关于希尔伯特第16问题的第二部分，对于某些由圆形分隔的不连续分段微分系统，

《Mathematics and Computers in Simulation》：On the second part of Hilbert’s 16th problem for some classes of discontinuous piecewise differential systems separated by a circle

　　• 在由圆分隔的不连续分段系统中穿越极限环的现象。
• 将周期性条件简化为显式的代数系统。
• 对非光滑多项式系统中穿越极限环的界限进行估计。
• 包含多次穿越极限环和圆切换的数值示例。
• 关于希尔伯特第16问题的代数和数值解决方法。

**章节摘录**
**引言与主要结果陈述**
自1900年大卫·希尔伯特[1]、[2]在巴黎国际数学家大会上提出他的23个著名问题列表以来，许多研究者致力于研究该列表中的第16个问题的第二部分，即寻找给定阶数的平面多项式微分系统能够表现出的极限环的最大数量的界限。尽管经过了一个多世纪的研究，希尔伯特第16问题的第二部分仍然悬而未决。

**C1、C2和C3微分系统在仿射变量变换后的情况**
本节讨论了对三次可逆等时系统C1、C2及其有理首次积分进行一般仿射变量变换的情况。通过应用变量变换 (x,y)→(a1x+b1y+c1,α1x+β1y+γ1)（其中 a1β1?α1b1≠0），微分系统C1变为：
x′=?1α1b1?a1β1(β1(2(a1x+b1y+c1)(a+b(a1x+b1y+c1))?1)(α1x+β1y+γ1)?b1(a1x+b1y+c1+2b(a1x+b1y+c1)(α1x+β1y+γ1)2+a(?(a1x+b1y+c1)2+(α1x+β1y+γ1)2))，
y′=?1α1b1?a1β1(?α1((?1+2(a1x+b1y+c1)(a+b(a1x+b1y+c1)))(α1x+β1y+γ1))

**定理1的证明**
我们考虑一个由三次系统 (2) 形成的分段微分系统，即经过任意仿射变量变换后的三次系统 C1 及其首次积分 H1(x,y)；以及一个线性微分系统 Lc 及其首次积分 HL(x,y)，这两个系统被圆 Σ 分开。如果这个不连续分段微分系统 Lc–(2) 存在一个与单位圆 Σ 相交的极限环，并且该极限环通过点 (x1,y1) 和 (x2,y2)，那么这两点必须满足以下条件……

**定理2的证明**
**定理2中陈述 (i) 的证明**
我们考虑一个由线性微分系统 x′=150(?70+90x?97y), y′=?85+2x?95y 及其首次积分 HL(x,y)=85x?x?910y2?75y2 形成的分段微分系统。结合类型为 (2) 的三次等时微分系统 x′=?0.5769…?0.0274…x3+x2(?1.0838…+0.1148…y)+y(0.6925…+(0.4715…+0.1397…y)y)+x(?1.4990…+(0.6106…+0.2807…y)y), y′=?2.2125…?0.8709…x3+x2(?3.4611…?1.5744…y)+x(?5.3029…+(?4.5612…?0.6861…y)y)+y(?2.281…+(?0.1729…+0.0231…y)y 及其首次积分 H2(x,y)……

**作者贡献声明**
Sonia Renteria Alva：负责撰写、原始草稿的编写、可视化、软件开发、方法论设计、数据分析、概念化。
Jaume Llibre：负责撰写、审稿与编辑、验证、监督、概念化。
Ana Mereu：负责撰写、审稿与编辑、验证、监督、概念化。

**致谢**
第一作者部分受到巴西高等教育人员培训协调委员会（CAPES）（授权号 88887.606594/2021-00）和 Arthur Bernardes 基金会（FUNARBE）提供的奖学金支持。
第二作者部分受到西班牙国家研究机构（PID2022-136613NB-100）和巴塞罗那皇家科学与艺术学院的支持。
第三作者部分受到巴西 Fapesp（授权号 2018/13481-0）的支持。

**作者名单**
Sonia Renteria Alva | Jaume Llibre | Ana Mereu