完全交叉点上的一阶层叠结构

《Journal of Pure and Applied Algebra》：Degree-one foliations on complete intersections

　　摘要
我们证明了，在轻微的限制条件下，光滑射影完全交叉曲面上的一阶余维一度叶层空间包含两个对数类型的不可约分量。我们还证明了对于任何维度至少为三且非二次曲面的光滑超曲面，同样的结论也成立。这些结果的证明主要基于一个更一般的结构定理，该定理适用于被直线覆盖的流形上的叶层。

引言
在光滑射影簇X上的一个奇异全纯叶层?，其余维为一，由一个值在向量丛N中的1-形式ω确定，且满足Frobenius可积条件?? ∧?????= 0，其奇异点的余维至少为二。在这种情况下，N被称为?的法丛。所有具有固定法丛N的叶层组成的集合定义了一个准射影簇，记为??????1?(??,??)，即具有法丛N的X上的余维一度叶层空间（见第2节）。这些空间的不可约分量已在各种背景下被研究过。例如，当X是一个曲面时，可积条件自动得到满足，相应的空间是不可约的。当Pic?(??) ??时，如果?的法丛N满足?? ??????(??+ 2)，则称?为一阶叶层，其中?????(1)表示超平面丛。对于任意余维的叶层，也可以定义度数概念（见第2节）。在这种情况下，我们将一阶余维叶层空间记为??????1?(??,??)。对于??= ???，?? ≥3，当??= 0,1,2时，这些情况已经被完全分类，对于??= 3也有一些部分结果。目前尚不清楚谁建立了度数为零的情况，但可以在[14]中找到证明。在[17]中，Jouanolou证明了阶为一的叶层?（此时称为Jacobi方程）可以分为两种情况：(1)?是?2上的一阶叶层的线性拉回；或(2)?由带有双平面的二次曲线族给出。因此，??????1?(???,1)有两个不可约分量。此外，这些分量中的通用元素由对数形式定义（见§2.2）。下面的定理A将这一结果扩展到了完全交叉曲面。

在[8]中，Cerveau和Lins Neto描述了??????1?(???,2)：它有六个不可约分量；其中四个是对数类型的，一个由线性拉回叶层组成，还有一个所谓的异常分量。在[11]中，??????1?(???,3)的不可约分量被部分分类；至少有24个不可约分量。除了射影空间之外，叶层空间的不可约分量还在其他类型的簇上被研究过，包括Fano三折体[21]、齐次空间[6]、[20]、超曲面和完全交叉曲面[2]、[16]、正特征域上的簇[23]、[24]，以及凸多面体上更高余维叶层的线性拉回分量[1]、[25]。

对于在???+1中的光滑射影超曲面X，如果deg?(??)>2?deg?(?)+1，则从环境???+1到??????1?(??,??)和??????1?(???+1,??)的叶层限制定义了一个同构（见[16, Theorem 3.6）。因此，之前对射影空间上叶层的分类也适用于这些簇。那么问题就变成了研究低度超曲面；对于一阶叶层，我们需要分析度数最多为三的超曲面。在[21]中，Loray、Pereira和Touzet证明了对于$\mathbb{R}^4$中的光滑二次超曲面X，??????1?(X,1)有三个不可约分量；其中只有两个是从$\mathbb{R}^4$上的叶层限制得到的。在这项工作中，我们证明了对于超曲面而言，这是??????1?(X,1)具有多于两个不可约分量的唯一情况。更一般地，我们研究了光滑射影完全交叉曲面上的一阶余维叶层空间的不可约分量。我们的主要结果如下：

定理A
设X是$\mathbb{R}^{n+1}$中的一个光滑完全交叉曲面，其类型为$(\det(X),\dots,\det(X)) = (d_1,\dots,d_s)$，满足以下条件之一：
(1)X是一个超曲面，即$s=1$且$(n,\det(X)) \neq (3,2)$；
(2)对所有$j=1,\dots,s$，有$\det(X) \geq 3$，且$\det(\mathbf{T}^X) \geq 2$；
(3)对所有$j=1,\dots,s$以及$n \geq 3$，有$\det(X) \geq 4$。那么$\mathcal{F}(X,1)$恰好有两个对数类型的不可约分量。此外，每一个这样的叶层都是从$\mathbb{R}^{n+1}$上的叶层限制得到的。

为了证明定理A，我们首先建立了定理3.2，它改进了[15, Teorema 2.2.5]。然后我们关注被直线覆盖的簇。我们研究了沿着叶层边缘的直线的变形，如[22]中所介绍的。首先，我们展示了一个一般自由直线在任何叶层下都是不变的（见命题4.7）。对切线叶层的详细分析导致了以下关于被直线覆盖的簇上小度数叶层的结构定理（见定理4.8）：

定理B
设$X \subset \mathbb{R}^n$是一个维度为$n \geq 3$的光滑射影簇，且$\Pic(X) = \mathbb{Z}$，被直线覆盖。如果$\mathcal{F}$是一个在$X$上的余维为一的全纯叶层，其度数为$d$，且满足以下条件之一：
(1)$\mathcal{F}$由一个没有余维一零点的封闭有理1-形式定义；
(2)$\mathcal{F}$是代数可积的；
(3)$\mathcal{F}$包含一个余维为二、度数为$k$的代数可积子叶层，其中$k \leq d-2$。

特别地，对于具有$\det(\mathbf{T}^X) \geq 2$的光滑完全交叉曲面上的度数为一的叶层，我们得出结论：要么$\mathcal{F}$由一个没有余维一零点的封闭有理1-形式定义，要么它包含一个余维为零的子叶层（见推论4.9）。在后一种情况下，我们证明该叶层是射影平面上的一阶叶层的拉回，因此再次由一个没有余维一零点的封闭有理1-形式定义（见定理5.2）。最后一点是根据定理3.2得出的。这完成了定理A最后两项的证明，以及对于度数$\det(X) \leq n$且维数为$n \geq 4$的光滑超曲面的第一项证明；或者度数$\det(X) \geq 4$且维数为$n \geq 3$的情况。唯一缺失的情况是$\det(X) = 3$且$n=3$。对于$\det(X) = 1$，结果是显而易见的；对于$\det(X) = 2$，结论在[21]中被证明是错误的。立方情况是根据定理5.5得出的。

本文的组织结构如下：第2节介绍了全纯叶层的定义和背景，并描述了射影簇上余维一度叶层空间。第3节致力于研究叶层的扩展和限制。第4节通过分析沿着叶层边缘的有理曲线的变形来发展切线叶层，并利用这些结果证明了完全交叉曲面上的一阶和二阶余维叶层的结构。第5节应用之前的结果完成了对完全交叉曲面上的一阶叶层的分类。

全纯叶层
设$X$是一个光滑射影复流形。$X$上的一个分布$\mathcal{F}$是由一个饱和子层$\mathcal{T} \subset \mathcal{T}^X$给出的数据，通常称为$\mathcal{F}$的切线层。商丛$\mathcal{N} = \mathcal{T}^X/\mathcal{T}$是一个无挠层，称为法丛。奇异点集$\sing(\mathcal{F})$是$\mathcal{N}$不是局部自由的地方；由于$\mathcal{N}$是无挠的，因此$\dim(\sing(\mathcal{F}) \geq 2$。这些层符合一个短正合序列：
$$0 \to \mathcal{T} \stackrel{\mathcal{F}}{\longrightarrow} \mathcal{T}^X \stackrel{\mathcal{F}}{\longrightarrow} \mathcal{N} \stackrel{\mathcal{F}}{\longrightarrow} 0$$。如果切线层$\mathcal{T}$在向量场的李括号下是封闭的，则称其为对合的（见定理5.2）。

完全交叉曲面上叶层的扩展和限制
设$\mathcal{U}_k$是$\mathcal{H}^0(\mathbb{R}^n, \Omega_{\mathbb{R}^n(\mathcal{X}))$中奇异集的余维大于或等于二的扭曲q-形式的开子集，设$X \subset \mathbb{R}^n$是一个光滑的完全交叉曲面。

定义3.1
如果$\mathbf{q} \in \mathcal{U}_k$在余维上与$X$是横截的，即$\xi^*\mathbf{q}$的奇异集的余维大于或等于二，其中$\xi : X \to \mathbb{R}^n$是自然嵌入，则称$\mathbf{q} \in \mathcal{U}_k$在余维上与$X$是横截的。如果一个确定$\mathcal{F}$的扭曲q-形式在余维上与$X$是横截的，则称$\mathcal{F}$在余维上与$X$是横截的（见定义3.1）。

完全交叉曲面上叶层的结构定理
在本节中，我们证明了我们的主要技术结果定理4.8。然后，我们推导出光滑完全交叉曲面上的一阶叶层和二次曲面上叶层的结构。我们首先进行一些准备。

一阶叶层的不可约分量
在本节中，我们应用结构定理4.8及其推论来确定$\mathcal{F}(X,1)$的不可约分量，其中$X$是一个超曲面或至少三维的超曲面完全交叉曲面，从而改进了推论3.3。我们从一个技术结果开始。

引理5.1
设$\phi : \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^n$是一个线性投影，其中$n > 3$且$\phi < n$，设$X \subset \mathbb{R}^{n+1}$是一个光滑的完全交叉曲面，且$\phi$是一个主导有理映射。那么其临界点的集合的余维大于...