《Energies》：High-Frequency Transformer Modeling: Methods, Parameter Extraction and Validation—A Review
电力系统中的高频暂态事件因雷电冲击、可再生能源渗透率不断提高、高压直流（HVDC）输电系统以及电力电子接口设备的大量接入而日益显著。运行于现代电力系统中的变压器，尤其是与电力电子变换器、HVDC系统及可再生能源应用相连的变压器，可能承受陡前沿电压波形和高dv/dt应力。这些非正弦且重复性的暂态条件会在变压器绕组及绝缘系统内部引发严重的介质应力。因此，高频变压器模型对于分析变压器端子处及绕组内部的暂态行为至关重要。此类模型需考虑绕组几何结构、静电与电磁耦合以及频率相关参数，以足够精度表征暂态电压分布。其可靠性对于绝缘配合、暂态过电压评估及变压器设计具有关键意义。本文对文献中报道的高频变压器建模方法进行了综述。研究考察了白盒（White-Box）、灰盒（Gray-Box）与黑盒（Black-Box）模型，以及基于解析法、有限元法（FEM）和测量法的参数提取技术。同时讨论了时域与频域验证策略。最后，对现有建模方法的适用性、局限性、运行需求、研究空白及未来发展趋势进行了评估。
1. 引言
由于自然事件及近年来电力电子设备日益广泛的应用，变压器日益暴露于高频（HF）暂态电压之下。这些暂态源于雷电冲击（LI）、开关操作、线路故障/拓扑变化、谐波以及铁磁谐振，且通常为非周期性。真空断路器切断电流后，可能产生10–200 kHz范围内的周期性暂态波形。特快速暂态电压（VFTO）通常处于0.5 MHz至10 MHz范围，主要出现在气体绝缘变电站中。本文所引用的频率范围应理解为代表性边界而非普适界限。主导频率区域及谐振位置可能随变压器额定容量、绕组几何结构、端子及接地配置、套管、外部连接、电缆及测量装置的不同而变化。因此，所需模型带宽与空间分辨率应根据具体暂态现象及关注量进行选择。
此类暂态影响运行安全性与经济性。雷电与开关操作对变压器施加绝缘应力，可能导致故障，从而缩短甚至终结其使用寿命。根据国际标准，电力变压器必须设计为能够承受各种暂态电压，如雷电冲击与操作冲击。在此背景下，制造商必须进行雷电冲击试验以评估绝缘系统的充分性。基于故障分析反馈，标准雷电冲击与操作冲击试验可能无法在所有条件下保证变压器绝缘系统的介质强度。此外，研究表明，非标准测试波形的HF波形能够激励绕组谐振并产生更高的内部电压，凸显了重新审视标准冲击试验的必要性。为评估变压器暂态电压性能，应对系统行为——包括线路、断路器、避雷器及变压器端子等效电路——进行建模，而非直接将标准冲击电压施加于变压器端子。由此获得的变压器端子电压应施加于详细HF变压器模型。文献中的研究包括将变压器模型纳入电力系统、确定端子电压，然后使用该电压值对变压器进行测试。
详细HF变压器模型包含自感与互感、电容及电阻。考察详细模型的历史发展，Abetti于1953年的研究首次在变压器暂态分析中以独立等效电路对绕组间及对地电容效应进行建模。将电容网络纳入磁路模型产生了综合电磁等效电路模型。在等效电路模型中忽略互感会导致系统固有频率确定误差。Abetti与Maginniss提出了包含常被忽略的互感的电路模型。采用分布参数法对空心线圈与铁心线圈进行建模。空心线圈在高达七次谐波、铁心线圈在高达三次谐波范围内取得了极佳的拟合效果。McWhirter等人于1957年的研究确定了变压器绕组内冲击电压分布，通过详细的数学建模及数字与模拟计算机的联合使用，提供了系统化和数值化方法，超越了以往基于直觉和实验的研究。此后，Dommel引入了基于梯形法则的算法，成为电磁暂态（EMT）程序的基础，使HF变压器模型能够纳入电力系统仿真。基于上述发展，Vaessen根据变压器几何参数创建了用于电磁暂态程序（EMTP）的HF等效电路。Morched等人使用EMTP中的频变支路（FDB）元件对通过端子测量和计算获得的频变结果进行建模。Martinez与Mork于2005年进行的汇编研究涉及1 Hz至10 kHz之间可能发生的暂态过程中可用变压器模型的分类、适用性及局限性，为暂态事件中选择合适的变压器模型提供了指导。CIGRE技术文件将HF变压器模型分为三大类：白盒、灰盒与黑盒。白盒模型最为详细，基于变压器的几何与材料特性构建。白盒模型的适用频率范围不存在普适上限，而是取决于所采用的空间分辨率、参数表示方式、绕组几何结构、连接细节及需复现的物理现象。随着频率升高，分段不足、寄生耦合被忽略以及频率相关损耗的简化表示可能逐步降低模型精度。灰盒模型将有限的设计信息与频率响应测量相结合以获得参数，通常适用于宽带频率响应及HF暂态研究。黑盒方法仅依赖测量数据表征变压器端子行为，在频率响应分析（FRA）测试的测量频带（通常为20 Hz–10 MHz）内实现高精度。解析公式、有限元法（FEM）分析及基于测量的技术已被开发用于提取模型参数。
尽管白盒模型能够以合理精度估计最大电压应力，但其波形形态的复现能力仍然有限。强调需要纳入频率相关阻尼以改善一致性。灰盒模型尽管在计算成本方面更具吸引力，但精度有限。相比之下，黑盒模型在端子行为方面表现良好。因此，该课题仍高度相关，研究仍在持续进行。
尽管大量研究考察了变压器在暂态条件下的行为，但专门提供高频变压器建模集成方法论综合的综述文章仍然稀缺。本综述旨在对建模技术、参数提取方法及验证程序提供批判性和比较性视角。本研究以结构化叙述性综述方式进行，综合高频变压器建模的代表性文献，而非提供详尽的系统性或文献计量学调查。相关文献通过Web of Science核心合集、IEEE Xplore、ScienceDirect（Elsevier）及IET出版物检索确定。检索使用"high-frequency transformer modeling"、"transformer winding model"、"White-Box"、"Gray-Box"、"Black-Box"、"frequency response analysis"、"parameter extraction"、"finite element method"、"vector fitting"、"transient transformer model"、"lightning impulse"及"very fast transient overvoltage"等术语的组合。由于本研究为结构化叙述性综述，未应用单一固定布尔检索字符串；而是根据所考察的建模方法、参数提取方法及应用，迭代组合相关术语。涵盖HF变压器建模、参数提取、暂态分析或模型验证的同行评审期刊论文及相关会议论文均予以考虑。明确涉及HF变压器模型开发、参数确定、暂态或频率响应分析或模型验证的研究被优先考虑。仅关注一般变压器运行或诊断、与HF建模无直接关系的出版物不被视为核心建模研究。IEEE与IEC标准以及CIGRE技术手册作为技术参考文件纳入。可追溯至1953年的奠基性研究被保留以代表该领域的历史发展，截至2025年的近期出版物被纳入以反映当代建模方法。文献检索在2026年9月修订过程中进行了更新。最终参考文献集包含103个来源，包括期刊论文、会议论文、技术标准、CIGRE技术手册及其他相关技术参考文献。
本综述有意采用广泛使用的术语（即白盒、灰盒与黑盒）以确保与相关文献的一致性，同时界定方法论边界并将所考察研究归入这些类别。此外，本研究通过评估解析法、FEM法及基于测量的技术的计算权衡并确定其有效频率范围，对参数确定技术进行比较。最终，通过评估当前建模实践的局限性并识别新兴研究空白，本综述旨在为未来研究提供有益指导。
研究目的与目标
本研究的主要目的是对电力变压器HF建模方法进行结构化综述，特别关注建模方法、参数提取技术及验证实践。换流变压器、HVDC、可再生能源、牵引及其他特殊变压器应用被视为重要的当代应用背景和新兴研究需求，而非本综述的排他性范围。在此范围内，本研究的具体目标如下：回顾并分类文献中报道的HF变压器建模方法，归入白盒、灰盒与黑盒三大类，突出其基本假设与物理细节水平；考察HF变压器模型中采用的参数提取技术，对解析法、基于FEM的方法及基于测量的技术进行结构化比较；回顾并评估模型验证实践，包括时域与频域验证策略以及常用实验与数值基准；分析不同建模方法的应用领域，阐明每种模型类型通常用于哪些现象和研究（如雷电冲击、开关暂态、VFTO及基于FRA的诊断）；不仅从学术文献角度，还结合IEEE与IEC标准及CIGRE技术手册评估建模方法，从而将研究发展与工业实践联系起来；讨论本综述所考察文献中观察到的趋势及HF变压器建模的未来研究方向，识别新兴挑战、开放性研究空白以及建模与验证方法的潜在进展。
2. 建模方法
图1展示了HF变压器建模所采用的方法。基于文献中的建模理念，高频变压器建模的主要分类体系得以呈现。建模技术根据物理表征程度、参数确定策略及预期应用领域分为白盒、灰盒与黑盒三类。表1对其表征水平、参数来源及典型应用领域进行了比较性概述。
文献中变压器最详细的HF模型称为白盒模型。它是最能表征变压器的电磁模型，用于计算变压器绕组内的电压与电流。构建白盒模型通常需要详细的制造商信息，因为必须充分了解变压器的内部几何结构、绝缘材料及导体特性。因此，这些模型通常由制造商直接开发或与其密切合作开发。在实际操作中，变压器绕组的介质耐受能力通过施加标准全波、截波和操作冲击电压进行验证。然而，在进行这些物理试验之前，白盒模型被用于仿真这些精确的冲击条件。这种试验前仿真能够预测内部绕组电压分布和局部绝缘应力。此类仿真还为通过比较不同建模方法的输出以及可用的实测响应来评估模型精度提供了基础。即使将不同的白盒模型应用于几何结构和材料特性完全相同的变压器，所得结果也不尽相同。虽然这些建模结果通常足以确定最大电压，但由于在预测谐振和阻尼点方面持续存在不精确性，有必要更详细地考察这些模型。白盒模型分为两类：集总参数模型和分布参数模型。
集总参数模型基于绕组的空间划分。每个分段单独建模，所有分段组合形成完整模型。由于绕组呈现电阻性和磁性行为，电路模型使用电阻（R）、电感（L）、电容（C）及互感（M）元件构建。通过基尔霍夫电流和电压定律在时域中列写微分方程获得电路方程。由此，变压器内部结构中的磁与电相互作用得以建模。集总参数表示的适用性取决于各绕组分段的电长度。当分段内电压和电流的变化不可再忽略时，粗糙分段可能使谐振频率偏移并降低内部电压分布预测精度。因此，所需分段数应根据频率范围和关注量确定，而非由固定频率阈值决定。
在图2中，每个绕组分为N个集总分段，索引为i = 1, …, N，产生N + 1个电气节点，索引为k = 0, …, N。分段i位于节点i ? 1与i之间。Cg,1,k与Cg,2,k分别表示高压（HV）与低压（LV）绕组在节点k处的对地电容，Gg,1,k与Gg,2,k表示相应的对地电导。C12,k与G12,k表示索引为k的对应HV与LV节点之间的绕组间电容与电导。Cs,1,i与Cs,2,i表示与分段i相关的串联电容，Gs,1,i与Gs,2,i表示相关的介质损耗电导。R1,i与R2,i表示分段电阻，L1,i与L2,i表示相应的自感。电感端子处的圆点表示磁耦合的参考极性，绕组分段间相应的互感项纳入电感矩阵。
集总参数模型的电路方程可通过应用基尔霍夫电流和电压定律以矩阵形式写出。使用修正节点分析（MNA），系统可表示为式(1)。其中x(t)为MNA未知量向量，包含节点电压、电感电流及理想电压源电流（如存在）。矩阵G包含电阻性和导电性元件及电路互连的代数贡献。矩阵C表示系统的动态部分，包含电容和电感块，包括互感项。因此，C是描述符矩阵而非纯节点电容矩阵。矩阵B为输入关联矩阵，u(t)为激励向量。
为清晰起见，考虑由图2中索引为k的对应HV与LV节点形成的两节点电容-电导子网络。设节点1与节点2通过绕组间电容C12,k和电导G12,k连接。此外，两节点分别通过Cg,1,k、Cg,2,k及Gg,1,k、Gg,2,k接地。若施加电流i1(t)和i2(t)（定义为注入相应节点时为正），该示例子网络的方程可写为式(2)。其中v1(t)和v2(t)为相对于地的相应节点电压。在这些矩阵中，对角项表示连接到每个节点的所有电导或电容之和，而非对角项表示两节点之间电导或电容的负值。该示例说明了节点电导和电容块的组装。完整模型还包含含有串联电阻、自感、串联电容及相关电导的分段支路，以及互感项及其相应的MNA方程。
分布参数模型基于行波方法。任何分布模型的上限频率不能超过对应所建模绕组分辨率所对应的频率。为准确表征绕组的HF行为，必须将其划分为足够数量的分段。最高分辨率可通过分别对每个绕组建模来实现。为将绕组建模为传输线并表征一个波长，至少需要四个分段。模型中最大分段长度所能准确表征的频率上限fmax由式(3)表示。ls,max为绕组分段的最大长度，v为波沿绕组的传播速度。建模过程完成后，应评估进一步分段的必要性，以确保准确表征变压器的HF行为。该关系应视为实际离散化估计而非普适精度极限。适用带宽还取决于频率相关参数的表示、不连续性、端子连接及假定的传播特性。因此，随着空间分辨率增加，应检查关注量的收敛性。
变压器绕组被建模为传输线，考虑波传播。建模可使用驻波和行波、多导体传输线（MTL）、单相传输线（STL）、STL与MTL组合模型以及混合模型（MTL + STL + 集总参数）进行。
Liang及其同事使用多导体传输线模型方法创建了单输出和多输出电路模型，用于计算气体绝缘系统中开关操作引起的变压器绕组中VFTO脉冲的谐振频率。图3中所示符号I和U分别表示随位置变化的电流和电压。式(4)表明电压沿绕组的变化取决于串联阻抗矩阵Z作用于电流向量I。类似地，式(5)表明电流对位置的导数由并联导纳矩阵Y作用于电压向量U决定。在这些关系中，Z = R + jωL，Y = G + jωC，其中R、L、G、C分别对应于单位长度电阻、电感、电导和电容矩阵。每匝绕组分别建模，电容、电阻、电感和电导参数通过解析法和有限元法获得。
当VFTO分析需要高度详细的白盒模型时，可使用分布参数法或集总参数法。只要实施得当，普遍认为两种建模方法均能产生有效且可靠的结果。
变压器设计信息对制造商至关重要，因此不建议与客户共享。当完整的变压器设计信息不可用但需要内部绕组电压分布的近似表征时，灰盒模型特别有用。灰盒模型利用物理结构和测量数据进行建模。
表2以五个标题展示了简化的灰盒模型。简化和聚类模型表征端子行为和可能的首次谐振响应。这五种模型使用典型的数据方法获取参数。M1（电容模型）用于在雷电冲击等快速前沿暂态事件中对变压器响应进行建模。M2（人工RLC模型）表征次级绕组短路时初级绕组的行为，并建模以漏感为主的低频行为和变压器的首次谐振频率。M3（添加并联和绕组间电容的单相模型）、M4（添加并联和串联电容的单相模型）和M5（拓扑三相模型）基于经典低频集总参数模型。M3和M4表征单相结构，M5表征三相结构。M4模型通过串联电容提供更精确的浪涌分析响应。
在灰盒建模中，参数可从实验数据、典型值和FRA测量中获取。当详细的变压器设计数据不可用时，CIGRE TB 577A提供了以额定功率为函数估算变压器对地电容的经验表达式，该表达式也报道于CIGRE TB 902 C部分。据此，C = 0.52 × S0.4 [nF]，其中S单位为[MVA]。该关系应视为经验估计而非普适的变压器电容表达式。实际对地电容随变压器额定容量、电压等级、绝缘距离、绕组结构及静电屏蔽布置而变化。
在半拓扑梯形模型方法中，绕组被划分为若干分段。模型包含串联电阻、自感、互感、电容以及并联电容和电导元件。图4展示了梯形拓扑的示例。N表示分段数，r表示每段电阻，CS表示串联电容，Cg表示并联电容，ls表示自感，M1N表示N个分段之间的互感，Rs和Rg表示串联并联电容的并联电阻。
由于变压器内部结构不完全已知，参数通过优化调整以匹配频率响应。然而，与实测端子FRA响应良好一致并不必然意味着唯一的R–L–C参数集。不同的参数组合可能产生非常相似的端子频率响应，同时在梯形网络内部各分段间产生不同的电压分布。因此，当参数主要从端子FRA数据识别时，从灰盒模型获得的内部电压估计应谨慎解读。当关注内部电压分布时，应采用物理上合理的参数边界、额外的测量配置或独立验证以减少不确定性。
选择适合变压器尺寸的初始优化参数是有益的。Wilcox公式在文献中经常用于生成初始值集。
黑盒模型因其仅基于端子行为建模而得名，无需了解铁心和绕组设计等内部结构。对于黑盒模型提取，使用在变压器端子处获得的FRA测量，提供导纳和电压传递数据。目标是通过在宽频率范围内进行的低压测量，在定义频率范围内准确复现变压器端子响应。端子导纳/电压传递函数使用矢量网络分析仪（VNA）或FRA设备获得。在图5a中，使用正弦变频源激励不同端子。通过向HV绕组施加电压并测量LV绕组电压获得传递函数。单相激励中谐振频率的位置可归因于相间感性和容性耦合。在图5b中，等相位等幅电压同时施加到所有相。电压注入HV绕组以获得LV绕组中的共模传递函数。该方法揭示了单相激励下不可见的谐振点，从而能够分析中性点和接地路径行为。
黑盒模型使用从变压器端子获得的测量数据构建，如端子导纳或端子间电压传递。然而，与用于故障检测的频率响应分析不同，这些测量专门用于网络综合。为黑盒建模获取的FRA测量随后使用有理逼近技术（如矢量拟合）进行处理，以生成表征变压器行为的数学端子等效。所得测量可使用曲线拟合方法以有理函数拟合，以计算导纳和电压传递函数。为使这些模型适用于暂态分析程序，所得函数被转换为状态空间模型。
模型必须稳定、无源且对称。模型极点必须位于左半平面。由于测量噪声和曲线拟合误差，右半平面的极点位置必须修正。模型不得表现出负电阻等物理上不可能的行为，这违反无源性要求。在这种情况下，应用无源性强制算法。实践中，使用哈密顿量或正实调整以及基于扰动的技术（略微修改极点和留数）来确保导纳或阻抗函数保持物理可实现。一旦无源性得到保证，有理函数可转换为等效电路。阻抗和导纳矩阵必须对称。若对称性被破坏，可能出现物理上不存在的耦合。
表3从物理结构建模、制造信息需求、计算内部绕组电压分布的能力、计算负担、对测量数据的依赖及模型开发工作量方面对建模方法进行了比较。
3. 参数提取
在白盒模型中，参数主要通过解析计算或FEM分析获得；两种方法均依赖于变压器的几何和材料特性。然而，测量数据也用于参数验证或对损耗和阻尼等频率相关效应进行建模。在灰盒模型中，参数从实验测量获得，部分来自解析或FEM数据。此外，当详细信息不可用时，常采用标准和文献中的典型值。在黑盒模型中，参数从不同测试配置下的阻抗和导纳矩阵以及测量数据中获得。
参数确定不正确是解析结果与测试结果之间差异的最常见原因。参数包括电阻、自感、并联电导以及串联和并联电容。参数以矩阵形式表示。在白盒模型中，矩阵维度可达数百甚至数千。变压器绕组通过划分为支路进行建模。这种分段源于高频下电流和电压的非均匀分布。分段对于准确表征HF暂态和谐振行为是必要的。图6描绘了支路表示。每条支路代表一个绕组分段。R表示绕组串联电阻，L表示绕组自感，Cs表示绕组串联电容。为完成绕组等效电路，必须添加互感、支路间电容、接地电容和支路间电导。
如文献中常见，参数可通过解析法、有限元法和实验测量法确定。在确定网络参数时，考虑频率对参数的影响至关重要。这是由于涡流损耗。文献中主要使用三种方法：定义经验阻尼因子（如K因子、D因子）；通过频率扫描定义阻抗矩阵；直接从FEM仿真中提取频率相关电阻和电感。
Fergestad和Henriksen基于变压器几何模型推导了多绕组变压器的HF等效电路参数，并使用状态空间方程对变压器等效进行建模。他们利用不同频率下的实验测量将电阻的频率相关变化纳入模型。他们提出了最早的状态空间方法之一，通过向状态空间矩阵特征值的实部添加经验因子引入阻尼，从而建立固有频率与阻尼之间的关系。经验阻尼因子在文献中主要报道为K因子和D因子。此外，频率相关参数可通过电路分析和参数拟合获得。
3.1 解析法
这些计算在几何假设下进行。并联电容表征同相绕组之间、绕组与铁心之间、绕组与油箱之间、静电屏蔽与绕组之间、相间绕组之间以及套管相关电容。绕组可建模为同心圆柱。两个同心圆柱绕组之间的电容由式(7)给出。其中εr表示两绕组之间的介电常数；ε0为真空介电常数；r2和r1分别为外绕组和内绕组的半径；H表示两绕组之间的平均高度。若两绕组之间距离足够小，可使用平行板近似确定电容，如式(8)所示。若油中存在压纸板圆筒，使用等效εr值按式(9)计算。
串联电容包括匝间、轴向、饼间、层间及调压绕组电容。这表示绕组端子间总静电能量对应的等效电容。Cij为两导体间电容，ΔUij为两导体间电压差，ΔUtot为绕组端子间总电压差。由于多层、饼式和调压绕组结构将产生不同的电场分布，电容计算应考虑绕组类型。此外，若变压器中使用的静电屏蔽位于绕组之间或绕组与铁心之间，电容值将发生变化。此时，电容计算必须考虑屏蔽结构。套管的影响，特别是在HF暂态期间，对模型精度也很重要。为观察套管相关故障对FRA的影响，必须将其正确纳入模型。
变压器的磁行为在等效电路中由自感和互感参数表征。在自感和互感的解析计算中，考虑绕组位置。在简化的磁路近似下，绕组自感可使用式(10)估计。其中N表示匝数，A为截面积，l为磁路长度，μr为铁心材料相对磁导率，μ0为真空磁导率。该表达式是基于近似均匀磁通路径的简化估计，未明确考虑漏磁、边缘效应或高频场重新分布。互感可使用式(11)计算。其中k为耦合系数（0–1），L1和L2表示相应绕组的电感。由于涡流改变了绕组和铁心中的磁场，电阻和电感变得频率相关。随着频率增加，电阻值通常增大而电感可能减小。在高频下，损耗对阻尼有贡献，可降低变压器的暂态电压响应。频率相关阻抗和导纳可表示为Z(ω) = R(ω) + jωL(ω)和Y(ω) = G(ω) + jωC(ω)，其中R表示绕组损耗（直流、趋肤和邻近效应）以及铁心损耗，G表示介质损耗。
为准确应用解析法，应清楚认识其基本假设和有效范围。例如，基于贝塞尔函数的趋肤效应公式假设完美圆形导体，而Dowell方法将绕组表示为二维（1D）等效薄片。这些方法计算效率高，可在简化几何和低至中频条件下提供有用的初始估计。电阻和电感的解析公式直接受频率相关电流重新分布、趋肤和邻近效应、涡流及复杂磁通路径的影响。相比之下，解析电容公式的局限性并非主要由频率依赖性本身引起，除非明确考虑频率相关介电特性。其精度主要取决于几何简化、假定的电场分布、介质布局以及屏蔽、套管、交错绕组和其他三维结构的存在。因此，解析电容计算的有效性应主要根据所采用的几何和静电场假设来评估，而非仅归因于频率。
在快速前沿暂态条件下，变压器绕组可能表现出类似传输线的行为，连接绕组分段的公共磁通可能变得不那么主导。因此，当主要目标是表征主导波传播行为时，简化模型有时采用恒定电感值。然而，当损耗、阻尼和谐振衰减重要时，应考虑频率相关参数。在这种情况下，可从FEM仿真或测量中获得频率相关阻抗矩阵，并通过曲线拟合技术表示以用于基于电路的模型。
3.2 有限元法
FEM作为一种数值分析技术，可有效用于计算电力系统元件的电气参数。母线系统、高压电缆终端、均压环、高压绝缘子、电缆系统及变压器参数可使用FEM精确建模、分析和优化。此外，即使在解析法无法达到足够精度的复杂几何构型中，FEM也能提供精确解。用于电气分析的FEM通过在相应模型几何上生成有限数量的网格单元并在每个网格单元上求解麦克斯韦方程组（14）–（17）来获得结果。其中E表示电场强度（V/m），B为磁通密度（Wb/m2），H为磁场强度（A/m），J为电流密度（A/m2），D表示电通密度（C/m2），ρ为电荷密度（C/m3）。商业FEM软件包，如ANSYS Maxwell和COMSOL Multiphysics?，广泛用于此类分析。三维变压器模型使用静磁和静电求解器，利用麦克斯韦方程组求解，以提取电感和电容矩阵。静电分析确定电容参数，而静磁分析在静态场假设下估计电感。当必须表征与趋肤、邻近和涡流效应相关的频率相关电阻和电感时，需要频域电磁分析。
图8展示了代表性变压器布置，其中多匝LV和HV绕组被细分为两个等效分段用于集总参数建模；模型包含铁心和静电屏蔽。此处i、j和k表示电气模型中的节点索引。在图9中，展示了从用于电感计算的FEM中获得的沿匝的能量分布。
求解3D模型可使用能量平衡法计算绕组电阻和电感，如式(18)和(19)所示。Lii和Rii分别为绕组自感和电阻。当电流I施加到绕组第i部分时，为磁能。第i与第j绕组分段之间的互感和电阻值由式(20)和(21)给出。ni和nj分别为第i和第j绕组的匝数。对于总磁能，电流同时通过两个绕组。互感通过从总能量中减去每个绕组单独产生的能量获得。复能量的虚部与损耗相关。式(21)用于表示磁耦合期间发生的损耗。类似地，电容可从静电能量计算。自电容和互电容值按式(22)和(23)获得。
在计算参数时，FEM通常比简化解析法需要更少的几何简化，并且对于复杂变压器几何可提供更精确的结果。式(24)用于计算匝间电容值。其中Dm定义为绕组平均直径，w为导体高度，tp为绝缘厚度，ε0为真空介电常数，εp为绝缘相对介电常数。
变压器绕组匝呈现交流（AC）和直流（DC）电阻。AC电阻在考虑绕组中涡流损耗时产生。作为示例，图10展示了变压器在50 Hz和1 kHz下的绕组损耗，突出显示了频率相关效应导致的损耗增加。如图10所示，绕组损耗随频率显著变化；由于涡流效应增强，1 kHz下的损耗高于50 Hz。涡流损耗由径向和轴向分量组成，使用式(25)和(26)计算。其中表示轴向涡流损耗密度（W/m3），表示径向涡流损耗密度（W/m3），ω为角频率（rad/s），为导体上磁场y轴分量的平方，t为导体宽度，为导体上磁场x轴分量的平方，w为导体高度，ρ为材料在相应温度下的电阻率。在计算这些方程中出现的感应值时，应采用FEM。
3.3 基于实验测量（FRA）
在FRA中，将不同频率的电压信号施加到变压器并检查输出响应。分析输出与绕组、铁心和连接元件直接相关。
通过FRA，可检测绕组位移（轴向位移）、径向变形、饼式屈曲、分接开关故障以及短路事件后的机械应力等变形。图11展示了三相YNd1变压器的示例测量方案，如IEC 60076-18《电力变压器——第18部分：频率响应测量》标准所提供。感性绕组间测量反映感性耦合，容性绕组间测量表征容性耦合（绝缘），端到端短路测量表示绕组间的磁耦合。
FRA幅值响应以分贝定义为式(27)，相位响应以度定义为式(28)。图12展示了同一变压器三个HV相的FRA实测响应。特征频率区域A–D也被标出以说明与这些范围相关的主导物理效应。测量数据可达2 MHz；区域D仅为完成常规频率区域分类而显示。
可观察到，在低频下谐振频率受铁心效应影响，而在高频下受容性耦合和连接元件的影响。频率区域提供变压器物理结构的信息。表4呈现了这些区域对应的作用领域。表4中列出的频率范围代表常用于解释的特征FRA区域；然而，确切的过渡频率可能随变压器设计和测量条件而变化。
此外，可通过向单个端子施加信号并测量该端子处的电流，在宽频率范围内进行阻抗（Z(jω)）和导纳（Y(jω)）测量。对实测FRA曲线应用曲线拟合方法可从有理函数计算电路参数；或者，可将测量结果与仿真程序进行比较，并使用优化算法调整参数。利用变压器FRA获得的数据，可推导HF变压器模型参数（R、L、C和M）。测量结果中的谐振和反谐振点与这些参数直接相关。有理函数可综合为等效R–L–C网络（通过Foster或Cauer经典网络综合方法）或转换为状态空间模型以直接在仿真工具中实现。
曲线拟合
将从测量和实验获得的数据用数学函数表示的过程称为曲线拟合。曲线拟合方法在HF变压器建模中用于参数识别或校准，而与用于拟合的数据集的一致性表示拟合优度而非独立验证。
获得的FRA响应被拟合为有理函数。在有理函数方法中，获得具有极点-零点结构的传递函数。该近似表达式表示为式(29)给出的部分分式之和。其中am表示极点，cm为留数，D和E为可选的常数项和线性项。然后获得可直接在仿真工具中使用的状态空间模型，如式(30)所示。在MATLAB的RF工具箱中，rationalfit函数将实测频率响应转换为有理函数，生成具有极点和零点的方程。执行稳定性和无源性评估以确保其适用于电路综合。为将所得函数转换为等效电路，采用Foster或Cauer综合。
文献中常用的矢量拟合（VF）方法由Gustavsen于1999年提出。FRA数据被拟合为有理函数。VF可提供稳定的有理逼近；然而，稳定性本身不保证无源性或物理可实现性，应在电路综合前分别评估。在使用VF方法的研究中，Gustavsen开发了用于在EMTP类程序中实现配电变压器的黑盒模型。该模型表征配电变压器的宽带频率行为。在50 Hz至1 MHz频率范围内测量了变压器端子导纳矩阵，并使用VF方法将获得的数据拟合为有理函数。为确保模型在时域仿真中的稳定性能，强制执行了无源性条件。该模型在时域和频域均与测量结果进行了验证。所得有理函数可转换为状态空间方程以直接在仿真工具中使用，或通过Foster和Cauer综合转换为等效电路表示。
可使用人工智能技术从测量数据中提取模型参数。执行参数优化以确保所开发的HF电路模型与变压器FRA测试结果一致。人工神经网络和启发式优化算法，如遗传算法、粒子群优化、模拟退火和ABC算法，被用于该领域。为考察所提出技术的鲁棒性，使用不同尺寸、各种绕组类型以及正常和故障条件下的变压器。初始参数值（来自解析、FEM和测量）可通过针对FRA测量结果进行优化来拟合FRA曲线。该过程的阶段如图13所示。第一步，获得初始参数和FRA曲线。第二步，执行优化以最小化模型与测量之间的误差。第三步，获得与实测FRA曲线一致的参数。当使用测量数据识别或优化模型参数时，与同一数据集的一致性应解释为拟合优度度量而非独立验证。独立验证应使用参数拟合期间未使用的数据，如来自不同端子配置的数据、单独的测量数据集或时域激励。这一区分对于灰盒模型尤为重要，因为不同的参数集可能产生相似的端子FRA响应。
上述参数提取方法也可组合使用。图14展示了混合参数提取工作流程。白盒模型通常依赖组合多种参数提取方法的混合方法。在混合提取方法中，每个参数来源（解析、基于FEM或基于测量）以及任何后续参数更新应在整个工作流程中保留以确保可追溯性。
3.4 参数提取方法的批判性比较
本节对参数确定技术进行批判性评估，揭示计算成本、数据需求和有效频率范围方面的显著权衡。解析法提供计算高效且物理上有意义的方法，非常适合初步设计阶段和获得初始参数估计。然而，如前所述，其精度严重依赖简化的几何假设，如一维等效薄片用于邻近效应。该局限性不仅限于电阻计算。在解析电感评估中，简化的磁路假设可能在高频下因电流分布不均匀、涡流效应和复杂三维磁通路径而变得不充分。类似地，解析电容表达式通常在理想化场分布和简化几何（如同心圆柱或平行板近似）下推导。对于互感，不确定性的主要来源是绕组分段的相对位置和方向、漏磁通路径的表征以及磁耦合所采用的假设。
因此，解析公式的有效性取决于所计算参数的类型。对于电阻和电感，随着频率相关电流重新分布、涡流和复杂磁通路径的增大，主要局限性变得更加突出。对于电容，主导局限性并非频率本身，而是假定几何、介质布局和静电场分布的有效性。
为克服解析公式的固有局限性，FEM通过在复杂3D几何中求解麦克斯韦方程提供更高的精度。虽然FEM在严格捕获频率相关现象（如严重趋肤和邻近效应）方面非常有效，但它通常需要精确且往往专有的制造数据。此外，其实际适用性受到显著计算负担的限制。相反，基于测量的技术（主要利用频率响应分析（FRA）结合矢量拟合（VF））消除了对内部设计数据的需求。这使得它们对于仅知道端子行为的现有变压器非常实用。然而，基于测量的参数提取也带来其自身的特定挑战。这些模型的精度对外部测量噪声和寄生电缆电容高度敏感，特别是在超过2 MHz的频率下。此外，当通过VF将有理函数综合为状态空间模型时，确保无源性仍然是一个关键的方法论挑战，因为无源性违反可能导致时域暂态仿真中的严重数值不稳定。尽管基于测量的方法可以高精度复现端子行为，但它们并不总是提供内部绕组参数或局部结构条件的唯一物理解释。
最终，参数提取方法的选择不是绝对的，而在很大程度上取决于预期应用和背景。白盒模型可单独或组合使用解析或基于FEM的参数提取，而黑盒模型依赖基于测量的识别。混合方法也有报道，其中初始解析或FEM参数随后使用基于测量的优化进行细化或更新，从而将基于物理的参数估计与测量信息修正相结合。
4. 应用与验证研究
进行时域和频域测试以评估HF变压器模型的精度。测试结果通常与所开发HF变压器模型的仿真输出进行比较以评估模型有效性。频域和时域验证提供关于模型精度的互补信息。对于在一致端子条件下的线性模型，频率响应中的不精确性（特别是谐振附近和相位行为）可能影响相应暂态响应的幅值、振荡频率、阻尼和时序。因此，仅FRA幅值的良好一致性并不必然确保时域波形的准确复
