一种高阶不连续Galerkin框架，结合了体积惩罚浸入边界法与动态p-自适应技术，用于运动体与流体-结构相互作用的模拟

《Journal of Fluids and Structures》：A high-order discontinuous Galerkin framework combining volume-penalization immersed boundaries and dynamic p-adaptation for moving-body and fluid-structure interaction simulations

　　

摘要

本研究提出了一种高阶数值框架，用于处理涉及刚性运动或可变形弹性固体的流体-结构相互作用（FSI）问题，这些固体受到低雷诺数粘性流体的作用。流体域中的纳维-斯托克斯方程采用高阶节点不连续伽辽金（DG）求解器HORSES3D进行求解，该求解器与体积惩罚浸入边界方法（IBM）结合使用，以处理运动边界。基于强化学习的动态p-适应策略用于调整运动浸入边界附近的多项式阶数，从而在计算成本有限增加的情况下提高了精度。FSI界面上的空气动力载荷通过对称高阶高斯求积法精确计算。流体求解器通过分区耦合策略与刚体和弹性结构求解器相连。该框架通过三个数值案例进行了验证，包括俯仰机翼、机翼失速颤振以及圆柱后面的弹性梁的流动诱导振动。结果表明，所提出的框架具有很强的鲁棒性，并且能够在FSI模拟中实现至少二阶精度，证明了其适用于所考虑的FSI或运动体流动问题。

引言

涉及运动体的流体流动在许多自然、工程和生物系统中都有出现（Sotiropoulos和Yang，2014），包括游泳和飞行（Tian等，2014；Xia等，2025）、机翼（Menon和Mittal，2020）以及风力涡轮叶片（Sun等，2025；Zhang等，2025）、动脉中的生理流动或人工瓣膜周围的流动（Sotiropoulos和Borazjani，2009），以及流体-结构相互作用（FSI）问题（Arrigan等，2011；Farhat等，2006；Ma等，2026）。流体与浸入体之间的相对运动会引发复杂的非稳态流动现象，包括涡脱落、动态失速、尾流-体相互作用和流动转变（Huang等，2021；Ma等，2025；Xia等，2026b）。由于运动边界不断改变局部流动拓扑，因此这些流动的准确数值预测仍然具有挑战性（Mani和Dorgan，2023）。

在现有的数值方法中，高阶不连续伽辽金（DG）方法因其能够轻松实现高阶空间和时间精度而受到广泛关注（Gao等，2023；Zhang等，2024），并且已被证明在流动模拟中具有良好的耗散和扩散误差特性，因为可以解析各种小尺度结构（Beck等，2014；Ferrer等，2023）。此外，它们基于多项式的表示方式使得局部h-和p-适应策略成为可能，从而可以将计算资源集中在需要提高分辨率的区域，如边界层、剪切层和尾流（Huergo等，2025；Kompenhans等，2016a；Rueda-Ramírez等，2023；Tlales等，2024）。这些特性使得高阶DG方法成为运动体流动模拟的一个有前景的框架，能够提供捕获非稳态流动特征所需的精度和效率。

运动体流动模拟中的一个主要挑战是处理运动和变形边界。在高阶求解器的背景下，已经提出了几种策略来处理运动边界。FLEXI求解器（Gao等，2023）和3DG求解器（Froehle和Persson，2014）采用了任意拉格朗日-欧拉（ALE）方法，该方法使用适应 corpo 动体的移动网格来跟踪体运动。尽管ALE方法确保了边界的精确控制，但在大的结构变形下会导致网格变形和可能的元素反转。在ALE框架内，可以使用高阶滑动网格（Dürrw?chter等，2021；Ferrer和Willden，2012；Lahooti等，2025）来处理刚体运动。这种技术避免了网格变形，但需要在滑动界面处进行仔细处理（例如过度积分）以保持高阶精度，这会导致迭代次数增加。最近，Nektar++中实现了一种高阶运动参考框架技术（Lahooti等，2023；Moxey等，2020）。这种方法避免了显式重新网格划分，非常适合涉及大结构位移的问题。然而，使用非惯性框架会引入额外的数学复杂性，尤其是在多个相互作用体或结构运动学非平凡的情况下。

为了克服这些挑战，专为运动几何形状设计的浸入边界方法（IBM）已被适配到高阶框架中。IBM通过在纳维-斯托克斯方程中施加惩罚或强迫项来将网格与几何形状解耦，同时在固定的（通常是笛卡的）背景网格中求解方程。Kou等人（2022）在高阶通量重构（FR）框架内实现了体积惩罚，并表明，尽管在IBM界面附近局部精度降低到了一阶，但这种损失仅限于狭窄区域，并且可以通过局部适应来缓解。基于这个想法，在本工作中，我们采用局部多项式适应来在FSI模拟中恢复至少二阶收敛。基于这项工作，Ferrer等人（2023）将IBM集成到HORSES3D DG求解器中，将IBM的功能扩展到高阶DG公式。随后，Colombo等人（2025）在DG-IBM框架内引入了一种替代边界技术，以减轻与切割不良元素相关的不稳定性，证明了高阶收敛性；然而，它主要关注固定几何形状。将DG-IBM方法扩展到运动体模拟的研究仍然相对较少，这也是本工作的主要动机之一。

使用浸入边界会在运动界面附近引入额外的分辨率要求，那里可能出现剧烈梯度和动态变化的流动结构。在整个计算域内均匀增加多项式阶数通常成本过高，因此需要采用适应策略。传统的p-适应方法通常依赖于启发式指标或误差估计器（Fraysse等，2012；Kompenhans等，2016b），但其有效性可能会随着感兴趣区域随时间的快速演变而降低。Huergo等人（2025）的最新研究表明，强化学习（RL）可以用于在高阶DG求解器中自动化各向异性的p-适应，提供了一种直接响应局部解特征的自适应机制。在目前的工作中，这种基于RL的p-适应策略被集成到DG-IBM实现中，以在运动边界模拟中提供局部多项式适应。它为在控制计算成本的同时保持局部精度提供了一条有前景的途径。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了方法论，包括高阶DG-IBM框架和p-适应策略。第3节介绍了运动体耦合框架以及刚体和弹性结构求解器的实现。第4节提供了对当前框架的验证和性能分析。最后，在第5节得出结论。

章节片段

数值方法论

本研究使用了开源的高阶求解器HORSES3D（Ferrer等，2023），该求解器基于节点不连续伽辽金公式。它由马德里ETSIAE-UPM航空学院开发，可在Github上获取（https://github.com/horses-framework/horses3d）。DG公式提供了高精度、低数值误差（耗散和扩散）（Manzanero等，2020）以及在现代并行架构（包括CPU和GPU）中的出色可扩展性。

运动体耦合框架

前一节开发出的DG-IBM框架适用于广泛的运动体流动问题。一般来说，可以通过两种不同的方式获得浸入体的运动：

(1) 对于预定运动问题，已知体的运动学，通过惩罚项直接施加浸入边界速度。例如，具有预定轨迹的俯仰、下沉或旋转体。

(2) 对于FSI问题，体的运动不是

测试案例

所提出的DG-IBM框架通过三个基准问题进行了验证，这些问题涉及不同类型的体运动。第一个案例考虑了一个预定的俯仰机翼，用于评估浸入边界的处理、力评估程序以及运动边界下的动态p-适应策略。第二个案例考虑了机翼的失速颤振，展示了该框架与刚体求解器的耦合能力。第三个案例考虑了

结论

已经开发了一种高阶不连续伽辽金-浸入边界框架，用于模拟运动体流动问题。该方法论结合了节点DG求解器和体积惩罚-浸入边界公式，能够在固定背景网格上处理运动几何形状，而无需网格变形或重新网格划分。为了提高浸入表面力预测的精度，采用了一种基于对称高斯求积的高阶力评估程序。

CRediT作者贡献声明

Yingjie Xia:写作 - 审稿与编辑、撰写 - 原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、研究调查、资金筹集、数据整理、概念化。Stefano Colombo:软件、方法论、概念化。David Huergo:写作 - 审稿与编辑、软件、方法论、研究调查、数据整理。Jiaqing Kou:写作 - 审稿与编辑、方法论、形式分析、概念化。Yuting Dai:监督、项目管理、形式分析，

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些关系可能会影响本文所述的工作。

Yingjie Xia|Stefano Colombo|David Huergo|Jiaqing Kou|Yuting Dai|Esteban Ferrer