将社会意识融入未知多智能体系统控制：一种实时时空管方法

《Automatica》：Incorporating social awareness into control of unknown multi-agent systems: A real-time spatiotemporal tubes approach

　　

摘要
本文提出了一种去中心化控制框架，将社会感知融入具有未知动力学特性的大规模智能体系统中，以实现动态环境下的指定时间到达-避障-停留（TRAS）任务。每个智能体被赋予一个社会感知指数，用于量化其合作程度或利己水平，从而使系统能够容纳异质的社会行为。在时空管（STT）框架的基础上，我们提出了一种实时STT框架，为每个智能体在线合成管结构，同时捕捉其与其他智能体之间的社会交互。我们推导了一种无需近似的闭式控制律，以确保每个智能体始终保持在不断演化的STT内，从而以社会感知的方式避开动态障碍物、防止智能体间碰撞，并在指定时间内到达目标。该方法在安全性和时序方面提供了正式保证，且计算量小、无需模型、对未知扰动具有鲁棒性。通过仿真实验和硬件实验验证了该框架的有效性和可扩展性。

1. 引言

近年来，多智能体系统（MAS）因其能够通过智能体间的合作交互处理复杂任务而吸引了大量研究关注。它们已被广泛应用于搜救（Drew, 2021）、医疗和医学辅助中的安全关键人-机器人交互（Chakraborty & Gupta, 2014）、自动驾驶（Hamidi & Kamankesh, 2018）、合作探索（Juvvi et al., 2024）以及众多其他领域（Dorri et al., 2018）。

多智能体系统中最重要的一方面是确保智能体之间的安全交互。在现有文献中，这通常通过假设完全合作的对称智能体交互的安全控制策略来解决。例如，Van den Berg等人（2008）提出了互惠速度障碍用于实时多智能体导航。基于障碍函数的方法，如安全障碍证书（Wang et al., 2017b），也被用于保证多智能体系统中的无碰撞运行。类似地，Wang等人（2017a）将该概念扩展到具有微分平坦特性的四旋翼飞行器编队。Luo等人（2020）提出了概率安全障碍证书，以应对不确定条件下的碰撞避免挑战。尽管这些方法提供了安全保证，但它们需要求解优化问题，随着系统维度和智能体数量的增加，计算成本变得高昂。此外，它们依赖于已知的系统动力学，而这对实际系统往往不可用。

时空管（STT）框架（Das et al., 2025, Das and Jagtap, 2024）作为一种有效的方法应运而生，可在不需要精确系统动力学知识的情况下解决复杂的任务规范（Das et al., 2025）。在此基础上，Faruqui Faizuddin等人（2025）引入了一种多智能体协商框架，在满足指定时间到达-避障-停留（PT-RAS）任务的同时确保无碰撞运动。随后，Basu等人（2025）将该框架扩展到处理一般时变不安全集合，并实现了更平滑的控制性能。然而，现有的基于STT的多智能体系统框架均在离线合成管结构，无论是通过基于协商的过程（Faruqui Faizuddin et al., 2025），还是通过求解计算密集的优化问题（Basu et al., 2025）。此外，它们需要预先知道障碍物的位置和运动。因此，这些方法不适用于需要实时重新规划的动力环境。

此外，这些方法忽视了一个重要的现实多智能体交互方面：智能体可能具有不同的合作水平。假设对称交互往往不切实际，因为智能体具有不同的社会感知和个性特征（Schwarting et al., 2019）。例如，与一辆急需到达目标的消防车相比，一辆送货机器人应该具有更高的社会感知和任务灵活性（图1）。因此，社会感知可以被视为一种个性特征，对智能体间的异质交互进行建模将导致更真实的场景。

社会价值导向（SVO）（Murphy et al., 2011）量化了智能体的利己或利他程度，并已整合到多智能体控制框架中。Pierson等人（2020）引入了加权缓冲Voronoi单元用于半合作多智能体导航，该工作进一步被应用于分配智能体优先级以解决死锁问题（He et al., 2024）。然而，这些方法仅限于单积分器动力学，且对于高维系统构建Voronoi单元计算成本高昂。基于控制障碍函数（CBF）的方法也被用于解决此问题。例如，Lyu等人（2022）从全局个性得分计算智能体之间的相对个性差异，并设计了基于CBF的安全控制律。在Lyu等人（2023）中，提出了一种风险感知的去中心化框架，每个智能体被分配一定比例的碰撞避免责任，确保安全和高效运动而无需直接通信。Chandra等人（2023）使用基于拍卖的机制来解决社会感知环境中的多智能体路径规划问题。但同样，这些方法依赖于状态空间离散化或在每一步需要求解优化问题，这限制了它们对高维系统的可扩展性，且依赖于系统动力学的精确知识。

在本工作中，我们探索将社会偏好或个性信息整合到具有未知动力学的大规模智能体系统中。本文的主要贡献总结如下：
- 我们提出了一种用于具有未知动力学的去中心化多智能体系统的实时时空管（STT）框架，以解决动态环境中的时间到达-避障-停留（TRAS）任务。
- 我们引入了社会感知指数来建模智能体间的异质社会行为，并将其纳入STT设计中以捕捉社会感知的智能体间交互。
- 我们推导了一种无需近似的闭式控制律，将每个智能体约束在其不断演化的STT内，从而确保碰撞避免、障碍物避免和指定时间目标可达性。
- 所提出的框架在无需离线管结构合成或先验障碍物轨迹知识的情况下提供了正式的安全性和时序保证，同时保持计算量小并适合实时实现。
- 我们通过大量涉及2D全向移动机器人和3D飞行器的仿真实验和硬件实验验证了所提方法的有效性。

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图1. 一辆利己型（高优先级）消防车与一辆利他型（避碰撞）杂货车辆之间的交互。

2. 预备知识与问题形式化

符号说明

对于$a,b\in\mathbb{N}$，$a\leq b$，$[a;b]$表示$\mathbb{N}$中的闭区间。集合$A$的基数为$\text{card}(A)$。有界连续函数空间为$C$。以$c\in\mathbb{R}^n$为中心、$r\in\mathbb{R}^+$为半径的球定义为$B(c,r)\coloneqq\{x\in\mathbb{R}^n\mid\|x-c\|\leq r\}$。$x\circ y$表示$x,y\in\mathbb{R}^n$的逐元素乘法。$I_n$为$n\times n$单位矩阵。其他所有符号遵循标准数学约定。

2.1 系统定义

我们考虑一个具有智能体集合$\mathcal{A}$的多智能体网络$\Sigma$，智能体总数为$n_a\coloneqq\text{card}(\mathcal{A})\in\mathbb{N}$：
$$\Sigma=\{\Sigma^{(1)},\Sigma^{(2)},\ldots,\Sigma^{(n_a)}\}.$$
第$k$个智能体$\Sigma^{(k)}$被定义为控制仿射、多输入多输出（MIMO）非线性严格反馈系统：
$$\dot{x}_z^{(k)}=f_{z}^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)})+g_{z}^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)})x_{z+1}^{(k)}+w_{z}^{(k)},\quad z\in[1;N-1],$$
$$\dot{x}_{N}^{(k)}=f_{N}^{(k)}(\bar{x}_N^{(k)})+g_{N}^{(k)}(\bar{x}_N^{(k)})u^{(k)}+w_{N}^{(k)},$$
$$y^{(k)}=x_1^{(k)},$$
其中对于每个$t\in\mathbb{R}_{0+}$，$k\in\mathcal{A}$和$z\in[1;N]$：
- $x_z^{(k)}(t)=[x_{z,1}^{(k)}(t),\ldots,x_{z,n}^{(k)}(t)]^\top\in\mathbb{R}^n$是状态，
- $\bar{x}_z^{(k)}(t)\coloneqq[(x_1^{(k)}(t))^\top,\ldots,(x_z^{(k)}(t))^\top]^\top\in\mathbb{R}^{nz}$，
- $u^{(k)}(t)\in\mathbb{R}^n$是控制输入向量，
- $w_z^{(k)}(t)\in\mathcal{W}\subset\mathbb{R}^n$是未知有界扰动，
- $y^{(k)}(t)=[x_{1,1}^{(k)}(t),\ldots,x_{1,n}^{(k)}(t)]\in\mathbb{R}^n$是输出。

函数$f_z^{(k)}:\mathbb{R}^{nz}\to\mathbb{R}^n$和$g_z^{(k)}:\mathbb{R}^{nz}\to\mathbb{R}^{n\times n}$满足以下假设：

**假设1** 对于所有$k\in\mathcal{A}$和$z\in[1;N]$，$f_z^{(k)}$和$g_z^{(k)}$未知但局部Lipschitz连续。

**假设2**（Bechlioulis and Rovithakis, 2008, Xu and Ioannou, 2003）对于所有$\bar{x}_z^{(k)}\in\mathbb{R}^{nz}$，$g_z^{(k)}$的对称部分$g_{z,s}^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)})\coloneqq\frac{g_z^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)})+g_z^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)})^\top}{2}$是符号一致的，且符号已知。不失一般性，我们假设$g_{z,s}^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)})$是正定的，即存在常数$\underline{g}_z^{(k)}\in\mathbb{R}^+$，对于$\forall k\in\mathcal{A}$，$\forall z\in[1;N]$，使得$0<\underline{g}_z^{(k)}\leq\lambda_{\min}(g_{z,s}^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)}))$，$\forall\bar{x}_z^{(k)}\in\mathbb{R}^{nz}$，其中$\lambda_{\min}(\cdot)$是矩阵的最小特征值。

该假设确保了(1)中全局可控性的保证，即$g_{z,s}^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)})\neq 0$，对于所有$\bar{x}_z^{(k)}\in\mathbb{R}^{nz}$。

2.2 社会感知多智能体系统（SA-MAS）

我们修改(1)中的多智能体系统定义，以形式化地融入智能体间的异质交互。扩展后的定义称为社会感知多智能体系统（SA-MAS），定义如下：
$$\Sigma_s=\{(\Sigma^{(1)},sa^{(1)}),(\Sigma^{(2)},sa^{(2)}),\ldots,(\Sigma^{(n_a)},sa^{(n_a)})\},$$
其中$\Sigma^{(k)}$是每个智能体的系统动力学(2)，$sa^{(k)}\in(0,1)$是智能体$k\in\mathcal{A}$给定的社会感知指数，量化其社会偏好和优先级水平。较小的$sa^{(k)}$意味着一个更具利己性的智能体，优先考虑自身任务而对他人敏感度较低；较大的值则表示一个更具利他性的智能体，更灵活和合作。具有高任务优先级的智能体将具有较低的社会感知指数，或者$sa^{(k)}$也可能反映智能体的个性。更详细的讨论可参见第3.4节。

2.3 问题形式化

**定义3 时间到达-避障-停留（TRAS）**

我们说具有智能体(2)的社会感知多智能体系统（SA-MAS）$\Sigma_s$满足TRAS任务，如果对于每个由社会感知指数$sa^{(k)}\in(0,1)$表征的智能体$k\in\mathcal{A}$，以下条件成立：
$$y^{(k)}(0)\in S^{(k)},\quad y^{(k)}(t)\in T^{(k)},\quad \forall t\in[t_c^{(k)},\infty),$$
$$y^{(k)}(t)\notin U(t),\quad \forall t\in\mathbb{R}_{0+},$$
$$y^{(k)}(t)\neq y^{(l)}(t),\quad \forall t\in\mathbb{R}_{0+},\quad \forall l\in\mathcal{A}\setminus\{k\},$$
其中$\mathcal{A}$是智能体集合，$U:\mathbb{R}_{0+}\to\mathbb{R}^n$是时变不安全集合。对于每个智能体$k\in\mathcal{A}$，$t_c^{(k)}\in\mathbb{R}^+$是指定完成时间，$S^{(k)}\subset\mathbb{R}^n\setminus U(0)$是初始集合，$T^{(k)}\subset\mathbb{R}^n\setminus\bigcup_{t\in[t_c^{(k)},\infty)}U(t)$是目标集合。

**假设4** 我们将不安全集合$U(t)\subset\mathbb{R}^n$定义为若干时变球的并集，每个球以单个障碍物为中心：$U(t)=\bigcup_{j=1}^{n_o}U^{(j)}(t)$，其中$U^{(j)}(t)\coloneqq B(o^{(j)}(t),r_o^{(j)}(t))$。这里，$U^{(j)}(t)$是以$o^{(j)}(t)\in\mathbb{R}^n$为中心、半径为$r_o^{(j)}(t)\in\mathbb{R}_{0+}$的闭球，捕捉围绕第$j$个动态障碍物的区域。由于这些区域是独立定义的，因此允许对多个不相连且动态演化的不安全区域进行建模。

我们现在正式陈述本工作中要解决的主要控制问题。

**问题5 实时TRAS**

给定假设1、假设2下的SA-MAS $\Sigma_s$（式(3)）以及定义3中的TRAS任务，综合一个实时、无需近似且闭式的控制律$u(t)$，保证输出轨迹$y^{(k)}(t)$（$\forall k\in\mathcal{A}$）满足TRAS规范，同时尊重相应的社会感知指数。

为了解决该问题，我们利用STT框架（Das et al., 2025），该框架在输出空间中定义了一个在整个时间范围内保持安全和目标导向的时变区域。

**定义6 TRAS的STT**

给定定义3中的TRAS任务，每个智能体$k\in\mathcal{A}$的时空管（STT）$\Gamma^{(k)}$定义为：
$$\Gamma^{(k)}(t)=B(c^{(k)}(t),r^{(k)}(t)),$$
其中管由时变中心$c^{(k)}:\mathbb{R}_{0+}\to\mathbb{R}^n$和半径$r^{(k)}:\mathbb{R}_{0+}\to\mathbb{R}^+$表征，如果对所有$k\in\mathcal{A}$以下条件成立：
$$r^{(k)}(t)\in\mathbb{R}^+,\quad \forall t\in\mathbb{R}_{0+},$$
$$\Gamma^{(k)}(0)\subset S^{(k)},\quad \Gamma^{(k)}(t)\subset T^{(k)},\quad \forall t\in[t_c^{(k)},\infty),$$
$$\Gamma^{(k)}(t)\cap U(t)=\emptyset,\quad \forall t\in\mathbb{R}_{0+},$$
$$\Gamma^{(k)}(t)\cap \Gamma^{(l)}(t)=\emptyset,\quad \forall t\in\mathbb{R}_{0+},\quad \forall l\in\mathcal{A}\setminus\{k\}.$$

TRAS规范可以通过为每个智能体$k\in\mathcal{A}$独立设计控制律来满足，使得输出轨迹保持在相应的STT内：
$$y^{(k)}(t)\in\Gamma^{(k)}(t),\quad \forall t\in\mathbb{R}_{0+},\quad \forall k\in\mathcal{A}.$$

3. 时空管（STT）的设计

在本节中，我们介绍SA-MAS $\Sigma_s$（式(3)）的STT构造，以确保定义3中的TRAS规范。我们首先针对任意智能体$k\in\mathcal{A}$进行设计，注意推理可扩展到所有智能体。在给出初步定义和安全分离假设后，我们引入管中心和半径的动力学并解释其直觉。然后我们融入每个智能体的社会感知以捕捉异质行为，最后陈述主要定理及其证明，保证所构造的STT满足TRAS规范。

3.1 STT设计的预备知识

我们首先选取$s^{(k)}=[s_1^{(k)},\ldots,s_n^{(k)}]\in\text{int}(S^{(k)})$，$\eta^{(k)}=[\eta_1^{(k)},\ldots,\eta_n^{(k)}]\in\text{int}(T^{(k)})$。我们将集合$\hat{S}^{(k)}$和$\hat{T}^{(k)}$定义为分别以点$s^{(k)}$和$\eta^{(k)}$为中心、半径为$d_S^{(k)},d_T^{(k)}\in\mathbb{R}^+$的闭球：
$$\hat{S}^{(k)}=B(s^{(k)},d_S^{(k)})\coloneqq\{x'\in\mathbb{R}^n\mid\|x'-s^{(k)}\|\leq d_S^{(k)}\}$$
$$\hat{T}^{(k)}=B(\eta^{(k)},d_T^{(k)})\coloneqq\{x'\in\mathbb{R}^n\mid\|x'-\eta^{(k)}\|\leq d_T^{(k)}\}$$
使得$\hat{S}^{(k)}\subset S^{(k)}$和$\hat{T}^{(k)}\subset T^{(k)}$。如定义6中所介绍，STT $\Gamma^{(k)}(t)=B(c^{(k)}(t),r^{(k)}(t))$由时变中心$c^{(k)}:\mathbb{R}_{0+}\to\mathbb{R}^n$和半径$r^{(k)}:\mathbb{R}_{0+}\to\mathbb{R}^+$定义。为确保对目标的安全接近，我们做出以下分离假设：

**假设7** 对于$t\in[t_c^{(k)},\infty)$，STT中心$c^{(k)}(t_c^{(k)})$与不安全集合的分离距离至少为$r_{\max}^{(k)}\in\mathbb{R}^+$，即$\forall x\in U(t_c^{(k)})$，$\|x-c^{(k)}(t_c^{(k)})\|>r_{\max}^{(k)}$，其中$r_{\max}^{(k)}$是最大管半径，且$r_{\max}^{(k)}\leq\min(d_S^{(k)},d_T^{(k)})$。对于所有不同的智能体$k\neq l$，初始集合和目标集合之间的分离距离至少为$r_{\max}^{(k,l)}=r_{\max}^{(l)}+r_{\max}^{(k)}$。

这确保了智能体不会初始化或分配目标时彼此距离过近或接近不安全集合。

在该去中心化框架中，每个智能体$k\in\mathcal{A}$仅使用其局部感知范围内的可用信息。我们通过时变邻居障碍物集合$N_o^{(k)}(t)$和邻居智能体集合$N_a^{(k)}(t)$来表征这些信息，定义为：
$$N_o^{(k)}(t)=\{j\in\{1,\ldots,n_o\}\mid\|c^{(k)}(t)-o^{(j)}(t)\|-r_o^{(j)}(t)\leq r_{\max}^{(k)}\},$$
$$N_a^{(k)}(t)=\{l\in\mathcal{A}\setminus\{k\}\mid\|c^{(k)}(t)-c^{(l)}(t)\|\leq r_{\max}^{(k,l)}\},$$
其中$r_{\max}^{(k)}$作为智能体$k$的感知范围。

3.2 STT中心动力学

每个智能体$k\in\mathcal{A}$的管中心$c^{(k)}(t)$的演化（起始于$c^{(k)}(0)=s^{(k)}$）由以下方程支配：
$$\dot{c}^{(k)}(t)=\gamma^{(k)}(c^{(k)},t)+\sum_{j\in N_o^{(k)}(t)}\left(h_{2,j}^{(k)}m_j^{(k)}(t)+h_{3,j}^{(k)}v_j^{(k)}(t)\right)\alpha_j^{(k)}(t)+\sum_{l\in N_a^{(k)}(t)}\left(\hat{h}_2^{(k,l)}\hat{m}^{(k,l)}(t)+\hat{h}_3^{(k,l)}\hat{v}^{(k,l)}(t)\right)\beta^{(k,l)}(t)\phi^{(k,l)}(sa,t).$$

第一项$\gamma^{(k)}(c^{(k)},t)$负责驱动中心轨迹$c^{(k)}(t)$趋向目标点$\eta^{(k)}$，定义为：
$$\gamma^{(k)}(c^{(k)},t)=h_1^{(k)}\frac{t_c^{(k)}}{t_c^{(k)}-t}(\eta^{(k)}-c^{(k)}(t)),\quad t1/t_c^{(k)}$是正常数，决定了趋向目标点$\eta^{(k)}$的速率。

式(12)中的第二项负责与障碍物的碰撞避免，通过开关函数$\alpha_j^{(k)}(t)$在STT中心$c^{(k)}(t)$接近第$j$个障碍物时激活：
$$\alpha_j^{(k)}(t)=\begin{cases}1, & \text{if } \|c^{(k)}(t)-o^{(j)}(t)\|-r_o^{(j)}(t)\leq r_{\max}^{(k)},\\0, & \text{otherwise}.\end{cases}$$

式(12)中的障碍物避免项由正常数$h_{2,j}^{(k)},h_{3,j}^{(k)}\in\mathbb{R}^+$控制，决定从不安全集合的排斥强度，以及两个向量$m_j^{(k)}(t),v_j^{(k)}(t)\in\mathbb{R}^n$，定义为：
$$m_j^{(k)}(t)=\frac{c^{(k)}(t)-o^{(j)}(t)}{\|c^{(k)}(t)-o^{(j)}(t)\|-(r_o^{(j)}(t)+r_{\min}^{(k)})^3},$$
$$v_j^{(k)}(t)\in\mathbb{R}^n\text{ 位于 }m_j^{(k)}(t)\text{ 的零空间中，即 }m_j^{(k)\top}(t)v_j^{(k)}(t)=0.$$
$r_{\min}^{(k)}\in\mathbb{R}^+$是最小管半径。

因此，每当STT中心接近第$j$个不安全集合时，切换函数就会被激活，即$\alpha_j^{(k)}(t) \neq 0$，公式(14)中的向量$m_j^{(k)}(t)$及其正交分量$v_j^{(k)}(t)$引导管束绕过不安全集合，确保安全。第三项处理智能体$k$与其邻居智能体$l \in \mathcal{N}_a^{(k)}(t)$之间的避碰问题。当第$k$个智能体的STT中心$c^{(k)}(t)$接近第$l$个智能体的STT中心时，通过切换函数$\beta^{(k,l)}$激活：

(15) $\beta^{(k,l)}(t) = \frac{1}{\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\|} - \frac{1}{r_{\max}^{(k,l)}}$，若$\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| \leq r_{\max}^{(k,l)}$；否则为0。

一旦切换函数被激活，智能体间的避碰主要由任意正常数$\hat{h}_2^{(k,l)}, \hat{h}_3^{(k,l)} \in \mathbb{R}^+$控制，这些常数决定来自邻居智能体的排斥速率，以及两个向量$\hat{m}^{(k,l)}(t), \hat{v}^{(k,l)}(t) \in \mathbb{R}^n$，定义为：

(16) $\hat{m}^{(k,l)}(t) = \frac{c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)}{\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| - (r_{\min}^{(l)} + r_{\min}^{(k)})^3}$，而$\hat{v}^{(k,l)}(t) \in \mathbb{R}^n$位于$\hat{m}^{(k,l)}(t)$的零空间中，即$\hat{m}^{(k,l)\top}(t)\hat{v}^{(k,l)}(t) = 0$。

函数$\phi_{k,l}(s_a, t)$是社交交互函数(SIF)，由智能体$k$和$l$的社交指数$s_a = (s_a^{(k)}, s_a^{(l)})$决定，如第3.4.3.3节所定义。

**STT半径动力学**

管束半径$r^{(k)}(t)$根据与公式(11)中定义的局部邻居的距离进行动态调整：

(17) $\dot{r}^{(k)}(t) = \frac{e^{-\nu d_1^{(k)}(t)}\dot{d}_1^{(k)}(t) + e^{-\nu d_2^{(k)}(t)}\dot{d}_2^{(k)}(t)}{e^{-\nu r_{\max}^{(k)}} + e^{-\nu d_1^{(k)}(t)} + e^{-\nu d_2^{(k)}(t)}}$，

其中$\nu \in \mathbb{R}^+$是一个任意平滑参数，$d_1^{(k)}(t)$和$d_2^{(k)}(t)$分别表示到集合$\mathcal{N}_o^{(k)}(t)$和$\mathcal{N}_a^{(k)}(t)$的平滑最小距离：

(18) $d_1^{(k)}(t) = -\frac{1}{\nu}\ln\left(\sum_{j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)} e^{-\nu d_j'(k)(t)}\right)$

(19) $d_2^{(k)}(t) = -\frac{1}{\nu}\ln\left(\sum_{l \in \mathcal{N}_a^{(k)}(t)} e^{-\nu d'(k,l)(t)}\right)$

其对应的时间导数分别为$\dot{d}_1^{(k)}(t)$和$\dot{d}_2^{(k)}(t)$。这里$d_1^{(k)}(t)$是管束中心$c^{(k)}(t)$与每个局部感知障碍物之间距离的平滑最小值，定义为$d_j'(k)(t) = \|c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t)\| - r_o^{(j)}(t)$，对所有$j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)$。$d_2^{(k)}(t)$是对所有局部感知到的邻居智能体的$d'(k,l)(t) = r_{\min}^{(k)} + (\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| - r_{\min}^{(k,l)})W(\phi^{(k,l)}, t)$的平滑最小值，其中$W(\phi^{(k,l)}, t) = \left(\frac{\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| - r_{\min}^{(k,l)}}{r_{\max}^{(k,l)} - r_{\min}^{(k,l)}}\right)(1 - \phi^{(k,l)}(s_a, t)) + \left(\frac{\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| - r_{\min}^{(k,l)}}{r_{\max}^{(k,l)} - r_{\min}^{(k,l)}}\right)\frac{r_{\max}^{(k)} - r_{\min}^{(k)}}{r_{\max}^{(k,l)} - r_{\min}^{(k,l)}}$，它表示两个邻居智能体的管束中心之间的距离，经两者最小允许管束半径之和调整，并以社交交互函数$\phi^{(k,l)}(s_a, t)$加权。在智能体的感知范围为空时（即$\mathcal{N}_o^{(k)}(t) = \emptyset$或$\mathcal{N}_a^{(k)}(t) = \emptyset$），对应的距离$d_1^{(k)}(t)$和$d_2^{(k)}(t)$设为$r_{\max}$。$\dot{d}_j'(k)(t)$和$\dot{d}'(k,l)(t)$分别表示$d_j'(k)(t)$和$d'(k,l)(t)$的时间导数。

管束半径$r^{(k)}(t)$以两种方式自适应：靠近障碍物时收缩，远离时扩展；同时根据智能体$k$和$l$的社交指数$s_a^{(k)}$和$s_a^{(l)}$进行调整，每当智能体$k$和$l$靠近时。

因此，给定每个智能体$k \in \mathcal{A}$随时间变化的中心$c^{(k)}: \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}^n$和半径$r^{(k)}: \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}^+$，受公式(12)和(17)的动力学方程支配，我们定义STT $\Gamma^{(k)}(t) = B(c^{(k)}(t), r^{(k)}(t))$为$\mathbb{R}^n$中以$c^{(k)}(t)$为中心、半径为$r^{(k)}(t)$的闭球：

(20) $\Gamma^{(k)}(t) \coloneqq \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x - c^{(k)}(t)\| \leq r^{(k)}(t)\}, \forall t \in \mathbb{R}_0^+$。

**3.4. 社交交互函数(SIF)**

对于给定的SA-MAS $(\Sigma_s)$，其社交意识指数$s_a^{(k)}$，$\forall k \in \mathcal{A}$，$s_a^{(k)}$的值决定了在解决分配的TRAS任务过程中每个智能体之间的交互。为将这些社交行为纳入STT，我们定义社交交互函数(SIF) $\phi^{(k,l)}(s_a, t)$如下：

(21) $\phi^{(k,l)}(s_a, t) = \begin{cases} \frac{s_a^{(k)} s_a^{(l)}}{s_a^{(k)} + s_a^{(l)}}, & t < t_c^{(k)} \\ \frac{s_a^{(k)} s_a^{(l)}}{s_a^{(k)} + s_a^{(l)}} e^{-\frac{(t - t_c^{(k)})^2}{b^2}}, & t \geq t_c^{(k)} \end{cases}$，其中$b \in [0, 1]$。

较高的社交意识指数$s_a^{(k)} \gg s_a^{(l)}$使得$\phi^{(k,l)}(s_a, t) \approx 1$，代表一个利他型智能体，愿意牺牲自己的任务来避免碰撞。相反，较低的社交意识指数$s_a^{(k)} \ll s_a^{(l)}$使得$\phi^{(k,l)}(s_a, t) \approx 0$，代表一个利己型智能体，优先考虑自己的TRAS任务。

当智能体$k$接近邻居智能体$l$时，管束$\Gamma^{(k)}(t)$会发生两件事：管束中心$c^{(k)}(t)$绕过邻居智能体，半径$r^{(k)}(t)$收缩以确保两个管束的交集始终为空。需要注意的是，管束$\Gamma^{(l)}(t)$也会发生类似的自适应调整，因为$c^{(l)}(t)$绕过管束$k$且$r^{(l)}(t)$收缩以维持不相交的管束。现在，避碰的相对努力程度通过加权函数$\phi^{(k,l)}(s_a, t)$和$\phi^{(l,k)}(s_a, t)$受两个智能体的社交指数$s_a^{(k)}$和$s_a^{(l)}$影响：

- 社交意识指数$s_a^{(k)}$较低的智能体产生较低的$\phi^{(k,l)}(s_a, t)$，因此对公式(12)中的第三项和公式(19)中的$d'(k,l)(t)$赋予较低权重。其管束弯曲和收缩最少，优先完成自己的任务。
- 社交意识指数$s_a^{(k)}$较高的智能体产生较高的$\phi^{(k,l)}(s_a, t)$，因此对公式(12)中的第三项和公式(19)中的$d'(k,l)(t)$赋予较高权重。其管束弯曲和收缩更多，优先考虑智能体间的避碰。
- 如果一对智能体具有相似的社交指数$s_a^{(k)} \approx s_a^{(l)}$，则无论高低，两个智能体的管束都被视为对避碰承担同等责任：$\phi^{(k,l)}(s_a, t) \approx \phi^{(l,k)}(s_a, t) \approx 0.5$。这确保了具有相似社交行为的智能体受到公平对称的处理。

最后，公式(21)中的参数$b$控制智能体$k$在$t = t_c^{(k)}$到达目标后$\phi^{(k,l)}(s_a, t)$衰减为零的速率。这一设计选择是为了确保一旦智能体到达目标，之后优先考虑停留在目标区域内，与定义3中的TRAS规范一致。到达后$\phi^{(k,l)}(s_a, t) \approx 0$，智能体$k$表现为更具利己性，不再主动为邻居智能体调整其运动。在当前框架下，这不会损害安全性，因为智能体间的避碰仍然通过STT的不相交性得到保证。然而，在高度拥堵的目标区域或狭窄通道中，到达后的交互规则可能会根据任务目标进行放宽。

**表1. STT参数调优指南**

| 参数 | 指南 |
|------|------|
| $h_1^{(k)}$ | 调节管束中心向目标的收敛速度。值越大，目标到达越激进。选择$h_1^{(k)} > 1/t_c^{(k)}$。 |
| $h_{2,j}^{(k)}, h_{3,j}^{(k)}$ | 调节避障。值越大，远离附近障碍物的偏转越强。 |
| $\hat{h}_2^{(k,l)}, \hat{h}_3^{(k,l)}$ | 调节智能体间避碰。值越大，邻居智能体间的避碰越强。 |
| $b$ | 控制$t = t_c^{(k)}$后SIF衰减为零的速率。值越小，衰减越快。 |
| $\nu$ | 控制平滑最小值近似。值越大，越接近真实最小值。 |
| $r_{\max}^{(k)}$ | 定义最大管束半径和感知范围。根据避碰应提前启动的程度进行选择，同时确保$r_{\max}^{(k)} \leq \min(d_S^{(k)}, d_T^{(k)})$。 |
| $r_{\min}^{(k)}$ | 定义最小允许管束半径，$r_{\min}^{(k)} \leq r_{\max}^{(k)}$。 |
| $s_a^{(k)}$ | 定义每个智能体的社交意识水平。可根据任务优先级或期望的社交行为（如利己或利他）进行选择。 |

**3.5. TRAS满足的理论保证**

以下定理保证了公式(20)中设计的STT满足满足TRAS规范的(4)中的关键条件。

**定理8** 公式(20)中的STT $\Gamma^{(k)}(t)$，$\forall k \in \mathcal{A}$，满足以下条件以确保TRAS任务的满足：

(i) 每个智能体$k \in \mathcal{A}$的管束在指定时间$t_c$内到达各自的目标，之后保持在其内：$\Gamma^{(k)}(t) \subseteq T^{(k)}, \forall t \in [t_c^{(k)}, \infty)$。

(ii) 每个智能体$k \in \mathcal{A}$的管束始终避开不安全集合：$\Gamma^{(k)}(t) \cap U(t) = \emptyset, \forall t \in \mathbb{R}_0^+$。

(iii) 任意两个不同智能体的管束不相交，无论其社交意识指数如何，即$\Gamma^{(k)}(t) \cap \Gamma^{(l)}(t) = \emptyset, \forall t \in \mathbb{R}_0^+, \forall \{k,l\} \in \mathcal{A}, k \neq l$。

(iv) 每个智能体$k \in \mathcal{A}$的STT半径在整个运动过程中保持正值：$r^{(k)}(t) \in \mathbb{R}^+, \forall t \in \mathbb{R}_0^+$。

**证明**

我们分别证明每个声明：

**(i)** 根据假设7，在$t = t_c^{(k)}$时，智能体$k$的管束与所有不安全集合及所有其他智能体$l \in \mathcal{N}_a^{(k)}(t)$的中心保持足够分离。因此，对于所有$j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)$和所有$l \in \mathcal{A} \setminus \{k\}$，有$\alpha_j^{(k)}(t_c^{(k)}) = \beta^{(k,l)}(t_c^{(k)}) = 0$。代入公式(12)，得到：

$\dot{c}^{(k)}(t) = \frac{h_1^{(k)} t_c^{(k)}}{t_c^{(k)} - t}(\eta^{(k)} - c^{(k)}(t))$

求解此方程，得到$c^{(k)}(t) = \eta^{(k)} + C\frac{(t_c^{(k)} - t)^{h_1^{(k)}}}{t_c^{(k)}}$，其中$C$是通过初始条件$c^{(k)}(0) = s^{(k)}$确定的常数。该解在$t$趋近$t_c^{(k)}$时趋近$\eta^{(k)}$，即$c^{(k)}(t_c^{(k)}) = \eta^{(k)}$，收敛速率由$h_1^{(k)}$决定。

接下来，我们可以将公式(17)中STT半径动力学的闭式解写为：

(22) $r^{(k)}(t) = -\frac{1}{\nu}\ln(e^{-\nu r_{\max}^{(k)}} + e^{-\nu d_1^{(k)}} + e^{-\nu d_2^{(k)}})$

其中$d_1^{(k)}$和$d_2^{(k)}$定义于公式(18)、(19)。因此：

$r^{(k)}(t) \leq \min\left(\min_{j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)} (\|c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t)\| - r_o^{(j)}), r_{\max}^{(k)}, \min_{l \in \mathcal{A} \setminus \{k\}} d'(k,l)\right)$ (23)

因此，对于所有$t \in [0, t_c^{(k)}]$，半径满足$r^{(k)}(t) \leq r_{\max}^{(k)} \leq d_T^{(k)}$。在$t = t_c^{(k)}$时，$c^{(k)}(t_c^{(k)}) = \eta^{(k)}$。因此：

$\Gamma^{(k)}(t_c^{(k)}) = B(c^{(k)}(t_c^{(k)}), r^{(k)}(t_c^{(k)})) \subseteq B(\eta^{(k)}, d_T^{(k)}) = \hat{T}^{(k)} \subseteq T^{(k)}$

到目前为止，我们已经建立了$\Gamma^{(k)}(t_c) \subset T^{(k)}$。利用(13)和假设7，该结果可推广到所有后续时间$t \in (t_c^{(k)}, \infty)$。在这些条件下，(12)中的第一项和第二项变为零，由于SIF的定义(21)，第三项也因$\phi^{(k,l)}(s_a, t) = 0$而消失。因此，对所有$t \in (t_c^{(k)}, \infty)$，$\dot{c}^{(k)} = 0$，意味着在同一时间区间内$c^{(k)}(t) = \eta^{(k)}$。

接下来，对于STT半径$r^{(k)}(t)$，我们可以扩展论证$r^{(k)}(t) \leq r_{\max}^{(k)} \leq d_T^{(k)}$对所有$t \in (t_c^{(k)}, \infty)$成立，因此我们得出结论：

$\Gamma^{(k)}(t) = B(c^{(k)}(t), r^{(k)}(t)) \subseteq B(\eta^{(k)}, d_T^{(k)}) = \hat{T}^{(k)} \subseteq T^{(k)}, \forall t \in [t_c^{(k)}, \infty)$

**(ii)** 我们针对任意智能体$k \in \mathcal{A}$证明第二个声明，该结论可推广到所有智能体。对于$j \notin \mathcal{N}_o^{(k)}(t)$，$\Gamma(t) \cap U^{(j)}(t) = \emptyset$。现在，对于每个不安全集合$j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)$，我们定义以下时变连续函数：

$J_j^{(k)}(t) = (c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t))^\top(c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t)) - (r_o^{(j)}(t) + r_{\min}^{(k)})^2$

该函数衡量第$k$个智能体的管束与第$j$个不安全集合中心之间的平方距离，以$r_o^{(j)} + r_{\min}^{(k)}$为偏移量，起到安全余量的作用。$J_j^{(k)}(t)$的时间导数可写为：

$\dot{J}_j^{(k)}(t) = 2(c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t))^\top(\dot{c}^{(k)}(t) - \dot{o}^{(j)}(t)) - 2(r_o^{(j)} + r_{\min})\dot{r}^{(j)}(t)$

我们现在分析$\dot{J}_j^{(k)}(t)$在每个障碍物安全余量的边界上，即$\|c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t)\| = r_o^{(j)}(t) + r_{\min}^{(k)}$时。将$\dot{c}^{(k)}(t)$代入$\dot{J}_j^{(k)}(t)$的表达式：

$\dot{J}_j^{(k)}(t) = 2\frac{h_1^{(k)} t_c^{(k)}}{t_c^{(k)} - t}(c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t))^\top(\eta^{(k)} - c^{(k)}(t)) + \frac{2h_{2,j}^{(k)}\alpha_j^{(k)}(t)\|c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t)\|^2}{\|c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t)\| - (r_o^{(j)}(t) + r_{\min}^{(k)})^3} + 2h_{3,j}^{(k)}\alpha_j^{(k)}(t)(c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t))^\top v_j^{(k)}(t) + \sum_{l \in \mathcal{N}_a^{(k)}(t)} 2\beta^{(k,l)}(t)(\hat{h}_2^{(k,l)}\hat{m}^{(k,l)}(t) + \hat{h}_3^{(k,l)}\hat{v}^{(k,l)}(t))\phi^{(k,l)} - 2(c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t))^\top \dot{o}^{(j)}(t) - 2(r_o^{(j)} + r_{\min}^{(k)})\dot{r}^{(j)}(t)$

其中$\alpha_j^{(k)}(t) \in \mathbb{R}^+$，因为$r_{\max}^{(k)} > r_{\min}^{(k)}$。

当$\|c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t)\| \to r_o^{(j)}(t) + r_{\min}^{(k)}$时，第二项的分母趋近于零，使该项占主导且为正。因此，$\dot{J}_j^{(k)}(t) > 0$在边界附近成立。STT中心初始时与第$j$个不安全集合保持安全距离，即$\|c^{(k)}(0) - o^{(j)}(0)\| > r_o^{(j)}(0) + r_{\min}^{(k)}$，这意味着$J_j^{(k)}(0) > 0$。由于当$\|c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t)\| \to r_o^{(j)}(t) + r_{\min}^{(k)}$时$\dot{J}_j^{(k)}(t) > 0$，函数$J_j^{(k)}(t)$不可能减小到零或变为负值。因此，$J_j^{(k)}(t) > 0$对所有$t \in [0, t_c^{(k)}]$成立，意味着$\|c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t)\| > r_o^{(j)}(t) + r_{\min}^{(k)}$，$\forall t \in [0, t_c^{(k)}]$。

利用假设7，我们可以将上述结果进一步推广到所有后续时间。因此，STT中心始终与第$j$个障碍物的中心保持至少$r_o^{(j)}(t) + r_{\min}^{(k)}$的距离。现在，为保证管束$\Gamma^{(k)}(t) = B(c^{(k)}(t), r^{(k)}(t))$不与不安全集合相交，只需证明：

(24) $r^{(k)}(t) \leq d_j'(k), \forall j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)$

其中$d_j'(k)$定义于公式(18)。我们利用公式(17)给出的半径动力学解来验证这一点。考虑以下两种情况：

**情况1：** 对所有$j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)$，$\min(r_{\max}^{(k)}, \min_{l \in \mathcal{A} \setminus \{k\}}(d'(k,l))) \leq d_j'(k)$：将公式(23)中的不等式代入，得到：

$r^{(k)}(t) \leq \min\left(r_{\max}^{(k)}, \min_{l \in \mathcal{A} \setminus \{k\}}(d'(k,l))\right) \leq d_j'(k)$

对所有$j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)$，满足条件(24)。

**情况2：** 存在$\hat{j} \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)$，$\min(r_{\max}^{(k)}, \min_{l \in \mathcal{A} \setminus \{k\}}(d'(k,l))) > d_{\hat{j}}'(k)$：将公式(23)中的不等式代入，直接得到$r^{(k)}(t) \leq d_{\hat{j}}'(k)$，确保条件(24)成立。

因此，在两种情况下，(24)均满足。现在，对所有$j \in [1; n_o]$重复此论证表明，第$k$个智能体的STT中心$\Gamma^{(k)}(t)$在任何时候都不与任何不安全集合相交。同样的推理适用于所有其他智能体：$\Gamma^{(k)}(t) \cap U(t) = \emptyset, \forall t \in \mathbb{R}_0^+, \forall k \in \mathcal{A}$。

需要注意的是，障碍物位置和大小对时间的导数仅在分析中使用，而在实现中并不需要，实现仅依赖于在线获取的当前障碍物位置。

**(iii)** 对于任意两个不同的智能体对$k, l \in \mathcal{A}$，如果$l \notin \mathcal{N}_a^{(k)}(t)$，则$\Gamma^{(k)}(t) \cap \Gamma^{(l)}(t) = \emptyset$。现在对于$l \in \mathcal{N}_a^{(k)}(t)$，我们定义一个时变函数：

$M^{(k,l)} = (c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t))^\top(c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)) - r_{\min}^{(k,l)2}$

该函数衡量智能体$k$和$l$的管束中心之间的平方距离，以最小安全距离$r_{\min}^{(k,l)} \coloneqq r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)}$为偏移量。其时间导数为：

(25) $\dot{M}^{(k,l)} = 2(c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t))^\top(\dot{c}^{(k)}(t) - \dot{c}^{(l)}(t))$

我们在安全余量的边界上分析$\dot{M}^{(k,l)}$，即当$\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| = (r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)})$时。将$\dot{c}^{(k)}(t)$和$\dot{c}^{(l)}(t)$的动力学从(12)代入，得到：

$\dot{M}^{(k,l)} = 2(c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t))^\top \theta^{(k,l)} + \frac{2\beta^{(k,l)}\phi^{(k,l)}(s_a, t)\hat{h}_2^{(k,l)}\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\|^2}{\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| - (r_{\min}^{(l)} + r_{\min}^{(k)})^3} + 2\beta^{(k,l)}\phi^{(k,l)}(s_a, t)(c^{(k)} - c^{(l)})^\top \hat{h}_3^{(k,l)}\hat{v}^{(k,l)}(t) - 2(c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t))^\top \theta^{(l,k)} + \frac{2\beta^{(l,k)}\phi^{(l,k)}(s_a, t)\hat{h}_2^{(l,k)}\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\|^2}{\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| - (r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)})^3} - 2\beta^{(l,k)}\phi^{(l,k)}(s_a, t)(c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t))^\top \hat{h}_3^{(l,k)}\hat{v}^{(l,k)}(t)$

其中$\theta^{(k,l)} = \sum_{j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)} (h_{2,j}^{(k)}m_j^{(k)}(t) + h_{3,j}^{(k)}v_j^{(k)}(t))\alpha_j^{(k)}(t) + \frac{h_1^{(k)} t_c^{(k)}}{t_c^{(k)} - t}(\eta^{(k)} - c^{(k)}(t))$，且$\beta^{(k,l)} = \beta^{(l,k)} \in \mathbb{R}^+$，由其定义(15)可知。

接下来，不失一般性，我们假设对于任意唯一的一对智能体$k$和$l \in \mathcal{N}_a^{(k)}(t)$，$t_c^{(k)} \leq t_c^{(l)}$。我们将分析分为三种情况：

**情况1：** 当$t \in [0, t_c^{(k)}]$时：在边界上，当$\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| \to r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)}$时，除了第二项和第四项外，所有项保持有界。由于所有常数均为正，且根据定义(21) $\phi^{(k,l)} \in \mathbb{R}^+$，第二项和第四项均为正，其分母趋近于零，使其占主导地位。因此，$\dot{M}^{(k,l)} > 0$对所有$t \in [0, t_c^{(k)}]$成立。

**情况2：** 当$t \in (t_c^{(k)}, t_c^{(l)}]$时：根据SIF函数的定义，$\phi^{(k,l)}(s_a, t) = 0$，$\forall t \in (t_c^{(k)}, t_c^{(l)}]$。因此，在边界上，当$\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| \to r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)}$时，类似于情况1，除了第四项外，所有项包括第二项（其值将为零）均保持有界。由于所有常数均为正，且根据定义(21) $\phi^{(l,k)} \in \mathbb{R}^+$，第四项为正，其分母趋近于零，使其占主导地位。因此，$\dot{M}^{(k,l)} > 0$对所有$t \in (t_c^{(k)}, t_c^{(l)}]$成立。

**情况3：** 当$t \in (t_c^{(l)}, \infty)$时：利用定理中第一个声明的证明，每个管束在指定时间内到达其目标集合。假设7保证了所有智能体目标之间的最小安全分离：$\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| > r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)} \Rightarrow M^{(k,l)}(t) > 0$，$\forall t \in (t_c^{(l)}, \infty)$。

因此，如果智能体$k$和$l$的管束中心初始时保持安全距离，即$\|c^{(k)}(0) - c^{(l)}(0)\| > r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)}$，则$M^{(k,l)} > 0$。由于对于$t \in [0, t_c^{(l)}]$，$\dot{M}^{(k,l)}(t) > 0$，函数$M^{(k,l)}(t)$不可能减小到零或变为负值。因此，$M^{(k,l)}(t) > 0$对所有$t \in \mathbb{R}_0^+$以及所有社交意识指数$s_a^{(k)}, s_a^{(l)} \in (0, 1)$成立，即：

(26) $\|c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t)\| > r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)}, \forall t \in \mathbb{R}_0^+$

因此，智能体$k$和$l$的管束中心保持最小安全距离。

现在，为了证明智能体$k$和$l$的管束彼此不相交，即$\Gamma^{(k)}(t) \cap \Gamma^{(l)}(t) = \emptyset$，只需证明：

(27) $r^{(k)}, r^{(l)} \leq d'(k,l)(t)$

其中$d'(k,l)(t)$见公式(19)。现在，我们对智能体$k$考虑两种情况，并将同样的推理推广到智能体$l$。

**情况1：** $r_{\max}^{(k)}, \min_{j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)}(d_j'(k)(t)) \leq d'(k,l)(t)$，$\forall l \in \mathcal{N}_a^{(k)}(t)$。将不等式代入(23)，得到：

$r^{(k)}(t) \leq \min\left(\min_{j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)}(d_j'(k)(t)), r_{\max}^{(k)}\right) \leq d'(k,l)(t)$

**情况2：** $\min(r_{\max}^{(k)}, \min_{j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)}(d_j'(k)(t))) > d'(k, \hat{l})(t)$，对于任意$\hat{l} \in \mathcal{N}_a^{(k)}(t)$。将不等式代入(23)，直接得到$r^{(k)}(t) \leq d'(k, \hat{l})(t)$。

因此，在两种情况下，我们得到$r^{(k)} \leq d'(k,l)(t)$。

现在，将同样的论证应用于智能体 $l$，我们证明了条件 (27) 是满足的。通过对所有智能体对 $k, l \in \mathcal{A}$ 重复相同的推理，我们得出所有不同智能体对的时空管彼此不相交，无论其社会意识指数如何：
$$\Gamma^{(k)}(t) \cap \Gamma^{(l)}(t) = \emptyset, \quad \forall t \in \mathbb{R}_{0}^{+}, \quad \forall \mathrm{sa}^{(k)}, \mathrm{sa}^{(l)} \in (0, 1).$$

**(iv)** 由第 (ii) 和第 (iii) 部分，我们已建立：
$$\left\| c^{(k)}(t) - o^{(j)}(t) \right\| > r^{o}(j) + r_{\min}^{(k)}, \quad \forall j \in [1; n_o],$$
$$\left\| c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t) \right\| > r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)}, \quad \forall l \in \mathcal{A} \setminus \{k\},$$

这意味着 $d_1(k) \geq r_{\min}^{(k)}$ 且 $d_2(k) > r_{\min}^{(k)}$，$\forall t \in \mathbb{R}_{0}^{+}$。将这些不等式代入式 (22) 中的半径表达式，我们得到对所有时间 $t$：

**(28)** $\quad r^{(k)}(t) > -\frac{1}{\nu} \ln\left(e^{-\nu r_{\max}^{(k)}} + 2e^{-\nu r_{\min}^{(k)}}\right) > 0$

因此，所有智能体的管半径在所有时间上始终保持严格为正。这完成了证明，即式 (20) 中的时空管 $\Gamma^{(k)}(t)$ 满足 TRAS 规范 (4)。

**注 9** 虽然理论分析允许用于中心动力学 (12) 和半径动力学 (17) 的增益取任何正值，但其实际选取取决于可用的执行器限制、机器人尺寸以及所期望的时空管响应性等因素。因此，表 1 提供了调节这些增益以及选择时空管最小和最大半径的实用指南。

**引理 10** 对于每个智能体 $k \in \mathcal{A}$，管中心 $c^{(k)}(t)$、管半径 $r^{(k)}(t)$ 及其时间导数 $\dot{c}^{(k)}(t)$、$\dot{r}^{(k)}(t)$ 对所有时间 $t$ 均为连续且有界的。

**证明** 对于每个智能体 $k \in \mathcal{A}$，由于半径动力学 (17) 平滑地近似了最小值函数，$r^{(k)}(t)$ 和 $\dot{r}^{(k)}(t)$ 在所有时间上均保持连续和有界。此外，由定理 8 的第二部分，每个智能体的管中心满足 $\left\| c^{(k)}(t) - o^{p}(j) \right\| > r^{o}(j) + r_{\min}^{(k)}$，$\forall j \in [1; n_o]$，并且由同一定理的第三部分，对于每对不同智能体 $\{k, l\} \in \mathcal{A}$，我们还得到 $\left\| c^{(k)}(t) - c^{(l)}(t) \right\| > r_{\min}^{(k)} + r_{\min}^{(l)}$。这意味着 $c^{(k)}(t)$ 和 $\dot{c}^{(k)}(t)$——它们平滑地依赖于目标、不安全集以及其他智能体管的中心——也是连续和有界的，对所有时间 $t$ 均成立。

### 4. 控制器综合

本节中，我们推导出一个闭式、无需近似的控制律，以将每个智能体的系统输出约束在其各自的时空管内。我们以任意智能体 $k \in \mathcal{A}$ 为例展示控制律的推导过程，该过程可以类似地扩展到所有其他智能体。所提出的设计受到严格反馈系统的预设性能控制 (PPC) 框架（Bechlioulis & Rovithakis, 2014）的启发，该框架利用了系统动力学 (1) 的下三角结构。在标准 PPC 以及此前的基于时空管的工作中，性能边界通常沿每个状态维度独立施加。相比之下，本文所提出的方法施加了球形时空管，这对输出引入了耦合几何约束，并导致了一阶段参考设计有所不同。具体而言，我们首先构造中间控制输入 $r_2^{(k)}$ 以确保系统输出保持在时空管内。随后，遵循 Das 等人（2025）中的递归漏斗式设计，我们定义中间信号 $r_{z+1}^{(k)}$，使得每个状态 $x_z$ 跟踪 $r_z$，$\forall z \in [2; N]$，并以 $u^{(k)} = r_{N+1}^{(k)}$ 作为第 $k$ 个智能体的最终控制输入。控制设计的步骤如下：

**阶段 1：** 给定智能体 $k$ 的时空管 $\Gamma^{(k)}(t)$，令归一化和变换误差为
$$e_1^{(k)}(x_1^{(k)}, t) = \frac{\left\| x_1^{(k)}(t) - c^{(k)}(t) \right\|}{r^{(k)}(t)}, \quad \varepsilon_1^{(k)}(x_1^{(k)}, t) = \ln\frac{1 + e_1^{(k)}(x_1^{(k)}, t)}{1 - e_1^{(k)}(x_1^{(k)}, t)}.$$

中间控制输入为
$$r_2^{(k)}(x_1^{(k)}, t) = -\kappa_1^{(k)} \varepsilon_1^{(k)}(x_1^{(k)}, t) \frac{x_1^{(k)}(t) - c^{(k)}(t)}{}, \quad \kappa_1^{(k)} \in \mathbb{R}^+.$$

**阶段 $z$（$z \in [2; N]$）：** 为确保 $x_z$ 跟踪来自阶段 $z-1$ 的参考信号 $r_z$，我们定义时变边界：
$$\gamma_{z,i}^{(k)}(t) = \left(p_{z,i}^{(k)} - q_{z,i}^{(k)}\right) e^{-\mu_{z,i}^{(k)} t} + q_{z,i}^{(k)}$$

并施加
$$-\gamma_{z,i}^{(k)}(t) \leq \left(x_{z,i}^{(k)} - r_{z,i}^{(k)}\right) \leq \gamma_{z,i}^{(k)}(t), \quad \forall (t, i) \in \mathbb{R}_{0}^{+} \times [1; n],$$

其中 $\mu_{z,i}^{(k)} \in \mathbb{R}_{0}^{+}$，且 $p_{z,i}^{(k)} > q_{z,i}^{(k)} \in \mathbb{R}^+$ 被选取为满足 $\left| x_{z,i}^{(k)}(0) - r_{z,i}^{(k)}(0) \right| \leq p_{z,i}^{(k)}$。现在，定义归一化误差和变换误差 $\varepsilon_z^{(k)}(x_z^{(k)}, t)$ 和 $\xi_z^{(k)}(x_z^{(k)}, t)$ 为：

**(29a)** $\quad e_z^{(k)}(x_z^{(k)}, t) = \left[e_{z,1}^{(k)}(x_{z,1}^{(k)}, t), \ldots, e_{z,n}^{(k)}(x_{z,n}^{(k)}, t)\right]^{\top} = \left(\mathrm{diag}(\gamma_{z,1}^{(k)}(t), \ldots, \gamma_{z,n}^{(k)}(t))\right)^{-1} \left(x_z^{(k)} - r_z^{(k)}\right)$

**(29b)** $\quad \varepsilon_z^{(k)}(x_z^{(k)}, t) = \left[\ln\frac{1 + e_{z,1}^{(k)}(x_{z,1}^{(k)}, t)}{1 - e_{z,1}^{(k)}(x_{z,1}^{(k)}, t)}, \ldots, \ln\frac{1 + e_{z,n}^{(k)}(x_{z,n}^{(k)}, t)}{1 - e_{z,n}^{(k)}(x_{z,n}^{(k)}, t)}\right]^{\top}$

**(29c)** $\quad \xi_z^{(k)}(x_z^{(k)}, t) = 4 \left(\mathrm{diag}(\gamma_{z,1}^{(k)}(t), \ldots, \gamma_{z,n}^{(k)}(t))\right)^{-1} \left(I_n - \mathrm{diag}(e_z^{(k)} \circ e_z^{(k)})\right)^{-1}$

下一个中间控制输入 $r_{z+1}^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)}, t)$ 为
$$r_{z+1}^{(k)}(\bar{x}^{(k)}, t) = -\kappa_z^{(k)} \xi_z^{(k)}(x_z^{(k)}, t) \varepsilon_z^{(k)}(x_z^{(k)}, t), \quad \kappa_z^{(k)} \in \mathbb{R}^+.$$

在阶段 $N$，该中间输入即为实际控制
$$u^{(k)}(\bar{x}_N^{(k)}, t) = -\kappa_N^{(k)} \xi_N^{(k)}(x_N^{(k)}, t) \varepsilon_N^{(k)}(x_N^{(k)}, t), \quad \kappa_N^{(k)} \in \mathbb{R}^+.$$

我们现在陈述保证该控制器强制执行所需 TRAS 行为的主要定理。

**定理 11** 考虑式 (3) 中的 SA-MAS，其中每个系统 $(\Sigma^{(k)}, \mathrm{sa}^{(k)})$ 具有一个满足假设 1 和假设 2 的社会意识指数 $\mathrm{sa}^{(k)} \in (0, 1)$，如定义 3 中所定义的时间到达-避让-停留 (TRAS) 规范，以及如式 (20) 中推导的对应时空管 $\Gamma^{(k)}(t)$，同时考虑社会意识指数。如果初始输出在 $t = 0$ 时位于时空管内：$y^{(k)}(0) \in \Gamma^{(k)}(0)$，那么闭式控制律

**(30)** $\quad r_2^{(k)}(x_1^{(k)}, t) = -\kappa_1^{(k)} \varepsilon_1^{(k)}(x_1^{(k)}, t) \frac{x_1^{(k)}(t) - c^{(k)}(t)}{}$

$$r_{z+1}^{(k)}(\bar{x}_z^{(k)}, t) = -\kappa_z^{(k)} \xi_z^{(k)}(x_z^{(k)}, t) \varepsilon_z^{(k)}(x_z^{(k)}, t), \quad z \in [2; N-1]$$

$$u^{(k)}(\bar{x}_N, t) = -\kappa_N^{(k)} \xi_N^{(k)}(x_N^{(k)}, t) \varepsilon_N^{(k)}(x_N^{(k)}, t)$$

其中 $\kappa_1^{(k)}, \kappa_z^{(k)}, \kappa_N^{(k)} \in \mathbb{R}^+$ 为控制增益，且式 (30) 中的控制输入方案确保系统输出保持在时空管内：
$$y^{(k)}(t) = x_1^{(k)}(t) \in \Gamma^{(k)}(t), \quad \forall t \in \mathbb{R}_{0}^{+},$$

从而满足所需的 TRAS 规范。

**证明** 由于篇幅所限，控制律正确性的证明已省略，可在预印本（Upadhyay 等人, 2025）中查阅。

因此，式 (30) 中的控制律确保对于每个智能体 $k \in \mathcal{A}$，输出轨迹 $y^{(k)}(t)$ 在所有时间 $t \in \mathbb{R}_{0}^{+}$ 上均保持在其对应的时空管 $\Gamma^{(k)}(t)$ 内。从而，由式 (8)，TRAS 规范得到满足，同时尊重了相应的社会意识指数。

### 5. 案例研究

为验证所提出的实时多智能体时空管框架的有效性，我们展示了两个案例研究：二维全向移动机器人和三维无人机。除了仿真结果外，我们还通过移动机器人案例的硬件实验证明了其在现实中的适用性。本文用于仿真和对比研究的代码公开可用，地址为 https://github.com/FocasLab/STT-for-SA-MAS.git。

**图 2.** 两个全向机器人在杂乱动态环境中的硬件演示。

**图 3.** 八个全向移动机器人在具有不同预设时间的二维环境中的仿真。两个利己智能体（$\mathrm{sa}^{(1)} = \mathrm{sa}^{(5)} = 0.1$，黄色）与六个利他智能体（$\mathrm{sa}^{(2)} = \mathrm{sa}^{(3)} = \mathrm{sa}^{(4)} = \mathrm{sa}^{(6)} = \mathrm{sa}^{(7)} = \mathrm{sa}^{(8)} = 0.99$）交互，展示了扩展到多个智能体的能力。（关于图中颜色标注的解读，请参阅本文的网络版本。）

**图 4.** 八个无人机在具有不同预设时间的三维环境中的仿真。两个利己智能体（$\mathrm{sa}^{(1)} = \mathrm{sa}^{(5)} = 0.1$，黄色）和六个利他智能体（$\mathrm{sa}^{(2)} = \mathrm{sa}^{(3)} = \mathrm{sa}^{(4)} = \mathrm{sa}^{(6)} = \mathrm{sa}^{(7)} = \mathrm{sa}^{(8)} = 0.99$）。（关于图中颜色标注的解读，请参阅本文的网络版本。）

#### 5.1. 二维全向移动机器人

**硬件实验。** 为展示所提出框架在现实中的适用性，我们使用两台物理全向机器人进行了硬件实验，其动力学取自 Das 和 Jagtap（2024），在杂乱的动态室内环境中运行（图 2）。实验在一个配备动作捕捉系统和基于投影仪的装置的真实竞技场地中进行，该装置实时生成随机动态障碍物。每台机器人仅接收其感知范围内附近障碍物和邻近智能体的局部信息，所提出的时空管综合和控制律在树莓派 4 上实时实现。

任务涉及位置交换，即每台机器人需要在规定时间 $t_c^{(k)} = 120\,\text{s}$，$k \in [1; 2]$ 内与另一台机器人交换位置，同时避免动态障碍物。管半径限定为 $r_{\min}^{(k)} = 0.21 \leq r^{(k)} \leq 0.27 = r_{\max}^{(k)}$，中心动力学参数 (12) 选取为 $h_1^{(k)} = 0.05$，$\hat{h}_2^{(k,l)} = \hat{h}_3^{(k,l)} = 8$，$k \neq l$，以及 $h_{2,j}^{(k)} = h_{3,j}^{(k)} = 1$，$j \in \mathcal{N}_o^{(k)}(t)$。

为研究社会意识指数的影响，我们考虑了两种情形。在情形 1 中，蓝色智能体的社会意识指数 $\mathrm{sa}_{\text{blue}} = 0.7$ 高于黄色智能体的 $\mathrm{sa}_{\text{yellow}} = 0.3$。因此，蓝色智能体表现出更利他的行为，展现出更大的灵活性和合作性，而黄色智能体更利己，优先考虑其目标和障碍物避免。在情形 2 中，社会意识指数互换，其余参数保持不变，导致与情形 1 相反的行为。图 2 展示了两种情形的轨迹。完整的硬件实验视频可在 https://www.youtube.com/watch?v=oDo6Qs9vw7s 获取。

**仿真研究。** 为展示所提出框架的可扩展性，我们考虑了 $n_a = 8$ 个智能体的多智能体系统 $\Sigma^{(k)}$，$k \in [1; 8]$，建模为在二维环境中运行的全向移动机器人（图 3），动力学取自 Jagtap 和 Dimarogonas（2023）。每个智能体的任务是与其对角线上的智能体交换位置。每个智能体的预设时间不同，定义为 $t_c^{(k)} = 5 + (k-1)\,\text{s}$，$\forall k \in [1; 8]$。社会意识指数较低的智能体 $\mathrm{sa}^{(1)} = \mathrm{sa}^{(5)} = 0.1$ 显示为黄色，其余社会意识指数较高的智能体 $\mathrm{sa}^{(k)} = 0.99$，$k \in [1, 8] \setminus \{1, 5\}$ 显示为蓝色。

所有智能体的管半径限定为 $r_{\min}^{(k)} = 0.6$ 和 $r_{\max}^{(k)} = 0.9$。中心动力学参数 (12) 设置为 $h_1^{(1)} = 0.22$，$h_1^{(2)} = 0.15$，$h_1^{(3)} = h_1^{(4)} = 0.13$，$h_1^{(k)} = 0.12$，$k \in [5, 8]$，以及 $\hat{h}_2^{(k,l)} = \hat{h}_3^{(k,l)} = 0.04$，$k \neq l$。

图 3 展示了所有智能体在不同时间步的轨迹和时空管。所有智能体均安全地保持在各自的管内，并成功到达目标。完整的仿真视频可在 https://www.youtube.com/watch?v=oDo6Qs9vw7s 获取。

**表 2.** 时空管与经典算法的比较。

| 算法 | 闭式控制 | 形式化保证 | 未知动力学 | 社会意识 | 有界扰动 | 时间约束 | 安全性 |
|------|---------|-----------|-----------|---------|---------|---------|-------|
| 安全屏障证书 (Wang 等人, 2017b) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| 分布式 MPC (Dai 等人, 2017; Tallamraju 等人, 2018) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| 协商式时空管 (Faruqui Faizuddin 等人, 2025) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| RA-CBF (Lyu 等人, 2023) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| WBVC (Pierson 等人, 2020) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| 社会性 MAPF (Chandra 等人, 2023) | –? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| SAMARL (Wang 等人, 2024) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| SA-MAS（本文提出） | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |

? 需要额外的机制（如 PID 或 MPC）来实现控制。

**图 5.** 窄通道场景：(a) 安全屏障证书（Wang 等人, 2017b）下的死锁，(b) 使用所提方法成功通过。

#### 5.2. 三维无人机

我们考虑一个具有 $n_a = 8$ 个智能体在三维环境中运行的多智能体无人机系统，其中每个智能体遵循取自 Pan 等人（2022）的二阶动力学。

每架无人机从其分配的初始位置出发，任务是与对角线上的智能体交换位置。智能体 $\Sigma^{(1)}$ 的预设时间为 $t_c^{(1)} = 20\,\text{s}$，而所有其他智能体的预设时间为 $t_c^{(k)} = 25\,\text{s}$。社会意识指数较低的智能体 $\mathrm{sa}^{(1)} = \mathrm{sa}^{(5)} = 0.1$ 显示为黄色，社会意识指数较高的智能体 $\mathrm{sa}^{(k)} = 0.99$，$k \in [1, 8] \setminus \{1, 5\}$ 显示为蓝色。

所有智能体的管半径限定为 $r_{\min}^{(k)} = 0.6$ 和 $r_{\max}^{(k)} = 0.9$。中心动力学参数 (12) 设置为 $h_1^{(1)} = 0.07$，$h_1^{(k)} = 0.06$，$k \in [2, 8]$，以及 $\hat{h}_2^{(k,l)} = \hat{h}_3^{(k,l)} = 0.002$，$k \neq l$。

图 4 展示了所有智能体在不同时间步的轨迹和时空管。所有无人机均严格保持在各自的管内，成功到达目标，并根据其社会意识指数避免了智能体间碰撞。完整的仿真视频可在 https://www.youtube.com/watch?v=oDo6Qs9vw7s 获取。

#### 5.3. 对比研究

为评估所提出的基于时空管的框架对社会意识多智能体系统 (SA-MAS) 的有效性，我们针对现有最先进的方法进行了定性和定量分析。

##### 5.3.1. 定性比较

我们首先在表 2 中对所提出的框架与现有多智能体方法进行了定性比较，包括社会意识方法和未明确考虑社会意识的方法。特别地，该表将本文所提方法与安全屏障证书（Wang 等人, 2017b）、分布式 MPC、协商式时空管方法、RA-CBF（Lyu 等人, 2023）、WBVC（Pierson 等人, 2020）、社会性 MAPF（Chandra 等人, 2023）和 SAMARL（Wang 等人, 2024）进行了比较，突出了它们在计算效率、形式化保证、对未知动力学和扰动的鲁棒性、社会意识以及预设时间保证方面的相对优势和局限。

**表 3.** 基于每步平均计算时间（ms）与基线算法的比较。

| 方法 | 2D 移动机器人 | 3D 四旋翼 |
|------|-------------|----------|
| | $n_a = 5$ | $n_a = 10$ | $n_a = 20$ | $n_a = 5$ | $n_a = 10$ | $n_a = 20$ |
| RA-CBF (Lyu 等人, 2023) | 14.7 ± 0.77 | 52.4 ± 4.93 | 253.5 ± 15.51 | 25.79 ± 1.10 | 2107.14 ± 8.30 | 7476.13 ± 64.10 |
| WBVC (Pierson 等人, 2020) | 0.09 ± 0.009 | 0.37 ± 0.03 | 2.09 ± 0.09 | 2.13 ± 0.50 | 65.89 ± 1.62 | 13.56 ± 2.18 |
| 本文提出 | 0.06 ± 0.0003 | 0.18 ± 0.002 | 0.86 ± 0.01 | 0.06 ± 0.0028 | 0.16 ± 0.0137 | 0.64 ± 0.0497 |

**图 6.** 25 次随机运行下二维移动机器人案例的成功率比较。

##### 5.3.2. 实验场景

实验评估分为两部分，以突出所提出框架的性能。

**第一部分：窄通道场景。** 在第一个场景中，我们将我们的社会意识框架与安全屏障证书（Wang 等人, 2017b）进行了比较，后者是一个未显式建模社会意识的代表性标准基线方法。如图 5 所示，两台二维移动机器人必须通过一个仅容纳一个智能体的窄通道进行位置交换。图 5(a) 展示了安全屏障证书下 $t = 10\,\text{s}$ 和 $t = 15\,\text{s}$ 时的轨迹。两个智能体都接近通道，最终陷入僵局。相比之下，使用所提方法并设定社会意识值 $\mathrm{sa}_{\text{yellow}} = 0.1$ 和 $\mathrm{sa}_{\text{blue}} = 0.9$ 时，更利他的蓝色智能体绕道而行，让更利己的黄色智能体先通过，然后蓝色智能体继续前往自己的目标，如图 5(b) 所示。完整的仿真视频可在 https://www.youtube.com/watch?v=UnNlvu0TdtI 获取。

**第二部分：定量性能研究。** 在研究的部分，我们将我们的方法与社会意识基线 RA-CBF（Lyu 等人, 2023）和 WBVC（Pierson 等人, 2020）进行了比较。评估在二维移动机器人和三维四旋翼上各进行了 25 次运行，智能体数量分别为 $n_a = 5$、10 和 20。在每次运行中，智能体被分配交换位置的任务。

对于二维情形，初始位置在随机半径的圆内采样，而对于三维情形，则在随机边长的立方体内采样。评估方法采用两个指标：每一步的平均计算时间（单位为毫秒）和成功率，成功率定义为无碰撞运行的百分比，分别在标称条件和有界扰动下进行评估。表3和图6的结果突出了以下优势：(1)计算效率：如表3所示，所提出的方法实现了最低的每步平均计算时间，这主要归功于其闭式管合成与控制设计。(2)可扩展性：表3还报告了随着系统维度从二维增加到三维，以及智能体数量的增加，所提出的框架相比基线方法具有更好的扩展性。(3)安全性与鲁棒性：图6显示，所提出的方法在所有测试场景中都保持了100%的成功率，无论是在标称条件下还是在存在有界扰动的情况下。相比之下，RA-CBF和WBVC在扰动下性能下降。(4)规定时间保证：与基线方法不同，所提出的框架保证在规定的时间内完成任务，与智能体数量或控制器增益的选择无关。本文不包含与社会多智能体路径规划（Chandra等，2023）和SAMARL（Wang等，2024）的直接定量比较，因为它们与本工作所考虑的设置不直接可比。特别是，社会MAPF是一种基于规划的方法，在离散状态和动作空间中运行，并且需要额外的跟踪控制器来执行，而SAMARL是一种基于强化学习的方法，需要大量离线训练且不提供形式化保证。6. 结论在本工作中，我们提出了一种实时时空管框架，用于解决具有未知动态的多智能体系统的避障问题。与忽略社会意识并假设对称相互作用的现有方法不同，我们的方法考虑了各智能体不同的社会意识，从而实现了对称交互建模。该框架在实时合成管，并确保在执行分配任务期间安全避开不安全区域。我们通过证明各智能体的管永远不会与其他智能体相交，并且永远不会与任何移动障碍物相交，且在规定的时间内到达目标，从而提供了理论保证。由此产生的控制律将每个智能体的系统输出约束在STT内，且具有闭式形式、无需近似。最后，通过2D移动机器人和3D无人机在复杂动态环境中的仿真、硬件实验以及对比研究，证明了该方法的有效性和可扩展性。尽管该框架是有效的，但仍有一些局限性将在未来工作中加以解决。首先，尽管在我们的硬件实验中控制输入保持在可行范围内，但当前框架并未显式执行硬输入约束。在实际中，执行器饱和可能会影响严格保持"保持在管内"保证和实现期望的规定时间性能的能力。扩展框架以显式处理输入约束并推导将规定时间、障碍物速度与执行器限制相关联的可行性条件是未来工作的重要方向。其次，我们考虑了预定义的社会指数来捕获每个智能体的行为。未来工作可以探索利用博弈论方法优化这些值，以实现更具适应性和平衡性的交互。虽然在本工作中STT被建模为n维输出空间中的球体，但未来工作将考虑将此表示扩展为不对称形状，如椭球或多面体。Ratnangshu Das | Siddhartha Upadhyay | Pushpak Jagtap