一种用于双层壳结构振动和声响应预测的切比雪夫点插值无网格方法

《Computers & Mathematics with Applications》：A Tchebyshev point interpolation meshless method for vibration and acoustic response prediction of double-layer shells

　　摘要
本研究提出了一个模型，用于预测双层复合壳体在无限流体域内的声学特性。分析的结构包括双层圆柱壳体、双曲壳体和圆形隔板。基于相邻部分之间的位移连续性条件，推导出了它们之间的耦合关系。利用能量原理，得出了双层壳体的动能、应变能和势能公式，并通过哈密顿变分法建立了双层壳体的振动控制方程。考虑到围绕复合壳体的外部声学流体，采用无网格Kirchhoff-Helmholtz积分方程进行描述。通过将结构-声学兼容性关系以流体功的形式纳入模型，利用Tchebychev点插值法（TPIM）和圆周傅里叶级数得到的无网格形状函数来近似结构位移和流体声压，从而建立并求解振动和声学耦合模型。通过与有限元/边界元解的对比验证了所开发的无网格振动和声学模型的准确性。此外，还讨论了几何形状、材料属性和加载条件等参数对双层复合壳体声学特性的影响，为轻量化及低噪音设计提供了指导。

引言
由双曲壳体和圆柱壳体组成的组合结构与大型油气和液化天然气储罐的结构形式高度一致，能够准确模拟储罐圆柱部分和端部端盖的整体结构特性，具有优异的工程应用性。随着油气储存和运输行业向大规模、低温和高压安全方向的发展，储罐在流体冲击、外部激励和地震载荷作用下容易发生强烈振动，进而引发结构共振、疲劳损伤、低频声辐射等问题，严重威胁储罐的安全运行和服务寿命。研究此类双层壳结构的振声耦合特性可以阐明结构几何参数和材料参数对自然振动特性和声辐射响应的影响规律，并揭示流体-结构相互作用下振动诱导声音的内部机制。研究结果为油气储罐的振动和噪声优化设计、轻量化结构设计以及运行安全监测提供了坚实的理论基础和技术支持。同时，这对于改进储罐结构的动态设计系统并提高其整体服务安全性能具有重要的实际工程价值和研究意义。

目前，随着数值技术和各种板材及壳体理论的快速发展，已有多种研究致力于分析由不同部分组成的单壁复合壳体的动态机制[[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]]。相应地，双层壳体的振动行为研究也引起了一定关注[[14], [15], [16]]。Yin等人[17]对水下爆炸中的加强双层圆柱壳体进行了数值和实验研究，并考察了附着在壳体结构上的 sacrificial coatings 的減震效果。Zhang等人[18]利用改进的傅里叶级数方法和若干辅助项，提出了一个考虑各种边界约束的圆柱薄壁双层壳系统动态模型，并研究了其自由振动和强迫响应。Irie等人[19]利用内外壳的传递矩阵，得到了通过内置弹簧连接的双层圆柱壳体的振动控制方程，并研究了相应的自由振动特性。Zhang等人[20]考虑了内置矩形板的影响，利用改进的傅里叶级数建立了由矩形板和圆形板组成的层压双层壳板系统的振动模型，并分析了某些几何尺寸和位置参数的影响。Zhang等人[21]采用相同的数值技术研究了通过多个圆形板连接的双层圆柱壳体的自然频率和振动响应。He等人[22]采用谱几何方法，报道了包括圆锥/圆柱/球形壳体及多个环形板的双层FGM壳体的统一振动模型，并展示了一些参数化结果来分析相关的模态特性和强迫响应行为。Xie等人[23]提出了基于波的振动研究方法，用于研究通过多个圆形板连接的双层圆柱壳体。Jia等人[24]提出了一种统一的半解析方法，研究了不同连接类型对双层系统振动响应的影响，考虑了内外圆柱壳的不同连接形式（即夹板、梁、质量-弹簧和弹簧连接）。

尽管上述研究极大地推进了对连接和双层壳体结构动态特性的理解，但结构振动只是其运行性能的一个方面。当这些壳体系统暴露在周围或封闭的流体中时，结构振动、流体载荷与声辐射之间的相互作用对于噪声控制、疲劳评估和运行安全变得越来越重要。因此，最近的研究逐渐从孤立壳体组件的振动分析扩展到完全耦合的流体-结构-声学系统[[25], [26], [27], [28]]。Wang等人[29]采用了一种精确的传递矩阵方法（也称为PTMM）来研究考虑多个圆形板连接的双层均匀圆柱壳体的振动和声学特性，并通过实验验证了该开发模型的有效性。Qu等人[30,31]结合Reissner薄壳理论和改进的变分方法，提出了一个半解析的振动和声学耦合模型，用于分析加强耦合壳体的振动和声辐射机制。Qu等人[32]还结合时间域边界元方法，进行了多层圆柱壳与旋转内部刚性设备的非线性振动和声学研究。Chen等人[33]采用双层反射方法，研究了考虑复杂声学边界的圆柱壳的结构-声学行为，并引入了四分之一无限声学域来获得与声辐射相关的函数。Jin等人[34]结合改进的傅里叶级数，开发了一种基于能量的方法，研究了由圆柱壳、圆锥/半球形盖和环形隔板组成的潜艇船体的振动和声学问题。针对包含圆柱壳体及其两个末端椭圆形壳体的单壁组合结构，Guan等人[35]提出了一种基于能量-谱边界元的方法，分析了这种结构在声学介质中的振动和声学行为。Wang等人[36]利用离散压电执行器，基于Love层压壳理论，对圆柱双层夹心壳的振动和噪声进行了主动控制。Xie等人[37]采用统一的半解析方法（结合幂级数和傅里叶级数）分析了水下壳体的振动和声学问题。Jia等人[38]研究了与内部结构耦合的环形加强圆柱壳的振动和声学问题，并考虑了外部声场的影响。在此基础上，Su等人[39]开发了一种基于能量的方法，用于填充密集可压缩流体的功能性分级多孔圆柱壳体。他们的公式将结构域、内部声学域和流体-结构耦合条件纳入统一的变分框架，系统评估了孔隙率、材料属性和边界条件对耦合振动特性的影响。结果表明，内部流体的附加质量效应可以显著改变圆柱壳体的动态行为。

对于具有内部组件的壳体结构，Wu等人[40]研究了在波数-频率域内与多个圆形板连接的正交加强圆柱壳的强迫振动。研究发现，圆形板不仅改变了自然频率，还引起了环向模式之间的耦合，从而增加了共振峰或重新分布了共振峰。Zheng等人[41]研究了装有环形板和多孔泡沫介质的双层圆柱壳的声辐射性能。他们的结果表明，环形板和多孔泡沫的结合使用可以在宽频率范围内提高隔音效果，而增加内壳厚度和环形板数量可以减少辐射声功率。

近年来，人们对非轴对称内部结构和真实流体环境的影响给予了越来越多的关注。Jia等人[42]提出了一种用于轴对称潜艇船体与任意非轴对称内部结构的混合解析-数值模型，并通过实验验证了预测的振动特性。Zhao等人[43]为充满流体的水下圆柱壳开发了一种Chebyshev-傅里叶谱方法，考虑了壳体结构、内部声学腔体和外部无限声场。他们的结果表明，内部流体介质对声辐射特性有显著影响。Ye等人[44]进一步分析了在水下静压下浸没的层压圆柱壳的振声和屈曲行为。他们的研究表明，静压和外部流体对等效结构刚度和有效质量的影响 heavily depends on the circumferential wavenumber。实验验证和实际噪声预测也成为近期振声研究的重要趋势。Tang等人[45]结合无回声池实验和数值模拟，研究了在单一和多重激励下水下加强圆柱壳的声学特性。他们的结果表明，多重激励下的声学响应不能简单地解释为各个激励响应的线性叠加。Pang等人[46]提出了一种用于未知激励源情况下的水下噪声预测的重建源方法，该方法比传统边界元方法具有更高的计算效率。Luo等人[47]研究了具有弹性约束边界的双层圆柱壳的水下声振动。他们发现，随着连接刚度的增加，主要振动传递路径从主声通道转移到弹性连接。Xu等人[48]考虑了静水压力，将环状加强圆柱壳的振声分析扩展到深水条件。他们的结果表明，静水压力对低频振声峰值和整体高频响应有显著影响。

上述研究表明，近期壳体振声学的进展主要涉及四个方面：流体载荷和内部声学腔体、加强件和内部板的影响、静水压力和复杂声学边界的影响，以及水下噪声的实验或高效数值预测。然而，大多数现有研究主要集中在单层圆柱壳、双层圆柱壳或由相对简单壳体段组成的耦合结构上。同时包含双曲壳体、圆柱壳体和圆形隔板的完整双层复合壳系统的振声行为研究较少。这类系统涉及多个结构界面、不同的壳体几何形状、可能存在的材料各向异性、内外流体耦合以及来自空间连续组装表面的声辐射，其振声响应比单层圆柱壳或传统双层圆柱壳更为复杂。因此，本研究开发了一种基于TPIM的数值模型，并结合边界元方法，用于研究浸没在无限空气流体中的双层复合壳系统的振声行为。建立了双曲壳体、圆柱壳体和圆形隔板之间界面的机械兼容性条件，以组装完整结构。基于能量原理和声学Kirchhoff-Helmholtz积分方程，制定了耦合振动-声学控制方程，并获得了结构振动、辐射声压和声功率。通过与有限元/边界元结果的比较，验证了所提出方法的准确性和可靠性。然后进行数值研究，以明确几何参数、材料属性和外部机械激励对双层复合壳系统振动和声辐射特性的影响。

**初步研究**
考虑一个通用的双层复合壳结构，其基本配置如图1所示。如图所示，该复合壳通过两个圆形隔板将内壳和外壳连接在一起，其中内外壳主要由中间圆柱壳以及左右两端的双曲率壳组成，而隔板则被视为两种环形板结构。为了不失一般性，假设这些结构具有正交曲线特性。

**结果与讨论**
在获得振动和声学模型后，首先检验了所提出的无网格振动和声学方法在揭示双层复合壳的振声特性方面的数值收敛性和准确性。随后分析了关键参数对复合结构振动和声学行为的影响。在本研究中，空气被选为声学介质，其物理参数设置为：ρf=1.225。

**结论**
为了解决传统有限元/边界元方法在处理水下复合壳时固有的网格敏感性和重复重新网格化成本问题，本研究建立了一个基于切比雪夫多项式插值的无网格框架，该框架将一阶剪切变形壳理论与非反射Kirchhoff-Helmholtz边界积分一致地结合在一起。所提出的方法在节点分布稀疏的情况下具有显著提高的收敛性和数值稳定性。

**作者信息**
胡双伟|钟瑞|王青山
中南大学机械与电气工程学院，中国长沙410083