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摘要我们研究了一种AK型增长模型，其中生产依赖于肥沃土地——一种物理上有界的不可替代要素。与标准AK框架不同，生产能力无法无限扩展，因为生产会产生污染，导致肥沃土地退化，而减排措施则可以恢复土地质量。利用庞特里亚金状态约束最优控制方法，我们将物理状态约束转化为控制约束，并获得
摘要
我们研究了一种AK型增长模型，其中生产依赖于肥沃土地——一种物理上有界的不可替代要素。与标准AK框架不同，生产能力无法无限扩展，因为生产会产生污染，导致肥沃土地退化，而减排措施则可以恢复土地质量。利用庞特里亚金状态约束最优控制方法，我们将物理状态约束转化为控制约束，并获得最优解的完整解析刻画。分析识别了由贴现率决定的三种情形。对于足够耐心的规划者，肥沃土地在有限时间内达到其最大可行水平，消费收敛于其最高可持续水平。对于中等贴现率，土地和消费逐渐下降，而非常缺乏耐心的规划者选择不进行减排，从而快速耗竭生产能力。研究结果表明，物理限制如何重塑最优增长和资源管理政策，并为环境和资源经济学提供了新的见解。
引言
经济增长最终取决于生产性资源，其可获得性可能受到环境退化的限制。虽然AK增长框架提供了持续增长的基准模型，但它通常忽略了生产要素的物理限制。当生产依赖于肥沃土地时，这种忽略可能尤为限制性，因为肥沃土地的质量可能因 intensive use 而退化，但也可通过恢复措施加以改善。
我们考虑了一种AK型经济，其中生产依赖于肥沃土地的存量。经济活动会产生污染，降低土地质量，而减排支出有助于恢复土地质量。肥沃土地受物理最大值的约束，由此形成了一个状态约束最优增长问题。
尽管本文采用的模型设定较为简化，但它与农业经济学中关于土地退化与恢复的广泛文献相一致（如Barbier, 1997; Pimentel, 2006; Lal, 2015）。农业生产可能通过养分耗竭、侵蚀、污染和 intensive land use 加剧土壤退化，而对修复、土壤保护和恢复的投资则可以部分恢复生产能力。我们的模型通过简约形式表示捕捉了这些机制，其中生产性活动导致退化，而减排措施恢复肥沃度。其目标并非在详细的生物物理层面复制农业过程，而是提供最简单可处理的表示，以刻画当前生产与长期土地质量之间的权衡。
本文与AK增长文献相关（Ramsey, 1928; Hotelling, 1931; Dasgupta and Heal, 1974; Solow, 1974; Stiglitz, 1974; Benchekroun and Withagen, 2011等），更具体地说，与将环境反馈引入内生增长模型的研究相关。本文也与空间AK模型有关，在这些模型中生产能力在环境约束下演变。然而，与这些贡献不同，我们的关注点是一种物理上有界的生产要素。有限存量的肥沃土地和内生的恢复决策将标准增长问题转化为资源管理问题。增长前景不再产生永续扩张，而是取决于生产性资源本身的演变和保护。
本文也与Boucekkine等人（2013）之后的空间AK文献相关（例如Boucekkine et al., 2019; Boucekkine et al., 2021; Fabbri, 2016）。他们的框架考虑空间分布的生产能力，而我们的关注点是一种有限且不可替代的生产要素，受明确上限的约束。因此，我们考察物理资源约束如何改变一个否则为AK型经济的动态过程。
本文做出了三项贡献。首先，它发展了一个解析上可处理的AK模型，其中有限的生产要素通过退化和恢复动态演变。其次，通过将状态约束转化为等价的控制约束，利用庞特里亚金极大值原理提供了最优解的完整刻画。第三，模型根据规划者的时间偏好率识别了不同情形，并刻画了肥沃土地达到其最大可持续水平的条件。
分析揭示了三种质的不同的结果。对于足够耐心的规划者，肥沃土地在有限时间内达到其最大可行水平，消费收敛于其最高可持续水平。对于中等贴现率，土地质量和消费随时间逐渐下降。对于足够缺乏耐心的规划者，不进行恢复努力，生产能力快速恶化。这些结果表明，生产资源的物理限制如何改变基准AK模型的预测。
本文其余部分组织如下。第2节介绍模型。第3节提供最优解的解析刻画。最后，第4节进行总结。所有证明汇总于附录中。
章节片段
有限经济
我们考虑一个具有代表性无限寿命代理的经济，以及一种可用于消费和污染减排的最终产品。生产完全依赖于肥沃土地——一种不可替代且物理上有限制的投入要素。总土地禀赋是固定的，被划分为肥沃土地和受污染土地，两者均须保持非负。因此，
方法论
遵循Pontryagin等人（1962）的方法，我们接下来展示如何考虑的某些处的最优解。值得注意的是，这些并非消费永远保持在边界值上的角点解，而是在某个特定的单一或某段时间区间内最终取这些值的解。
对所有变量进行标准化，定义和。优化问题（4）–（3）等价于约束条件为
结论
本文通过资源经济学的视角重新审视Ramsey-AK框架，明确纳入了一种不可替代生产要素的有限性。虽然传统的AK模型忽略了物理限制并依赖于严格的贴现条件来产生持续增长，但我们的分析表明，一旦承认资源边界，最优政策的定性特征可能存在显著差异。通过将生产建模为依赖于有限的肥沃
CRediT作者贡献声明
Carmen Camacho：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，项目管理，方法论，调查，形式化分析，概念化。Weihua Ruan：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，软件，项目管理，方法论，调查，形式化分析，概念化。Benteng Zou：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，
利益冲突声明
作者声明，他们不存在已知的竞争性财务利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文所报告的工作。
Carmen Camacho|Weihua Ruan|Benteng Zou
