广义分段常数时延框架下BAM神经网络的存在性与周期稳定性分析

《Nonlinear Analysis: Hybrid Systems》：Existence and periodic stability analysis of BAM neural networks under a generalized piecewise constant delay framework

　　

摘要

双向关联记忆网络（BAM）在自关联学习和异关联学习中有着广泛的应用。尽管各种延迟类型的BAM神经网络已被广泛研究，但关于广义分段常数延迟的研究相对有限。本文聚焦于具有偏差参数的BAM神经网络模型的全局指数稳定性和周期性，特别是广义分段常数延迟的影响。我们采用基于等效积分方程构造的方法，建立了具有广义分段常数延迟的BAM神经网络模型唯一ω-周期解的存在性和全局指数稳定性。利用线性化方法、Banach不动点定理、Gronwall型广义分段常数延迟积分不等式以及不等式技术，建立了唯一ω-周期解存在性和全局指数稳定性的新充分条件。研究表明，广义分段常数延迟对具有该系统的BAM神经网络模型的全局指数稳定性具有重要影响。文中给出了两个带有仿真验证的示例来验证结果。

引言

双向关联记忆（BAM）神经网络最初由B. Kosko [1], [2] 提出，作为Hopfield单向自关联模型的推广。其数学描述如下系统：

xi'(t) = -aixi(t) + Σ_{j=1}^m pij fj(yj(t)) + ci, i = 1, ..., n

yj'(t) = -bjyj(t) + Σ_{i=1}^n qji gi(xi(t)) + dj, j = 1, ..., m

其中对称条件 pij = qji 成立。在该公式中，ai 和 bj 分别表示各单元的内禀衰减系数，i = 1, ..., n，j = 1, ..., m。pij 和 qji 表示互联单元之间的突触权重。映射 fj 和 gi 表征各节点的信号传输机制，而 ci 和 dj 对应影响神经动力学的外部激励输入。

BAM神经架构是循环神经网络系统的一个独特子类，用于编码和检索成对的双极性向量。它由两个互连的神经元组组成，称为X层和Y层。通过这些层之间双向信号传播的多次循环，网络通过迭代收敛于对应的存储向量对来执行关联回忆。

延迟是生物系统和工程神经网络中公认的现象，由信息传输的时间特性自然产生。在神经电路的模拟实现中，此类延迟出现在神经元间通信和反馈过程中，主要是由于电子放大器的切换时间不可忽略。因此，将时延效应纳入神经活动分析对于开发鲁棒高效的网络架构至关重要。多项先前研究，包括[3], [4], [5], [6], [7]，已研究了BAM框架在时间延迟影响下的稳定性特征。

虽然常数离散延迟为涉及有限数量单元和延迟反馈的简化神经电路提供了合理的近似，但在捕捉现实网络架构的复杂性方面存在不足。在生物系统中，神经元的空间构型源于众多并行信号通路的共存，每条通路具有不同的轴突直径和传导距离。这种变异性导致神经通路间的传输速度不均匀，因此需要一种反映这种多样性的离散延迟建模策略。因此，采用连续分布延迟公式为描述神经系统中的信号传播提供了更准确且生理相关的框架。

近年来，在各种BAM神经网络模型的周期行为和平衡态全局指数收敛性研究方面取得了重大进展。众多研究者使用广泛谱系的解析技术研究了这些方面，包括不动点方法、线性矩阵不等式（LMI）框架、M-矩阵分析、Halanay型不等式、Lyapunov方法和拓扑度论工具。

关于这些主题的综合论述可在C. Aouiti等人的工作[8], [9]，Y. Cao等人[10]，F. Kong等人[11], [12]，R. Kumar等人[13]，A. Kutahyalioglu和F. Karakoc[14]，C. Li等人[15]，K. Li和H. Zeng[16]，X. Li [17], [18]，M. Syed Ali [19]，F. Wang等人[20]，C. Xu和P. Li [21]，Q. Zhou和L. Wan [22]，Z. Zhao [23]以及Q. Zhu等人[24]中找到。

尽管已有大量文献，但在离散时间设置下针对BAM型结构全局稳定性的研究仍然相对有限。对这些贡献感兴趣的读者可参阅[25], [26], [27], [28], [29]。

对涉及分段常数行为的系统的严格理论研究和应用研究始于1980年代初。自那以后，包含分段常数函数或变量的微分方程因其有效建模广泛现实世界现象而引起了显著关注。这些模型通常被表述为具有分段常数参数的微分方程，简称DEPCA。此类系统通常被视为不连续系统，且表现出比传统连续微分方程所描述的更加复杂和多样的动力学行为。其表示非光滑过渡的能力使其特别适合涉及采样过程、阈值触发响应或记忆效应的应用。因此，DEPCA已成为分析不同科学与工程学科中混合系统的宝贵框架。在近期发展中，提出了一类新的神经网络，整合了连续时间和离散时间动力学的特征。这些混合模型提供了捕捉传统连续框架无法充分表示的突变定性变化的灵活平台。关于这些进展的深入讨论，读者可参阅[26], [27], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36]。对DEPCA的基础性研究为当前对不连续系统的关注奠定了基础。这些努力继续影响着非线性动力学和神经建模中的持续研究。详见[37]。

DEPCA在经典微分方程和微分差分系统之间起到桥梁作用。特别是，包含分段常数延迟的微分方程（DEPCD）已被证明在建模经济学、生物学和物理学等学科中的动态过程方面非常有效。与标准延迟微分方程相比，DEPCD通常提供了更可操作且更适当的框架来捕捉演化系统的时间滞后行为。

延迟的概念与系统记忆的概念内在相连，其中历史状态对当前动力学产生直接影响。尽管这些模型具有实际意义，但专门针对广义DEPCA的数学研究数量相对较少。该领域的基础性和最新贡献可参阅[30], [32], [36], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44]。

据我们所知，仅有少量研究涉及包含分段常数参数的BAM神经网络的构建。值得注意的是，2021年，[31]的作者引入了一种具有分段常数参数的新型BAM模型，由以下系统描述：

?i(t) = -ai xi(t) + Σ_{j=1}^m b?ij fj1(yj(t)) + Σ_{j=1}^m ?ij gj1 yj(pt+lp) + d?i

?j(t) = -āj yj(t) + Σ_{i=1}^n b?ji fi2(xi(t)) + Σ_{i=1}^n c?ji gi2 xi(pt+lp) + d?j

其中?·?表示最大整数函数，l和p是满足0 < l < p的正实常数。该研究建立了确保系统平衡点存在性、唯一性和全局指数稳定性的充分准则。

2022年，K.-S. Chiu和合作者[32]扩展了先前的研究，分析了由广义分段常数延迟（DEGPCD）支配的BAM神经网络模型。所考虑的系统为：

?i(t) = -ai xi(t) + Σ_{j=1}^m b?ij fj1(yj(t)) + Σ_{j=1}^m ?ij gj1(yj(β(t))) + d?i

?j(t) = -āj yj(t) + Σ_{i=1}^n b?ji fi2(xi(t)) + Σ_{i=1}^n c?ji gi2(xi(β(t))) + d?j

其中β(t)表示广义延迟函数。作者建立了一组充分准则，确保唯一平衡解的存在性和全局指数收敛性。

具体而言，文献[31]关注了具有分段常数参数的BAM神经网络平衡解的存在性和全局指数稳定性，而[32]的扩展考虑了广义分段常数延迟，但仍局限于平衡动力学。相比之下，本研究解决的是广义分段常数延迟框架下更为棘手的周期解问题。据我们所知，这是第一篇建立具有DEGPCD结构的BAM神经网络ω-周期解存在性和全局指数稳定性的工作。

在现有文献中，Chiu和Córdova-Lepe [45]的工作构成本研究最接近的方法论前驱。在该工作中，作者建立了具有广义分段常数延迟的Gronwall型不等式，并提出了一个积分方程框架来研究神经网络模型的存在性、周期性和全局指数稳定性。这些分析工具构成本研究的重要理论基础。

然而，将[45]的框架扩展到本文的BAM神经网络模型远非简单的逐分量推广。与[45]中考虑的单向神经网络不同，BAM架构由两个双向连接的神经元群体组成。因此，X层的状态估计显式依赖于Y层变量的完整集合，而Y层的估计同时依赖于X层变量。存在性证明因此需要构造两个耦合的逐次逼近估计，分别对应每个神经元层，并且必须将它们组合为整个(n+m)维状态空间的统一压缩论证。

此外，时变周期系数的引入产生了两个不同的Green函数族?i(t,s)和G?j(t,s)，分别对应X层和Y层。它们的估计必须同时控制，同时涉及瞬时和延迟的跨层突触耦合。这种解析结构在[45]的框架中并不出现，因为后者仅涉及单一的状态估计族。

因此，尽管本工作采用了[45]中发展的DEGPCD Gronwall不等式和积分方程思想，但为双向BAM模型发展的耦合Green函数构造、层依赖的逐次逼近方案和联合压缩分析构成了对现有理论的重大解析扩展。这些区别总结在表1中，并构成了本文建立的新存在性和全局指数稳定性结果的基础。

与经典常数延迟或光滑时变延迟不同，广义分段常数延迟结构捕捉了由采样、切换或间歇性信号传输产生的混合时间效应，这在人工神经网络和BAM架构的数字实现中经常观察到。特别是，延迟在规定的子区间内保持恒定，但可能在切换时刻突然变化，反映了时钟驱动更新、通信调度或批量存储回忆机制等实际约束。

从建模角度看，DEGPCD框架桥接了连续时间神经动力学和离散时间信息处理，从而比经典延迟模型提供了更忠实的表示。这一特征在周期性分析中尤为重要，其中延迟切换模式与网络固有周期性的相互作用对确定稳定性行为起着决定性作用。

近期研究在各种延迟结构和解析框架下研究了BAM神经网络及相关非线性系统的周期和拟周期行为。例如，Li等人[46]研究了时间尺度上具有时变延迟的BAM神经网络的C1-拟周期解，强调了非自治设置中连续和离散动力学的相互作用。从控制导向的角度，[47]中为具有切换机制的模糊系统开发了放宽的模型预测控制策略，而[48]中使用时变延迟和不确定参数的非线性系统提出了预设时间控制方案，采用了自适应动态规划技术。

与这些主要关注控制综合、不确定度补偿或一般时变延迟下拟周期行为的贡献不同，本工作集中于受广义分段常数延迟的BAM神经网络的内在稳定性特性。通过采用积分方程表示和基于不等式的论证，我们在不调用控制输入或自适应机制的情况下，建立了周期解的存在性和全局指数稳定性。这一解析观点通过对延迟依赖研究的补充，强调了广义分段常数延迟的切换结构如何影响BAM神经网络中的周期动力学和收敛速率。

尽管已有若干研究调查了具有（分段或广义分段）常数延迟的BAM神经网络，但现有结果主要局限于平衡解。

本文问题不是平衡分析或单向周期框架的简单扩展。双向耦合产生了X层和Y层两个相互依赖的估计族，而时变衰减系数生成了两个不同的Green核族。因此，证明必须同时控制跨层瞬时和延迟增益，并为完整的(n+m)维BAM状态建立公共压缩常数。

鉴于上述讨论，本文致力于推导充分条件，以确保由广义分段常数延迟支配的BAM神经网络中周期解的存在性、唯一性和全局指数稳定性。

该模型，称为具有DEGPCD结构的BAM系统，其数学表达如下：

$$\dot{x}_i(t) = -\hat{a}_i(t)x_i(t) + \sum_{j=1}^m \hat{b}_{ij}(t)f_{j1}(y_j(t)) + \sum_{j=1}^m \hat{c}_{ij}(t)g_{j1}(y_j(\beta(t))) + \hat{d}_i(t)$$

$$\dot{y}_j(t) = -\bar{a}_j(t)y_j(t) + \sum_{i=1}^n \bar{b}_{ji}(t)f_{i2}(x_i(t)) + \sum_{i=1}^n \bar{c}_{ji}(t)g_{i2}(x_i(\beta(t))) + \bar{d}_j(t)$$

其中 $1 \leq i \leq n$，$1 \leq j \leq m$，各变量和组成部分定义如下：

- $x_i(t)$ 和 $y_j(t)$ 分别表示时刻 $t$ 第 $i$ 个和第 $j$ 个神经元的膜电位（或电压）。
- $\hat{a}_i(\cdot)$ 和 $\bar{a}_j(\cdot)$ 表示严格正的内禀衰减率（对所有 $t \in \mathbb{R}^+$，有 $\hat{a}_i(t) > 0$ 和 $\bar{a}_j(t) > 0$），描述在无突触交互和外部刺激的情况下，第 $i$ 个和第 $j$ 个神经元向静息状态松弛的速率。
- $\hat{b}_{ij}(\cdot)$ 和 $\hat{c}_{ij}(\cdot)$（分别对应 $\bar{b}_{ji}(\cdot)$ 和 $\bar{c}_{ji}(\cdot)$）是时间依赖的突触权值函数，描述神经元 $j$ 对神经元 $i$ 的影响，反之亦然。
- 时滞为广义分段常数类型，由严格递增无界序列 $\{t_k\}$ 和时滞映射 $\beta(t) = t_k$（对 $t \in I_k = [t_k, t_{k+1})$，$k \in \mathbb{N}$）定义，其中 $\mathbb{R}^+ = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} I_k = [0, +\infty)$，$\theta = \sup_{k \in \mathbb{N}}(t_{k+1} - t_k)$。
- $f_{j1}(y_j(\cdot))$ 和 $f_{i2}(x_i(\cdot))$ 表示激活函数，根据神经元当前电位建模其瞬时响应。
- $g_{j1}(y_j(\beta(\cdot)))$ 和 $g_{i2}(x_i(\beta(\cdot)))$ 表示依赖于通过广义分段常数参数定义的延迟电位的激活函数。
- $\hat{d}_i(\cdot)$ 和 $\bar{d}_j(\cdot)$ 分别对应施加于第 $i$ 个和第 $j$ 个单元的外部输入，来源于网络外部。

我们将由DEGPCD系统方程（1.2）支配的BAM神经网络模型的一个解记为向量值函数 $z = (z_1(\cdot), \ldots, z_{n+m}(\cdot))^T = (x, y)^T = (x_1(\cdot), \ldots, x_n(\cdot), y_1(\cdot), \ldots, y_m(\cdot))^T$，其中 $T$ 表示列向量的转置。对任意 $z \in \mathbb{R}^{n+m}$，我们定义相应的范数为

$$\|z\| := \|(x, y)^T\| = \max\left\{\max_{1 \leq i \leq n} |x_i|_\infty, \; \max_{1 \leq j \leq m} |y_j|_\infty\right\}$$

其中上确界范数 $|x_i|_\infty$ 和 $|y_j|_\infty$ 定义为

$$|x_i|_\infty = \sup_{t \in \mathbb{R}^+} \{|x_i(t)|\}, \quad |y_j|_\infty = \sup_{t \in \mathbb{R}^+} \{|y_j(t)|\}$$

本研究的主要目标是建立新的简化条件，以保证具有DEGPCD系统（1.2）的BAM神经网络模型中存在唯一 $\omega$-周期解的存在性、唯一性和全局指数稳定性。为实现这一目标，我们采用了多种分析工具，包括线性化方法、Banach不动点定理以及基于微分不等式的技术。

本文的主要贡献总结如下：

1. 本文为具有DEGPCD的两层BAM神经网络建立了周期解框架，其中双向耦合通过 $X$-层和 $Y$-层的两个相互作用压缩估计来处理。

2. 在适当假设下，利用积分方程方法严格证明了具有时间依赖系数和任意初始条件 $(\tau, z_0) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^{n+m}$ 的系统（1.2）的全局解的存在性。

3. 通过结合两族时间依赖的Green核、耦合积分算子以及DEGPCD Gronwall型不等式，建立了唯一 $\omega$-周期轨道的存在性、唯一性和全局指数稳定性。

4. 推导出定理3.1和定理3.2所建立的一般结果的两个特例。此外，基于MATLAB的仿真实验被用来验证理论结果的实用适用性。在示例4.1和4.2中展示的实验证明了所提方法的有效性和鲁棒性。

本文结构概述如下。第2节介绍了若干初步概念和辅助结果，这些在建立由DEGPCD系统（1.2）支配的BAM模型唯一 $\omega$-周期解的存在性和稳定性方面起到了关键作用。特别是，提出了适应DEGPCD框架的Gronwall型不等式，并证明其特别有效。在第3节中，我们推导了一组充分条件，确保系统（1.2）的唯一 $\omega$-周期解的存在性和全局指数稳定性。第4节通过两个代表性示例阐明理论发现，并辅以数值仿真实验来验证所提方法的有效性和适用性。最后，第5节总结了主要结果，并对未来可能的研究方向进行了简要讨论。

### 各节内容概述

#### 存在性与唯一性定理

本节建立了关于系统系数和激活函数的一组充分条件，确保由DEGPCD系统（1.2）支配的BAM神经网络模型解的存在性和唯一性。

#### 周期解的存在性与稳定性

本节致力于建立由DEGPCD系统（1.2）支配的BAM神经网络模型 $\omega$-周期解存在性和全局指数稳定性的充分条件。为此，我们引入以下周期性假设：

**(P) 周期性条件：** 存在正常数 $\omega > 0$ 使得：
（1）函数 $\hat{a}_i(\cdot)$、$\bar{a}_j(\cdot)$、$\hat{b}_{ij}(\cdot)$、$\bar{b}_{ji}(\cdot)$、$\hat{c}_{ij}(\cdot)$、$\bar{c}_{ji}(\cdot)$、$\hat{d}_i(\cdot)$ 和 $\bar{d}_j(\cdot)$ 在 $\mathbb{R}^+$ 上均连续且 $\omega$-周期，其中 $\hat{a}_i(t) > 0$ 且 $\bar{a}_j(t) > 0$。

#### 示例与仿真

为阐明理论结果的适用性，本节提供两个支持数值仿真的说明性示例。这些示例用于确认所提分析框架的有效性和实际相关性。

示例4.1和4.2中所采用的参数值和激活函数满足第3节中推导的充分条件，并且在BAM神经网络的文献中被广泛使用。特别是，所选系数和……

#### 结论与未来方向

本研究为具有广义分段常数时滞和时间依赖周期系数的双向联想记忆（BAM）神经网络发展了周期存在性和稳定性框架。与文献[45]中所考虑的单个DEGPCD神经网络框架相比，本文的BAM架构由两个双向耦合的神经元种群组成。因此，分析需要同时对相互作用的 $X$-层和 $Y$-层估计进行控制，并且……

#### CRediT作者贡献声明

邱克寿（Kuo-Shou Chiu）：写作——审阅与编辑，写作——原稿，可视化，验证，监督，软件，项目管理，方法论，研究，经费获取，形式分析，概念化。

胡长霖（Chang-Lin Hu）：写作——审阅与编辑，验证，软件，研究，形式分析，概念化。

许阳商（Yang-Shang Hsu）：写作——审阅与编辑，可视化，验证，监督，软件，形式分析，概念化。

Hernández Pino, Javier

#### 利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

#### 致谢

作者感谢编辑和匿名审稿人的仔细阅读和建设性意见，这些意见帮助提高了论文的质量。

邱克寿 | 胡长霖 | 许阳商 | Javier Hernández Pino