通过双重解析技术在非线性分数阶Kraenkel–Manna–Merle模型中的新型光学孤子动力学

《High Energy Density Physics》：New optical soliton dynamics in the nonlinear fractional Kraenkel–Manna–Merle model via dual analytical techniques

　　

摘要

本文探讨如何利用Sardar子方程法和统一法寻找截断M-分数阶Kraenkel-Manna-Merle（KMM）系统的精确孤子解。值得注意的是，KMM系统作为铁磁和铁氧体材料中耦合非线性波传播及磁化过程的数学模型起着至关重要的作用。本文给出了截断KMM（FKMM）系统的广泛解析解，包括双曲函数解、三角函数解、有理函数解和指数函数解，并涵盖明亮孤子、暗孤子、奇点解、周期解、压缩孤子、压缩-明亮孤子和峰子等多种不同非线性轮廓。我们还通过对比不同取值下的图像，探讨了分数阶次的变化如何影响这些波形。除了理论推导之外，本文还包括对所得解的稳定性分析。此外，我们进行了分岔分析，将系统变换为平面动力系统，以便进行相图分析。为了帮助直观理解所求解，本文还提供了数值解的三维、二维和等高线图。这对于解决不同科学领域中出现的多种非线性方程非常有用，如流体力学、光纤信息传播、等离子体物理、海洋工程、含时系统动力学和固态物理等。这种可靠、重要且高效的方法还可以应用于求解其他众多物理学及应用科学模型。所有结果均使用Mathematica和MATLAB进行计算模拟验证，确保其精确性和一致性。

引言

光学孤子在脉冲传播和超连续谱生成中具有重要意义，同时在电信领域也发挥着核心作用。这对于高分辨率光谱学和先进成像技术等高保真应用极为重要[1]、[2]。超连续谱生成中的孤子可将高功率光脉冲转换为宽光谱的光。这对于光谱学、光学相干断层成像和计量学等应用非常重要，这些应用需要高分辨率和宽波长覆盖。这减少了信号衰减，降低了中继器需求，并实现了高速数据的高效可靠传输。因此，光学孤子是提升各种光学技术、增强光子系统性能的关键[3]、[4]、[5]。

非线性分数阶模型是用来描述具有复杂变量交互作用的复杂系统的数学模型。这些模型可能具有记忆或遗传效应。在这些模型中应用分数阶微积分，以非整数阶导数和积分来补充传统非线性模型。在物理学、工程学、生物学和其他领域中，这些模型被用于更好地描述无法用经典整数阶模型描述的真实系统[6]、[7]。孤子是特殊类型的孤立波，其行为类似于原子，即使与其他孤子碰撞也不会改变其行为。孤子是NLPDE的可靠解，其中非线性效应和色散效应恰好达到平衡。在过去几十年中，孤子理论已成为一个引人注目的研究领域，并对电信行业的发展产生了重大影响。John Scott Russell是最早提出孤子概念的人。在光纤通信中，孤子技术已成功实现数字信号在无弥散条件下的远距离传输。在神经科学中，动作电位是沿神经元传播的电信号，使神经系统内的通信成为可能[8]、[9]。

分数阶微积分（FC）是经典微积分的扩展，将微分和积分推广到包括非整数阶在内的任意阶次。近年来，由于其能够描述涉及记忆、遗传效应和非局部相互作用的复杂动力系统，分数阶微积分引起了广泛关注。分数阶微分方程为建模广泛的物理和工程现象提供了灵活的数学框架，包括反常扩散、粘弹性、信号处理、控制系统、生物过程、电磁现象和复杂介质中的输运。多种类型的分数阶导数已被开发出来，如Riemann–Liouville、Caputo、Grünwald–Letnikov、Hadamard、Weyl、Marchaud、Riesz和M-分数阶导数，每种都具有独特的数学属性和建模能力[10]、[11]。这些算子使得能够建立各种微分方程（包括扩散、演化、波传播和非线性系统）的分数阶模型。分数阶微积分的发展有着漫长的数学历史，从早期关于任意阶次导数的讨论开始，经过Euler、Laplace、Lacroix、Liouville、Riemann、Grünwald和Letnikov等数学家的重大贡献逐步发展。随着理论的持续发展，分数阶微积分已成为表征系统的有力工具，这些系统的行为不仅取决于当前状态，还取决于其历史。因此，分数阶模型通常比经典的整数阶模型能更真实地描述复杂现象，使分数阶微积分成为现代数学建模中一个重要的快速发展领域[12]、[13]。

偏微分方程（PDEs）是基本的数学建模工具，表征了广泛的生物、物理和工程现象，如流体流动、热传导、电磁场和量子力学。PDEs是多个变量及其偏导数的函数，根据其线性性、阶次和所建模的现象类型进行分类。线性PDEs中变量之间存在线性依赖关系，而非线性PDEs涉及复杂的非线性依赖关系。PDE的阶次取决于其中包含的最高阶导数，这影响了解求的难度。PDE根据不同类型的物理情境进一步分为椭圆型、抛物型和双曲型：椭圆型PDE表示平衡状态，抛物型PDE模拟扩散系统，双曲型PDE描述波传播现象。PDE的求解技术既包括解析方法，如分离变量法，也包括计算方法，如有限差分法和有限元法，主要用于非线性或复杂方程[14]、[15]。当解析解不足时，这些数值方法对于近似求解不可或缺，允许对复杂系统进行模拟和分析，推动多个科学与工程领域的进步。在PDE领域，由于缺乏普遍有效的求解方法，催生了众多强大的技术。若干方法已成为寻找精确行波解所不可或缺的，每种方法针对非线性现象的特定方面。其中值得注意的方法包括新的和修正的扩展直接代数法[16]、扩展双曲函数法[17]、sine-Gordon展开法[18]、子方程法[19]、双线性法[20]、Bernoulli法[21]、有理SGEM[22]等。这些多样化的方法为理解非线性方程的复杂本质提供了专门策略，极大地增强了我们对各科学领域中复杂波相互作用的理解。

Kraenkel等人于2000年基于Maxwell方程和Landau-Lifshitz-Gilbert方程研究了饱和铁磁材料的短波传播行为，并据此建立了相关方程[23]。Kraenkel-Manna-Merle（KMM）模型解释了电磁场如何导致短波在铁磁绝缘体中的传播。在非线性质区间，这些波具有不同的形态，包括单脉冲、波纹状图案或双峰波。它们沿垂直于磁场的方向传播。该模型通过sine-Gordon方程描述了波的生成以及它们如何与材料的磁性相互作用。近年来，Nguepjouo等人[24]将磁化密度级数展开与坐标变换相结合，提出了一种新方法。通过将该原始系统重新表述为更真实的表示形式，他们利用这一方法增强了对纳米尺度铁磁材料行为的理解。

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \lambda \sigma \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\sigma \frac{\partial U}{\partial x}\right) - a\frac{\partial U}{\partial x} + UV, \quad \frac{\partial V}{\partial t} = \sigma \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\sigma \frac{\partial V}{\partial x}\right)$$

上述方程中，$U = U(x, t)$和$V = V(x, t)$表示与铁氧体相关的磁场。变量$t$和$x$分别代表时间和位移。常数$a$考虑了阻尼效应。KMM最初用于铁磁材料中多种非线性耦合波现象的理论研究，特别是铁氧体材料以及自旋波。自从KMM系统被引入作为研究铁磁及其他相关材料中各种非线性耦合波现象的平台以来，经典的整数阶KMM系统已被广泛用于各种色散性非线性铁磁材料和介质中非线性耦合性能及孤子特性的理论研究。由于经典KMM系统无法有效捕捉铁磁材料中的记忆效应和非局部效应，分数阶KMM系统被用作新平台，用于研究铁磁材料和介质以及高能量密度材料中各种非线性耦合波和孤子特性。

从回顾KMM系统的先前研究来看，该领域已开展了多项重要研究。本研究对系统的多个方面进行了探讨，提供了有关其行为和应用的有价值信息。2023年，Wael W. Mohammed等人将映射技术应用到分数阶随机Kraenkel-Manna-Merle方程上，研究了M形孤子[25]。2024年，Loubna Ouahid从广义指数有理函数法（GERFA）出发，针对分数阶Kraenkel-Manna-Merle（FKMM）模型报道了新的孤立波解，重点关注涉及Beta导数的周期解和压缩解[26]。同年，Sarfaraz Ahmed等人应用对数变换和试探函数技术找到了多波解[27]。2025年，Ouahid等人利用修正的广义Riccati方程映射技术，为分数阶KMM系统获得了丰富的孤子解[28]。Xiaoming Wang等人使用两种解析方法研究了分数阶非线性KMM系统中的分岔、混沌行为、敏感性分析和孤子的多种结构[29]。此外，Bahad?r Kop?as?z等人利用Kumar–Malik方法和新的扩展双曲函数法推导了非线性KMM系统的新孤子解[30]。2026年，Hussain等人利用有理指数法研究了分数阶随机KMM系统中的噪声效应和孤子现象，进一步扩展了该模型的解析研究[31]。

在本文中，我们利用Sardar子方程法（SSEM）和统一法对所提供的模型进行了研究。这一新的数学技术将非线性PDEs分解为降维子方程，然后求解这些子方程以获得孤子解。在求解非线性微分方程方面，SSEM具有若干优势。它能够有效地产生正确解，简化求解过程，并可与不同类型的非线性模型配合使用。该方法可产生各种解，如周期波和孤子，并提供有关系统行为的有用信息。然而，它也存在一些局限性。某些非线性方程，特别是包含复杂项的方程，可能不适合该方法。适当参数的选择决定了解的精度，有时解可能难以理解。产生的解包括三角函数、双曲函数和指数函数。令人惊讶的是，该方法此前从未被应用于系统(1)的研究。通过其新发现和增强了对非线性偏微分方程（NPDEs）的认识，该研究鼓励了对该领域的理论深入探索。利用该方法求解了多种模型，如Fokas-Lenells方程[32]、广义分数阶Tzitzéica型演化方程[33]、非线性Schr?dinger方程[34]、Shynaray-IIA方程[35]、(2+1)维Konopelchenko-Dubrovsky系统[36]、随机-分数阶Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程[37]、Klein-Fock-Gordon方程[38]等。

此外，我们还利用统一法恢复给定模型的孤子解。统一法被证明是一种稳健且通用的方法，为探索各种数学模型和物理系统的孤立波解提供了广泛平台。与(G′/G)-展开法和tanh函数法等传统方案不同，统一法不仅更容易理解数学结构的复杂性，而且在预测细微的孤立波行为方面表现更优。重要的是，该方法通过和谐地融合tanh函数法族和(G′/G)-展开法族，实现了双重成就，从而定义了一种简化解析过程的统一方法论。此外，该方法在不使用复杂计算算法的情况下，超越了这两个方法族的总解数。

该统一方案已成功应用于求解众多非线性模型的解，例如非线性演化方程[39]、（1+1）维DGH方程[40]、广义正则长波（GRLW）方程[41]、（3+1）维Boussinesq方程[42]、Caudrey-Dodd-Gibbon方程[43]等。尽管已有大量研究致力于Kraenkel–Manna–Merle系统，但其非线性波动力学中的若干方面仍未得到充分探索。在早期的研究中，主要寻求通过单一解析方法获得精确解，而较少关注系统性地应用互补方法以生成更大范围的孤子结构并研究这些结构的动力学。据我们所知，在现有文献中尚无关于Sardar子方程法和统一法应用于分数阶KMM系统的报道。此外，所推导精确解与模型的稳定性和分岔行为之间的联系仍需进一步研究。这启发了本研究，该研究利用SSEM（Sardar子方程法）和统一法获取各种精确孤子解，包括亮孤子、暗孤子、周期解、三角函数解、双曲函数解和指数函数解。此外，通过进行稳定性和分岔分析，研究了系统的定性行为和动力学特性。通过使用两种互补的解析方法，还可以对所得的解族进行比较和验证。因此，本研究不仅扩展了FKMM系统的解空间，还提供了FKMM系统非线性波动力学及其在铁氧体材料中可能应用的更完整解析解释。

本文的结构如下。第1节简要介绍研究背景。第2节概述截断M阶分数阶导数的概念。第3节概述本文讨论的解析技术。在第4节中，我们提取了截断M阶分数阶Kraenkel-Manna-Merle模型的解框架。第5节展示了方法的比较。第6节展示了本研究的结果和讨论。在第7节中，我们讨论了解的稳定性分析。在第8节中，我们考察了系统的分岔和相图，以了解其对解的动力学和稳定性的意义。第9节展示了本研究的结论。最后，本文在第10节以未来工作收尾。

**截断M阶分数阶导数的概念**

M阶分数阶导数将传统导数的概念推广到非整数阶，为跨学科的动态系统提供了更丰富的洞察。其应用广泛且具有影响力。例如，在信号处理中，M阶分数阶导数有助于分析非平稳信号，这是时变现象的相关功能。基于M阶分数阶导数的分数阶扩散方程用于模拟各种环境中的反常扩散过程，例如

**解析技术概述**

本节详细解释了用于求解偏微分方程和推导孤子解的SSEM和统一法。

**截断M阶分数阶Kraenkel-Manna-Merle模型的解框架**

在本节中，我们将应用第3节中描述的技术来揭示FKMM的新精确解。我们首先对方程（1）实施方程（7）中当a=0时的波变换。现在，系统（1）可以优雅地重写为：

$$-bU''-UV'=0, \quad UU'-bV''=0$$

对方程（33）进行积分，我们得到：

$$V'=\frac{U^2}{2b}+d_0$$

其中$d_0$为积分常数。将上述方程代入方程（32），我们得到：

$$2b^2U''+2bd_0U+U^3=0$$

**与其他现有技术的比较**

表1提供了多种现代技术的比较分析，强调了使用统一法和SSEM的优势。选择这些技术是因为它们已被证明能够产生多种精确波形，这使得它们特别适用于研究本文所讨论的非线性耦合系统。

**结果与讨论**

本研究利用SSEM和统一法全面考察了FKMM模型的若干精确孤子波解。这些解从周期结构到结构化和弯曲结构，为FKMM模型影响下的非线性波行为提供了新的洞察。数值验证表明数值结果与分析结果之间具有精确对应关系且吻合良好。此外，这些解通过完善我们对跨学科研究的理解推动了相关进展。

**解的稳定性分析**

本节考察所计算解的稳定性，以证明其适用于建模应用。利用Hamilton方法，对所得行波解的稳定性进行如下研究[47]，[48]：

$$Q=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(u(x,t))^2 dx$$

其中U表示与Hamilton系统相关的动量，$u(x,t)$表示行波解。适当的稳定性条件由以下条件给出：

$$\frac{\partial Q}{\partial b}>0$$

其中$\epsilon$表示波数。

**分岔分析**

分岔分析的主要目标是理解当关键参数改变时，动态系统的基本响应如何变化。当参数跨越临界值时，系统可能从稳定转为不稳定，或从规则转为混沌，这称为分岔。这有助于预测和控制系统的变化。分岔分析应用于人口模型和流体动力学等领域[49]，[50]。在本节中，我们将研究方程（35）的分岔和相图。这里，我们应用

**结论**

在本研究中，利用统一法和SSEM对FKMM系统进行了研究。通过这两种方法，我们成功提取了多种孤子结构，包括亮孤子、暗孤子、奇异峰子、奇异亮孤子、周期解、扭结解、奇异孤子、混合暗-亮孤子解、周期峰子、奇异扭结、亮峰子、周期峰子、奇异暗峰子、奇异反扭结、三角函数孤子波结构，这些是本研究的主要发现。这些

**未来工作**

为了进一步支持和鼓励该领域的研究者，我们下一步的工作将专注于对FNLPDEs（分数阶非线性偏微分方程）动态分析的详细研究。可以将更高维度和随机扩展添加到对FNLPDEs的研究中。研究带有布朗运动的随机非线性Schr?dinger型方程、三次-五次或五次幂律非线性和非线性色散，可以帮助我们更好地理解随机扰动下的孤子稳定性。此外，

**CRediT作者贡献声明**

Jamshad Ahmad：验证、监督、资源。

Rimsha Ahsan：撰写—原稿、可视化、验证、软件、方法论、形式分析、概念化。

Nafisa Usman：撰写—审阅与编辑、验证、软件、概念化。

**数据可用性**

数据共享不适用于本文，因为在当前研究中未生成或分析数据集。

**发表同意**

所有作者均已同意并同意发表本研究论文。

**资金**

作者声明没有任何资金来源。

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何可能影响本文报告工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

**致谢**

不适用。

Jamshad Ahmad | Rimsha Ahsan | Nafisa Usman