用于大步长航天器轨道推算的无反演Picard准线性配置方法

《Acta Astronautica》：Inversion-free Picard-quasilinear collocation method for large-step spacecraft orbit propagation

　　• 皮卡德预测器被嵌入到准线性配置中，用于轨道传播。• 避免了对基于雅可比矩阵的大型配置矩阵进行重复求逆。• PQLC在广泛的步长和配置点范围内保持高精度。

引言
轨道传播是轨迹预测、引导、导航和控制的基础。其准确性和效率直接影响空间任务的可靠性、安全性和总体成本。不准确的轨道解可能导致位置和速度估计出现显著偏差，从而降低导航精度、增加燃料消耗，甚至导致任务失败。例如，在深空任务中，小的数值积分误差可能在长时间的传播过程中累积，导致严重的轨迹偏差。除了准确性之外，计算效率也同样重要。高保真的轨道动力学模型通常涉及复杂的扰动，使得重复的数值积分计算需求很高。因此，高效的传播算法对于大规模模拟、实时任务操作和星座管理至关重要，在这些应用中需要同时传播数千条轨道。开发既能保证高精度又能保持计算效率的轨道计算方法对空间任务具有重要意义。

从数学角度来看，轨道传播本质上是一个初值问题。在大多数情况下，控制航天器运动的微分方程没有封闭形式的解析解，因此必须使用数值方法进行近似。其中，有限差分方法、伪谱方法和基于配置的渐近方法是三大主要类别。

作为最广泛使用的轨道传播方法，有限差分方法已经经过了长时间的研究。Dormand和Prince[1]提出了一族嵌入式Runge-Kutta公式，这些公式具有较小的主要截断误差和较大的绝对稳定性区域，适用于求解一阶系统。随后，开发了两种不同阶数的嵌入式Runge-Kutta-Nystrom过程[2]来处理二阶微分方程。Gauss-Jackson方法[3]是一类以高计算精度和良好稳定性著称的预测-校正方案。它们被认为是[4]最推荐的可固定步长多步方法之一。此外，还开发了变参数方法，如变步长St?rmer-Cowell方法[5]和变步长变阶Shampine-Gordon积分器[6]。通过调整积分步长或阶数，这些方法能够在满足精度要求的同时尽可能高效地积分运动方程。有限差分方法方便且用途广泛。然而，要获得高精度解通常需要较小的积分步长，而逐点递归结构相对效率较低，不适合并行计算。

在过去的几十年中，由于其高计算效率、良好的收敛性质和对初始猜测的低敏感性，伪谱方法受到了相当多的关注。通常，伪谱方法将时间域线性变换到[-1, 1]区间，并在其中选择一组离散点作为插值节点。然后使用全局插值多项式来近似这些节点的状态变量。这样，微分方程就被转换为可用于数值近似的代数方程。根据插值节点的不同，伪谱方法可以分为四类：Chebyshev型[7]、Legendre型[8]、Gauss型[9]和Radau型[10]。研究表明[11]，选择Chebyshev多项式的零点作为插值节点通常可以获得更好的近似性能。Newton-Kantorovich/Chebyshev伪谱（NKCP）方法[12]是对Chebyshev伪谱方法的改进，它使用Lagrange多项式在Chebyshev-Gauss-Lobatto（CGL）节点处插值状态变量，并通过Newton-Kantorovich过程迭代细化估计解。NKCP方法具有二次收敛性，适用于轨道动力学的初值问题和边值问题。然而，其求解过程涉及大规模矩阵求逆，这不仅计算成本高，还会降低数值精度和稳定性。如果初始估计或参数设置不当，可能会出现奇异情况，导致算法失败。

配置方法是过去几十年在轨道计算领域出现的另一类数值求解器。航天器轨道通常表现出平滑且变化缓慢的动力学行为，这使它们非常适合长时间跨度的离散化和数值近似。配置方法通常使用多项式插值来逼近解，并应用配置技术对时间域中的动力系统进行离散化[13]。它们与伪谱方法有一定的相似性。不过，虽然伪谱方法可以被视为配置方法的一个特殊子类，并因此被认为是全局方法[14]，但经典配置方法通常将时间域划分为一系列子区间，并在每个子区间内独立进行插值，属于局部方法。例如，改进的Chebyshev-Picard迭代（MCPI）方法[15]使用Chebyshev多项式插值状态变量和加速度函数，从而将微分方程转换为代数方程。然后通过Picard迭代逐步提高估计解的精度。局部变分迭代方法（LVIM）[16]引入了Lagrange乘子的最优选择规则，并构建了一个更新估计解的迭代方案。MCPI和LVIM在轨道计算问题中都表现出色。然而，随着积分步长的增加，这两种方法的精度都会显著下降。由于较大的步长通常意味着更高的计算效率，在大步长条件下保持高精度将进一步提高基于配置的方法的整体性能。

轨道传播也是轨道不确定性传播的基本计算组成部分，用于诸如碰撞避免和鲁棒轨迹设计等任务。蒙特卡洛模拟会传播许多采样轨迹，因此其计算成本高度依赖于底层的轨道传播器。为了减少所需的轨迹传播次数，基于采样和积分的方法（如无迹变换和立方体积分法）通过轨道动力学传播一组代表性点[17][18]。另一类方法构造了轨道流的高阶局部映射。微分代数使用截断幂级数算术积分运动方程，构建关于选定的初始状态和/或模型参数不确定性的多变量Taylor映射[19][20][21]。一旦构建完成，这些局部有效的多项式映射可以在不需要重新积分每个样本轨迹的情况下评估多种不确定性实现。状态转换张量（STTs）通过高阶变分导数描述了传播状态对初始状态的非线性依赖性[22]。为了减轻Full STTs的快速增加的计算负担，定向STTs保留了敏感方向上的主要非线性效应[23]。时变定向STTs沿着轨迹更新这些敏感方向，允许在任何时刻而不是仅在一个预定义的时间点进行不确定性传播分析[24]。对于轨道确定，测量定向STTs仅在从测量模型中识别出的大不确定性方向上保留高阶项，从而减少高阶变量的数量同时保持估计精度[25]。无论不确定性如何表示，这些方法最终都依赖于对轨道动力学的重复或增强积分。因此，一个准确且高效的大步长传播器可以同时惠及名义轨道预测和未来对不确定性传播的扩展。

基于牛顿-康托罗维奇定理，Bellman[26]证明非线性方程可以用一系列线性方程来近似，这形成了所谓的准线性化方法的基础。准线性化有效地降低了求解非线性问题的难度，并提供了诸如直接初始化和对初始估计选择低敏感性等优势。近年来，它在轨道力学中得到了广泛应用，特别是在伪谱框架[12][27]和序列凸规划方法[28][29]中。另一方面，大多数现有的轨道计算配置方法依赖于单次迭代框架。实际上，已经在有限差分方案中成功应用的预测-校正策略也可以纳入配置方法中，以提高其计算性能。通过对轨道计算技术的研究，作者观察到，在配置框架中嵌入预测-校正策略可以避免在传播过程中重复求逆由雅可比矩阵组成的大型配置矩阵，并降低局部截断误差。因此，即使采用较大的积分步长，也可以保持计算稳定性。

本研究旨在通过将预测-校正策略与准线性化方法和时域配置框架相结合，开发一种高效、准确且鲁棒的 large-step 轨道传播解决方案。本文的组织结构如下：第2节介绍了所提出的Picard-准线性配置方法的理论公式，并分析了其收敛特性。还简要介绍了三种先进的参考方法。第3节通过相对于参考方法的轨道传播和受扰轨道传播问题验证了所提方法的性能。第4节总结了本文。

**摘录：**
**Picard-准线性配置方法**
(1) 时间域变换和准线性化方法
考虑一个由D维轨道动力学系统控制的系统，其中
是状态列向量，
是非线性的函数，
是时间跨度。为了便于后续的Chebyshev正交多项式插值，将
变换到一个在
上定义的新变量
将方程(2)中的变换应用于方程(1)，得到
其中，
为了推导方程(3)的准线性形式，定义其微分残差为
**数值结果和讨论**
所提出的方法和参考方法被应用于解决两个轨道传播问题。模拟使用MATLAB R2020a和AMD Ryzen 7 5800H CPU（3.20 GHz）执行。需要注意的是，参考文献[16][31]已经证明了MCPI和LVIM相对于Runge-Kutta-Nystrom 12(10)和ODE45等有限差分方法的优势。为了简洁起见，这里不将有限差分方法作为额外的参考方法。

**结论**
本文提出了一种用于 large-step 航天器轨道传播的Picard-准线性配置方法。通过将皮卡德预测嵌入到准线性化框架中，该方法避免了在传播过程中求逆由雅可比矩阵组成的大型配置矩阵。理论分析表明，在所述条件下，得到的迭代是线性收敛的。
数值结果表明，PQLC比参考方法具有更高的精度和更强的鲁棒性。

**作者贡献声明**
张金秀：监督、项目管理。
杨文川：写作——审阅与编辑、软件开发、数据整理。
冯浩阳：写作——原始草稿、方法论、概念化。
岳晓奎：监督、项目管理。
王继和：写作——审阅与编辑、资金获取、正式分析。

**数据可用性**
数据可应请求提供。

**利益冲突声明**
? 作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

**致谢**
本工作得到了国家自然科学基金（52272408）和广东省基础与应用基础研究基金（2023B1515120018）的支持。
冯浩阳 | 杨文川 | 张金秀 | 王继和 | 岳晓奎