一个结合了腐败、经济增长、失业以及环境和治理动态的分数阶模型

《Mathematics and Computers in Simulation》：A fractional-order model integrating corruption, economic growth, and unemployment with environmental and governance dynamics

　　摘要
腐败通过与管理经济、制度、社会和环境过程的复杂相互作用而演变，而过去改革和社会反应的影响可能会随着时间的推移而持续存在。本研究开发了一个六维分数阶模型，描述了经济产出、失业率、腐败程度、环境质量、制度质量以及公众意识的耦合动态。腐败再生数R0被确定为控制腐败持续性的主要阈值量。当R0<1时，无腐败平衡状态被证明是局部渐近稳定的；当R0>1时，则不稳定。中心流形分析进一步表明，在R0=1处存在一个向前的（超临界）突变。局部和全局敏感性分析指出，腐败生成参数β3是影响R0的重要正向因素，而制度效能和制度投资（分别用δ1和σ表示）则具有强烈的负面影响。随后引入了一个最优控制框架，采用制度强化、公众意识提升活动和绿色经济激励措施作为干预手段。数值模拟表明，制度和意识控制可以显著减少腐败并改善社会经济结果，而绿色激励主要缓解与经济复苏相关的环境压力。增量成本效益分析显示，将公众意识提升加入制度强化中，其增量成本效益比率约为0.98；而随后加入绿色激励，则增量比率更高，为1.25。因此，综合干预措施可以产生更广泛的系统效益，尽管更全面策略的额外收益必须与其额外的实施成本相权衡。所提出的框架为在 Integrated memory-dependent 社会经济和环境系统中考察反腐败政策提供了理论基础。

引言
可持续发展，特别是在新兴经济体中，不断受到多个核心社会经济因素之间复杂相互作用的影响[1]、[2]。这一挑战的核心是腐败，即滥用授权权力谋取私利。腐败会通过扭曲市场机制、抑制投资以及削弱制度效率，严重阻碍经济的增长和商品及服务的持续生产[3]、[4]。它还会导致更高的失业率，即积极寻找工作的人无法找到职位的情况[1]、[5]。Mamo等人的研究[3]将腐败视为一种类似传染的过程，这种过程限制了经济增长并增加了失业率，这种方法也在其他基于传染的模型中得到了考虑[6]、[7]。然而，这些社会经济动态并非孤立运作；相反，它们嵌入在一个涉及环境和治理因素的更广泛系统中。快速增长且监管不力的经济可能会加剧环境退化，正如环境库兹涅茨曲线研究所讨论的那样[8]。薄弱的制度可能进一步限制缓解这种生态破坏的能力[9]、[10]，而环境恶化反过来又会制约未来的经济表现。同时，反腐败工作的有效性受到治理质量的强烈影响，包括公共机构的诚信、效能和问责制。实证证据表明，有效的治理在控制腐败及其相关社会经济后果方面起着重要作用[1]。持续的腐败还可能削弱机构，从而形成一个反馈机制，削弱法治和公众信任，并使改革变得越来越困难[11]。

分数阶建模越来越多地用于表示复杂动态系统中的记忆和遗传效应[12]、[13]。这一特征对于社会经济过程尤为重要，因为制度弱点、腐败和政策干预的后果可能会在长时间尺度上持续存在。在腐败研究领域，Baba等人[6]通过基于传染的框架对腐败进行了建模，而Zaman等人[14]证明了分数阶动态可以改变腐败的阈值行为和持续性。分数阶技术也被应用于经济增长动态，展示了它们在表示经济系统中延迟调整和记忆效应方面的能力[15]。与本研究更直接相关的是，最近的数学模型研究了腐败与经济增长和失业率之间的相互作用[3]。这些研究为理解腐败作为耦合社会经济系统的一部分提供了重要的基础；然而，它们并未在同一框架内同时纳入环境质量、制度质量、公众意识和分数阶记忆。本研究通过开发一个六维分数阶模型来解决这一空白，该模型耦合了经济产出、失业率、腐败程度、环境质量、制度质量和公众意识。通过敏感性分析、最优控制和成本效益分析，进一步扩展了这一框架，以考察不同干预策略的效果。

我们的研究旨在通过构建一个全面的六维分数阶系统来填补这一空白。主要来说，本研究基于Mamo等人[3]的整数阶基础，提出了一个新的、全面的分数阶模型来解决这些空白。该研究引入了一个六维微分方程系统，用以模拟以下方面的共同演化：经济产出（G）、失业密度（U）、腐败密度（C）、环境质量（E）、制度质量（I）和公众反腐败意识（A）。通过采用分数阶框架，我们旨在更真实地捕捉这些相互关联动态中的长期反馈循环。最终目标是开发一个更丰富的理论框架，分析针对治理、环境保护和公众教育的综合政策如何引导系统走向低腐败和低失业的稳定繁荣平衡状态，这一方法借鉴了最优控制理论[11]以及公众意识提升运动的重要性[16]。主要目标是制定并严格分析一个全面的数学模型，以捕捉腐败、经济增长、失业率、环境质量和治理之间的相互关联动态。我们方法的新颖之处在于几个关键扩展：我们通过整合环境、制度和公众意识变量来扩展之前的整数阶框架；我们使用分数阶导数（α）来真实表示社会经济过程中固有的记忆效应；我们引入了一个多方面的最优控制问题来识别和提出有效的政策策略。

因此，本文的结构如下。第2节介绍了分析所需的基本分数阶数学预备知识，特别强调了Caputo分数导数及其拉普拉斯变换，以及采用的无量纲时间尺度解释。第3节制定了描述经济产出（G）、失业密度（U）、腐败密度（C）、环境质量（E）、制度质量（I）和公众意识（A）耦合动态的六维分数阶模型，并展示了相应的互动图。第4节提供了模型的定性分析，包括解的正性和有界性，以建立社会经济的合理性，推导出腐败再生数R0，分析无腐败和腐败持续平衡状态，以及R0=1处发生的向前（超临界）突变。第5节对R0进行了局部和全局敏感性分析。第6节通过引入制度强化（u1）、公众意识提升活动（u2）和绿色经济激励（u3）将模型扩展到最优控制框架，并使用Pontryagin最大原理为分数阶系统推导出相应的最优条件。第7节展示了数值实现和模拟结果，包括参数敏感性等高线图，验证了与R0相关的阈值行为，以及单一控制和组合控制策略的比较模拟。第8节使用平均成本效益和增量成本效益措施进行了成本效益分析。最后，第9节总结了主要发现，讨论了所提框架的局限性，并概述了未来的研究方向，包括实证校准和随机扩展。

### 初步知识
我们仅回顾后续分析所需的分数阶数学定义。更全面的处理方法可以在[12]、[17]中找到。对于0<α<1，足够平滑的函数z(t)的caputo分数导数定义为cdtαz(t)=1γ(1?α)∫0t(t?ω)?αz′(ω)dω。其拉普拉斯变换为lcdtαz(t)=sαf(s)?sα?1z(0)，其中f(s)=l{z(t)}。选择caputo公式是因为它允许使用标准的初始条件，并提供了记忆效应的便捷表示。

### 模型构建
在本节中，我们构建了一个确定性的分数阶模型，以概念化国家社会经济系统的复杂动态。该模型围绕六个关键状态变量构建，这些变量作为任何给定时间t的国家状况的总体指标：经济产出（g），表示经济的整体健康和规模；失业密度（u），表示失业劳动力的比例；腐败密度（c），一个量化...

### 模型的定性分析
为了在不依赖具体参数值的情况下理解腐败与社会经济分数阶动态系统（1）的内在行为，对该模型进行定性分析是必不可少的。这项基础性研究首先通过证明正性和有界性来建立模型的社会经济现实性，确保所有状态变量保持非负和有限。随后，我们确定了系统的稳态或平衡点...

### 敏感性分析
敏感性分析是理解哪些参数对模型结果影响最大的一种关键工具。通过量化关键输出指标对每个参数微小变化的响应，我们可以确定最具影响力的因素，从而确定政策干预的最有希望的目标[32]。在我们模型的背景下，最关键的阈值量是腐败再生数r0，因为它决定了腐败是否会...

### 最优控制问题与分析
在本节中，我们需要制定最优控制问题并通过考虑三种新的控制策略来分析它，这些策略为测试政策干预的潜在影响提供了框架：

### 数值模拟与讨论
所有数值模拟都是在r版本4.3.2中使用pracma包[48]进行的。分数状态方程采用分数阶adams–bashforth–moulton预测器–校正器方案求解caputo导数，其中分数阶α=0.95，时间步长h=1天。对于最优控制问题，采用了一种具有10^-6收敛容忍度的向前–向后扫描程序，对状态和伴随系统使用相同的分数阶求解器。

### 成本效益分析
在检查数值结果之前，我们首先要澄清成本效益分析中使用的术语。当政策制定者面临有限的预算时，他们需要确定哪种干预相对于其所需的资源提供了最大的收益。因此，仅仅识别出最有效的策略是不够的；必须比较更密集干预所带来的额外收益与其额外成本。

### 结论与未来方向
本研究开发了一个六维分数阶框架，用于研究经济产出、失业率、腐败程度、环境质量、制度质量和公众意识的耦合动态。通过引入caputo分数导数，该模型考虑了与持续制度条件、延迟的政策反应以及公众意识逐渐演变相关的记忆效应。分析确定了腐败再生数r0作为...

### 作者贡献声明
shewafera wondimagegnhu teklu：撰写 – 原稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、形式分析、数据整理、概念化。
m.a. abdelkawy：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿撰写、验证、监督、项目管理、方法论、资金获取、形式分析、概念化。
waleed adel：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿撰写、验证、方法论、形式分析、数据整理、概念化。

### 人类参与者
本文不包含任何作者参与的人类研究。

### 资金支持
本研究得到了伊玛目穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学（imsiu）科学研究系的资助和经费支持，授权号为imsiu-ddrsp2502。

### 未引用的参考文献
表1、表5

### 竞争利益声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。 ### 模型构建 在本节中，我们构建了一个确定性的分数阶模型，以概念化国家社会经济系统的复杂动态。该模型围绕六个关键状态变量构建，这些变量作为任何给定时间t的国家状况的总体指标：经济产出（g），表示经济的整体健康和规模；失业密度（u），表示失业劳动力的比例；腐败密度（c），一个量化... ### 模型的定性分析 为了在不依赖具体参数值的情况下理解腐败与社会经济分数阶动态系统（1）的内在行为，对该模型进行定性分析是必不可少的。这项基础性研究首先通过证明正性和有界性来建立模型的社会经济现实性，确保所有状态变量保持非负和有限。随后，我们确定了系统的稳态或平衡点... ### 敏感性分析 敏感性分析是理解哪些参数对模型结果影响最大的一种关键工具。通过量化关键输出指标对每个参数微小变化的响应，我们可以确定最具影响力的因素，从而确定政策干预的最有希望的目标[32]。在我们模型的背景下，最关键的阈值量是腐败再生数r0，因为它决定了腐败是否会... ### 最优控制问题与分析 在本节中，我们需要制定最优控制问题并通过考虑三种新的控制策略来分析它，这些策略为测试政策干预的潜在影响提供了框架： ### 数值模拟与讨论 所有数值模拟都是在r版本4.3.2中使用pracma包[48]进行的。分数状态方程采用分数阶adams–bashforth–moulton预测器–校正器方案求解caputo导数，其中分数阶α=0.95，时间步长h=1天。对于最优控制问题，采用了一种具有10^-6收敛容忍度的向前–向后扫描程序，对状态和伴随系统使用相同的分数阶求解器。 ### 成本效益分析 在检查数值结果之前，我们首先要澄清成本效益分析中使用的术语。当政策制定者面临有限的预算时，他们需要确定哪种干预相对于其所需的资源提供了最大的收益。因此，仅仅识别出最有效的策略是不够的；必须比较更密集干预所带来的额外收益与其额外成本。 ### 结论与未来方向 本研究开发了一个六维分数阶框架，用于研究经济产出、失业率、腐败程度、环境质量、制度质量和公众意识的耦合动态。通过引入caputo分数导数，该模型考虑了与持续制度条件、延迟的政策反应以及公众意识逐渐演变相关的记忆效应。分析确定了腐败再生数r0作为... ### 作者贡献声明 shewafera wondimagegnhu teklu：撰写 – 原稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、形式分析、数据整理、概念化。 m.a. abdelkawy：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿撰写、验证、监督、项目管理、方法论、资金获取、形式分析、概念化。 waleed adel：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿撰写、验证、方法论、形式分析、数据整理、概念化。 ### 人类参与者 本文不包含任何作者参与的人类研究。 ### 资金支持 本研究得到了伊玛目穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学（imsiu）科学研究系的资助和经费支持，授权号为imsiu-ddrsp2502。 ### 未引用的参考文献 表1、表5 ### 竞争利益声明>
### 模型构建
在本节中，我们构建了一个确定性的分数阶模型，以概念化国家社会经济系统的复杂动态。该模型围绕六个关键状态变量构建，这些变量作为任何给定时间t的国家状况的总体指标：经济产出（g），表示经济的整体健康和规模；失业密度（u），表示失业劳动力的比例；腐败密度（c），一个量化...

### 模型的定性分析
为了在不依赖具体参数值的情况下理解腐败与社会经济分数阶动态系统（1）的内在行为，对该模型进行定性分析是必不可少的。这项基础性研究首先通过证明正性和有界性来建立模型的社会经济现实性，确保所有状态变量保持非负和有限。随后，我们确定了系统的稳态或平衡点...

### 敏感性分析
敏感性分析是理解哪些参数对模型结果影响最大的一种关键工具。通过量化关键输出指标对每个参数微小变化的响应，我们可以确定最具影响力的因素，从而确定政策干预的最有希望的目标[32]。在我们模型的背景下，最关键的阈值量是腐败再生数r0，因为它决定了腐败是否会...

### 最优控制问题与分析
在本节中，我们需要制定最优控制问题并通过考虑三种新的控制策略来分析它，这些策略为测试政策干预的潜在影响提供了框架：

### 数值模拟与讨论
所有数值模拟都是在r版本4.3.2中使用pracma包[48]进行的。分数状态方程采用分数阶adams–bashforth–moulton预测器–校正器方案求解caputo导数，其中分数阶α=0.95，时间步长h=1天。对于最优控制问题，采用了一种具有10^-6收敛容忍度的向前–向后扫描程序，对状态和伴随系统使用相同的分数阶求解器。

### 成本效益分析
在检查数值结果之前，我们首先要澄清成本效益分析中使用的术语。当政策制定者面临有限的预算时，他们需要确定哪种干预相对于其所需的资源提供了最大的收益。因此，仅仅识别出最有效的策略是不够的；必须比较更密集干预所带来的额外收益与其额外成本。

### 结论与未来方向
本研究开发了一个六维分数阶框架，用于研究经济产出、失业率、腐败程度、环境质量、制度质量和公众意识的耦合动态。通过引入caputo分数导数，该模型考虑了与持续制度条件、延迟的政策反应以及公众意识逐渐演变相关的记忆效应。分析确定了腐败再生数r0作为...

### 作者贡献声明
shewafera wondimagegnhu teklu：撰写 – 原稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、形式分析、数据整理、概念化。
m.a. abdelkawy：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿撰写、验证、监督、项目管理、方法论、资金获取、形式分析、概念化。
waleed adel：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿撰写、验证、方法论、形式分析、数据整理、概念化。

### 人类参与者
本文不包含任何作者参与的人类研究。

### 资金支持
本研究得到了伊玛目穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学（imsiu）科学研究系的资助和经费支持，授权号为imsiu-ddrsp2502。

### 未引用的参考文献
表1、表5

### 竞争利益声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。>