完全变分模型无关的切割有限元方法在大应变弹性中的应用框架及其收敛分析

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A unified CutFEM formulation for finite-strain elasticity: energy minimisation and corner singularities

　　

摘要

我们提出了一种完全变分的、模型无关的切割有限元方法（CutFEM）在大应变弹性中的应用框架。该离散问题由单一增广能量泛函推导而来，该泛函由体超弹性能量、弱施加边界条件的Nitsche项以及幽灵惩罚稳定化项组成。在每个非线性迭代步中，残差是该泛函在自适应Nitsche权重冻结条件下的精确一阶变分，而修正步则使用其海森矩阵的对称强制性逼近。自动微分（AD）直接从标量能量密度生成第一Piola–Kirchhoff应力张量和弹性张量，避免了更换超弹性模型时进行手动重新推导。据我们所知，这是第一个将纯能量构造、模型无关方法与自动微分及非适配边界处精度分析相结合的无适配大应变有限元格式。

对每个拟牛顿步所求解的线性化问题的分析建立了与切割无关的强制性和连续性，以及 $O\left(h^{?2}\right)$ 条件数界，并通过Brezzi–Rappaz–Raviart框架导出了针对正则解的近最优收敛定理。数值上，该方法在光滑测试算例中对二次和三次单元达到了最优 $h$-收敛。此外，我们利用Kolosov–Muskhelishvili特征方程量化了该方法在混合Dirichlet–Neumann连接处的精度极限。精确解的角点奇异性使得适配方法和非适配方法的收敛速率受到同等限制。局部网格细化消除了这一限制：我们在数值上验证了一阶单元恢复最优收敛速率，并证明了非适配离散化继承了底层细化所达到的收敛速率，且具有与切割无关的常数。

Micha? Tomasz Wichrowski|Ella Godiva Noomen