包含警察管理的抗议活动动态模型中的繁殖数与传播前沿

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Reproductive numbers and traveling fronts in models of protest dynamics with police management

　　**摘要**
抗议活动经常通过社交网络在城市间传播，这一现象可以用反应-扩散系统来建模。在[10]提出的模型基础上，该模型将抗议活动与社会紧张局势联系起来，我们研究了一个扩展模型，其中还包括了警察的抗议管理策略。我们关注行波解，并探讨抗议活动、社会紧张局势和警察密度如何相互作用以影响抗议的传播[36]。假设在系统非单调的参数范围内存在行波前沿，我们推导了这些行波前沿的稳定性条件，扩展了之前假设系统单调性的结果。通过数值模拟，我们估计了抗议活动的传播速度，并确定了类似流行病学再生数的阈值条件，这些条件决定了抗议活动是增长还是减弱。

**引言**
抗议活动是表达不满和要求社会和政治变革的关键机制。尽管它们起源于复杂的社会政治环境，但其传播往往遵循可识别的空间和时间模式[2]、[6]、[14]、[22]、[25]。在[10]中，研究人员提出了一个模型，用来描述抗议活动强度（用u表示）与社会紧张程度（用v表示）之间的动态关系。我们的工作研究了一个扩展模型，该模型考虑了各种警察管理策略对抗议和紧张局势整体动态的影响[36]，模型表达式为：
$$
\begin{align*}
ut &= d1\Delta u + f(u,v,P), & x \in \mathbb{R}^n, t > 0, \\
vt &= d2\Delta v + g(u,v,P), & x \in \mathbb{R}^n, t > 0, \\
Pt &= d3\Delta P + s(u,v,P), & x \in \mathbb{R}^n, t > 0, \\
(u(x,0), v(x,0), P(x,0)) &= (u_0(x), v_0(x), P_0(x))
\end{align*}
$$
其中反应函数将在后面定义。系统的行为源于抗议活动u、社会紧张局势v和警察密度P之间的非线性相互作用。出于物理原因，我们将扩散系数d1、d2、d3限制为正数。在一个d3=0的简化模型中[36]已经研究了警察位置固定或可预测的情况。通过允许d3>0，我们考虑了警察的随机移动，这更符合抗议活动中的实际情况。

**我们的贡献**
在反应-对流-扩散系统的框架下，我们通过行波解的存在来模拟抗议活动的传播。在这项工作中，我们研究了Rn中的一维行波解，将问题简化为（1+1）维问题。波的行为强烈依赖于系统的单调性，这由后续将引入的某些参数的符号决定。在单调情况下，已经证明存在且稳定的行波前沿[36]。在这里，我们关注非单调情况，即当这些参数符号相反时，对应于多种现实的警察-抗议互动。虽然我们没有在非单调情况下通过分析方法证明行波前沿的存在性，但对代表性参数集的数值计算提供了支持这种前沿存在的证据（见附录C）。假设这些前沿存在，我们推导了双稳态和单稳态波的谱稳定性和非线性稳定性标准。利用数值模拟，我们进一步计算了传播速度，并确定了决定抗议活动是增长还是消亡的“流行病学式”再生数阈值。

**时空模式**
抗议事件中始终观察到时空模式，表明抗议活动的传播受到局部环境和更广泛社会因素的影响[9]、[13]、[26]。为了正式捕捉这些动态，Berestycki等人[10]提出了一个模型，描述了抗议活动如何通过空间传播，同时与社会紧张程度产生耦合效应。从社会学角度来看，这反映了抗议活动通过地理邻近性传播，且抗议活动既受到潜在社会动荡的推动，也受到外部冲击（触发事件）和内源性自我强化的影响。原始模型[10]的表达式为：
$$
\begin{align*}
ut &= d1uxx + r(v)G(u) - \omega u, & x \in \mathbb{R}, t > 0, \\
vt &= d2vxx + 1 - h(u)v, & x \in \mathbb{R}, t > 0, \\
u(x,0) &= u_0(x), \\
v(x,0) &= v_0(x)
\end{align*}
$$
其中u和v分别代表抗议活动水平和社会紧张程度。反应项中的函数定义为：
$$
r(v) = 1 - e^{-\beta(v-\alpha)}, \quad G(u) = \Gamma u(1 - u), \quad h(u) = (1 + u) - k_0
$$
这些函数基于社会学理论和抗议动态的实证研究而来。这些反应函数描述了抗议活动的传播方式以及社会紧张程度随时间的变化。函数r模拟了系统中的相位变化：当社会紧张程度v超过阈值α时，动态从外部驱动转变为自我维持。函数G表示抗议活动的自我强化效应，例如信息传播可以激励更多人参与[10]。函数h衡量抗议参与对社会紧张程度的影响，参数k0控制这种效应的强度。如果k0>0，则参与增加紧张程度（紧张加剧）；如果k0<0，则参与减少紧张程度（紧张缓解）。

**扩展模型**
Wang等人[36]在[10]的基础上扩展了模型（2），以研究现实世界中的政府应对措施如何影响抗议动态。这些措施包括谈判和妥协等缓和手段，以及镇压和逮捕等限制措施[15]、[16]、[27]。在美国，警察策略因政治、制度和情境因素而异，其结果可能减少动荡或加剧紧张[17]、[30]、[34]。为了分析这些效应，Wang等人[36]引入了警察存在作为关键变量，从而得到了扩展模型：
$$
\begin{align*}
ut &= d1uxx + f(u,v,P), & x \in \mathbb{R}, t > 0, \\
vt &= d2vxx + g(u,v,P), & x \in \mathbb{R}, t > 0, \\
Pt &= d3Pxx + s(u,v,P), & x \in \mathbb{R}, t > 0, \\
(u(x,0), v(x,0), P(x,0)) &= (u_0(x), v_0(x), P_0(x))
\end{align*}
$$
其中：
$$
f(u,v,P) = (1 + P)k_1r(v)G(u) - \omega u, \quad g(u,v,P) = 1 - (1 + P)^{-k_2}h(u)v, \quad s(u,v,P) = u(1 - P)
$$
参数k0、k1和k2编码了这些变量之间的相互作用。参数k0出现在函数h中，用于模拟抗议参与对社会紧张程度的影响；参数k1和k2分别模拟了警察密度P对抗议活动水平和社会紧张程度的影响。如果k1>0且k2>0，警察存在会鼓励抗议参与并加剧紧张程度；相反，如果k1<0且k2<0，则警察存在会抑制抗议并缓解紧张程度。警察密度的变化用具有承载能力的逻辑斯蒂增长模型来描述。出于物理原因，我们将参数d1、d2、d3、α、β、Γ、ω限制为正数。

系统的单调性由参数k0、k1、k2决定。当这三个参数都为正时，系统是单调的，行波前沿的存在性和稳定性已在[36]中得到证明。当其中至少有一个参数为负时，系统变得非单调，产生了七种不同的符号组合（表1），每种组合对应于抗议活动、紧张程度和警察之间不同的相互作用假设。这些情况可能产生复杂的动态，但迄今为止仅有限地进行了分析。在这项工作中，我们假设非单调系统存在行波解，并推导了它们的稳定性标准。这项分析有助于理解抗议活动在政策干预或经济冲击等外部影响下是否能够保持其结构。

**在没有警察管理的双组分抗议-紧张系统**中，Bakhshi等人[5]在特定扩散尺度和模型参数假设下证明了非单调情况（k0<0）下存在非单调行波。这些结果不能直接应用于当前的三组分模型。实际上，警察密度的加入引入了一个额外的动态方程和耦合参数k1、k2。因此，行波方程具有更高维的相空间，通常缺乏两组分存在分析中使用的结构。因此，三组分系统中的非单调情况的存在性仍是一个未解决的分析问题。本文关注非单调系统中前沿的稳定性，这超出了经典单调理论的范围，需要对线性化问题进行更详细的分析。我们首先证明了这些前沿在谱上是稳定的，然后展示了它们随时间的非线性稳定性。为了构建我们的研究，我们首先回顾了行波前沿的基本分类。根据平衡点的稳定性属性，波前可以分为两种类型：如果行波的两个平衡点都稳定，则称为双稳态；如果只有一个平衡点稳定，则称为单稳态[35]。另一种分类基于选择前沿渐近速度的机制，将前沿分为“拉动型”和“推动型”。拉动型前沿由前沿前沿的动态控制，其增长率受线性不稳定性支配；相比之下，推动型前沿由整个波形的非线性增长驱动，导致传播速度大于线性速度。这一基本区别对它们对扰动的响应有影响。我们的谱分析表明，单稳态临界前沿只是边缘稳定，这些前沿与最小速度相关。之前的研究[4]表明，在标量系统中陡峭的初始条件会选择这些前沿；我们将这一结果通过数值方法扩展到我们系统中的单调和非单调情况。我们还使用数值实验研究了基于传播速度的从拉动型前沿到推动型前沿的转变，补充了现有的分析和数值研究[3]。

**大纲**
我们在第1.3节提供了一些数学背景，并在第1.4节介绍了主要的稳定性结果。然后在第2.1节建立了谱稳定性，在第2.2节建立了非线性稳定性。第3节展示了一些数值结果。在本节中，我们提供了关于行波解的一些数学背景，并介绍了不同类型的稳定性。系统（4）的行波解具有形式u(x,t)=u?(z)，其中z=x?ct（c∈R为波速），并满足：
$$
\begin{align*}
Au?'' + Cu?′ + F(u?) = 0, \quad \lim_{z \to \pm\infty} u?(z) = u?\pm, \\
F = [fgs]^T, \quad f, g, s \text{ 在 （4）中定义 }, \quad A = \diag(d1,d2,d3) \text{ 为扩散矩阵 }, \quad C = cI
\end{align*}
$$
将系统围绕波解u?(z)线性化，得到特征值问题λw=Lw，其中L=A?zz+C?z+DF(u?)，DF(u?)是F的雅可比矩阵。L的谱决定了波的谱稳定性，我们通过下面的定义1和定义2进行了形式化：

**定义1** [18]、[19]、[21]
如果系统（4）的行波解的线性化L满足σ(L)?{λ:Re(λ)0，除了零处的简单特征值），则该行波解在谱上是稳定的。

**定义2** [31]
如果系统（4）的行波解的线性化L满足σ(L)?{λ:Re(λ)≤0}，则该行波解在谱上是边缘稳定的。

**定义3** [20]
如果对于每个初始条件uˉ=uˉ(x)，存在一个τ，使得相关解u(x,t)满足u(x,t)→u0(?+τ) as t→∞，则行波解u=u0(z)在非线性上是渐近稳定的。

**结论**
在第3节中，我们总结了系统（4）前沿解稳定性的主要结果。定理1和定理2通过分析线性化算子的本质谱和点谱来证明这些前沿的谱稳定性。为了处理由对流不稳定性[32]、[33]引起的不稳定本质谱，我们使用了一种标准技术：应用指数权重。这种方法在反应-扩散系统和保守系统中都有广泛应用[28]。在实践中，我们定义了一个加权空间δ>0Lδ2(R)：{u(z):e?δzu(z)∈L2(R)}，这将增长的扰动有效地移向无穷远，从而稳定了本质谱。速度最小的一些前沿解称为临界前沿，而速度超过最小速度的前沿称为超临界前沿。定理1表明，对于超临界单稳态前沿和所有双稳态前沿，可以选择权重使得整个本质谱位于虚轴的左侧。在系统（4）中，双稳态行波前沿和超临界单稳态行波前沿在Lδ2(R)∩H2(R)中是谱稳定的，其中Lδ2(R)是由L2(R)定义的空间，并对满足不等式（15）和（16）的正δ赋予权重eδz。定理2得出结论：对于临界单稳态前沿，权重将谱移动到开放右半平面之外，同时谱仍然包括虚轴。定理2 单稳态临界前沿的边际谱稳定性假设k0、k1、k2中至少有一个是负数，并且系统（4）存在行波解。在δ=c2的情况下，系统（4）中的临界单稳态行波前沿在Lδ2(R)∩H2(R)中是边际谱稳定的，且不存在谱隙。我们现在提出一个定理，该定理建立了非单调区域内所有双稳态和超临界单稳态前沿的非线性渐近稳定性。这一结果是基于谱稳定性结论以及非线性项在Lδ2(R)∩H2(R)∩L∞(R)中是光滑函数的事实得出的。定理3 渐近稳定性假设k0、k1、k2中至少有一个是负数，并且系统（4）存在行波解。任何在d3>0的情况下的系统（4）中的双稳态和超临界单稳态行波前沿在Lδ2(R)∩H2(R)∩L∞(R)中都是渐近稳定的，其中Lδ2(R)的定义见定理1。注释1 平面波的扩展上述定理的一个自然扩展是考虑更高空间维度的平面波。如果扰动仅限于传播方向，那么定理1、定理2和定理3中的稳定性结果也适用于平面行波。**稳定性**在本节中，我们证明了在非单调系统中行波的稳定性结果，其中k0、k1和k2中至少有一个是负数。第2.1节和第2.2节分别讨论了谱稳定性和渐近稳定性。**数值结果**在本节中，我们展示了在不同参数范围内的抗议活动的扩散速度和基本再生数的数值结果。在第3.1节中，我们计算了扩散速度并将其与理论线性扩散速度进行了比较。我们进一步研究了触发事件如何影响传播动态。第3.2节分析了系统（2）和（4）的基本再生数R0，并探讨了关键参数如何影响其临界阈值。**讨论**先前的工作研究了没有警察管理和有警察管理的抗议动态系统，其中抗议活动的强度、社会紧张程度和警察的存在相互增强。特别是，这些系统中的行波解模拟了抗议的传播，引起了研究人员的极大兴趣。过去曾研究过这些波在某些系统状态下的存在性和稳定性，以帮助确定何时……**致谢**作者感谢Stephane Lafortune、Anna Ghazaryan和Blake Barker的有益讨论。Rodriguez部分由NSF-DMS-2042413和AFOSR MURI FA9550-22-1-0380资助。Wang由AFOSR MURI FA9550-22-1-0380资助。Christina Wuyan Wang | Jeff Brantingham | Nancy Rodríguez