面向结构的随机化神经网络在泊松–涅恩斯特–普朗克系统及其与泊松–涅恩斯特–普朗克–纳维–斯托克斯系统中的应用

《Computer Physics Communications》：Structure-Oriented Randomized Neural Networks for Poisson–Nernst–Planck and Poisson–Nernst–Planck–Navier–Stokes Systems

　　

# 摘要

我们提出了一种面向结构的随机神经网络框架，称为SO-RaNN，用于求解泊松-能斯特-普朗克（PNP）系统和泊松-能斯特-普朗克-纳维-斯托克斯（PNP-NS）系统。解耦后的线性化子问题在时空框架下由随机神经网络迭代求解。对于浓度变量，施加逐点截断以保证值水平的正性，同时在选定的修正时刻计算离散质量标度因子并在时间上进行插值，以确保在这些时刻的精确质量匹配，并促进时刻之间的近似质量守恒。此外，引入SAV型后处理修正以保证理想更新下SAV辅助变量的单调性。对于PNP-NS系统，采用保结构的随机神经网络（SP-RaNN）近似来描述速度场，从而使不可压缩性在构造上逐点满足。理论上，我们推导出原始RaNN求解器的基于残差的估计，建立了精确子问题PNP皮卡映射的条件局部时间收缩结果，并分析了正性、质量修正和SAV后处理步骤。我们还证明了散度自由SP-RaNN空间的逼近结果，并给出了线性化欧瑟型问题的条件误差陈述。分析是逐组件进行的；完整修正工作流的收敛性仍然是一个开放问题，而数值实验表明所提方法具有逼近精度和有效性。

# 引言

泊松-能斯特-普朗克（PNP）系统是一个耦合的连续介质模型，用于描述电场下的离子输运[1]，[2]。它由泊松方程和能斯特-普朗克方程组成，其中泊松方程确定由电荷分布产生的静电势，能斯特-普朗克方程描述每种离子的通量和演化。PNP系统已被广泛应用于半导体[3]，[4]，[5]、电化学[6]和生物学[7]，[8]等领域。当存在流体运动时，PNP方程通过库仑力与纳维-斯托克斯方程耦合，形成泊松-能斯特-普朗克-纳维-斯托克斯（PNP-NS）系统。该模型用于描述电动力学流动，并在生物离子通道和电化学系统中得到应用[9]，[10]。

对于在适当边界条件下足够光滑的正解，PNP系统满足离子浓度正性、质量守恒和自由能耗散。在PNP-NS系统中，速度场的不可压缩性约束是一个额外的结构。数值上保持这些结构对于稳定性和物理保真度很重要。已经为PNP系统[11]，[12]，[13]，[14]，[15]，[16]，[17]，[18]，[19]；[20]，[21]和PNP-NS系统[22]，[23]，[24]，[25]；[26]提出了一些保结构方法。对于PNP系统，He等人[12]基于PNP系统的重新表述构建了一种无条件稳定的半隐式线性化差分格式。Huang和Shen[16]提出了一种基于适当变量变换和标量辅助变量（SAV，[27]）方法构建保结构格式的方法，该方法灵活、易于实现，并且能够实现与半隐式格式相当的计算复杂度下的高阶精度。Liu等人[20]为PNP系统开发了一种保正性、能量稳定和收敛的有限差分格式，随后将该构造扩展到二阶时间精度[21]。Fu和Xu[17]基于对数密度表述提出了一类高精度保结构有限元格式。Bonilla和Gutiérrez-Santacreu[19]提出了两种基于物理的稳定有限元方法。对于PNP-NS系统，Zhou等人[23]和Pan等人[24]基于SAV方法开发了高效保结构格式。Yu等人[25]提出了一种解耦保结构格式，并对全离散格式进行了误差分析。Qin和Wang[26]为一种PNP-NS格式建立了二阶精度、正性保持、总能量稳定性和最优速率收敛性。

近年来，神经网络（NN）方法因其强大的逼近能力而受到广泛关注[28]，[29]。越来越多的研究致力于使用神经网络方法求解偏微分方程[30]，[31]，[32]，[33]，[34]，[35]，[36]。这些神经网络方法具有无网格表示、高维能力和时空表述等 attractive特性，但神经网络训练涉及求解非凸、非线性优化问题，这可能会限制基于神经网络的方法在实际偏微分方程计算中的精度和效率。

随机神经网络（RaNN）方法[37]，[38]，[39]固定隐藏层中的参数，仅训练输出层中的参数，从而导致线性最小二乘（LS）优化。因此，RaNN方法平衡了逼近误差和优化误差，并在求解偏微分方程方面展示了潜力[40]，[41]，[42]，[43]，[44]，[45]，[46]，[47]，[48]，[49]，[50]，[51]。Dong等人[40]开发了一种结合域分解和局部极限学习机（ELM，单隐层RaNN）的高效方法，强制在共享边界上保持连续性。Chen等人[43]将局部ELM方法扩展到重叠域分解，称为随机特征方法。Li和Wang[51]将局部RaNN与有限差分方法结合用于界面问题。Shang等人[46]将RaNN与重叠Schwarz域分解集成，并构造了求解所得线性系统的有效重叠Schwarz预条件子。Dang和Wang[50]提出了自适应增长随机神经网络框架，显著增强了RaNN的逼近能力，并建立了统一的误差分析。一些研究将RaNN方法与弱格式结合，这对低正则性问题更有效。Shang等人[45]将RaNN与Petrov-Galerkin方法集成以求解线性和非线性偏微分方程。Sun等人[47]提出了通过间断Galerkin（DG）格式耦合局部RaNN的RaNN-DG方法。Dang和Wang[49]将局部RaNN与混合间断Petrov-Galerkin方法结合用于Stokes-Darcy问题。这些研究表明了RaNN通过降低训练成本实现精确逼近的潜力。一个相关且重要的问题是隐藏特征分布的选择。由于在LS求解过程中隐藏层参数被固定，所采样特征空间的质量直接影响RaNN型求解器的精度和鲁棒性。在这一方向上，Zhang等人[52]通过从函数逼近的角度构建神经特征空间，提出了用于偏微分方程的可迁移神经网络，其中隐藏神经元被重新参数化并调整以获得可迁移的特征分布。Yang和Wang[53]提出了自适应分布RaNN框架，其中在特征分布确定后，隐藏特征采样分布的低维参数被学习，而输出层系数仍由线性LS求解确定。

受在RaNN框架中处理正性、质量守恒、耗散相关行为以及对于PNP-NS系统的不可压缩性困难的启发，我们为PNP和PNP-NS系统提出了一种结构导向的随机神经网络（SO-RaNN）方法。本工作的主要贡献总结如下：

(i) 我们为PNP和PNP-NS系统提出了一种时空SO-RaNN框架，其中非线性耦合系统通过皮卡型线性化处理，并简化为一系列解耦的线性最小二乘RaNN子问题。

(ii) 我们开发了一种结构导向的修正流水线，包括值水平正性截断、选定时间质量修正、SAV型辅助更新、使用SAV标度势的额外能斯特-普朗克求解，以及最终的规范固定泊松最小二乘更新。

(iii) 对于PNP-NS系统，我们将上述修正框架与SP-RaNN速度表示相结合。因此，速度近似在构造上逐点满足不可压缩性约束。

(iv) 我们提供了一个模块化分析，将原始RaNN逼近与修正步骤和最终泊松最小二乘更新分离。分析包括原始线性化子问题求解器的基于残差的估计、精确子问题PNP皮卡映射的条件局部时间收缩结果及其原始RaNN对应物的理想化非精确皮卡扰动估计，以及SP-RaNN对线性化欧瑟型子问题逼近的条件误差陈述。相应地，本逐组件分析未建立完整后处理PNP算法或耦合PNP-NS外层迭代的收敛性。

全文中，"结构导向"指的是算法1和2中的完整工作流，其中PNP和PNP-NS系统的物理结构既指导了神经表示，也指导了模块化修正的设计。空间不可压缩性被内置于SP-RaNN速度表示中，而正性、选定时间质量匹配和SAV辅助变量单调性则通过修正步骤实现，而非由原始神经输出继承。由于这些修正在字段级别起作用，相同的结构启发式工作流原则上可以适应其他神经偏微分方程求解器。

本文其余部分组织如下。第2节回顾RaNNs和SP-RaNN的构造，并介绍本工作考虑的PNP和PNP-NS模型以及提出的SO-RaNN算法。第3节包含理论分析。对于PNP系统，我们研究线性化子问题的原始RaNN求解器，建立精确子问题皮卡映射的局部收缩及其原始RaNN对应物的理想化扰动估计，并分析修正步骤。对于PNP-NS系统，我们讨论散度自由逼近以及线性化欧瑟型子问题的相应条件残差估计。第4节展示数值实验。最后，第5节总结全文并讨论未来方向。

# 章节摘要

## RaNN用于PNP和PNP-NS系统

在本节中，我们首先回顾全连接RaNNs和散度自由SP-RaNN空间的构造[54]，然后介绍本工作考虑的PNP和PNP-NS系统，并描述用于这些模型的SO-RaNN算法。

## 理论分析

本节提供了所提方法的逐步理论分析。我们首先建立原始RaNN子问题求解器的逼近和残差估计。然后我们研究精确子问题PNP皮卡映射的局部收缩及其原始RaNN对应物的理想化扰动估计，分析结构导向修正步骤的稳定性，最后讨论PNP-NS系统中出现的散度自由逼近和欧瑟型子问题。

## 数值实例

在本节中，我们将所提的SO-RaNN方法应用于PNP和PNP-NS系统。数值测试分为两组。源驱动的人造算例主要用于评估相对于已知精确解的逼近精度。齐次算例与原始PNP/PNP-NS系统的内在结构更为契合，用于说明预期的结构导向行为，包括值水平正性修正、质量匹配等。

# 结论

在本文中，我们为PNP和PNP-NS系统提出了一种结构导向的随机神经网络方法。该方法将解耦线性化子问题的原始RaNN求解器与正性截断、选定时间质量修正和基于SAV的辅助变量修正相结合。最终使用规范固定的泊松最小二乘更新来计算报告的势。对于PNP-NS系统，使用SP-RaNN表示来描述速度场，从而使不可压缩性得到满足。

# 代码可用性

本研究中使用的源代码可在GitHub仓库获取，并已在Zenodo上存档[63]。该仓库包含用于PNP和PNP-NS系统的SO-RaNN方法的实现。

# CRediT作者贡献声明

李云龙：撰写—初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，数据整理。
王飞：撰写—审阅与编辑，验证，监督，资源，项目管理，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。

# 利益冲突声明

作者声明与本文章内容相关的没有利益冲突。

李云龙|王飞