前三角导出范畴的导出子

《Journal of Pure and Applied Algebra》：The derivator of a pretriangulated dg-category

　　

**摘要**

在本工作中，我们通过对 dg-范畴中合适的加权同伦极限和余极限显式定义同伦 Kan 扩张，从而构造了与同伦完备且余完备的 dg-范畴相关联的稳定 derivator。通过将 derivator 的定义域限制为有限直接范畴，即使对于预三角 dg-范畴，我们也得到了一个定义良好的 derivator。这一定义使我们能够显式描述与弱幂零完备 Frobenius 正合范畴相关联的 derivator，从而在 Gorenstein 投射（等价于 Gorenstein 内射）图表的术语下给出了更直接的刻画。

**引言**

导出范畴（环或概形的）如今是数学中的一个经典课题，在几何和代数中有许多应用。它们通过在准同构（即在上同调中诱导同构的态射）处局部化给定环上的模（或给定概形上的层）的复形范畴来定义。从范畴论的角度看，导出范畴通常表现得不够良好：例如，复形的通常极限和余极限（例如核和余核）在导出范畴内通常不会给出相应的极限和余极限。取而代之的是，我们应该寻找同伦极限和余极限，即复形的极限和余极限概念的一种变体，具有在准同构下稳定的关键性质。

三角结构的概念，使得导出范畴成为三角范畴的典型例子，部分解决了上述问题。事实上，我们可以定义导出范畴中的某些同伦极限和余极限，例如映射锥；不幸的是，这些同伦极限和余极限仅仅作为对象给出，而非作为函子。这种缺乏函子性是使用导出范畴（以及更一般地，三角范畴）的主要技术缺陷之一：这使得该理论在许多用途下是有用的工具，但最终是不完善的。

为了恢复函子性的同伦极限和余极限，仅有导出范畴和三角范畴所携带的信息是不够的。事实证明，三角范畴可以被“增强”为更复杂的高阶范畴结构，其中所有同伦极限和余极限都可以定义，并表现出预期的函子性。非正式地说，三角范畴 T 的增强是一个高阶范畴 C，使得 $hC$ 等价于 T，其中 $hC$ 表示高阶范畴 C 的底层范畴（也常称为同伦范畴）：因此三角范畴 T 可以被视为 C 的“阴影”。这类高阶范畴有很多种类型，选择其中一种通常取决于情境的便利性。同时也预期所有这些“增强”三角范畴的高阶范畴理论，在某种意义上是等价的。

微分分级（dg-）范畴是增强三角范畴的流行选择。这些是在固定基本交换环上的模的复形上富集（enriched）的范畴，它们具有由复形本身的同伦理论所诱导的同伦理论 [61] [62]。预三角 dg-范畴的概念可以给出 [5]，如果 A 是这样的范畴，那么它的同伦范畴（记为 $H_0(A)$，作为其零阶上同调）承载了一个自然的三角范畴结构。按照上述增强的非正式定义，我们说三角范畴 T 的 dg-增强是一个预三角 dg-范畴 A，使得 $H_0(A)$ 等价于 T。在 A 内部我们可以定义函子性的同伦极限和余极限，特别是函子性映射锥。最近的结果 [9] [13]（另见综述 [12]）确保了本质上所有的导出范畴都容许一个本质唯一的 dg-增强。

dg-范畴是增强三角范畴的一种流行手段，但也有其他可能的选择。在本工作中，我们将关注稳定 derivators。Derivators 最初由 Grothendieck [28] 和 Heller [29] [30] 引入，并在最近于 [26] 中进一步发展；我们也注意到，使用 derivator 概念的一个变体（使用 Grothendieck 纤维化而非范畴的预层），关于范畴增强的全面理论在 [38] 中得到了发展。稳定 derivators 是专为导出范畴（以及稳定同伦理论）定制的特殊 derivators。三角范畴 T 的 derivator 增强，通常是一个稳定 derivator D，使得其底层范畴 D(e) 等价于 T。如果 R 是一个环，我们可以定义一个增强导出范畴 D(R) 的稳定 derivator，作为以下 2-函子（定义在 2-范畴 $\mathrm{Cat}^{op}$ 上）：
$$I \mapsto D(\mathrm{Mod}(R)^I)$$
其中 I 是任何小范畴，$\mathrm{Mod}(R)^I$ 表示函子 $I \to \mathrm{Mod}(R)$ 的（阿贝尔）范畴。我们看到，取 $I=e$（终范畴），我们恢复了 D(R) 本身，但通过追踪所有函子 $I \to \mathrm{Mod}(R)$ 的导出范畴，提供了一个自然的框架，允许我们定义和处理同伦 Kan 扩张，因此也就是同伦极限和余极限。

既然 dg-范畴和稳定 derivators 都可作为导出范畴的增强选择，我们面临一个自然的问题：能否比较此类增强？本文的目标是对该问题给出一个初步的肯定回答，即直接构造给定（预三角的，具有合适的同伦（余）完备性质）dg-范畴的关联 derivator：

**定理** 参见定理 5.4
设 $\mathcal{A}$ 是一个 $k$-线性预三角 dg-范畴，容许所有同伦极限和余极限。那么，定义在 2-范畴 $\mathrm{Cat}^{op}$ 上的 2-函子 $I \mapsto \mathcal{D}^{qf}(k[I], \mathcal{A})$，其对象是小范畴，定义了一个强且稳定的 derivator，其底层三角范畴是 $H_0(\mathcal{A})$。这里 $k$ 是一个基本交换环，$k[I]$ 表示由小范畴 I 生成的自由 $k$-线性范畴，$\mathcal{D}^{qf}(k[I], \mathcal{A})$ 表示从 $k[I]$ 到 $\mathcal{A}$ 的 $k$-线性准函子范畴（直观上：dg-范畴的同伦相干态射，参见 §3.3）。该定理特别断言，如果 T 是一个完备且余完备的三角范畴（即容许任意积和余积）且具有 dg-增强 $\mathcal{A}$，那么 T 也具有 derivator 增强。

该结果证明中的关键工具是第 4.4 节中给出的 dg-范畴中同伦极限和余极限（因而也是同伦 Kan 扩张）的描述。定义此类同伦（余）极限背后的主要思想是将它们视为特殊的加权余极限（如富范畴理论中所示），其中权重进行合适的分解以确保在准同构下稳定。这套同伦极限和余极限理论还将使我们能够将预三角 dg-范畴刻画为恰好容许有限同伦极限和余极限的那些 dg-范畴（第 4.3 节，命题 4.16）。由此，我们得到了上述定理的一个变体：

**变体** 参见定理 5.16
设 $\mathcal{A}$ 是一个 $k$-线性预三角 dg-范畴。那么，定义在 2-范畴 $\mathrm{FinDir}^{op}$ 上的 2-函子 $I \mapsto \mathcal{D}^{qf}(k[I], \mathcal{A})$，其对象是有限直接范畴，定义了一个强且稳定的 derivator，其底层三角范畴是 $H_0(\mathcal{A})$。该变体特别断言，如果 T 是一个具有 dg-增强 $\mathcal{A}$ 的三角范畴，那么 T 也具有 derivator 增强。

作为上述定理一个相当直接的推论（参见推论 5.7），我们可以证明，对于给定的环 R，通过取 $\mathcal{A}=\mathcal{D}^{dg}(R)$ 作为 D(R) 的 dg-范畴增强，2-函子
$$I \mapsto D(\mathrm{Mod}(R)^I), \quad I \mapsto \mathcal{D}^{qf}(k[I], \mathcal{D}^{dg}(R))$$
是等价的，从而为我们提供了导出范畴 D(R) 的 dg-范畴增强与 derivator 增强之间所期望的联系。

dg-范畴所关联的 derivator 在另一个应用中也是有用的。给定一个 Frobenius 正合范畴 F，我们知道其稳定范畴 $\mathcal{F}_{st}$ 是三角的，而且，事实上，代数中几乎所有的三角范畴都以这种方式出现（它们通常被称为代数三角范畴，参见例如 [44, §7]）。因此，这是另一种非常普遍且一般的“增强”。众所周知，稳定范畴 $\mathcal{F}_{st}$ 容许一个由 $\mathrm{Ch}_{ac}^{dg}(\mathrm{Proj}(\mathcal{F}))$ 给出的 dg-增强，即 F 中投射对象的无环复形的 dg-范畴 [43]。我们的目标是显式描述与该 dg-范畴关联的 derivator，即当我们将 derivator 的定义域限制为有限直接范畴时，Frobenius 正合范畴 F 的 derivator。由于技术原因，我们假设 F 是弱幂零完备的（即 F 中的每个截面都有余核，或者等价地，每个缩回都有核，[8, §7]）。

**定理** 参见定理 6.13
设 F 是一个弱幂零完备的 Frobenius 正合范畴，设 I 是一个有限直接范畴。以下等价成立：
$$\mathcal{D}^{qf}(k[I], \mathrm{Ch}_{ac}^{dg}(\mathrm{Proj}(\mathcal{F}))) \cong K_{ac}(\mathrm{Proj}(\mathcal{F}^I)) \cong K_{ac}(\mathrm{Inj}(\mathcal{F}^I))$$
这里 $K_{ac}(\mathrm{Proj}(\mathcal{F}^I))$ 是函子范畴 $I \to \mathcal{F}$ 的正合范畴中投射对象的无环链复形的同伦范畴，类似地 $K_{ac}(\mathrm{Inj}(\mathcal{F}^I))$ 是函子范畴 $I \to \mathcal{F}$ 的正合范畴中内射对象的无环链复形范畴。

在附录 A 中，我们给出了（弱幂零完备）Frobenius 正合范畴的 derivator 的更直接描述。经过无环复形的这一过程，尽管对于应用我们的工具来说是必要的，但回过头来看可能会感到人为，并且在此背景下获得对同伦（余）极限（或同伦 Kan 扩张）的更好理解似乎是有益的。

附录 A 的主要结果可以从两个视角来看待。对于熟悉 Quillen 模范畴和 Reedy 模范畴结构的读者，我们回顾一下 $\mathcal{F}_{st}$ 识别为局部化 $\mathcal{F}[W^{-1}]$，其中 W 是所有稳定同构的类（即 F 中在 $\mathcal{F}_{st}$ 中变成可逆的态射）。F 上有两种模范畴结构，其弱等价恰好是稳定同构，一种其中余纤维化恰好是膨胀，另一种其中纤维化恰好是放缩。那么我们的结果基本上总结了图表范畴上相应的 Reedy 模范畴结构的性质，一旦我们证明它们存在，这在我们的背景下是相当非平凡的，因为 F 通常远远不是完备或余完备的。

对于熟悉表示论的读者，解释在于 $\mathcal{F}^I$ 通常不是 Frobenius 的，但它是我们要称的好的 Gorenstein 正合范畴（就同调上类似于 Iwanaga-Gorenstein 环的模范畴而言 [35], [36]，另见 [57, Section 11.4]）。在这样的正合范畴中，有两个自然的 Frobenius 正合满子范畴，即 Gorenstein 投射图表范畴 $\mathcal{G}\mathrm{Proj}(\mathcal{F}^I)$ 和 Gorenstein 内射图表范畴 $\mathcal{G}\mathrm{Inj}(\mathcal{F}^I)$，它们分别恰好对应于 $\mathrm{Ch}_{ac}(\mathrm{Proj}(\mathcal{F}^I))$ 和 $\mathrm{Ch}_{ac}(\mathrm{Inj}(\mathcal{F}^I))$ 中复形的余上链。事实上，Gorenstein 投射和 Gorenstein 内射图表的范畴在表示论的各种语境下都已被研究。我们范畴 F 的角色通常（但并不总是）由有限维代数的有限生成模范畴担任，并且通常对形状 I 施加各种限制，范围从 [37] [48]（对于 $I=[1]$，二元偏序集 (0<1)）到 [63] [64]（对于有限序数 $I=[n]=(0<1<\dots
**定理** 参见定理 a.35
设 f 是一个弱幂零完备的 frobenius 正合范畴，设 $\mathcal{d}_f: \mathrm{findir}^{op} \to \mathrm{cat}$ 是如前一定理所定义的 derivator（参见定理 6.13），即由
$$\mathcal{d}_f(i) = \mathcal{d}^{qf}(k[i], \mathrm{ch}_{ac}^{dg}(\mathrm{proj}(\mathcal{f})))$$
给出。那么对于任何有限直接范畴 i，我们有等价关系：
$$\mathcal{d}_f(i) \cong \mathcal{f}^i[w_i^{-1}] \cong \mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^i)_{st} \cong \mathcal{g}\mathrm{inj}(\mathcal{f}^i)_{st}$$
其中 $w_i$ 由 $\mathcal{f}^i$ 中图表态射 $f: x \to y$ 组成，使得对于每个 $i \in i$，$f_i: x_i \to y_i$ 是 f 中的稳定同构。

此外，对于有限直接范畴之间的任何函子 $u: i \to j$，显然的正合限制函子 $u^*: \mathcal{f}^j \to \mathcal{f}^i$ 有一个部分定义的正合左伴随 $u_! : \mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^i) \to \mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^j)$ 和一个部分定义的正合右伴随 $u_* : \mathcal{g}\mathrm{inj}(\mathcal{f}^i) \to \mathcal{g}\mathrm{inj}(\mathcal{f}^j)$。这些部分定义的伴随分别诱导了限制函子 $u^*: \mathcal{d}_f(j) \to \mathcal{d}_f(i)$（即在 $\mathcal{d}_f$ 中沿 u 的左和右 kan 扩张）的左和右伴随，如下所示的图表所示：

作为引言的结束，我们将提及一个在表示论中有意义的推论。由于 derivator $\mathcal{d}_f$ 是强且稳定的，我们得到以下结果：

**推论** 参见推论 a.37
给定一个弱幂零完备的 frobenius 正合范畴 f 和一个由有限无环直和自由生成的范畴 q，典范函子
$$\mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^q)_{st} \to (\mathcal{f}_{st})^q$$
是全的，本质满的，并且反映同构。 [16] [17] [50]（对于由有限无环直和自由生成的 i）直到 [58]（原则上涵盖了所有有限直接范畴）。我们不旨在使这份参考文献列表完整，转而推荐 [46] 以获得更完整的历史描述。原因是 gorenstein 同调代数是一个活跃且流行的课题，过去和现在都被许多作者研究。这里我们只是指出，一方面我们的情况要普遍得多（特别是 f 是一个正合范畴，所以它甚至没有所有有限（余）极限），但另一方面我们假设了 f 是 frobenius 的强同调条件。 **定理** 参见定理 a.35 设 f 是一个弱幂零完备的 frobenius 正合范畴，设 $\mathcal{d}_f: \mathrm{findir}^{op} \to \mathrm{cat}$ 是如前一定理所定义的 derivator（参见定理 6.13），即由 $$\mathcal{d}_f(i)=\mathcal{D}^{qf}(k[I], \mathrm{ch}_{ac}^{dg}(\mathrm{proj}(\mathcal{f})))$$ 给出。那么对于任何有限直接范畴 i，我们有等价关系： $$\mathcal{d}_f(i) \cong \mathcal{f}^i[w_i^{-1}] \cong \mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^i)_{st} \cong \mathcal{g}\mathrm{inj}(\mathcal{f}^i)_{st}$$ 其中 $w_i$ 由 $\mathcal{f}^i$ 中图表态射 $f: x \to y$ 组成，使得对于每个 $i \in i$，$f_i: x_i \to y_i$ 是 f 中的稳定同构。 此外，对于有限直接范畴之间的任何函子 $u: i \to j$，显然的正合限制函子 $u^*: \mathcal{f}^j \to \mathcal{f}^i$ 有一个部分定义的正合左伴随 $u_! : \mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^i) \to \mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^j)$ 和一个部分定义的正合右伴随 $u_* : \mathcal{g}\mathrm{inj}(\mathcal{f}^i) \to \mathcal{g}\mathrm{inj}(\mathcal{f}^j)$。这些部分定义的伴随分别诱导了限制函子 $u^*: \mathcal{d}_f(j) \to \mathcal{d}_f(i)$（即在 $\mathcal{d}_f$ 中沿 u 的左和右 kan 扩张）的左和右伴随，如下所示的图表所示： 作为引言的结束，我们将提及一个在表示论中有意义的推论。由于 derivator $\mathcal{d}_f$ 是强且稳定的，我们得到以下结果： **推论** 参见推论 a.37 给定一个弱幂零完备的 frobenius 正合范畴 f 和一个由有限无环直和自由生成的范畴 q，典范函子 $$\mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^q)_{st} \to (\mathcal{f}_{st})^q$$>
**定理** 参见定理 a.35
设 f 是一个弱幂零完备的 frobenius 正合范畴，设 $\mathcal{d}_f: \mathrm{findir}^{op} \to \mathrm{cat}$ 是如前一定理所定义的 derivator（参见定理 6.13），即由
$$\mathcal{d}_f(i) = \mathcal{d}^{qf}(k[i], \mathrm{ch}_{ac}^{dg}(\mathrm{proj}(\mathcal{f})))$$
给出。那么对于任何有限直接范畴 i，我们有等价关系：
$$\mathcal{d}_f(i) \cong \mathcal{f}^i[w_i^{-1}] \cong \mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^i)_{st} \cong \mathcal{g}\mathrm{inj}(\mathcal{f}^i)_{st}$$
其中 $w_i$ 由 $\mathcal{f}^i$ 中图表态射 $f: x \to y$ 组成，使得对于每个 $i \in i$，$f_i: x_i \to y_i$ 是 f 中的稳定同构。

此外，对于有限直接范畴之间的任何函子 $u: i \to j$，显然的正合限制函子 $u^*: \mathcal{f}^j \to \mathcal{f}^i$ 有一个部分定义的正合左伴随 $u_! : \mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^i) \to \mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^j)$ 和一个部分定义的正合右伴随 $u_* : \mathcal{g}\mathrm{inj}(\mathcal{f}^i) \to \mathcal{g}\mathrm{inj}(\mathcal{f}^j)$。这些部分定义的伴随分别诱导了限制函子 $u^*: \mathcal{d}_f(j) \to \mathcal{d}_f(i)$（即在 $\mathcal{d}_f$ 中沿 u 的左和右 kan 扩张）的左和右伴随，如下所示的图表所示：

作为引言的结束，我们将提及一个在表示论中有意义的推论。由于 derivator $\mathcal{d}_f$ 是强且稳定的，我们得到以下结果：

**推论** 参见推论 a.37
给定一个弱幂零完备的 frobenius 正合范畴 f 和一个由有限无环直和自由生成的范畴 q，典范函子
$$\mathcal{g}\mathrm{proj}(\mathcal{f}^q)_{st} \to (\mathcal{f}_{st})^q$$
是全的，本质满的，并且反映同构。>

特别地，它在两个范畴的对象同构类之间诱导了一个双射。高、库尔沙默、克瓦姆和普萨拉达基斯最近在第[19]篇论文中，将F替换为具有足够注对象的任意阿贝尔范畴，获得了类似的结果。如果我们选择F为对偶数环k[T]/(T2)上的有限生成模范畴（其中k是一个域），那么[19, 定理A]和我们推论A.37都恢复了Ringel和Zhang在第[56, 定理1(b)]中得到的一个双射。在所有情况下，该推论的优点在于，它允许我们用更简单的范畴(F_)Q来分类GProj(FQ)_中对象的同构类。

**记号约定**

全文中，我们固定一个交换环k作为基环。所有dg范畴和阿贝尔范畴（包括正合范畴）始终是k线性的。属于2-范畴Cat或FinDir的小范畴不是k线性的，通常用大写字母I、J等表示；我们通常会使用它们的k线性化k[I]、k[J]等。我们将一致使用上同调记号，即每个模复（也称为dg模）都是一个上同调复，其微分算子的次数为+1。

我们将通过隐式地固定适当的Grothendieck宇宙，基本上忽略集合论问题。

**论文结构**

第2节包含导出子的基本理论。第3节包含dg范畴和准函子（即dg范畴的"同伦相容态射"）的基本理论，这是本文所需的。第4节包含dg范畴中带权同伦极限和余极限的理论；还介绍了dg范畴之间准函子的同伦Kan扩张。第5节包含关于与dg范畴相关联的导出子的主要结果及其证明。第6节将主要结果应用于与Frobenius正合范畴相关联的导出子。附录进一步讨论了该应用，通过Gorenstein投射（等价地，Gorenstein注）图描述了Frobenius正合范畴的导出子。

**致谢**

我们感谢Isaac Bird、John Bourke、Sondre Kvamme、Mattia Ornaghi和Sebastian Opper的有益讨论和参考文献推荐。我们还感谢匿名审稿人的意见和建议。

**各节摘要**

**导出子**

本节旨在快速介绍导出子。更多信息可参见[26]。

设Cat为小范畴的2-范畴，考虑态射u: I→J∈Cat和对象j∈J。切片范畴(u/j)由对(i, f)组成，其中i是I中的对象，f: u(i)→j是J中的态射。两个对象(i, f)和(i′, f′)之间的态射是I中的态射i→i′，使得J中显然的三角形交换。余切片范畴(j/u)是对偶定义的。

**定义2.1** 参见[53, §2]

**dg范畴和准函子**

本节讨论dg范畴理论的主要结果：§3.1处理基础知识，§3.2处理预三角dg范畴的概念。关于准函子（即dg范畴之间的"同伦相容态射"）的主要结果也在§3.3中讨论。

**同伦（余）极限和同伦Kan扩张**

在本节中，我们探索dg范畴中同伦极限和余极限理论的基础知识。我们指出，dg范畴中的极限和余极限理论必然是一个带权极限和余极限理论，因为dg范畴是加权范畴的例子。然后，为了定义带权同伦（余）极限，我们基本上遵循[54]的方法（参见[47, 定义5.2]），这可以总结为以下口号：带权同伦（余）极限是

**与dg范畴相关联的导出子**

设I和J为小范畴，令u: I→J为函子。我们有一个唯一诱导的k线性函子k[u] = u: k[I]→k[J]，它作用于由I和J生成的自由k线范畴之间。此外，我们将k[I]和k[J]视为集中在次数0处的dg范畴。

**引理5.1** 设I为小范畴。那么，dg范畴k[I]是h-投射的，即它具有h-投射的Hom复。此外，它具有分裂单位（参见[10, 定义3.4]），即对于任何对象i∈k[I]，我们有k ? k1_i，并且包含k1_i

**Frobenius正合范畴的导出子**

为了固定术语，回忆一下，在阿贝尔范畴F中，核-余核一对是指F中一对可复合的态射(i, p)，其中i是p的核，p是i的余核。如果我们固定F中核-余核对的一类C，使用Keller在[39]中的术语，我们将F中的态射i称为膨胀，如果存在态射p∈F使得(i, p)∈C。缩裂是对偶定义的，C中的核-余核对称为对合。阿贝尔范畴F是正合的，如果它是

**CRediT作者贡献声明**

Francesco Genovese：写作—审阅与编辑，写作—原稿，构思。Chiara Sava：写作—审阅与编辑，写作—原稿。Jan ??oví?ek：写作—审阅与编辑，写作—原稿，构思。

Francesco Genovese | Chiara Sava | Jan ??oví?ek