通过优化方法提高了贝尔算符关联性的认证精度

《Physical Review A》：Improved certification of Bell-operator correlations via optimization

　　贝尔非局域性是量子力学的一个内在特征，可以通过违反贝尔不等式来检测。因此，从实验数据中验证贝尔非局域性是一个基本问题。在这里，我们提出了一个优化框架，通过探索贝尔不等式与对应于贝尔算符的哈密顿量之间的灵活映射来检测贝尔算符相关性。我们展示了几个哈密顿量模型可以映射到新的不等式，与原始不等式相比，这些新不等式的经典界限得到了改善，从而能够更可靠地验证贝尔算符相关性。从另一个方向来看，我们研究了从固定的贝尔不等式到哈密顿量的映射，旨在考虑实验缺陷的同时最大化量子违反。作为一个实际应用，我们在一个类似XXZ的蜂窝晶格模型中实验性地利用了70多个超导量子比特来应用这种方法。这项技术的成功应用，加上将这两个方向结合起来形成优化循环，可能会为开发更实用和抗噪声的贝尔算符相关性验证技术开辟新的途径，并促进更广泛的实验探索。

I. 引言
非局域性，其特点是无法在局域隐藏变量框架内解释的相关性，是量子世界中最神秘和最基本的特征之一[1]。这种属性可以通过违反贝尔不等式[2-4]来揭示，其中对纠缠量子系统的测量产生的相关性超出了经典的界限。在早期的演示之后，主要是在光学平台上[5-8]，诸如检测漏洞和局域性漏洞等问题已经被仔细解决了[9,10]，最终在包括氮空位中心[11]、光子[12-14]、中性原子[15]以及最近的超导电路[16]等多个平台上实现了无漏洞的实验。除了其基本重要性之外，非局域性也是应用的关键资源：它使得设备独立的信息处理成为可能，如量子密码学[17-19]、随机性放大[20-22]和自检验[23]，并且支持无条件的计算优势[24,25]。随着实验室中可用的更大量子设备的出现，人们将重点转向了在多体系统中访问非经典相关性。在这种情况下，完全设备独立、无漏洞的贝尔测试[11-16]仍然难以实现，实验通常从有限的测量数据中推断出贝尔类型的特征，这些数据往往涉及集体可观测量；这使得例如在玻色-爱因斯坦凝聚态[26]和自旋压缩原子系综[27]中进行了演示。由于这种分析明确依赖于量子力学和额外的建模假设，因此区分（i）设备独立的、无漏洞的贝尔非局域性和（ii）多体设置中的贝尔相关性是有用的，在后者中，验证依赖于有限的测量访问和额外的假设。在这种情况下，采用能量视角是一种富有成效的方法：一个贝尔不等式加上一组局部测量定义了一个贝尔算符，在某些情况下可以将其与一个局域多体哈密顿量[28-31]相对应。在这里，我们关注这种介于无漏洞贝尔非局域性和集体多体贝尔相关性之间的中间态，在这种状态下，我们可以假设各方的独立可寻址性，我们将其称为贝尔算符相关性[31]。

在实际的多体场景中，实验噪声是验证贝尔算符相关性的主要障碍[26-30,32-34]。准备好的状态可能会偏离理想目标，观察到的能量可能无法超过与给定不等式相关联的经典界限。因此，一个核心问题是，即使实验数据未能违反预先选定的贝尔不等式，是否仍然可以验证贝尔算符相关性。最近，引入了一种优化方法[35]，用于系统地识别在给定场景中从所有贝尔不等式集合中最大化经典-量子间隙的最佳不等式。在这项工作中，我们提出了一个迭代优化框架，该框架利用贝尔不等式和哈密顿量（贝尔算符）之间的灵活映射来改进验证，而不需要事先知道完整的不等式集。核心思想是交替改进贝尔表达式和相关的量子策略（状态或测量设置），从而扩大经典界限和量子值之间的差距，如图1所示。在这个框架内，可以通过两种互补的方式来检测贝尔算符相关性：（i）通过对固定哈密顿量的不等式系数进行优化来提高经典界限；（ii）通过对固定不等式的测量设置进行优化来降低量子值。

图1. 在贝尔不等式和哈密顿量之间执行的优化方案示意图。我们首先对贝尔不等式和测量设置进行参数化，其中量子测量可观测量替换测量的不等式形成了一个等效的哈密顿量。对于指定的自旋哈密顿量，通过保持固定并且等于这个自旋哈密顿量，我们在参数空间中搜索具有更高经典界限的贝尔不等式（上半部分）。对于具有实验测量相关量的指定贝尔不等式，我们也可以优化测量设置以找到更低的量子值（下半部分）。这个过程形成了一个循环，并可以迭代执行，直到经典界限和量子值之间的差距最大化。

我们将这个框架应用于之前工作中的与贝尔不等式相关的哈密顿量[29,31]，包括Gisin的优雅不等式的变体[29,36]。我们展示了同一个目标哈密顿量可以映射到具有显著改进的经典阈值的新不等式。作为一个实验演示，我们在一个73量子比特的超导处理器上实现了一个变分量子算法来准备类似XXZ的蜂窝晶格模型的低能状态。在原始设置中，由于实验噪声，量子值没有违反经典界限，而优化的不等式使用相同的测量数据验证了贝尔算符相关性。搜索程序依赖于模型（量子比特、指定的哈密顿量结构和以布洛赫球参数化的测量），而得到的贝尔不等式在形式上是设备独立的。然而，这里的实验演示并不是无漏洞的，因此并不构成一个完全设备独立的测试。

II. 预备知识
我们确定贝尔表达式及其相关贝尔算符的符号，并引入了整篇文章中使用的哈密顿量映射。我们考虑一个写为的贝尔不等式，其中是相关量的线性组合，是如果我们遵循局域隐藏变量模型所能获得的的最小经典值。在整个过程中，我们采用了一个能量见证约定：违反贝尔不等式意味着获得的相关贝尔算符的期望值低于经典界限，即当测量到的隐含能量的期望值从上到下穿过经典界限时，就验证了量子相关性。

贝尔不等式和贝尔算符（哈密顿量）之间的映射通常不是一对一的[29,37]。首先，对于一个固定的贝尔不等式，不同的局部测量设置通常会导致不同的贝尔算符，从而导致不同的有效哈密顿量。例如，在Clauser-Horne-Shimony-Holt（CHSH）不等式[3]中，改变每个站点上两个二进制可观测量之间的相对角度会改变结果的贝尔算符。其次，只要给定的哈密顿量可以被解释为一个贝尔算符，它通常可以通过适当选择的测量来实现。作为一个简单的例子，同一个与成正比的双量子比特相互作用哈密顿量可以通过不同的测量标签和局部基旋转嵌入到不同的CHSH类型贝尔表达式中。

为了具体起见，我们首先描述一个双部分场景，其中一方（）执行其中一个（）测量，每个测量都有两个结果。这个场景的一般贝尔算符可以写为（1），其中是表示在基中对方进行测量的正算符值的离散傅里叶变换；对于另一方，定义类似。注意，对于，由于它们作用于不同的系统。此外，当且仅当时，项简化为局部项，当且仅当时也是如此。在本文中，我们排除了单体项，因此我们只保留部分，并且只写。最后，通过固定贝尔算符，可以构建一个相应的哈密顿量，使得。关于贝尔算符-哈密顿量映射的更多详细信息见附录A。

III. 迭代优化框架
在这一节中，我们提出了一个迭代优化框架，该框架利用贝尔不等式和哈密顿量（贝尔算符）之间的灵活映射来改进验证，而不需要事先知道完整的不等式集。核心思想是交替改进贝尔表达式和相关的量子策略（状态准备和/或测量设置），从而增加经典界限和量子值之间的分离，如图1所示。在操作上，该方案从两个互补的方向进行。首先，对于与贝尔算符相对应的固定目标哈密顿量，我们寻找一个经典界限尽可能高的等效贝尔不等式，使得在噪声存在的情况下更容易观察到违反。其次，对于一个固定的贝尔不等式和一组实验估计的相关量，我们优化用于评估该不等式的测量设置，以最小化观察到的量子值。重要的是，虽然得到的贝尔不等式在设备独立的意义上对于指定的贝尔场景是有效的，但用于生成它们的搜索程序依赖于模型：在整个过程中，我们假设量子比特、固定的目标哈密顿量结构和在布洛赫球上参数化的局部测量可观测量。

A. 从哈密顿量到贝尔不等式
我们首先考虑适应测量设置以获得对于固定目标哈密顿量而言经典界限尽可能高的贝尔不等式的任务。为了寻找更好的测量算符，我们首先对不同方的量子测量设置进行参数化。单量子比特测量，其中表示测量方向，表示泡利基，可以在布洛赫球中表示，如图2所示。通过这种方式，方的参数化测量可以写为，其中指定了测量，并包含可以变化调整的参数。方的测量可以类似地定义。在这种形式主义中，我们建立了贝尔不等式和贝尔算符之间的参数化映射：对于所有测量，我们用一起来表示确定相应向量的上述参数。

图2. 从固定自旋哈密顿量到贝尔不等式的映射。（a）和（b）作为训练步骤函数的优化经典界限，其中右侧的布洛赫球展示了对应于最高经典界限的测量设置。青色和粉红色箭头分别表示方和的测量可观测量。（a）具有三个二进制测量的方和。（b）具有四个和三个二进制测量的方和。（c）具有73个超导量子比特的二维蜂窝模型的实验变分量子优化。我们展示了相对于训练步骤和原始经典界限（虚线1来自方程（4）的模型哈密顿量的测量能量。优化后的经典界限对于（a）显示为虚线2，对于（b）显示为虚线3。误差条表示重复估计的标准偏差；每个测量配置包含1000次射击。

给定一个固定的哈密顿量，我们首先将其分解为泡利串（2），其中是在上操作的所有泡利串的集合，是泡利串。对于这里使用的未归一化的泡利基础，我们使用来集体表示泡利基中的系数，并使用向量来表示贝尔不等式的系数[参见方程（1）]。对于双体两部分，的组成部分是对于泡利轴指标，而贝尔系数是对于测量设置指标。由于贝尔不等式和算符之间的联系，我们得到了一组线性方程（3），其中两个向量通过测量参数的函数由矩阵线性连接。在这里，是根据局部量子比特可观测量构造的（对于也是如此），因此编码了模型假设。

我们在哈密顿量到不等式方向的目标是最大化在测量参数上的经典界限，受到方程（3）中的约束。根据贝尔场景中的测量数量，这个方程可能是不确定的。在获得由确定的不等式的解决方案后，可以计算相应的经典界限，例如，通过穷举所有局部确定性策略来确保最终表达式为给定场景定义了一个有效的贝尔不等式。一种关于矩阵的通用表达式及其对贝尔实验设置的依赖性也可以在附录A [37]中找到。为了将这个问题形式化为一个优化任务，我们定义了成本函数作为需要最大化的经典界限，即，其中代表从方程（3）所暗示的不等式中获得的一个给定测量参数集的经典界限。通过最大化成本函数，我们旨在找到能够产生最高可能经典界限的最优测量参数。我们只跟踪经典界限的原因是，与固定哈密顿量相关联的量子值在这里已经确定，因此扩大量子与经典分离的唯一方法是收紧经典界限。换句话说，更高的经典阈值直接转化为后续量子违反的不等式的改进。这个优化问题可以通过基于梯度的优化算法来处理。在这里，我们应用了带有Adam优化器的梯度上升法。

B. 从贝尔不等式到哈密顿量

我们研究了从哈密顿量到贝尔不等式的可优化映射，这使得在现实的、有噪声的实验中更容易证明贝尔算符相关性。现在我们转向一个互补的方向，即一旦实验数据确定后最为相关的内容：对于给定的贝尔不等式，我们优化测量设置以降低评估的量子值。在实践中，在准备好纠缠态之后，我们通过测量一组预定义的相关器并使用它们的结果作为实验观察来证明贝尔算符相关性。由于实验噪声，这些相关器可能不会产生对于所选不等式的违反。从贝尔不等式到哈密顿量的方法正是针对这种情况：相关器已经被测量，我们只需要调整它们的组合方式。使用方程（3），在改变测量参数的同时固定不等式系数，可以诱导出一族哈密顿量。由于相关器值被视为固定的实验输入，我们不需要解决任何基态问题；相反，我们重新加权测量的相关器以获得与所选不等式参数化兼容的最小可能值。正式地，对于泡利轴指数，我们定义测量的两个体泡利相关器为。我们将这些相关器收集在行向量中，使用与组件的相同泡利轴排序。因此，对于固定的，我们的目标是最小化，其中可以应用梯度下降等优化方法。

IV. 基准测试：Gisin优雅不等式的一个变体

我们在这里考虑的基本贝尔不等式模型是Gisin优雅贝尔不等式[36]的一个变体[29]。这种设置描述了一个双边场景，其中一方有四个二分测量结果，另一方有三个结果。由参数化，这个不等式表示为（4），其中界限是对于的。我们将使用这种设置进行数值和实验探索。对于这个不等式，通过为一方分配四个测量（5）和为另一方分配三个测量（6），我们得到一个以两体哈密顿量形式的贝尔算符（7），其中和是作用于由索引的量子比特的泡利算符。这个哈密顿量的基态能量大约为，低于经典界限。因此，通过在硬件上准备这个模型的基态，我们可以实验性地证明贝尔算符相关性。

这个两体哈密顿量可以通过在不同量子比特之间施加适当的耦合，推广到多体系统，如一维链[29]和二维晶格[37]。注意，方程（5）和（6）中的测量分配是为了方便在方程（7）中获得XXZ风格的哈密顿量而选择的。通过在选择哈密顿量的同时选择不同的测量，我们可以获得更高的经典界限，这在实验上更容易违反。因此，我们的第一个目标是识别这样的测量设置。在接下来的章节中，我们使用这组哈密顿量及其相关的贝尔不等式作为两个优化方向的基准测试。

A. 数值结果

我们首先固定方程（7）中的哈密顿量，并将其应用于不等式优化，以获得具有更高经典界限的新不等式。正如第三节中提到的，这种搜索过程本质上是模型依赖的，因为它假设了在布洛赫球面上参数化的量子比特级哈密顿量和测量算符。让贝尔场景表示一方和另一方分别有测量和结果。我们考虑两种情况。在第一种情况下，双方都有三个二分测量结果，即（3,2,3,2）场景。相应的完整概率局部多面体除了CHSH不等式[38,39]之外只有一个非平凡的面类。这些分类提供了一个有用的基准，而我们的方法不需要预先计算的face列表。由于当前的假设排除了边际项，包含它们的face将需要扩展映射以包括单体贡献。Adam优化执行了步骤，记录了对应于最高经典界限的参数作为最终输出。所有优化超参数和初始化选择都可以在附录B中找到。对于每个选择的，固定哈密顿量的优化从约束中获得了，并评估了相应的局部确定性策略下的经典界限；没有模拟或实验相关器数据进入搜索。对于选定的参数，优化得到的经典界限大约为，明显高于原始的界限[参见图2(a)]。我们通过数值程序获得的优化不等式通常包含带有许多小数的浮点系数，这可能显得麻烦并且可能会掩盖主要信息。为了清晰起见，我们将系数四舍五入到小数点后三位，并明确报告一个代表性的不等式：为了可视化优化的测量，我们还使用布洛赫球体在图2(a)中展示优化的测量方向。

对于第二种（4,2,3,2）场景，一方有四个二分测量，而另一方有三个。在这种情况下，完整的分类也保持较小，最多有五个非平凡的面类，直到重新标记[39]。在数值运行中达到的最佳值大约为，进一步改进了第一种场景中获得的值。同样，我们报告了这个系数四舍五入到小数点后三位的代表性优化不等式：（8）我们还对Gisin的优雅不等式[36] [见方程（4）]应用了哈密顿量到不等式的优化，其中和相应的贝尔算符在方程（5）和（6）的测量分配下为（9）。从这个固定的算符开始，我们获得了改进的经典界限（参见图3）：在（3,2,3,2）场景中从到，在（4,2,3,2）场景中从到。

图3. 从哈密顿量到贝尔不等式的映射。我们展示了作为训练步骤函数的优化经典界限，以及表示对应于最高经典界限的测量设置的布洛赫球体。绿色和蓝色箭头分别表示双方和的测量可观测量。（a）双方和分别有三个二分测量结果，即（3,2,3,2）场景。（b）双方和分别有四个和三个二分测量结果，即（4,2,3,2）场景。

B. 分析结果

在（4,2,3,2）场景的数值结果中[参见方程（8）]，优化的系数表现为接近整数的浮点值，它们的排列揭示了一个高度规则的对称性。特别是，图2(b)中识别出的测量方向表明，一方的四种设置展示了规则的几何结构，而另一方的三种设置是相互正交的。受到这种几何结构的启发，我们重新处理了数值不等式，忽略了小的数值偏差，将系数对齐到，并通过一个总体常数因子进行重新缩放。这个程序产生了一个紧凑的分析表达式，它等同于优化后的不等式，但更清晰地突出了其潜在的对称性。得到的不等式表示为（10）。在一个常数因子范围内，一方的四个优化测量设置被选为，和，而另一方的三个设置简单地是和。代入方程（10）得到。乘以可以恢复方程（7）中的目标算符，并将局部界限重新缩放到。根据这种表述，这个结果可以被视为对和一起进行两次CHSH游戏并取其和。这个不等式是两个紧密贝尔不等式和的组合。如果不考虑单体项和，它对于（4,2,3,2）贝尔场景来说并不紧密。从几何上看，这个不等式对应的面的维数为10，而由真正紧密的不等式定义的面应该有维数11。

C. 噪声鲁棒性和迭代优化

评估贝尔不等式违反的鲁棒性需要考虑噪声，这是近期量子设备的固有特征。分析其影响对于开发抗噪声不等式和测量协议至关重要。我们现在展示了从数值模拟中获得的噪声条件下的结果。我们选择方程（4）中的不等式和方程（7）中的哈密顿量，并对这些映射进行模拟，以处理退极化量子噪声的情况，即在准备目标状态的每个操作中，我们为状态附加一个噪声通道（11），其中表示噪声强度。我们在状态准备电路的每个门之后应用该通道。对于每个噪声强度，我们计算模拟噪声状态的两体泡利相关器。然后我们使用这些模拟的相关器来优化测量参数（见附录B）。如图4(a)所示，使用原始哈密顿量获得的违反在消失，而优化后的哈密顿量在以下范围内保持低于相同的经典界限。

图4. （a）原始量子值（QV）和考虑不同退极化噪声强度的优化后量子值，其中黑色虚线表示经典界限。（b）迭代优化贝尔不等式和哈密顿量，以最大化经典界限（CB）和量子值之间的差距。带有三角形标记的虚线表示在此步骤中贝尔不等式保持不变，同时优化测量设置。类似地，带有圆圈标记的虚线表示在此步骤中优化哈密顿量不变，同时优化不等式。

在建立了两个方向的可优化映射之后，我们可以迭代地将优化应用于双方。我们考虑的起点是上述带有退极化噪声的模型，其中由于噪声效应，原始不等式无法被违反，如图4(a)所示。该程序首先优化测量设置以编译一个能量更低的新哈密顿量。然后对于这个哈密顿量，我们优化贝尔不等式以获得更高的经典界限，同时保持哈密顿量不变。这两个步骤形成一个循环，我们重复执行几次，直到收敛到一个稳定点[参见图4(b)]。经过两次循环后，经典界限和量子值趋于一致，它们之间的更大差距使得贝尔算符相关的证明更加准确。我们指出，实验数据只需要获取一次，假设数据允许估计任何两个体相关器，例如，通过随机化的泡利字符串。否则，我们将不得不为新选择的测量设置补充现有数据。

V. 多体实验

我们现在在多体设置中实现哈密顿量到不等式的优化，并用超导量子处理器证明了其可行性。为了在实践中应用我们的方法，我们构建了一个如图2(c)所示的蜂窝网格中的量子自旋模型，它由73个超导量子比特组成，这些量子比特排列在一个正方形晶格上。这些选定的量子比特的单体和两个量子比特门的中位保真度分别约为和。关于我们实现的量子电路的复杂性，每个量子比特经历了六个单量子比特旋转门，每对连接的量子比特参与了两个控制非（cnot）门。总共，对于我们的73量子比特蜂窝晶格配置，电路包含438个单量子比特门和184个cnot门。整个电路由12层组成。量子处理器的中位相干时间分别为和，这足以支持电路深度并确保高保真度的量子态准备和测量。哈密顿量是方程（7）的泛化版本，通过将最近邻位置上的两体哈密顿量与图2(c)所示的晶格模型中的耦合强度结合。对于图2(c)中的红色链接，耦合强度为，而对于绿色和蓝色链接则为。贝尔不等式是通过总结蜂窝晶格的边缘来设计的，其结构与哈密顿量类似。在我们的实验中，我们设置。由于蜂窝图是二分图，可以在两个子晶格上重复执行一种确定性的分配算法，以最小化常见的定向双方贝尔表达式。在这种算法下，它能够同时最小化所有边项的贡献，因此全局的经典界限是这两个方面界限的加权和。为了证明贝尔算符相关性的实验违反，我们使用参数化的量子电路来制备低能量状态。从一个固定的乘积态开始，我们通过变分优化量子电路的参数来获得基态近似。我们使用的参数化量子电路的结构与参考文献[31]中的相同。我们将能量作为需要最小化的成本函数，其中参数表示电路的配置。梯度是根据参数偏移规则[40,41]通过量子测量直接计算得出的，我们使用Adam优化器来更新这些参数[参见图2(c)]。用于认证的两个贝尔不等式及其测量设置是从第IV A节的固定哈密顿量优化中获得的，没有使用实验相关性测量器。然后在这些经典界限上评估了各种局部确定性策略的表现。每种测量配置都进行了1000次采样，误差条表示贝尔算符期望值重复估计的标准偏差。对于方程(4)中的原始贝尔不等式，即使考虑了读出误差的校正，实验准备的状态的能量也没有超出经典界限（黑色线条1）。为了解决这个问题，我们应用了之前发现的两个贝尔不等式，并将它们扩展到多体系统中。如图2(c)中的虚线2所示，通过考虑图2(a)中的贝尔不等式，可以显著提高经典界限，这使得实验准备的状态能够在不使用读出校正方法的情况下违反该不等式。当切换到图2(b)中的不等式时，实验得到的贝尔算符值至少比经典界限低三个标准差。我们注意到，这里报告的实验贝尔测试并非无漏洞的，因此在实践中并不能提供完全与设备无关的证明，尽管所使用的不等式在形式上是有效的。

第六节 讨论与展望
贝尔不等式与哈密顿量之间的联系为研究量子系统中的贝尔算符相关性提供了一个有用的工具。我们引入了一个迭代框架，该框架在（i）通过寻找具有更大经典界限的固定目标哈密顿量或等效不等式来提高经典阈值，以及（ii）通过优化固定不等式的测量设置来提高观测到的量子值之间交替进行。通过扩大经典与量子之间的分离度，该方法产生了更具抗噪声能力的认证标准。我们在一个73量子比特的超导蜂窝晶格模型中通过实验展示了这一优势，在该模型中，一个经过优化的不等式使用与原始不等式相同的相关性测量数据证明了贝尔算符相关性，而原始不等式并未违反经典界限。
本工作中提出的优化框架为未来的研究开辟了几条途径。在优化更复杂场景时遇到的一个挑战是参数空间中局部最小值的积累。这可能通过应用深度强化学习[42]或大型语言模型的前沿机器学习技术来缓解。对于具有某些对称性的贝尔不等式或量子系统，可以使用群等变机器学习模型在受限的对称性空间中探索解决方案[43]。最后，在这项工作中，我们对非局域性问题应用了经典优化技术。随着变分量子算法[44]的进步，开发混合量子-经典优化算法来探究贝尔不等式与量子系统之间的相互作用也是非常有吸引力的。除了二分图情况外，可扩展性不仅取决于测量优化，还取决于评估经典界限的成本。对于投影测量，连续测量参数的数量随着局部设置总数的增加而线性增长，而直接评估精确的经典界限则涉及指数级的确定性分配次数。在本文考虑的小场景中，完整的面列表提供了有用的基准，而在没有完整分类的情况下，部分紧密不等式列表仍然具有实用性[45,46]。
虽然我们通过仅关注相对较小的子系统来处理多体系统的优化问题，但将这一框架应用于越来越大的系统并研究其扩展行为是非常有意义的[46]。这包括涉及更多参与方的关联器以及单个参与方的更多测量。我们已经证明了我们的框架在将原本无法通过实验验证的量子数据转换为可验证的贝尔算符相关性方面的实用性，这个过程仅仅是一个不需要额外实验工作的后处理步骤。