基于底数可调指数型惩罚与双变量收缩的医学图像去噪方法

《Electronics》：Exponential-Type Regularization with Bivariate Shrinkage for Medical Image Denoising

　　

噪声会降低X射线、超声和磁共振成像（MRI）系统的图像质量。带非凸惩罚的惩罚最小二乘回归（PLSR）无需训练数据即可抑制噪声。研究人员研究了一种底数为m的指数型惩罚函数φ(x)=(1-m-a|x|)/(a ln m)，并结合相邻小波系数的双变量收缩。研究表明，该惩罚等价于参数b=a ln m下的指数型惩罚，因此底数m并未增加灵活性。研究人员显式推导了双变量收缩的凸性条件，并证明其不动点求解器几何收敛。在加性高斯白噪声（AWGN）污染的X射线、超声和MRI图像上，该方法的表现与三角和对数惩罚相当，且明显优于软阈值法。在包含Rician噪声的公开7T MRI数据集29张切片上，该方法在所有87组配对测试中将软阈值法的峰值信噪比（PSNR）提升了0.15 dB。该增益仅限于PSNR，因为在不使用循环平移的情况下，结构相似性指数（SSIM）从0.835略微下降至0.833。BM3D和预训练的DnCNN仍领先其平移不变版本0.8–0.9 dB。

研究背景与问题

在现代医疗中，X射线、超声和磁共振成像（MRI）等医学成像系统依赖电子设备进行采集和计算，噪声是这些系统中的重要问题。噪声源自设备本身及其使用的信号变换过程。抑制噪声是医学图像处理的关键环节。本研究主要考虑加性高斯白噪声（AWGN），原因有二：首先，多项研究表明X射线和低剂量计算机断层扫描（LDCT）图像常受AWGN污染；其次，超声中的散斑噪声、低计数成像中的混合泊松和高斯噪声以及幅度MRI中的Rician噪声可通过方差稳定变换近似转换为AWGN。机器学习方法和贝叶斯估计器被广泛用于降噪，但在缺乏训练数据或可靠先验分布时表现不佳。惩罚最小二乘回归（PLSR）不需要这两者，因此成为研究焦点。PLSR的性能取决于惩罚函数的选择。非凸惩罚能够减少凸?₁惩罚对大系数施加的偏差。已有多种简单的非凸惩罚被研究，包括指数型、对数型和三角型惩罚。此外，对相邻系数进行多变量收缩通常优于单变量收缩。

研究内容与结论

研究人员研究了一种底数为m的指数型惩罚及其通过PLSR得到的双变量收缩函数。研究表明，这种形式是指数型惩罚的重新参数化（Remark 1），底数m并未引入新的形状。因此，本研究的贡献并非提出新惩罚，而是针对已发表组件给出精确补充。对于非重叠分组，精确的凸性条件是λ≤1/a，这是必要且充分的，且不含因子K（第3节）。实现收缩的不动点求解器的压缩模量为1/(1+λa ln m)，不依赖于数据。闭式SURE所需的散度属于同类增量，由于收缩由平稳条件隐式定义，其散度通过隐式微分求得。凸目标保证唯一最小值，因此研究人员推导了收缩目标为凸的条件。

研究人员认为最有用的结果是经验性的。在相同调参下，指数型、对数求和、反正切、MCP和SCAD惩罚在同一数据上的差异在0.02 dB以内，均高于软阈值约0.1 dB（第4节的Rician实验）。这一效应量小于调参规则之间的差异，因此若无匹配调参和报告误差棒，无法证明此类非凸惩罚优于已有的惩罚。评估还包括在公开MRI数据上与BM3D和预训练DnCNN的对比，两者均领先所提方法。

关键技术方法

研究人员采用的主要技术方法包括：（1）底数为m的指数型正则化惩罚函数；（2）基于PLSR的双变量收缩函数推导，应用于同一子带内非重叠的相邻小波系数分组；（3）利用径向函数性质推导凸性条件；（4）不动点迭代算法求解收缩函数；（5）Stein无偏风险估计（SURE）用于参数自动选择；（6）循环平移技术实现平移不变性；（7）在公开7T MRI数据集（29张轴向切片，250 μm分辨率，来自一名受试者）上进行Rician噪声实验。

研究结果

第2节：底数为m的指数型正则化

研究人员定义了底数为m的指数型正则化惩罚函数φ(x)=(1-m^-a|x|)/(a ln m)，其中a>0且m>1。该惩罚满足三个条件：(1) φ(0)=0；(2) 对|x|>0有φ'(x)>0；(3) lima→0 φ(x)=|x|，恢复?₁惩罚和软阈值。Remark 1指出，由于m^-a|x|=e^{-a ln m|x|}，该惩罚等价于b=a ln m下的指数型惩罚，因此底数m未增加灵活性。图1展示了绝对值、对数、三角和底数为m的指数型正则化器的对比。

第3节：双变量收缩函数、凸性与收敛性

研究人员将PLSR应用于同一子带内非重叠的d个相邻小波系数分组。设y为含噪分组，θ为真实分组，噪声为方差σ²的AWGN。求解PLSR得到估计公式θ?=r·y/||y||₂，其中r满足方程r+(λ/σ²)·m^-ar·ln m=||y||₂。该方程无初等闭式解，可通过不动点迭代求解：r_(k+1)=max(||y||₂-(λ/σ²)·m^-ar_(k)·ln m, 0)。对于凸性，研究人员证明当λ≤1/a时目标函数为凸，反之则不凸。对于收敛性，映射的导数模为(λa ln m/σ²)·m^-ar，若λa ln m/σ²<1则映射为压缩映射，具有唯一不动点。图2比较了各正则化器的一维收缩函数。

第4节：数值结果

研究人员使用X射线（512×512像素）、超声（481×321像素）和MRI（256×256像素）图像进行研究，添加三种噪声标准差（σ=10, 20, 30）的AWGN。采用七尺度分解、二阶消失矩的平稳小波变换获得稀疏表示。使用?₂范数误差（L2E）进行评估，每组结果为10次噪声实现的平均值。通过比较单系数、双系数和三系数分组，确定双变量分组（d=2）取得最佳L2E值。表1显示所有方法的平均L2E值，所提方法在多数情况下取得最低值。所有非凸惩罚的L2E值远低于软阈值函数，非凸惩罚与System 1和System 2的差距在0.1以内，所提方法与三角惩罚的差异不超过0.02。

Rician实验（公开7T MRI数据）

研究人员使用29张轴向切片（320×320像素）的公开7T T1加权MRI数据集，添加σ=15, 20, 25的Rician噪声，共87个配对样本。采用正交Daubechies-4小波、四层分解和非重叠2×2空间分组。参数通过SURE在网格上自动选择。表2结果显示，所提方法在所有87个样本上将软阈值的PSNR提升0.15 dB，但SSIM从0.835降至0.833。结合循环平移后，PSNR和SSIM分别提升至0.858 vs 0.856。BM3D和DnCNN-B分别领先Proposed+CS 0.9 dB和0.8 dB。五种非凸惩罚在相同调参下差异在0.02 dB以内，均高于软阈值约0.1 dB。表3在实用设置下重复对比，噪声水平由中位绝对偏差估计，所提方法在所有设置下均优于软阈值，增益为0.13-0.14 dB（直接处理）和0.04 dB（经方差稳定变换后）。在双核CPU上，所提方法每切片耗时0.05秒（固定参数）至2.5秒（含SURE参数选择和循环平移），快于DnCNN-B（5.43秒）和BM3D（19.69秒）。

结论与讨论

研究人员研究了底数为m的指数型惩罚及其通过PLSR得到的双变量收缩函数，用于医学图像去噪。底数m是指数型惩罚的重新参数化，未增加灵活性。研究人员推导了双变量收缩的凸性条件，并证明其不动点求解器以不依赖于数据的模量几何收敛。在X射线、超声和MRI图像上，该方法表现与三角和对数惩罚相当，且明显优于软阈值。在含Rician噪声的公开7T MRI数据上，该方法在所有87个配对测试中均在各种设置下优于软阈值，尽管经方差稳定变换后增益降至0.04 dB。结合循环平移后，仍落后BM3D和预训练DnCNN 0.8-0.9 dB。其优势在于无需训练数据、可证明收敛且速度快。

评估存在局限性：表1每模态仅使用一张图像且直接添加AWGN；MRI检查仅使用单一受试者和模拟噪声。其他变换如复小波、剪切波和四元数小波变换可能改进结果。通过SURE选择参数可替代固定规则。应用方差稳定变换后再进行收缩，以及在获取的超声和低剂量CT数据上进行测试，是未来工作的方向。