比例时滞微分方程的物理信息神经网络：正问题和反问题

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Physics-informed neural networks for proportional delay differential equations: Forward and inverse problems

　　

# 摘要

比例延迟微分方程模型描述了依赖于按比例缩放的历史状态的系统，其应用涵盖天体物理学、工程学和生物学等领域。然而，比例延迟可能跨越一个宽阔的、随时间变化的范围，并依赖于任意接近初始时间的状态。因此，传统的基于离散化的方法，特别是有限差分型方法，需要对延迟参数进行仔细处理，并且在计算上颇具挑战。本研究开发了一种统一物理信息神经网络（PINN）框架，用于比例延迟常微分方程和偏微分方程的正向仿真和反向参数识别。该框架将微分方程残差、初始或边界条件以及观测数据整合到一个复合损失函数中。自适应加权策略平衡了竞争性的损失项，两阶段优化和多阶段残差修正程序提高了训练的稳定性和准确性。数值实验表明，对于高振荡方程，该方法能够给出稳定、高精度的解；能够处理具有挑战性的高阶非线性问题；并且在数据嘈杂或稀疏的情况下，能够准确识别未知的延迟参数和系数。在所述假设下，附录进一步表明，足够小的物理信息损失能够带来较小的解近似误差。因此，所提出的框架为比例延迟系统提供了一种无网格的、有效的、且具有理论支持的方法，适用于传统基于离散化的方法难以适用的情况。

# 引言

比例延迟微分方程（PDDEs）是延迟微分方程的一个特殊类别，在天体物理学（Ambarzumian, 1944）、工程力学（Ockendon and Tayler, 1971）和生物学（Hall and Wake, 1989）中有广泛的应用。裁纸机方程（Ockendon and Tayler, 1971）作为PDDEs的一个基础性例子，其解的性质和结构已被广泛研究（Liu and Li, 2004, Rajmane et al., 2025）。以裁纸机方程的研究突破为起点，学术界也开发了几种方法来求解其解析解。例如，文献（Fox et al., 1971, Bhalekar and Patade, 2017, Liu and Li, 2004）提出了针对裁纸机方程特定形式获取解析解的方法。

然而，解析解仅适用于有限类别的PDDEs，更一般的问题通常需要进行数值处理。现有的数值方法包括Runge-Kutta方法（Bellen, 2002, Zhao et al., 2006）、有理逼近方法（Ishiwata and Muroya, 2007, Ishiwata and Muroya, 2009）、谱方法（Ali et al., 2009a, Ali et al., 2009b）以及半解析方法如同伦摄动法和变分迭代法（H. Ko?ak, 2009, Saadatmandi and Dehghan, 2009）。这些方法针对选定类别的裁纸机型方程实现了良好的精度。然而，它们的实施可能需要针对特定问题的推导、定制的逼近或对延迟参数的仔细处理。因此，它们在面对具有挑战性的高阶非线性PDDEs、具有快速振荡解的问题等困难情形时，适用性可能受到限制。

除了正向仿真之外，PDDEs的反向问题也具有实际重要性，因为未知的系数和延迟参数通常需要从有限的观测中推断出来。例如，在系统校准、模型识别和工程设计中都会出现此类参数识别任务。现有研究已对延迟系统的反向问题进行了考虑（Verriest, 2020, Ruhil and Malik, 2024, Mehrkanoon et al., 2014, Rosen, 1984）。然而，这些反向问题的研究通常与正向求解器分别开发，并且往往依赖于重复的正向仿真或特定的模型假设，这在观测数据稀疏或嘈杂时限制了其鲁棒性。因此，PDDEs的正向和反向问题在很大程度上被作为分离的任务处理，提供统一计算框架以同时处理正向仿真和反向参数识别的研究仍然有限。特别需要一种能够适应稀疏或嘈杂数据同时避免针对问题特定网格构建的灵活方法。

数据和计算资源的显著增加推动了机器学习在计算机视觉（Krizhevsky et al., 2012, He et al., 2016）、自然语言处理（Vaswani et al., 2017, Devlin et al., 2019）、医疗保健（Gulshan et al., 2016, Abramson et al., 2024）和金融（Hoang and Wiegratz, 2023, Abdulla and Al-Alawi, 2024）中的应用。然而，对于物理和工程系统，观测数据往往稀缺或获取成本高昂（Ghorvei et al., 2022）。因此，纯数据驱动的方法可能产生与控制方程不一致的解或参数估计。物理信息神经网络（PINNs）通过将控制微分方程、初始或边界条件以及可用观测嵌入损失函数中，将数据驱动学习与物理约束相结合（Raissi et al., 2017a, Raissi et al., 2017b, Raissi et al., 2019, Toscano et al., 2025）。PINNs可以通过神经网络直接逼近解，并通过自动微分计算导数，从而为传统的基于离散化的方法提供了一种无网格的替代方案。这些特性使得PINNs成为延迟微分方程（DDEs）的一种有前景的替代方案。最近的研究探讨了PINNs在DDEs中的应用，包括正向求解和反向参数识别问题（Rahimkhani et al., 2025, Pal et al., 2026, Wang et al., 2026）。这些研究表明，PINNs可以将控制延迟方程和观测数据整合到一个统一的学习框架中，使其特别适合于数据有限或嘈杂时的数据驱动建模和参数推断。然而，它们在比例延迟问题中的应用仍探索不足，尤其是对比例延迟常微分方程和偏微分方程正向和反向问题的统一处理。此外，PINNs对比例延迟方程近似的理论支持也关注较少。

为填补这些空白，本文开发了一种统一的PINN-PDDEs框架，用于比例延迟常微分方程和偏微分方程的正向仿真和反向参数识别。对于正向问题，该框架逼近参数已知的方程的解；对于反向问题，它从有限的观测数据中识别未知的系数和延迟参数。该框架在复合损失函数中结合了微分方程残差、初始或边界条件以及观测数据，并采用了自适应损失加权两阶段优化。除了数值验证之外，还对代表性比例延迟问题进行了数学分析，以在所述假设下建立物理信息损失与解近似误差之间的关系。本文的主要贡献总结如下：

- 开发了一种统一的PINN框架，用于比例延迟常微分方程和偏微分方程的正向仿真和反向参数识别。
- 引入了自适应加权策略和两阶段优化程序，以平衡不同的损失分量并提高训练稳定性。
- 在具有挑战性的示例上评估了该框架，包括高振荡方程、高阶非线性问题、高维问题和具有嘈杂或稀疏数据的反向问题。
- 对代表性比例延迟问题提供了数学分析，在所述假设下为所提出的方法提供了理论支持。

所提出框架的核心思想是用深度神经网络表示未知解。使用自动微分（Baydin et al., 2018）来计算所需的导数，包括需要时的高阶导数，同时延迟状态通过在网络中以按比例缩放的参数处直接评估来获得。控制方程的残差，连同初始或边界条件以及（对于反向问题）观测数据，被纳入复合损失函数中。优化此损失使网络能够满足控制物理的同时拟合可用观测，而无需显式的计算网格。这种公式对比例延迟方程尤为相关，因为其延迟参数随自变量变化且可能接近初始时间。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍比例延迟微分方程和深度神经网络的基础知识。第3节呈现了所提出的用于比例延迟常微分方程、偏微分方程和比例延迟系统的PINN-PDDEs框架。第4节通过针对特定方程的数值实验验证了该框架，求解了正向和反向问题。附录对代表性比例延迟问题提供了数学分析，在所述假设下建立了物理信息损失与解近似误差之间的关系。

## 第2节 比例延迟微分方程的定义

比例延迟微分方程（PDDEs）是延迟微分方程（DDEs）的一个特殊类别。在一般的DDE $y'(t)=f(t,y(t),y(t-\tau))$ 中，延迟 $\tau$ 通常被假设为常数。然而，当延迟依赖于时间或系统状态时，分析变得更加复杂。例如，PDDE $y'(t)=f(t,y(t),y(qt))$ 是DDE的一个特例，具有随时间变化的延迟，其中 $\tau(t)=(1-q)t$。在这类方程中，当前的变化率不仅依赖于当前的

## 第3节 PINN-PDDEs框架

本节呈现了用于比例延迟微分方程的PINN-PDDEs框架，包括PD-ODEs、PD-PDEs和PD-ODEs系统。尽管这些问题在维度和耦合结构上有所不同，但它们共享一个共同的原则：使用神经网络来逼近未知解，同时将控制方程、适定性条件和（如果可用的）观测数据整合到一个统一的优化目标中。正向问题的目标是确定

## 第4节 数值实验

本节呈现了基于第3节开发的框架的数值实验。这些实验系统地评估了所提出的PINN-PDDEs方法在不同参数设置下对几种类型比例延迟方程的准确性和有效性。除非另有说明，所有神经网络均为全连接前馈网络，具有两个隐藏层，每层包含20个神经元，并使用 $\tanh(\cdot)$ 激活函数。配点生成的

## 结论

本研究开发了一种物理信息神经网络框架，用于比例延迟微分方程的正向仿真和反向参数识别，包括常微分方程、耦合系统和偏微分方程。主要发现总结如下：

- 所提出的框架将控制方程残差、初始和边界条件以及观测数据纳入复合损失函数中，从而提供统一的

## CRediT作者贡献声明

**Zhiming Zhong**：初稿撰写、项目管理、概念化。
**Chengsong Hong**：初稿撰写、可视化、验证。
**Hengyi Guo**：可视化、验证、软件、形式分析。
**Housen Wang**：验证、项目管理、概念化。
**Qiang Liu**：审阅与编辑、验证、监督、方法论。

## 利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

我们真诚感谢匿名审稿人对本文的仔细审阅以及富有建设性和洞察力的意见。他们的建议帮助我们改进了这项工作。

本研究部分由深圳市科技计划项目（JCYJ20241202124209011）资助。

Zhiming Zhong | Chengsong Hong | Hengyi Guo | Housen Wang | Qiang Liu