基于Levenberg–Marquardt前馈人工神经网络的Cross纳米流体高级热评估数学分析

《Results in Surfaces and Interfaces》：Mathematical analysis of advanced thermal assessment of nanofluids using a Levenberg–Marquardt-based feed forward artificial neural network

　　

Cross纳米流体的膨胀与收缩流动在研究中引起了极大兴趣，该类流体可被用于开发各种工程、医疗以及环境背景下更高效、自适应且响应灵敏的系统。膨胀/收缩圆柱的概念代表了流变学研究中的一种新方法，此类情形下的流动行为此前尚未利用人工神经网络（Artificial Neural Networks, ANN）进行探索。这一创新性分析对众多技术和工业应用具有重要意义。非线性偏微分方程组（Partial Differential Equations, PDEs）是当前物理问题的数学表示。通过精心选择的相似变换，由非线性PDEs演化出的非线性常微分方程组（Ordinary Differential Equations, ODEs）被用于求解控制该系统的数学模型。随后，该方程组由运行NDSolve算法的Mathematica求解。流动、温度和浓度三个重要的物理参数在大范围内变化，研究人员在流动推进过程中考察了其效应。研究人员利用参数分析对这些控制参数进行分析，观察其对热边界层、动量边界层和浓度边界层的影响。本研究的新颖可预测性源于在MATLAB中实现的、基于Levenberg-Marquardt反向传播神经网络的人工智能框架。来自传统求解器的数值解被用作神经网络的训练集，进而用于建立精确的预测模型。研究给出了函数逼近行为和性能评估图。结果表明，所设计的神经网络能够学习流动系统的非线性动力学，并以高精度高效、近似地再现函数形式的响应。研究还揭示，控制物理参数确实会显著影响流动、温度和浓度场，并根据各参数的大小产生增强或抑制的模式。最后，研究人员通过将结果与先前文献中采用经典RK45-Fehlberg方法获得的结果进行比较，检验了所提出计算框架的准确性。两组结果的密切吻合以及神经网络模型预测误差的降低，进一步证明了该人工智能支持方法具有稳健性、准确性和可靠性。

纳米流体（nanofluids）是将纳米级颗粒分散于基础流体中形成的新型工程胶体悬浮液，自Choi于1995年首次提出以来，因其优异的导热性能与对流换热能力，被广泛应用于微电子冷却、汽车热系统、太阳能集热器、核反应堆及生物医学等领域。对通道或圆柱壁面膨胀/收缩引起的非稳态流动，Cross流体模型可准确刻画低剪切区、幂律区与高剪切区的流变行为，在聚合物加工、食品制造及血液流动等场景中具有重要应用。然而，具有热源/热汇、变热导率及对流热质边界条件的Cross纳米流体（Cross nano-fluid, CNF）在膨胀/收缩圆柱中的非稳态对流流动此前未见文献报道，也从未利用人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）求解。为此，研究人员开展本研究，旨在建立数学模型并借助人工智能框架实现高效准确的预测。

研究人员以膨胀/收缩圆柱上二维非稳态不可压缩Cross纳米流体对流流动为物理模型，建立由质量、动量、能量及组分输运方程组成的非线性偏微分方程组（Partial Differential Equations, PDEs），引入对流热质边界条件与变热导率。通过相似变换将PDEs转化为非线性常微分方程组（Ordinary Differential Equations, ODEs），采用Mathematica的NDSolve（Adams法）对八个物理场景数值求解，并以数值解训练MATLAB中10-3结构的前馈神经网络，使用Levenberg-Marquardt反向传播（Levenberg-Marquardt backpropagation scheme, LMBS）算法，隐藏层采用log-sigmoid函数，数据按70%、15%、15%划分训练、验证与测试子集，以均方误差（Mean Squared Error, MSE）、误差直方图、回归分析等评估模型，最后与Adams法及文献中RK45-Fehlberg参考解对比验证。数据全部来自数值模拟，无外部样本队列。

**收敛性能分析**：八个场景的神经网络分别在311、205、69、101、104、186、87和73个训练周期达到最佳性能，最小MSE处于10^-12至10^-10量级，梯度值约9.77×10^-8至9.99×10^-7，步长参数Mu约为10^-10至10^-9，表明模型训练过程稳定且快速收敛。

**函数拟合与误差分布**：八个场景的函数拟合曲线显示神经网络输出与参考数值解高度吻合；误差直方图显示预测误差均趋近于零且无系统性偏差，说明训练后的神经网络具有良好且一致的函数逼近能力。

**回归分析**：训练、验证与测试数据集的相关系数（R）均非常接近1，表明神经网络预测与参考数据集之间存在很强相关性，验证了模型的高精度预测能力。

**参数物理影响**：流动剖面随Weissenberg数（We）和不定常参数（A）增大而减小；温度分布随不定常参数（A）和热Biot数（γ₁）增大而升高，随Prandtl数（Pr）增大而降低；浓度分布随Prandtl数（Pr）和溶质Biot数（γ₂）增大而升高，随Schmidt数（Sc）增大而降低。这些结果表明控制参数显著影响动量、热边界层及浓度边界层。

**模型验证**：所提出的NN-BLMS预测误差极小，各场景最小验证MSE分别为1.75×10^-11、3.87×10^-11、2.17×10^-11、3.47×10^-10、3.19×10^-10、8.36×10^-12、1.12×10^-11、1.55×10^-11，与参考解及Adams法结果吻合良好，证明该方法稳健、准确且可靠。

讨论部分指出，LMBS之所以被选用，是因为其在高精度非线性回归预测方面表现优异、收敛速度快，且非常适合中规模数据集的训练；相比贝叶斯正则化（Bayesian Regularization, BR）、缩放共轭梯度和Adam优化器等替代算法，LMBS与当前流体动力学问题的匹配度更高。研究结论表明：该人工智能辅助计算框架能够高效求解高度非线性的Cross纳米流体流动问题，并可准确预测所有物理场景下的对流热质传递特性；ANN并非用于替代传统数值求解器，而是作为经过验证的代理模型（surrogate model），可快速预测由Mathematica NDSolve产生的参考解。未来研究可结合下一代深度学习架构与混合智能优化算法，以更高效地模拟并预测更复杂的流体力学与传热问题。