耦合非线性Benney系统的保质量-能量线性化Galerkin有限元方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：A mass-energy preserving linearized Galerkin finite element method for coupled nonlinear Benney system

　　

摘要

本文设计并分析了一种针对耦合非线性Benney系统的高效数值方法。通过时间方向上的蛙跳格式与空间方向上的Galerkin有限元方法的组合，我们发展了一种线性化Galerkin格式。首先，建立了全离散格式的守恒能量和质量。然后，我们严格证明了全离散格式在H1范数下的无条件最优误差估计，该估计不要求任何网格比限制。最后，为验证理论分析，给出了若干数值算例。

引言

由于非线性微分方程能够描述多种复杂的物理现象，但通常缺乏显式解析解，许多研究者致力于开发数值方法来求解它们[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。我们考虑耦合非线性Benney系统的数值计算与分析：

iut + uxx = uv + γ|u|2u, x ∈ (a,b), t ∈ (0,T],
vt = (|u|2)x, x ∈ (a,b), t ∈ (0,T],

初始条件为 u(x,0) = u0(x), v(x,0) = v0(x)，以及齐次Dirichlet边界条件，其中T > 0，a, b, γ为实常数。复值函数u是短波的包络，实值函数v是长波的振幅。

Benney系统最初由Benney在[7]、[8]中推导得出，出现在多种物理情境中，例如重力和毛细模式[8]、[9]，以及等离子体物理[10]。它捕捉了非线性色散介质中长波长（低频）波与短波长（高频）波相互作用的物理现象。长波与短波之间的能量和动量交换导致了放大、散射、调制和孤子形成等复杂的动力学行为。

由于在物理现象中的广泛应用，大量努力已投入对该系统的研究中。例如，相关理论研究有以下结论。Angulo等人[11]构造了一族dnoidal型的光滑周期行波，并证明了其轨道稳定性。Hakkaev等人[12]证明了周期dnoidal波在相同周期扰动下的谱稳定性。Ogawa[13]和Tsutsumi等人[14]分别证明了Benney系统(1.1)的适定性。此外，他们还表明系统(1.1)具有守恒律，即质量守恒律‖u(t)‖ = ‖u0‖和能量守恒律|u(t)|? + γ/2‖u(t)‖?,? + ∫?? v(x,t)|u(x,t)|2dx = |u0|? + γ/2‖u0‖?,? + ∫?? v0(x)|u0(x)|2dx。

对于γ = 0的特殊情况，Chow等人[15]和Chen等人[16]、[17]分别通过Hirota双线性方法和Darboux变换研究了第一阶rogue波解；在[18]中通过双线性Kadomtsev–Petviashvili级数约化方法获得了高阶呼吸子和rogue波解；在[19]中通过B?cklund变换研究了不稳定平面波的同宿连接；在[20]、[21]中构造了亮孤子和暗孤子解；利用[15]、[18]中的相同技术，在[22]中研究了通解。与理论结果相比，数值研究相对较少。Amorim和Figueira[23]证明了(1.1)在能量空间中有限差分半离散格式的收敛性，但未分析其收敛速率。Chang等人[24]提出并比较了半经典极限中长波-短波相互作用方程的各种有限差分方法，研究了其守恒性质。Liu和Lü[25]构造了全离散谱近似格式，并证明了γ = 0时长短波方程全离散格式的收敛性；Amorim等人[26]利用补偿紧性分析了建模短波-长波相互作用的Schr?dinger–守恒律系统的半离散有限体积格式的收敛性。

近年来，各种方程的守恒数值格式已得到广泛研究。这是因为守恒格式在离散水平上保持了某些物理不变量，这对于准确模拟波的传播、避免数值爆炸以及捕捉解的正确定性行为至关重要[27]、[28]。Yi等人[29]分析了Schr?dinger–Poisson方程的守恒间断Galerkin格式。Chen等人[30]提出了Schr?dinger-Poisson-Slater系统的一类新型高阶结构保持格式。Guo等人[1]利用二次辅助变量方法结合Fourier伪谱空间离散化和辛Runge–Kutta方法时间积分，为Klein–Gordon-Zakharov系统开发了一族高阶能量保持格式。Guo等人[31]基于标量辅助变量方法、指数SAV方法和拉格朗日乘子方法，为Klein–Gordon-Zakharov方程构造了三个能量稳定格式。Cui等人[32]为Schr?dinger–Poisson系统提出了松弛Crank–Nicolson紧致有限差分格式，该格式保持了离散质量守恒和能量平衡。

据我们所知，对于Benney系统(1.1)，其守恒全离散格式的收敛性尚未建立，这对所涉及工程问题的解决提出了迫切需求。因此，本文致力于该问题，我们在空间上采用Galerkin有限元方法，在时间上采用蛙跳方法构造全离散数值方法，该方法同时实现了无条件收敛、保持了离散质量和能量守恒，并避免了求解非线性系统。以下，我们突出本文的主要贡献：

• 针对Benney系统(1.1)，提出了一种三层线性化有限元方法，该方法避免了求解非线性系统，从而提高了计算效率。为了在第一步保持二阶精度，我们应用Crank–Nicolson格式在时间上计算uh1和vh1。

• Benney系统(1.1)的解析解满足质量和能量守恒(1.2)–(1.3)，这是构造数值方法的两个关键因素。因此，我们证明了所提出的数值方法不仅满足质量守恒，而且在某种意义上长时间保持能量守恒。

• L∞范数下的数值解是非线性问题中的常规要求，我们通过证明数值解的H1范数有界性，然后利用嵌入定理(H1 ? L∞)来获得。然后，在无网格比限制条件下推导出H1范数下的无条件最优误差估计。

本文其余部分安排如下。第2节介绍符号并收集一些已知事实以供后续使用。第3节提出全离散系统，该系统将Galerkin有限元方法用于空间离散化，将蛙跳格式用于时间离散化。第4节致力于分析质量和能量的守恒律以及数值解的有界性。第5节给出并详细证明了无条件最优误差估计。第6节提供了一些数值算例来展示我们的理论分析。最后一节包含本工作的结论。

第2节 符号与预备知识

在本节中，我们回顾一些后续将使用的定义和引理。以下C（带或不带下标）表示一个不依赖于离散化参数的正常数，但其具体值可能在不同出现时有所变化。

设Wm,p[a,b]为具有范数‖?‖m,p和半范数|?|m,p的标准Sobolev空间，Lp[a,b]为配备范数‖?‖0,p的Banach空间。记W1,2[a,b]为H1[a,b]，定义H?1[a,b] = {u ∈ H1[a,b] : u(a,t) = 0, u(b,t) = 0}。

第3节 三层线性化有限元格式

设N为正整数，τ = T/N，tk = kτ (k = 0,1,…,N)，uk = u(x,tk)。定义Δτu1 = (u1 ? u?)/τ，δτuk = (uk+1 ? uk?1)/(2τ)，uk? = (uk+1 + uk?1)/2。

设Th为[a,b]的正则分割为Kj = [xj, xj+1] (1 ≤ j ≤ M)，h = xj ? xj?1为网格尺寸。定义有限元空间Uhr = {uh ∈ C[a,b] ∩ H?1[a,b] : uh|Kj ∈ Pr(Kj), ?Kj ∈ Th}，其中Pr(Kj)为Kj上次数为r的多项式空间。

全离散有限元格式通过时间方向上的蛙跳格式和空间方向上的Galerkin有限元方法构造，其形式为：

第4节 守恒性与有界性

在第3节中，对于非线性耦合Benney系统，我们专门设计了一种三层线性化有限元全离散格式进行数值计算。为了讨论所构造数值格式的优势，我们将证明它满足对应连续系统的质量和能量守恒性质的离散版本。

定理2 全离散格式(3.1)–(3.4)具有两个守恒量：离散质量守恒Qk = Q0, 0 ≤ k ≤ N。

第5节 无条件最优误差估计

在本节中，借助第2–4节中的引理以及Benney系统(1.1)解析解的正则性假设：u, ut ∈ L∞[0,T]; Hα[a,b]，utt, uttt, utttt ∈ L2[0,T]; L2[a,b]，v ∈ L∞[0,T]; Hβ[a,b]，vt, vtt, vttt ∈ L2[0,T]; L2[a,b]，其中1 < α ≤ r，0 < β ≤ r，我们开始严格讨论数值格式(3.1)–(3.4)的收敛性，这也是本文的一个重要理论结果，将在下面的引理5和定理3中给出。

引理5 假设(1.1)的解满足……

第6节 数值算例

本节展示了一些数值算例来说明前面各节的理论分析。我们通过误差|eu(h,τ)|? + ‖ev(h,τ)‖来测试收敛速率。空间收敛速率的计算中N固定为足够大的值；同时在时间方向计算收敛速率时，h设为足够小。

算例1 为检验离散格式的精度，我们考虑以下带源项的系统：iut + uxx = uv + γ|u|2u + f(x,t), …

结论

在本文中，我们利用时间方向上的蛙跳格式和空间方向上的有限元方法，为Benney系统开发了一种三层线性化Galerkin有限元格式。值得注意的是，本文提出的格式不仅避免了求解非线性系统，而且在某种意义上长时间保持了离散质量和能量守恒。同时，利用Sobolev不等式证明了数值解的一些有界性。然后，全离散格式在……

CRediT作者贡献声明

Zhanlang Wang：撰写—原稿、方法论、调查、形式分析。Aiguo Xiao：撰写—审阅与编辑、验证、监督、资源、项目管理、资金获取、概念化。Jiliang Cao：撰写—审阅与编辑、验证、方法论、形式分析。Weiping Bu：撰写—审阅与编辑、可视化、验证、监督。

致谢

本研究受国家自然科学基金（编号12471391）支持，部分受111计划（编号D23017）和中国湖南省高校科技创新研究团队计划支持。

Zhanlang Wang | Aiguo Xiao | Jiliang Cao | Weiping Bu