基于在线梯度下降的锂电池无模型快速充电方法研究

《Automatica》：Model-free fast charging of lithium-ion batteries by online gradient descent

　　

本文研究具有多重安全与老化约束的锂离子电池快速充电问题。研究发现，在适当条件下，此类问题的最优解具有bang-ride形式，即沿可行集边界运行以最大化充电电流。基于这一观察，研究人员提出一种基于在线梯度下降（online gradient descent）的数据驱动算法，该算法通过观测可测量的电池量（如输入电流、端电压和温度）收敛至bang-ride协议。因此，所提方法无需详细的电池模型或训练回合即可优化充电电流。在温和条件下证明了理论收敛性，并在多种线性和非线性电池模型（包括单粒子模型（single-particle model）和等效电路模型（equivalent-circuit model））上进行了数值验证。

论文解读文章

一、研究背景与问题

电动化交通（包括列车、公路车辆和船舶）被认为对生态和经济均有积极影响。在可用于电动化交通的各类储能单元中，锂离子电池凭借其诸多优良特性，预计在未来至少十年内仍将是主导选择。然而，与传统燃油车辆相比，搭载锂离子电池的电动汽车面临充电时间过长的问题。简单地增大充电电流并不能解决这一问题，因为高充电电流会引发安全与电池退化方面的风险。传统恒流恒压（Constant Current, Constant Voltage, CCCV）充电协议通过在充电第二阶段维持恒定端电压来防止过高充电电流，但随着电池内阻随老化增加，该协议变得日益保守，且无法保护电池免于过热。在重载应用中，冷却系统容量有限，在允许温度约束内运行尤为重要，否则热失控和火灾风险将升高。为此，多数汽车制造商已从CCCV协议转向包含温度调节模式在内的多模式先进充电协议。

近年来，一批研究致力于开发在温度及其他安全与健康约束下最大化充电电流的通用快速充电协议。然而，实施这些协议需要精确的电池动力学模型，而这一条件并非总是具备。锂离子电池动力学行为参数的辨识十分困难，且老化、环境条件等多种因素会导致实际动力学偏离先前辨识的模型。因此，多种无模型充电技术被提出，它们避免系统辨识，直接基于实际运行中采集的电池数据进行操作，包括贝叶斯优化（Bayesian optimization）、迭代学习控制（iterative learning control）和强化学习（reinforcement learning）等方法。但这些方法依赖于跨越多个完整充电回合的学习过程，而此类充电实验耗时且常会加速电池退化。

二、研究内容与主要结论

本文首先指出，典型快速充电问题的最优解具有bang-ride形式，即在可行集边界上运行。该性质已在多种快速充电问题中得到证明，并被推测在其他若干问题中也成立。研究人员利用这一事实设计了一种数据驱动控制器，可在实时中收敛至bang-ride充电协议，从而在最大电池电压、最大电池温度以及电池组最大温度变化等多重约束下最大化充电电流。与现有其他无模型方法相比，所提方法成本更低，因为它不需要额外的充电实验。所提控制器仅利用电池的输入-输出测量数据来学习bang-ride协议，不依赖特定电池模型，也不需访问快速充电问题的代价函数。该控制器无需知道约束的函数形式，仅假设约束违规可被测量。

所提控制结构具有与现有工作相似的切换特性，但现有工作需要完整模型及其参数，且未提供PI控制器整定技术，也未证明收敛至期望充电协议。相比之下，研究人员提出的自适应反馈控制器在无电池模型、无需手动整定控制器的情况下保证收敛至bang-ride协议。

收敛性通过求解在线凸优化（online convex optimization）问题获得。在线凸优化是凸优化算法对未知和变化环境的适应。在此类问题中，代价函数在每个时间步变化，算法仅能访问先前的代价函数集合和决策变量。当不同时间步的代价函数相互耦合时会出现额外复杂性，这发生在最优控制问题以及快速充电问题中，因为底层动态系统影响整体优化过程中的代价函数。尽管如此，所提出的基于在线优化的算法可实现与无耦合情形类似的次线性遗憾（sublinear regret），且不要求动力学线性或代价函数强凸。此外，与其他基于学习的控制系统（如迭代反馈整定（iterative feedback tuning, IFT）和同时扰动随机逼近（simultaneous perturbation stochastic approximation, SPSA））相比，本文利用快速充电问题特有的单调性质避免了梯度方向的估计，从而在学习过程中不会因运行实验来估计梯度或模型动力学而中断充电电流。

三、关键技术方法

研究人员采用的主要技术方法包括：其一，建立离散时间电池模型并形式化具有多重输出约束的快速充电优化问题，利用输出函数对充电电流的严格单调性（假设1）推导bang-ride状态反馈律；其二，定义约束误差（constraint errors）并建立基于最小误差的主动约束切换机制（式(6)-(7)），该机制完全基于可测量的输出信号；其三，设计参数化控制器结构，通过投影梯度下降（projected gradient descent）在线更新控制器参数（式(13)），梯度方向仅由可观测数据计算（式(12)），无需系统模型或状态向量；其四，在温和假设条件（假设2）下证明算法的次线性遗憾界（定理1），并通过数值仿真在单粒子模型和等效电路模型上验证收敛性。

四、研究结果

2. 快速充电与bang-ride协议。 研究人员建立了离散时间电池模型（式(1)），其中状态为x_t，输入为充电电流u_t，输出为y_i,t。快速充电问题（式(2)）在固定时间内最大化充电电流，同时满足多个安全约束。在输出函数对输入严格单调的假设1下，每个约束方程至多有一个解，理想bang-ride协议可写为非线性状态反馈律（式(5)），即取各约束对应电流的最小值。在单调最优控制框架下，最优解触碰可行集边界，若每一时刻至少有一个约束激活，则最优解具有bang-ride形式。

3. 无模型充电。 在无精确模型且无法测量完整状态时，研究人员提出基于约束误差（式(6)）的主动约束切换机制（式(7)），选取最小误差对应的约束作为主动约束。随后设计参数化控制器（式(8)），通过求解在线优化问题（式(9)）最小化一步前向约束误差平方。由于输出函数单调且缩放系数为正，梯度方向（式(12)）可由观测数据直接计算，无需估计梯度。算法1执行投影梯度下降更新（式(13)）。在假设2（有界参数集、凸且Lipschitz代价函数、优化器序列收敛、递减步长、灵敏度有界、符号变化次数有限）下，定理1证明算法总遗憾（式(14)）为O(t_f^μ*)，其中μ* = max{μ₁, 1?μ₁, 1+μ₁?μ₂}。证明过程利用投影算子非扩张性、凸性不等式以及假设2中的界，将遗憾分解为步长项、初始距离项和优化器漂移项，并通过假设2f中的区间结构控制正项之和。

4. 数值案例研究。 研究人员在多种电池模型上进行了数值验证，包括单粒子模型（single-particle model）和等效电路模型（equivalent-circuit model, ECM），涵盖单体电池和电池组场景。数值结果表明所提算法在无模型条件下能够收敛至bang-ride充电协议，验证了理论收敛性分析的有效性。

五、讨论与结论

本文的核心贡献在于利用快速充电问题最优解的bang-ride结构，设计了一种无需电池模型、无需训练回合、无需估计梯度方向的在线学习控制器。与需要完整模型和参数整定的现有方法相比，所提方法在实现上更为简便，且对模型失配和老化漂移具有更强的鲁棒性。与需要多次完整充电实验的贝叶斯优化、迭代学习控制和强化学习方法相比，所提方法在单次充电过程中即可实时收敛，显著降低了学习成本和对电池的额外损耗。理论分析在温和条件下证明了次线性遗憾，数值实验在多种线性和非线性电池模型上验证了收敛性。未来研究方向可能包括将该方法推广至更一般的约束形式和更复杂的电池组拓扑，以及在实际电池管理系统中的实验验证。