随机超图上的顺序双阈值级联动力学

《Chaos, Solitons & Fractals》：Sequential dual-threshold cascade dynamics on random hypergraphs

　　

# 超图上的顺序双阈值级联模型

- 超图上的顺序双阈值级联模型
- 小领导者-大追随者结构降低了关键种子比例
- 均匀超边分布中的非单调离散截断效应
- 所研究的级联机制中存在混合型不连续相变

## 引言

复杂系统中级联动力学研究为理解行为、创新和情绪如何在群体中传播提供了理论基础[1], [2]。Granovetter[2]历史上建立了集体行为的阈值模型，随后Watts[1]将其操作化为线性阈值模型（LTM），以阐明随机网络上全局级联发生的条件。在此基础上，Centola[3]通过在线实证实验确认了社会行为传播表现出"复杂传染"特征，需要来自网络中多个邻居的同时增强信号。为了在解析上解决这些宏观行为问题，Gleeson和Cahalane[4]，随后Gleeson[5]开发了精确的树状解析近似方法，以预测任意度分布下的级联规模。后续研究将这些成对相互作用范式扩展到优化影响力最大化[6], [7]、分析一般性流行过程[8], [9]，以及刻画拓扑性质如何控制扩散[10], [11], [12]。然而，尽管取得了成功，这些经典方法主要依赖基于图的成对结构，使得多面群体动力学不太明确[13], [14]。

为了克服成对网络的固有局限性，近期进展已转向高阶相互作用框架。Iacopini等人[15]率先使用单纯复形建模社会传染，表明非线性高阶相互作用可以诱发突然的不连续转变[16], [17]。同时，de Arruda等人[18]将线性阈值模型扩展到超图结构，证明超边可以编码集体增强。这推动了基于超图的动力学研究的涌现，涵盖SIS流行病建模[19], [20]、演化博弈论[21], [22], [23], [24], [25]以及级联故障[26], [27], [28]。相关工作还考虑了网络上的多阶段复杂传染[29]以及具有嵌套或重叠高阶结构的超图上的传染[30], [31]。最近，Chen等人[32]形式化了随机超图上的全局级联模型，阐明了宏观传染的结构前提。虽然这些工作将扩散研究从二元提升到了高阶维度，但其中许多采用同质性假设，将超边内所有节点视为功能相同、影响权重相等的组成部分[19]。

然而，社会学和实证证据表明，现实世界中的社会群体具有角色分化特征。意见领袖、把关人和核心决策者能够比外围追随者施加更强的影响力[33], [34], [35]。此前试图对非对称影响力进行建模的研究利用了多重网络[36]或分析实证数据集中的结构多样性[37], [38], [39], [40]，但这些方法大多通过成对关系或层耦合来编码影响力。多重级联模型可以区分信息层和采纳层，但激活单元仍然是一组成对接触。相比之下，超边代表了一个群体级决策单元，其领导者子集和追随者子集被联合评估。我们之前的工作[41]引入了角色分化的超图传染模型，通过将超边划分为"领导者"和"追随者"并赋予它们非对称影响力权重来实现。该框架捕捉了影响力的静态差异，证明有针对性的角色配置可以降低转变种子阈值。

尽管角色分化框架[41]是一个有用的进步，但其激活机制仍然根植于单阶段同时加权触发。在分层系统中，集体行动和战略执行可以是顺序的且受时间约束的[42], [43]。就像相互依存网络中的级联故障一样，一层的崩溃可以领先于另一层的故障[44]，社会决策可能需要在动员外围执行者之前，先在核心成员中达成共识。因此，单一聚合阈值可能忽略这样的情况：活跃节点总数已经足够大，但核心领导层尚未达到局部共识。在等价的群体总规模和名义阈值下，单阶段超图阈值模型可以通过任何角色的聚合支持来激活追随者，而本模型则阻止这种激活，直到领导条件首先得到满足。这一比较是不同预测的主要来源：当领导者瓶颈严格时，转变种子比例通常会向上偏移，而最终状态可能更强烈地取决于领导者子集大小而非超边总大小。

为了弥补这一空白，本文提出了一个定义在角色分化超图上的顺序双阈值级联模型。该模型可以被视为包含一个嵌套子超边的超边：领导者集合Le是嵌入在完整超边Le∪Fe内的内部决策单元。它与现有嵌套超边传染框架[30], [31]的不同之处在于：为嵌套层和外部层赋予了语义角色，并施加了不可逆的评估顺序：领导者子集必须首先满足核心共识阈值（?1），然后完整群体才能尝试满足整体执行阈值（?2）。使用标量平均场闭包对稀疏的局部树状随机超图进行描述，我们推导了稳态活跃比例的自由方程。我们的解析和数值结果表明，在固定大小的超图中存在混合型不连续转变和非单调离散截断效应。这一公式通过隔离领导者优先瓶颈效应，补充了同质双阈值模型[32]和单阶段角色加权模型[41]。

## 模型描述

与假设节点角色同质或依赖同时单阈值激活机制的超图传染模型不同，本文研究了一种角色分化和双阈值的级联传播模型。该结构等效于为每条超边分配一个嵌入的领导者子超边和一个外部群体超边。概念上的区别在于动力学：嵌套的领导者单元不仅仅是一个较小规模的额外相互作用，而是一个必须先被激活的关口。

## 级联规模

为了解析地刻画我们的角色分化超图模型的传染动力学，我们采用了平均场方法。具体来说，我们通过评估其关联超边的顺序激活来评估不活跃节点转变为活跃状态的概率。

设Tl表示通过不活跃节点的领导者关联到达的超边成功实现第一阶段激活共识的概率。其表述为：

Tl = Σ_{ml,mf} Q(ml,mf) · ml/〈ml〉 · Σ_{nl=0}^{ml-1}

### 泊松分布情形

图3展示了在不同阈值条件?1和?2下，级联规模ρ与初始种子比例ρ0之间的关系。这里，?1表示领导者群体的激活阈值，?2表示超边的整体激活阈值。领导者群体和追随者群体的大小均服从均值为〈ml〉=〈mf〉=10的泊松分布。

在子图(a)中，当?1=0.7时，系统对所有给定的?2值均表现出混合型不连续转变。

### 固定大小超图情形

图8分析了固定大小超图中的对称双阶段阈值（?1=?2）和对称超边大小（ml=mf），即delta函数大小分布。水平轴表示初始种子比例ρ0，垂直轴表示稳态级联规模ρ。子图(a)、(b)和(c)分别对应?=0.4、0.6和0.8。

结果表明ρ出现不连续跳跃。在较低的激活阈值下，较小的固定超边大小对应更低的……

## 与现有阈值模型的基准比较

为了进一步阐明所提出的顺序双阈值机制的独特动力学特征，我们在相同的超图配置下将其与两个代表性的现有阈值模型进行了比较。第一个基准是文献[41]中的单阶段角色加权模型，该模型将超边划分为领导者和追随者，但评估的是一个单一的聚合阈值条件，没有顺序领导者关口。第二个基准是同质双阈值……

## 结论

本文基于角色分化的超图开发了一种两阶段阈值激活级联模型，用于研究群体相互作用中的分层顺序决策。通过理论推导、解析求解和数值模拟，我们研究了超边拓扑结构、两阶段激活阈值和初始种子密度对级联传播动力学和转变行为的影响。所推导的自洽方程的解析解……

## CRediT作者贡献声明

Juntao Lu：写作—初稿、可视化、方法论、概念化。Jianlin Zhang：方法论。Ruijie Wang：方法论。Pingle Yang：方法论。Chen Dong：方法论。Fanyuan Meng：写作—初稿、监督、方法论、概念化。

## 利益冲突声明

作者声明没有已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

本研究得到国家自然科学基金资助，批准号：12505044和52374013。

Juntao Lu | Jianlin Zhang | Ruijie Wang | Pingle Yang | Chen Dong | Fanyuan Meng