)，方程(13)的左侧可以推导为?L(α?)v?(t)?t+v?(t)，这显然等于方程(13)的右侧。因此，pII(t)被验证为(12)的一个特解。现在，(12)的完整解为(14)p(t)=pI(t)+pII(t)=e?L(α?)tp(0)+v?(t)?t→pA?+v?(t)?t,t→∞。对于v?(t)，由于其动态表达式为v??(t)=?L(α?)v?(t)，根据引理1可以推出v?(t)→v?A?,t→∞，其中v?A??δ1?pb?+δ2?(In?R(π2))pb?+δ3?1n?[10]T+δ4?1n?[01]T，δ1?∈R，δ2?∈R，=1n?[δ3?δ4?]T，δ1?2+δ2?2=0，σ?(In?R(θ?))pb?+1n?[δ3?δ4?]T，否则，=v?（对应于(9)中的定义），且R(θ?)=δ1?δ1?2+δ2?2?δ2?δ1?2+δ2?2δ2?δ1?2+δ2?2，σ?=δ1?2+δ2?2。对于δ1?2+δ2?2，当δ1?2+δ2?2≠0时，表示涉及同时平移、旋转和缩放的机动；而当δ1?2+δ2?2=0时，表示仅涉及平移的机动。因此，(14)进一步推导为(15)p(t)→pA?+v??t→S,t→∞。将(15)代入(12)得到(16)p?(t)→?L(α?)(pA?+v??t)+v?(t)→v?(t)→v?A?=v?,t→∞。从(15)和(16)可以得出，编队能够全局收敛到目标配置，并同时保证以期望的速度v?进行机动。因此，控制目标(8)、(9)最终能够全局实现。□

备注4：算法(11)与Chen和Sun（2022）中的算法有两处不同：首先，Chen和Sun（2022）中使用的稳定性分析方法不适用于算法(11)下的闭环系统，该系统的状态是堆叠向量[pT(t),v?T(t)]T。其次，算法(11)可以实现三种类型的期望编队机动，并且可以推导出期望的旋转角R(θ?)和平移缩放参数σ?的显式关系表达式，这些参数由δ1?和δ2?表示。

构造一个对角矩阵Λ=diag{0,0,0,0,l1,…,l2n?4}，其中lj∈R+，j=1,…,2n?4是L(α?)的所有正特征值。根据引理1，存在一个相似变换Q?1L(α?)Q=Λ，其中非奇异变换矩阵Q的前四列是pb?,(In?R(π2))pb?,1n?[10]T,1n?[01]T。记y(t)=Q?1v?(t)=[y1(t),y2(t),y3(t),y4(t),y?T(t)]T，其中yi(t)∈R，i=1,2,3,4，且y?T(t)∈R2n?4。对y(t)求导得到y?(t)=?Λy(t)，由此可知yi(t)=yi(0)，i=1,2,3,4，并且y?(t)→0，t→∞。因此，v?(t)=Qy(t)→y1(0)pb?+y2(0)(In?R(π2))pb?+y3(0)1n?[10]T+y4(0)1n?[01]T，t→∞。显然，在定理1的证明中，δi?满足δi?=yi(0)，i=1,2,3,4。记qiT∈R1×2n，i=1,2,3,4是非奇异矩阵Q?1的第i行。可以知道yi(0)=qiTv?(0)，i=1,2,3,4，因此得到(17)δi?=qiTv?(0)，i=1,2,3,4，其中v?(0)是v?(t)的初始值。这意味着期望的机动速度v?与多智能体系统的给定初始虚拟速度v?(0)有关。然而，v?(0)的获取是集中式的。

3.2. 分布式算法用于确定机动速度
为了确保编队以分布式方式实现期望的机动速度v?，有必要分布式地获取相应的v?(0)。为此，本小节提出了一个分布式算法方案，具体包括以下三个步骤。

3.2.1. 分布式估计L??1
记一个非奇异矩阵L??L(α?)+σI2n，其中σ∈R+。对于L?，有L?L??1=I2n。注意，通过其对应期望三角形的角度约束，智能体i可以获取L(α?)的(2i?1)～2i行。接下来，每个智能体i估计L??1，记为Mi(t)，i∈V。受Anderson等人（2016）的启发，提出了一种扩展的分布式估计算法(18)：
M?i(t)=?Pi∑j∈Ni(Mi(t)?Mj(t))?[L?](∨2i)?T([L?](∨2i)??[L?](∨2i)?T)?1([L?](∨2i)?Mi(t)?I(∨2i)?)，
其中Pi是[L?](∨2i)?的核的正交投影矩阵，记为Pi?I2n?([L?](∨2i)?)T([L?](∨2i)?[L?](∨2i)?T)?1([L?](∨2i)?)。
由于[L(α?)](∨2i)?和σ为智能体i所知，因此智能体i可以获取[L?](∨2i)?。因此，(18)是分布式的，从而得到以下结果。

命题1：
考虑方程L?L??1=I2n，不需要关于初始状态Mi(0)的条件，(18)保证Mi(t)指数级收敛到L??1。
命题1的证明与Anderson等人（2016）中的推论1的过程类似。

备注5：算法(18)与Anderson等人（2016）中的更新律在以下三个方面不同：首先，在结构上，它从带有非奇异矩阵A和向量b的方程Ax=b扩展到带有非奇异矩阵L?和单位矩阵I2n的方程L?L??1=I2n。其次，在操作效率上，算法(18)可以一次获取两行的信息来估计L??1，而Anderson等人（2016）中的算法一次只能获取一行的信息。最后，算法(18)的执行通信负担比Anderson等人（2016）中的算法要小（执行Anderson等人（2016）中的算法需要将n个智能体表现为L?的每一行对应的2n个虚拟节点，这意味着更多的智能体间通信）。

3.2.2. 分布式获取Q?1
在分布式估计L??1之后，可以根据L?=(L??1)?1=(Mis)?1和L(α?)=L??σI2n计算L(α?)，其中Mis是Mi(t)的稳态。基于Q?1L(α?)Q=Λ，我们可以获得非奇异变换矩阵Q，其前四列是p?,(In?R(π2))p?,1n?[10]T,1n?[01]T。然后我们得到以下结果。

定理2：
对于任何满足Q?1L(α?)Q=Λ的非奇异矩阵Q，收敛结果v?(t)→Ψv?(0)中的矩阵Ψ保持不变。
证明：
从Q?1L(α?)Q=Λ可以推出?L(α?)=Q(?Λ)Q?1，因此e?L(α?)t=Qe?ΛtQ?1，其中e?Λt=diag{e0t,e0t,e0t,e0t,e?l1t,…,e?l2n?4t}→D?diag{1,1,1,1,0,…,0}，t→∞。
因此，对于v??(t)=?L(α?)v?(t)，其解为v?(t)=e?L(α?)tv?(0)=Qe?ΛtQ?1v?(0)→Ψv?(0)，t→∞，其中Ψ=QDQ?1。
接下来，我们将证明对于任何Q，矩阵Ψ保持不变。
假设存在另一个矩阵Q′使得Q′?1L(α?)Q′=Λ成立。那么必须有Q′=QC，其中C是对角可逆矩阵。显然，CDC?1=D。因此，Q′DQ′?1=QCDC?1D?1=QDQ?1=Ψ。
□
由于L(α?是分布式获取的，Q也可以分布式获取。基于此，可以根据QQ?1=I2n计算Q?1。

3.2.3. 分布式获取v?(0)
记一个满行秩矩阵Q??[q1,q2,q3,q4]T∈R4×2n和一个矩阵D?[δ1?,δ2?,δ3?,δ4?]T∈R4。由于Q?1是在3.2.2中分布式获取的，因此qiT(i=1,2,3,4)也是分布式获取的，因此Q?也是分布式获取的。将(17)写成紧凑形式为(19)Q?v?(0)=D。
根据矩阵理论，对于满行秩矩阵Q?，其伪逆矩阵是唯一的，记为Q?+=Q?T(Q?Q?T)?1。因此，v?(0)计算为v?(0)=Q?+D。
为了便于理解本小节的内容，提供了算法1来分布式地求解v?(0)。
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因此，执行算法1后，我们可以确保使用编队机动控制律(11)在分布式方式下全局实现期望的编队机动目标(8)、(9)。

3.3. 在智能体局部坐标框架下的机动控制
在前面的章节中，我们在全局坐标框架下实现了分布式角度刚性编队机动。然而，仅使用局部坐标信息的编队机动具有重要的实际意义，这激发了我们在本小节中的研究。
由于每个智能体的局部坐标框架的方向不一致，因此需要一个统一的局部坐标框架来确保设计的机动控制算法(11)在全局坐标信息不可用的情况下仍然有效。为此，设计一个对齐算法是必不可少的，以确保所有智能体的局部坐标框架方向的一致性。为了提高效率和适用性，我们要求对齐算法：
(1) 仅使用局部测量信息。
(2) 实现有限时间收敛。
如图2所示，让θi(t)表示∑i相对于∑g的方向角，δij表示智能体i相对于∑j的方位角，该方位角在局部坐标中测量并通过通信拓扑GA与邻居交换。
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图2. 平面空间中的方向角和方位角。
定义θij(t)为(Ahn, 2020) θij(t)?PV(θj(t)?θi(t))?[(θj(t)?θi(t)+π)mod2π]?π，j∈Ni。如Ahn (2020)所述，方向角和方位角之间存在关系：θj?θi=δji?δij+π。基于此，θij(t)转换为θij(t)=PV(δji?δij+π)。显然，它仅使用局部测量信息。记∑r为对齐每个局部坐标框架∑i后的参考坐标框架，其相对于∑g的方向角为θ∞，如图2所示。设计的有限时间方向对齐算法为(20)
θ?i(t)=kθ?sign(∑j∈Niaijθij(t))|∑j∈Niaijθij(t)|α，其中kθ>0，α∈(0,1)，aij是权重因子，当且仅当(j,i)∈EA时aij>0，否则aij=0。设θ=[θ1,θ2,…,θn]T。以下结果将证明对齐算法(20)满足两个要求(1)和(2)。

定理3：
如果maxi∈Vθi(0)?mini∈Vθi(0)<π成立，那么在对齐算法(20)下，每个智能体i的方向角θi(t)将在有限时间内收敛到θ∞。 证明： 为了避免对齐算法因方向角的2π周期性问题而失败，如ahn>< /><π时，pv(θj(t)?θi(t))=θj(t)?θi(t)成立。因此，(20)转换为(21) θ?i(t)=kθ?sign(∑j∈Niaij(θj(t)?θi(t)))?|∑j∈Niaij(θj(t)?θi(t))|α，i∈In。 选择一个候选的李雅普诺夫函数v(θ)=16∑i,j=1naij(θj(t)?θi(t))2。沿(21)的轨迹对V(θ)求导得到V?(θ)=∑i=1n?V(θ)?θiθ?i。根据无向图GA中aij形成的加权邻接矩阵的对称性，有?V(θ)?θi=?23∑j∈Niaij(θj?θi)。因此，V?(θ)=?23kθ∑i=1n((∑j∈Niaij(θj?θi))2)1+α2。 根据引理2，有(22)v?(θ)≤?23kθ(∑i=1n(∑j∈Niaij(θj?θi))2)1+α2=?23kθ(∑i=1n(∑j∈Niaij(θj?θi))2V(θ)V(θ))1+α2≤?23kθ(3λ2(L))1+α2V(θ)1+α2， 其中l表示ga的拉普拉斯矩阵，λ2(l)是l的最小正特征值。 记tf=3V(θ(0))1?α2(1?α)kθ(3λ2(L))1+α2。不等式(22)表明limt→TfV(θ)=0，这意味着θj(t)→θi(t)在有限时间Tf内收敛。因此，θi(t)→θ∞在有限时间Tf内收敛。 □ 备注6：><π，则><π。这也表明避免了方向角的2π周期性。

备注7：
与oh和ahn（2014）中设计的对齐算法不同，(20)不仅确保方向角在有限时间内收敛，而且不需要oh和ahn（2014）中关于l的全局条件。
定义θ?i(t)?θi(t)?θ∞。在对齐局部坐标框架后，编队控制律(11)将能够确保在局部坐标框架中实现角度刚性编队机动。

定理4：
如果期望的三角形角度a?(v,a,p?)是角度刚性的，那么对于多智能体系统(6)，通过在智能体的局部坐标框架中使用有限时间对齐算法(20)和控制算法(11)，可以在局部坐标框架中全局实现期望的控制目标(8)、(9) 备注7： 与oh和ahn（2014）中设计的对齐算法不同，(20)不仅确保方向角在有限时间内收敛，而且不需要oh和ahn（2014）中关于l的全局条件。 定义θ?i(t)?θi(t)?θ∞。在对齐局部坐标框架后，编队控制律(11)将能够确保在局部坐标框架中实现角度刚性编队机动。 定理4：>
备注7：
与oh和ahn（2014）中设计的对齐算法不同，(20)不仅确保方向角在有限时间内收敛，而且不需要oh和ahn（2014）中关于l的全局条件。
定义θ?i(t)?θi(t)?θ∞。在对齐局部坐标框架后，编队控制律(11)将能够确保在局部坐标框架中实现角度刚性编队机动。

定理4：
如果期望的三角形角度a?(v,a,p?)是角度刚性的，那么对于多智能体系统(6)，通过在智能体的局部坐标框架中使用有限时间对齐算法(20)和控制算法(11)，可以在局部坐标框架中全局实现期望的控制目标(8)、(9)>将代理5添加到△235结构中，通过添加(A2△235(α?))T?f2△235(α?,p(t))来扩展u2(t)，而无需重新设计现有组件。5. 说明性示例在本节中，我们分别通过仿真验证了所提出的有限时间定向对齐算法、分布式估计算法和分布式编队机动控制算法的有效性。所考虑的多智能体系统由8个代理组成，构成期望角度刚性编队的一组代理位置分别为p1?=[?7.2,1.7]T, p2?=[?1.4,3.8]T, p3?=[1.6,?3]T, p4?=[?2.6,1.9]T, p5?=[1.7,3.3]T, p6?=[?2.5,0.8]T, p7?=[0.4,?0.4]T, p8?=[3.1,1.7]T。设置kθ=2和α=0.5。此外，形成了六个期望的编队三角形，即△367、△142、△146、△758、△745、△467。代理的初始位置pi(0)分别为p1(0)=[2,2]T、p2(0)=[4.2,6]T、p3(0)=[4,?3]T、p4(0)=[?2,?7]T、p5(0)=[?5.5,6]T、p6(0)=[?2.5,?1.7]T、p7(0)=[3.5,8]T、p8(0)=[6,?1]T。图3显示了在定向对齐算法(20)下所有代理的方向角度的变化情况，图4显示了在分布式估计算法(18)下误差‖Mi(t)?L??1‖的变化情况，i=1,…,8。从图3可以看出，基于对齐算法(20)，所有局部坐标框架在有限时间内对齐。图4表明每个代理都能在算法(18)下有效估计L??1。为了更直观地说明所提出的分布式编队机动控制算法(11)的有效性，通过设置参数δi?,i=1,2,3,4来分离出期望的同时机动，并依次进行演示。下载：下载高分辨率图片（69KB）下载：下载完整尺寸图片图3. 所有代理的方向角度变化情况。下载：下载高分辨率图片（79KB）下载：下载完整尺寸图片图4. ‖Mi(t)?L??1‖的变化情况。5.1. 缩放机动设置δ1?=0.5, δ2?=0, δ3?=0, δ4?=0。图5显示了在机动控制算法(11)下的多智能体系统的编队机动轨迹。图6(a)显示了相应编队三角形的角度误差，图6(b)显示了编队机动速度p?(t)与期望速度v?之间的误差。从图6(a)可以看出，基于机动控制算法(11)，全局达到了期望的角度刚性编队。从图6(b)可以观察到，编队能够在算法(11)下全局实现期望的机动速度。从图5可以清楚地观察到，当实现期望的缩放编队机动时，对应的三角形编队配置。下载：下载高分辨率图片（191KB）下载：下载完整尺寸图片图5. 代理的编队机动轨迹。下载：下载高分辨率图片（108KB）下载：下载完整尺寸图片图6. 分布式编队机动控制算法(11)的有效性。5.2. 缩放和旋转机动设置δ1?=0.5, δ2?=0.5, δ3?=0, δ4?=0。图7显示了在机动控制算法(11)下的多智能体系统的编队机动轨迹。图8(a)显示了相应编队三角形的角度误差，图8(b)显示了编队机动速度p?(t)与期望速度v?之间的误差。从图8(a)可以看出，基于机动控制算法(11)，全局达到了期望的角度刚性编队。从图8(b)可以观察到，编队能够在算法(11)下全局实现期望的机动速度。结合图5和图7可以清楚地观察到，基于设计的机动控制算法(11)，编队能够同时执行缩放和旋转机动。下载：下载高分辨率图片（176KB）下载：下载完整尺寸图片图7. 代理的编队机动轨迹。下载：下载高分辨率图片（114KB）下载：下载完整尺寸图片图8. 分布式编队机动控制算法(11)的有效性。5.3. 平移机动设置δ1?=0, δ2?=0, δ3?=0.4, δ4?=0.4。图9显示了在机动控制算法(11)下的多智能体系统的编队机动轨迹。图10(a)显示了相应编队三角形的角度误差，图10(b)显示了编队机动速度p?(t)与期望速度v?之间的误差。从图10(a)可以看出，基于机动控制算法(11)，全局达到了期望的角度刚性编队。从图10(b)可以观察到，编队能够在算法(11)下全局实现期望的机动速度。从图9可以清楚地观察到，当实现期望的平移编队机动时，对应的三角形编队配置。下载：下载高分辨率图片（166KB）下载：下载完整尺寸图片图10. 分布式编队机动控制算法(11)的有效性。5.4. 在线重构验证为了验证所提出的控制算法是否具有可扩展性（即，当代理被移除或添加时，所有代理都可以重新配置以实现全球期望的编队机动），本节基于仿真5.2移除了代理8。在原始的由8个代理组成的多智能体系统中，每个代理的控制律遵循(11)。对于代理5和7（它们是代理8的两个邻居），它们的具体控制律如下：u5(t)=?[(A5△745(α?))Tf5△745(α?,p(t))+(A5△758(α?))Tf5△758(α?,p(t))]+v?5(t)，其中v??5(t)=?[(A5△745(α?))Tf5△745(α?,v?(t))+(A5△758(α?))T?f5△758(α?,v?(t))；u7(t)=?[(A7△367(α?))Tf7△367(α?,p(t))+(A7△745(α?))Tf7△745(α?,p(t))+(A7△467(α?))T?f7△467(α?,p(t))+(A7△758(α?))Tf7△758(α?,p(t))]+v?7(t)，其中v??7(t)=?[(A7△367(α?))Tf7△367(α?,v?(t))+(A7△745(α?))Tf7△745(α?,v?(t))+(A7△467(α?))T?f7△467(α?,v?(t))+(A7△758(α?))Tf7△758(α?,v?(t))。当从编队中移除代理8时，代理5和7只需要从它们的控制律中移除?(A5△758(α?))Tf5△758(α?,p(t))、?(A5△758(α?))T?f5△758(α?,v?(t))和?(A7△758(α?))Tf7△758(α?,p(t)), ?(A7△758(α?))Tf7△758(α?,v?(t))，而其他代理的控制律不需要任何更改。图11显示了新的编队机动轨迹。图12(a)显示了相应编队三角形的角度误差，图12(b)显示了编队机动速度p?(t)与期望速度v?之间的误差。从图12(a)可以看出，在移除代理8后的机动控制算法下，全局达到了期望的角度刚性编队。从图12(b)可以观察到，编队全局达到了期望的机动速度。从图11可以清楚地观察到，当实现期望的编队机动时，对应的三角形编队配置。下载：下载高分辨率图片（170KB）下载：下载完整尺寸图片图11. 代理的编队机动轨迹。下载：下载高分辨率图片（110KB）下载：下载完整尺寸图片图12. 分布式编队机动控制算法(11)的有效性。6. 结论在本文中，研究了无领导框架下多智能体系统的角度刚性编队机动控制问题。为了确保全局实现期望的机动控制目标，通过引入虚拟速度而非不匹配来构建了与期望角度约束相关的机动控制律。为了保证编队速度分布式达到期望速度，设计了一种分布式估计算法。最后，基于所提出的有限时间定向对齐算法，实现了局部坐标框架下的分布式编队机动。王高然|赫克托·加西亚·德·马里纳|付敏月|文光辉|陈亮明